cap3_estatica de corpos rigidos

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Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos 
Luis Mesquita Pág. 25 
 
��������	
	�	 �����
	������
	
 
Nesta secção será feito o estudo de forças aplicadas a um corpo rígido. 
Estudar-se-á a substituição de um dado sistema de forças por um sistema de 
forças equivalente mais simples, cálculo de produtos externos ou vectoriais e 
produtos internos ou escalares para a quantificação do momento de uma força 
em relação a um ponto e a um eixo. 
Conceito de binário e substituição de um sistema de forças aplicadas num 
corpo rígido por um sistema equivalente, força e binário. 
 
 
Forças exteriores – representam a acção de outros corpos sobre o corpo 
rígido em análise. 
 
 
Forças interiores – mantêm unidas as diferentes partículas que 
constituem o corpo rígido. 
 
 
 
Vector deslizante – é a representação de uma força aplicada num corpo 
rígido, visto que em corpos rígidos o ponto de aplicação da força não é 
relevante, mas sim a sua linha de acção. 
 
 
Mecânica Aplicada I Cap. 3- Estática dos corpos rígidos 
Luis Mesquita Pág. 26 
 
��� �������	�������	��	�������
	
 
 
 
O produto externo de dois vectores �
�
 e �
�
 é definido como sendo o 
vector �
�
 que satisfaz o seguinte: 
 
A linha de acção do vector �
�
 é perpendicular ao plano que contém os 
vectores �
�
 e �
�
. 
 
A intensidade de �
�
 é dada pelo produto das intensidade dos vectores �
�
 
e �
�
 e pelo seno do angulo formado pelos mesmos. 
���
���
×= ( )θ����� �� �= 
O sentido de �
�
 é obtido pela regra da mão direita 
 
 
Propriedades: 
Não comutativa, distributiva e não associativa 
�� ��������
��������
×−=××≠× 
�������
�������
×+×=+× �� 
���� ������
������
××≠×× 
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��� �������	�������	��	���
	�������
	�����
�	��	����������
	�����
����
	
 
 
O produto externo de um versor por si próprio é zero, uma vez que têm a 
mesma direcção. Para todas as combinações, temos: 
 
 
 
Definindo o vector �
�
 produto externo de dois vectores �
�
 e �
�
, em função 
das coordenadas cartesianas fica: 
 
 
usando a propriedade distributiva: 
 
 
 
Ou de outra forma, através do cálculo do determinante, repetindo a 1ª e a 
2ª colunas. 
�	
�	
���
���
��
�
���
�
= 
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�
� �������	��	���	�����	��	�������	�	��	�����	
 
 
 
Considere a força �
�
, definida pela intensidade, direcção e sentido, que 
actua num corpo rígido. O efeito que a força provoca no corpo rígido depende 
também do seu ponto de aplicação. Sendo o seu ponto de aplicação definido 
pelo vector �� , o momento da força �
�
 em relação ao ponto O será obtido pelo 
produto externo de �� e �
�
. 
 
��� �
���
×=
 
���
���� �
����
����� =Θ=
 
 
� � !������	��	"�������	#�����$����	%����&
	�'( ��)��*	
 
“o momento em relação a um ponto O da resultante de várias forças 
concorrentes é igual à soma dos momentos das diversas forças em relação ao 
mesmo ponto O”. 
	
�
��
��
��
�
�
	
�
��
��
��
�
�
( ) �� ���������� ×++×+×=× ���	����		 ���� 
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�(� ����������
	�����
����
	��	�������	��	���	�����	
�
�
�
�� �
�� +
�� ,
� �
� ,
� +
�
� �
�	�		����
�
 
O momento ��
�
, em relação ao ponto O, produzido pela força �
�
, de 
componentes Fx, Fy e Fz aplicada no ponto A de coordenadas x, y e z, pode ser 
apresentado da seguinte forma: 
 
����
�� �	
�
����
++=
 
 
em que Mx, My e Mz são as componentes cartesianas do momento ��
�
. 
 
Mx = y Fz - z Fy 
My = zFx - x Fz 
Mz = x Fy - y Fx 
 
 
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�'� �������	�������	��	���
	�������
	
 
O produto interno ou escalar de dois vectores �
�
 e �
�
 é definido como 
sendo o produto das intensidade de �
�
 e �
�
 pelo coseno do ângulo formado 
pelos mesmos. 
 
 
E = �
�
 . �
�
 ( escalar ) 
��
 Θ= ������
��
 
 
Propriedades: Comutativo e Distributivo. 
Aplicações: Determinação do ângulo formado entre vectores, 
determinação da projecção de um vector sobre um eixo. 
 
�)� �������	��
��	��	��&
	�������
	
 
O produto misto de três vectores dá origem a um escalar, através do 
produto interno do vector �
�
 pelo vector produto externo de �
�
 e �
�
. 
 
E = �
�
 . (�� X �� ) ( escalar ) 
Cálculo prático de E : 
� � �
� � �
� � �
 	 �
 	 �
 	 �
 
 
Aplicações: cálculo do volume criado pelos vectores. 
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�-� �������	��	���	�����	��	�������	�	��	����	
 
 
 
O momento de uma força �
�
 em relação a um eixo OL é definido como 
sendo a projecção do momento ��� sobre Ol, isto é, será o produto misto do 
versor λ pelo vector posição �� e pela força �
�
. 
 
=���
�
λ . ���
�
= λ . ( )�� �� × 
 
Sendo λx, λy e λz os co-senos directores do ponto de aplicação da força 
�
�
, x, y e z as coordenadas e Fx, Fy e Fz as componentes cartesianas da força 
�
�
., podemos exprimir ���
�
 na forma de determinante: 
 
 
 
Significado físico: o momento ���
�
 de �
�
 em relação ao eixo OL mede a 
tendência da força �
�
 produzir no corpo rígido um movimento de rotação em 
torno do eixo fixo OL. 
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�.� �������	��	��	/��$���	
 
Duas forças �
�
 e -�
�
, com a mesma intensidade, linhas de acção 
paralelas e sentidos opostos formam um binário. 
 
O momento produzido pelo binário será: 
 
Com uma intensidade igual a: 
 
 
��0� 1��$���
	�2���������
	
Os binários apresentados provocam no corpo um movimento de rotação, 
sempre no mesmo sentido. 
 
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���� 3�
����	%����41��$���	
Qualquer força �
�
 aplicada a um ponto A de um corpo rígido pode ser 
substituído por um sistema força/binário num ponto arbitrário O. 
 
 
 
 
 
 
 
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Substitua a força de 150N por um sistema força binário equivalente em A. 
 
 
 
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���� �������	��	��	
�
����	��	�����
	�	��	
�
����	%����41��$���	
 
Por mais complexo que seja o sistema de forças, este pode ser reduzido 
a um sistema Força/Binário. 
 
 
�= ��
��
 �� ×== �� ���� �
�
�
����
 
 
 
��
� 3�
����
	�2���������
	��	�����
	
 
Dois sistemas de forças são equivalentes se forem reduzidos ao mesmo 
sistema força/binário:� �=
����
��
 e �� =
�
�� ��
��
 
 
Fisicamente, estes têm que provocar um movimento de translação e de 
rotação igual segundo os três eixos. 
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�� � �������	��	��	
�
����	��	�����
	�	��	���
��	
No caso geral 3D de um sistema de forças no espaço, o sistema pode ser 
reduzido a uma força e um binário, não perpendiculares entre si e de 
intensidade não nulas (caso geral). 
 
O vector binário pode ser vectorialmente decomposto em outros dois 
vectores ��
�
 e ��
�
 segundo a direcção de �
�
, e M2 contido num plano 
ortogonal a �
�
. 
 
O vector ��
�
 e �
�
 podem ser substituídos por uma única força �
�
, mas 
noutra linha de acção. 
 
O sistema original reduz-se a: 
 
Uma força e um binário, ambos com a mesma direcção, ou seja, um 
TORSOR. 
 
A razão 
�
�
� �= é designado por passo do torsor. 
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A projecção de ���
�
 segundo a linha de acção de �
�
é: 
M1=
�
�� ��
��
�
 
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
��
== 
 
O eixo torsor fica definido por 
 
�
��
�
= ����
���
×+ 
 
 
 
 
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Os dois eixos de uma caixa de redução estão sujeitos a binários cujos 
momentos têm módulos M1=20,3 Nm e M2=4,07 Nm. 
A caixa pesa 267n e tem o seu centro de gravidade sobre o eixo z em 
z=152mm. 
Substitua o peso e os dois binários por um torsor equivalente e determine: 
a)- a força resultante 
b) a passo do torsor 
c)- o ponto onde o eixo torsor corta o plano xz 
 
 
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