Operações com Conjuntos em Matemática

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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO 
Operações com Conjuntos 
1. Interseção de conjuntos ( ) 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos 
elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. 
Notação: A B (lê-se "A intersecção B"). 
Simbolicamente: A B = {x | x A e x B} 
Propriedades da interseção de conjuntos: 
1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, A B será o conjunto B. 
Neste caso podemos escrever: B A = A B = B, para todo A, B. 
2. A operação de interseção é comutativa, isto é, A B = B A, para todo A, B. 
3. A operação de interseção é associativa, isto é, (A B) C = A (B C), para 
todo A, B, C. 
2. União de conjuntos (U) 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A ou a B. 
Notação: A U B (lê-se "A união B"). 
Simbolicamente: A U B = {x | x A ou x B} 
Exemplos. Seja os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} então 
A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9} 
Exemplo. Seja os conjuntos A = {3, 5} e B={2,3,4,5,6} então A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B 
Propriedades da união de conjuntos. 
 1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o conjunto A, isto 
é, B A então (A U B) = A, para todo A, B. 
 2. A operação de união é comutativa, isto é, A U B = B U A, para todo A, B. 
 3. A operação de união é associativa, isto é, (A U B) U C = A U (B U C). 
 
 
3 - Principio da Inclusão- Exclusão 
Uma técnica importante para se resolver vários problemas de combinatória é o Princípio da 
Inclusão-Exclusão, que é uma fórmula para contar o número de elementos que pertencem à união 
de vários conjuntos não necessariamente disjuntos. Podemos provar que: 
 n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A B) 
Observe que se os conjuntos possuem uma interseção, esta é contada duas vezes ao fazermos 
n(A) + n(B) por esse motivo subtraímos uma vez n(A B). Observe a figura. 
 
Onde n( ) é o número de elementos do conjunto dado. 
No caso de três conjuntos, teremos: 
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - N(A B)- n(A C) - n(B C) - n(A B C) 
O princípio da inclusão e Exclusão pode ser estendido para um número finito de conjuntos. 
Exemplo: Um entrevistador de opinião pública entrevista 35 pessoas que optam pelo produto A, 
produto B ou ambos e conclui que 14 entrevistados escolheram o produto A e 26 o produto B. 
Quantos entrevistados escolheram ambos 
n(AB) = n(A) + n(B) - n(A B) portanto 35 = 14 + 26 - n(A  B ) 
n(A B) = - 35 +14 +26 = 5 
4. Diferença de conjuntos (-) 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos 
elementos de A que não pertencem a B. 
Notação: A - B (lê-se "A menos B"). 
Simbolicamente: A - B = {x | x A e x B} 
Exemplos. Seja os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} então 
A - B = {2, 6} e B -A = {9} 
Exemplos. Seja os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} então A - B = { } = Ø 
5. Complementar de um conjunto (C) 
Se A e B são conjuntos tais que A B, então a diferença B - A é chamada complementar de A 
em B. 
Notação: CB A (lê-se "complementar de A em B"). 
Simbolicamente: CB A = B - A = {x | x B e x A}, onde A B 
Exemplo. Seja os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} então Existe CB A , pois A B. 
Portanto CB A = {2, 4, 6}. 
 
Exemplo. Seja os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9} então Como A B, então não 
existe CB A. 
 
Conjuntos Numéricos 
 Conjunto dos Números Naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} 
 Quando desejamos excluir o zero do conjunto, devemos colocamos um asterisco ( *) ao 
lado do Conjunto. 
 O conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero): 
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}. 
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição e multiplicação. 
 m, n  N, m+n  N e m.n  N 
Ou seja, N é fechado em relação à adição e à multiplicação. 
O mesmo raciocínio não vale para a subtração. 
Ex.: não existe um número natural x tal que, x = 2 – 5 
Faz-se então, necessária a ampliação do conjunto N. 
 Conjunto dos Números Inteiros: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Todo número natural é também um número inteiro, ou seja, N é subconjunto de Z  N  Z 
 
Alguns subconjuntos importantes: 
 conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
 conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N 
 conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} = N* 
 conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z- = {... -4, -3, -2, -1, 0} 
 conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*- = {... -4, -3, -2, -1} 
Exemplo. Sejam os conjuntos A = {x  Z-3 < x  2} e B = {x  Nx  4}. 
Determinar A  B e A  B. 
A = {-2, -1, 0, 1, 2} 
B = {0, 1, 2, 3, 4} 
então: 
A  B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} = {xZ-2 x 4} (entre outras formas) 
A  B = {0, 1, 2} = {xNx 2} (entre outras formas) 
 
No conjunto dos números inteiros estão definidas três operações: adição, multiplicação e 
subtração. 
Ou seja, Z é fechado em relação à adição, multiplicação e à subtração. 
O mesmo raciocínio não vale para a divisão. 
Ex.: não existe um número inteiro x tal que, x = 4  12 
Faz-se então, necessária a ampliação do conjunto Z. 
 
 
 
 Conjunto dos Números Racionais: todos aqueles que podem ser expressos na forma de 
fração. Note que o conjunto dos números racionais é um conjunto que engloba os 
números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 125,8342) e as dízimas 
periódicas (números decimais infinitos periódicos), como "14,050505...". 
 Representamos o conjunto dos racionais pela letra Q. 
Q = {p/q  p  Z e q  Z*}  N  Z  Q 
 
 conjunto dos números racionais não nulos: Q* 
 conjunto dos números racionais não negativos: Q+ 
 conjunto dos números racionais positivos: Q*+ 
 conjunto dos números racionais não positivos: Q- 
 conjunto dos números racionais negativos: Q*- 
No conjunto dos números racionais estão definidas três operações: adição, multiplicação e 
subtração. 
Não se define a divisão por zero, o conjunto Q não é fechado em relação à divisão, apenas o 
conjunto Q* é fechado em relação à divisão. 
 Conjunto dos Números Irracionais: números decimais infinitos não-periódicos. 
 Exemplos: 
 (a) número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), 
que vale 3,14159265 ... 
 (b) Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 
(1,4142135 ...) 
 Conjunto dos Números Reais: união do conjunto dos racionais com os irracionais. 
 Representamos o conjunto dos reais pela letra R. 
 
 
Representação gráfica: 
 
 
 conjunto dos números reais não nulos: 
R* = {x  R  x ≠ 0} = R – {0} 
 conjunto dos números reais não negativos: 
R+ = {x  R  x  0} 
 conjunto dos números reais positivos: 
R*+ = {x  R  x > 0} 
 conjunto dos números reais não positivos: 
R- = {x  R  x  0} 
 conjunto dos números reais negativos: 
R*- = {x  R  x < 0} 
 
Intervalos Numéricos. 
Podemos representar o conjunto dos números reais, associando cada número x real a um ponto 
de uma reta r. 
Convencionamos uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido 
positivo para esta reta, teremos uma reta denominada reta orientada. 
Consideremos dois números reais a e b, com a < b. 
Definiremos alguns subconjuntos de R chamados intervalos: 
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b. 
Notação do Intervalo:[a, b] 
Notação do Conjunto: {x R | a = x = b} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que b. 
Notação do Intervalo: ]a, b[ 
Notação do Conjunto: {x R | a < x < b} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais a a e menores do que b. 
Notação do Intervalo: [a, b[ 
Notação do Conjunto: {x R | a = x < b} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e menores ou iguais a b. 
Notação do Intervalo: ]a, b] 
Notação do Conjunto: {x R | a < x = b} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Semi-reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores ou iguais a b. 
Notação do Intervalo: ]- 8 ,a ] 
Notação do Conjunto: {x R | x = a} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Semirreta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores que b. 
Notação do Intervalo: ]-8 ,a [ 
Notação do Conjunto: {x R | x < a} 
 
Representação gráfica: 
 
 
Semirreta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou iguais a a. 
Notação do Intervalo: [a,+8 [ 
Notação do Conjunto: {x R | x = a}. 
 
Representação gráfica: 
 
Representação gráfica: 
 
Semirreta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a. 
Notação do Intervalo: ]a, +8[ 
Notação do Conjunto: {x > R | x > a} 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
Reta numérica: Números reais. 
Notação do Intervalo: ] -8 ,+8[ 
Notação do Conjunto: R 
 
Valor absoluto de um número e Propriedades 
 Valor absoluto de um número real também pode ser chamado de módulo deste número. 
 
O módulo ou o valor absoluto de um número x está associado ao conceito de distância desse 
número até a origem do sistema. 
 
Notação: será representado por |x|. 
 
Sabendo que a distância é uma medida não negativa, o módulo de um número é sempre maior ou 
igual a zero, sendo que é igual a zero somente no caso desse número ser o próprio zero. 
Observe : 
O módulo ou valor absoluto de -2 é 2, assim temos |-2|=2 . 
Alternativamente podemos dizer que a distância do ponto A ao ponto O é dada por d1= 2 e a 
distância do ponto B ao ponto O é dada por d2= 2. 
Formalmente, escrevemos |x|= - x, se x < 0 e |x| = x, se x > 0. 
 
Podemos simbolizar como: 
 
Essa expressão significa que o módulo de qualquer número negativo será o seu oposto e para 
qualquer número positivo, ou para o zero, o valor absoluto é igual ao próprio número. 
Propriedades: 
 
1 - | a |= |-a| para todo numero real. 
 Exemplo: | 2 |= |-2| = 2 
 
2- |a 
2
|= |a| 
2
= a
2 
para todo numero real
. 
 Exemplo: |3 
2
|= |3| 
2
= 3
2 
= 9 
 
3- = . Observe que é errado afirmar que = x , isto só será verdade se x = 0. 
 Exemplo: = = 
 
4 - | a . b |= | a |.| b | para todo a e b números reais. 
 Exemplo: Seja a = 3 e b = 5 então |3 . 5|= |15|= 15 e |3|.|5|= 3 . 5 = 15 
 
5- | a + b | = | a |+ | b | para todo a e b números reais. 
 Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |6|+|5|= 6 + 5 = 11, portanto 
|6 + 5|=|6|+|5|. 
 Exemplo: Seja a = -5 e b =1 então |-5 + 1|= |-4|= 4 e |-5|+|1|= 5 + 1 = 6, portanto 
|-5 + 1|<|-5|+|1|. 
 
6- | | a | - | b | | = | a |- | b | para todo a e b números reais. 
 Exemplo: Seja a = 4 e b = 1 então ||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3 e |4 - 1|= |3|= 3, portanto 
||4|-|1||=|4 - 1|. 
 Exemplo: Seja a = -1 e b =9 então ||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8 e |-1 - 9|= |-10|= 10, portanto 
||-1|-|9||<|-1 - 9|. 
 
7- | a - b | = | b - a | 
 Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |5 + 6|= |11|= 11. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
10) Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C ={p, s, t}, determine: 
a) A  B 
b) A  C 
c) B  C 
d) A  B 
e) A  C 
f) B  C 
 
11) Dados os conjuntos U = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam A = {x  U  x < 0}, 
B = {x  U  -3 < x < 2} e C = {x  U  x  -1}. Determine: 
a) A  B  C 
b) A  B  C 
c) C  (B  A) 
d) (B  A)  C 
 
12) Sobre os 48 funcionários de certo escritório, sabe-se que: 30 tem automóvel, 1/3 são do sexo 
feminino e 3/4 do número de homens tem automóvel. Com base nessas informações, responda: 
a) Quantos funcionários são do sexo feminino e tem automóvel? 
b) Quantos funcionários são homens e tem automóvel? 
 
13) Dados os conjuntos 
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, 
determine o conjunto X sabendo que: 
A  X = {1, 2, 3} 
B  X = {3, 4} 
C  X = A  B 
 
14) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, c, d, e}, C = { c, d} e D = {a, d, e}, classifique 
cada uma das sentenças seguintes em (V) ou falsas (F). 
a) A – B = {b} 
b) B – C = {a, e} 
c) D – B = {c} 
d) CA C =  
e) CB  = {a, c, d, e} 
f) CB D = {c} 
g) (A  B) – D = {a, d, e} 
h) B – (A  C) = {e} 
i) (CB C)  (CB D) = {a, c, e} 
 
 
15) Determine A  B e A  B, sendo: 
a) A = {x  Nx  5} e B = {x  Nx < 7} 
b) A = {x  Zx > 1} e B = {x  Zx  3} 
c) A = {x  Zx < 10} e B = {x  N*x < 6} 
d) A = {x  N2 < x  5} e B = {x  Z1  x < 4} 
 
16) Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) 10  Q 
b) 1/3  Q e 3  Q 
c) x  Q  x  Z ou x  N 
d) 0,851  Q 
e) -2,333...  Q 
f) -2  Q – N 
g) - 17/9  Q 
h) -5,16666...  Z 
i) Q+  Q- = { } 
j) Todo número racional é inteiro 
17) Descreva, por meio de uma propriedade característica, cada um dos conjuntos representados 
a seguir: 
a) 
 
-2 
 
b) 
 𝟑 𝟐 
c) 
 −
𝟏
𝟒
 
𝟏 
 
d) 
 −
𝟑
𝟒
 
𝟎 
 
 
18) Sejam A = {x  R  x > -2} e B = Determine: 
a) A  B 
b) A  B 
c) A – B 
d) B – A 
19) Calcular: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) , para x = -3 
h) 
 
20) Descreva os conjuntos mostrados, enumerando seus elementos: 
A = {x   / x  9} 
B = {x   / x > 2, x é ímpar} 
C = {x   / x > 3, x é par} 
D = {x   / x > 1} 
E = {x   / 3 < x < 5} 
 
21) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as 
sentenças abaixo e classifique essas sentenças em falsa ou verdadeira. 
a) 3 é elemento de A 
b) 1 não está em B 
c) B é parte de A 
d) B é igual a A 
e) 4 pertence a B 
22) Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6} 
23) Uma pesquisa realizada com 100 pessoas em uma pizzaria, revelou que destas, 70 gostam de 
pizzas salgadas, 20 gostam de pizzas salgadas e doces. Quantas foram as pessoas que 
responderam que gostam apenas de pizzas doces? 
(Dica: Desenhar o diagrama correspondente). 
24) As marcas de refrigerante mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e C. Os 
garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: 
Marcas consumidas Nº de consumidores 
A 150 
B 120 
C 80 
A e B 60 
A e C 20 
B e C 40 
A, B e C 15 
Outras 70 
Faça um diagrama representativo da situação e responda: 
a) Quantos consumidores beberam refrigerante no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e C, quantos beberam apenas duas dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram a marca C? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca C?