Unidade 1 - Conjuntos Numéricos

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Aula 1 – Conjuntos numéricos 
Antes de iniciarmos o estudo dos conjuntos numéricos, vamos recordar 
algumas noções da teoria dos conjuntos necessárias para o estudo desta 
unidade. 
A palavra conjunto nos remete a noção de coleção ou de agrupamento, que 
pode ser de objetos, de pessoas, de letras e assim por diante. Como estamos 
estudando matemática utilizaremos como exemplo, um conjunto de números. 
Podemos representar um conjunto de três formas: 
● Enumerando os seus elementos entre chaves (Forma tabular) 
 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} 
● Utilizando um Diagrama de Conjuntos ou Diagrama de Venn. 
A 
 
● Através de uma propriedade 
Conjunto dos números inteiros positivos menores que 6 ou 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ∗|𝑥 < 6} 
 
Relações de Pertinência 
Para relacionarmos um elemento com um conjunto utilizamos os seguintes 
símbolos: 
● ∈⟶ Pertence. 
● ∉⟶ Não pertence. 
Considerando o conjunto 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, temos: 
3 ∈ 𝐴 ⟶ o número 3 pertence ao conjunto A. 
7 ∉ 𝐴 ⟶ o número 7 não pertence ao conjunto A. 
Observe que os caracteres que aparecem entre as chaves (números, neste 
caso) são elementos do conjunto. Desta forma, as expressões acima podem 
ser lidas de outra forma sem prejuízo algum para sua compreensão: 
3 ∈ 𝐴 ⟶ o número 3 é um elemento do conjunto A. 
7 ∉ 𝐴 ⟶ o número 7 não é um elemento do conjunto A. 
 
Relação de Inclusão 
Para relacionarmos um conjunto com outro conjunto, utilizamos os seguintes 
símbolos: 
⊂ ⟶ Está contido 
⊅ ⟶ Não está contido 
⊃ ⟶ Contém 
⊅ ⟶ Não contém 
Considerando o conjunto 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, observe os exemplos abaixo: 
● 𝐵 = {3}, todos os elementos que pertencem ao conjunto B também 
pertencem ao conjunto A, logo 𝐵 ⊂ 𝐴 ( o conjunto B está contido no conjunto 
A). 
● 𝑀 = {1; 3}, todos elementos que pertencem ao conjunto B também 
pertencem ao conjunto A, logo 𝑀 ⊂ 𝐴 (o conjunto M está contido no conjunto 
A). 
● 𝑆 = {1; 3; 7}, observe o número 7 pertence ao conjunto S mas não pertence 
ao conjunto A, logo 𝑆 ⊄ 𝐴 (o conjunto S não está contido no conjunto A). 
As afirmações acima podem ser escritas de outras maneiras equivalentes, ou 
seja, podemos escrever no primeiro exemplo que 𝐴 ⊃ 𝐵 (o conjunto A contém o 
conjunto B), no segundo exemplo que 𝐴 ⊃ 𝑀 (o conjunto A contém o conjunto 
M) e no último exemplo que 𝐴 ⊅ 𝑆(o conjunto A não contém o conjunto S). 
Observe que para um conjunto B estar contido em outro conjunto A (𝐵 ⊂ 𝐴), 
todos os elementos que pertencem a B também devem pertencer ao conjunto 
A, neste caso, dizemos que B é um SUBCONJUNTO de A. Dessa forma, as 
afirmações dos exemplos anteriores podem ser lidas de outra forma: 
● 𝐵 ⊂ 𝐴 ⟶ o conjunto B é um subconjunto de A. 
●𝑀 ⊂ 𝐴 ⟶ o conjunto M é um subconjunto de A. 
●𝑆 ⊄ 𝐴 ⟶ o conjunto S não é um subconjunto de A. 
 
Operações com conjuntos 
1. União (∪) 
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado por todos elementos que 
pertencem a A ou B. 
● Dados os conjuntos 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} e 𝐵 = {4; 5; 6; 7}, temos: 
𝐴 ∪ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} 
Observe que o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 possui todos os elementos de A mais todos os 
elementos de B, sem repetição. 
Observe também que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 
2. Intersecção (∩) 
 A intersecção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formados pelos elementos 
que pertencem a A e também pertencem a B. 
● Dados os conjuntos 𝐴 = {1; 2; 3; 𝟒; 𝟓} e 𝐵 = {𝟒; 𝟓; 6; 7}, temos: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝟒; 𝟓} 
Observe que no conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 temos os elementos comuns a A e B. 
Se A e B não possui elementos comuns, ou seja, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (vazio), dizemos 
que A e B são conjuntos disjuntos. 
Observe que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴. 
3. Diferença (−) 
Nas operações anteriores, vimos que a ordem dos conjuntos não importa. 
Nesta operação a ordem importa. 
● A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é o conjunto dos 
elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
Dados os conjuntos 𝐴 = {1; 2; 3; 𝟒; 𝟓} e 𝐵 = {𝟒; 𝟓; 6; 7}, temos: 
𝐴 − 𝐵 = {1; 2; 3} 
Observe que no conjunto 𝐴 − 𝐵 temos os elementos que pertencem somente 
ao conjunto A. 
● A diferença de dois conjuntos B e A, nessa ordem, é o conjunto dos 
elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
Dados os conjuntos 𝐴 = {1; 2; 3; 𝟒; 𝟓} e 𝐵 = {𝟒; 𝟓; 6; 7}, temos: 
𝐵 − 𝐴 = {6; 7} 
 Observe que no conjunto 𝐵 − 𝐴 temos os elementos que pertencem somente 
ao conjunto B. 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os números foram criados e desenvolvidos pelo homem como recurso que 
permite contar e medir, ou seja, registrar os valores de uma grandeza. 
A ideia dos conjuntos numéricos segue uma ordem de acordo com a história da 
Matemática, ou seja, à medida que a matemática avançou, foi necessário a 
criação de novos conceitos e, com isso, foram surgindo vários conjuntos de 
números. 
Apresentaremos abaixo os conjuntos numéricos de forma resumida e 
posteriormente apresentaremos as principais características e propriedades de 
cada conjunto. 
Iniciamos o estudo dos conjuntos numéricos pelo Conjunto dos Números 
Naturais que é representado pela letra ℕ. Começando por zero e 
acrescentando sempre uma unidade obtemos seus elementos, ou seja: 
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; … } 
Observe que nesse conjunto não temos solução para algumas expressões. Por 
exemplo: 2 − 5 =? 
O resultado dessa operação não é um número natural, ou seja, não tem 
solução dentro desse conjunto. Para que esta expressão tivesse solução foi 
necessária a criação de outro tipo de número, os números negativos. Com a 
criação desses números, ampliamos o conjunto dos números naturais e surge 
assim o Conjunto dos Números Inteiros, representado pela letra ℤ de Zahl, 
que em alemão significa Número. Dessa forma temos: 
ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … } 
A expressão anterior passa a ter solução, ou seja, 2 − 5 = −3. 
Os números inteiros representam opostos, por exemplo: 
● Dívida (saldo negativo), Lucro (saldo positivo). 
●Temperatura negativa (Frio), Temperatura positiva (Calor). 
Dentro desse conjunto observamos outras expressões que não possuem 
solução, por exemplo: 2 ÷ 5 =?. 
O resultado dessa operação não é um número inteiro. Para que essa 
expressão tivesse solução foi necessária a criação de outra categoria de 
número, os números fracionários. Com a criação desses números, ampliamos 
o conjunto dos números inteiros e nasce então, o Conjunto dos Números 
Racionais representado pela letra ℚ (de Quociente). Dessa forma temos: 
 ℚ = {… − 2; −1; −
1
3
; 0; 
2
5
; 1; 2; … } 
A expressão anterior passa a ter solução, ou, seja 2 ÷ 5 =
2
5
. 
Todo número que pode ser expresso na forma 
𝑝
𝑞
, sendo 𝑝 e 𝑞 números inteiros 
e 𝑞 ≠ 0, são chamados de números racionais. Além das frações propriamente 
ditas temos: 
● os números inteiros: 2 =
2
1
. 
●os números decimais exatos: 0,7 =
7
10
. 
● as dízimas periódicas: 0,333 … =
1
3
. 
As dízimas periódicas são números decimais que tem uma representação 
infinita (número infinito de casas decimais) e periódica (há algarismos que se 
repetem periodicamente). Estudaremos esses números detalhadamente em 
outra unidade. 
Junto com os números racionais, apareceram também os números irracionais, 
que são o oposto das dízimas periódicas, ou seja, são aqueles que têm uma 
representação decimal infinita e não periódica, que pode ser obtida por 
aproximações sucessivas. As raízes que não são exatas, tais como √2, √3 e 
alguns números famosos como 𝜋, fazem parte do Conjunto dos Números 
Irracionais que representamos da seguinte forma: 
ℝ − ℚ = {√2; √3; 𝜋; … } 
Reunindo os números racionais aos números irracionais, formamos o 
Conjunto dos Números Reais, que representamos pela letra ℝ. Dessa forma 
temos: 
ℝ = {… − 2; −1; −
1
3
; 0; 1; √2; 𝜋 … } 
Assim, todo número natural, inteiro, racional ou irracional também é real. 
Dentro do conjunto dos números reais, não temos solução para algumasexpressões. Por exemplo: √−9 =?. 
A solução dessa expressão não é um número real. Da mesma forma que 
ocorreu com os conjuntos anteriores, percebe-se mais uma vez a necessidade 
de ampliar um conjunto, desta vez o conjunto dos números reais. Para 
solucionar esse tipo de expressão foi criado outro tipo de número, a unidade 
imaginária representada pela letra 𝑖, tal que 𝑖2 = −1 ou 𝑖 = √−1. Dessa forma, 
ampliamos o conjunto dos números reais e surge assim o Conjunto dos 
Números Complexos representado pela letra ℂ. Temos então: 
ℂ = {… − 2; −1; −
1
3
; 0; 1; √2; 𝜋, 𝑖, 2𝑖, 3 + 𝑖 … } 
A expressão anterior passa a ter solução, ou seja, √−9 = 3𝑖. 
Os números complexos não serão abordados neste curso. 
Utilizando o diagrama de conjunto, representamos os conjuntos numéricos da 
seguinte maneira: 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; … } 
O conjunto dos números naturais é infinito e, por isso, utilizamos reticências. 
Podemos representar graficamente o conjunto ℕ em uma reta numérica, sobre 
a qual marcamos pontos equidistantes A, B, C, D, E..., a partir de uma origem 
O. 
A cada ponto marcado, fazemos corresponder, ordenadamente, um número 
natural. 
 O A B C E F 
 
Essa representação gráfica facilita a compreensão de alguns conceitos. 
● Todo número natural 𝑛 tem seu sucessor 𝑛 + 1. 
● O número natural que vem imediatamente antes de um número natural 
diferente de zero é chamado de antecessor. 
● Dois ou mais números naturais que se seguem são denominados 
consecutivos 
Exemplos: 
● O sucessor de 7 é 8; o sucessor de 𝑥 é 𝑥 + 1. 
● O antecessor de 5 é 4. 
● 5 e 6 são consecutivos; 10,11 e 12 são consecutivos. 
Considere o subconjunto de ℕ formado por todos os números naturais 
diferentes de zero, ou seja, ℕ − {0}. Este conjunto pode ser representado da 
seguinte forma: 
ℕ∗ = {1; 2; 3; 4; 5; … } 
Observe que o asterisco (∗) colocado junto ao símbolo representa um conjunto 
numérico no qual o zero foi excluído do mesmo. 
Números Pares e Números ímpares 
Perde-se no tempo a classificação dos números naturais em pares e ímpares. 
Na Grécia Antiga, essa classificação já aparece na Escola Pitagórica, por volta 
de 500 anos a.C., e com uma interpretação muito próxima da que utilizaremos 
como definição. De acordo com a concepção pitagórica, par é o número que 
pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio; 
e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque 
sempre há uma unidade no meio. 
O conjunto dos múltiplos naturais de 2, {0; 2; 4; 6; 8; . . } define uma categoria 
importante e muito antiga de números naturais: os números naturais pares. Um 
número natural n é dito par se n for um múltiplo de 22; assim temos 
formalmente a seguinte definição: 
 
Um número natural n é dito par se existir um número natural k de modo que 
n = 2k. Um número natural que não é par é chamado de ímpar. 
Dessa forma, temos: 
Conjunto dos números Pares = {0; 2; 4; 6; 8; . . } 
Conjunto dos números Ímpares = {1; 3; 5; 7; 9; … } 
 
Dizemos também que um número natural n é ímpar, se existir um k tal que 
n = 2.k + 1. 
Assim: 
2 é par pois 2 = 2.1 
3 é ímpar pois 3 = 2.1 + 1 
4 é par pois 4 = 2.2 
5 é ímpar pois 5 = 2.2 + 1 
Percebam que as formas n=2k e n=2k+1 mostram claramente as ideias 
pitagóricas de que “par é o número que pode ser dividido em duas partes 
iguais, sem que uma unidade fique no meio“, e “ímpar é o número que não 
pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no 
meio“. 
 
A caracterização dos números pares e dos números ímpares se estende para o 
conjunto dos números inteiros. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
ℤ = {… ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … } 
Na reta numérica, o conjunto ℤ pode ser representado na forma: 
 
Observamos na reta numérica que um número é sempre menor que aquele 
que está a sua direita: 
 
Dessa forma, temos: 
−4 < −1 ( −4 é menor que −1). 
−2 < 0 (−2 é menor que 0). 
−3 > 3 (−3 é maior que 3). 
Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor: 
O antecessor de −3 é −4. 
O sucessor de −2 é −1. 
Todo número inteiro possui um oposto ou simétrico ( em relação ao zero). 
Exemplos: 
O oposto de 1 é −1 
O oposto de −5 é +5 (ou apenas 5) 
O oposto de zero é o próprio zero. 
Exemplos de subconjuntos de ℤ indicados por uma propriedade característica 
de seus elementos: 
●𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ| 𝑥 > −4} 
A notação acima significa que A é o conjunto dos números inteiros maiores que 
−4, ou seja: 
𝐴 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; … } 
Observe que −4 está excluído desse conjunto. 
●𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ| 𝑥 ≥ −4} 
A notação acima significa que B é o conjunto dos números inteiros maiores ou 
iguais a −4, ou seja: 
𝐵 = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; … } 
Observe que −4 está incluído nesse conjunto. 
● 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ| 𝑥 < −4} 
A notação acima significa que C é o conjunto dos números inteiros menores 
que −4, ou seja: 
𝐶 = {… − 9; −8; −7; −6; −5} 
● 𝐷 = {𝑥 ∈ ℤ| − 4 < 𝑥 < 3} 
A notação −4 < 𝑥 < 3 significa que 𝑥 > −4 e, também, 𝑥 < 3, com 𝑥 ∈ ℤ. dessa 
forma, D é conjunto formado por todos os números inteiros entre −4 e 3, ou 
seja: 
𝐷 = {−3; −2; −1; 0; 1; 2} 
Observe que os números −4 e 3 não estão incluídos nesse conjunto. 
● 𝐸 = {𝑥 ∈ ℤ| − 4 ≤ 𝑥 < 3} 
Neste caso, E é o conjunto de todos os números entre −4 e 3,incluindo agora o 
−4, ou seja: 
𝐸 = {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2, } 
Outros importantes subconjuntos de ℤ: 
● Números inteiros não nulos: ℤ∗ = {… − 3; −2; −1; 1; 2; 3; … } 
● Números inteiros não negativos: ℤ+ = {0; 1; 2; 3; 4; … } 
● Números inteiros não positivos: ℤ_ = {… ; −4; −3; −2; −1; 0} 
● Números inteiros estritamente positivos: ℤ+
∗ = {1; 2; 3; 4; … } 
● Números inteiros estritamente negativos: ℤ−
∗ = {… ; −4; −3; −2; −1} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
ℚ = {… − 2; −1; −
1
3
; 0; 
2
5
; 1; 2; … } 
Como vimos anteriormente, os números racionais são números que podem ser 
expresso na forma 
𝑝
𝑞
, sendo 𝑝 e 𝑞 números inteiros e 𝑞 ≠ 0. São racionais os 
números fracionários, decimais que possuem representação finita, dízimas 
periódicas e os inteiros. Na reta numérica temos: 
 
 
● Todo número racional possui um oposto ou simétrico ( em relação ao zero). 
Exemplos: 
O oposto de 0,5 é −0,5. 
O oposto de −
4
5
 é 
4
5
. 
● Entre dois números racionais distintos sempre existe outro número racional. 
Por exemplo, entre 0 e 0,5 existe o número racional 0,25 ( que é a média 
aritmética entre 0 e 0,5, ou seja: 
 0,25 =
0+0,5
2
 
Entre 0,25 e 0,5 existe o número racional 0,375, que é a média aritmética entre 
o,25 e 0,25, ou seja: 
0,375 =
0,25+0,375
2
 
Continuando esse mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois 
números racionais distintos existem infinitos outros números racionais. Daí a 
impossibilidade de se escrever (um a um) todos os números racionais situados 
entre dois números racionais quaisquer. 
● Todo número racional não nulo possui inverso. 
Exemplo: 
O inverso de 
5
3
 é 
3
5
. 
O inverso de 7 é 
1
7
, pois 7 =
7
1
 
O inverso de −2,5 é−
2
5
, pois −2,5 = −
5
2
. 
O produto entre um número racional não nulo e seu inverso sempre é igual a 1. 
Destacamos alguns subconjuntos dentro de ℚ: 
● Números racionais não nulos: ℚ∗ = ℚ − {0} 
● Números racionais não negativos: ℚ+ 
●Números racionais não positivos: ℚ− 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Considere um quadrado de lado igual a 1. 
 
Vamos calcular a medida da diagonal desse quadrado aplicando o teorema de 
Pitágoras. Dessa forma temos: 
𝑑2 = 12 + 12 ⇒ 𝑑2 = 2 
Para determinar o valor de 𝑑 precisamos encontrar um número racional cujo 
quadrado seja igual a 2. 
Inicialmente, temos: 
12 = 1 
22 = 4 
Logo, 𝑑 está entre 1e 2 (1 < 𝑑 < 2). 
Vamos determinar a primeira casa decimal de 𝑑. 
(1,1)2 = 1,21 (1,2)2= 1,44 (1,3)2 = 1,69 (1,4)2 = 1,96 
(1,5)2 = 1,25 
 
Logo, 𝑑 está entre 1e 2 (1,4 < 𝑑 < 1,5). 
Então, 1,4 é o valor aproximado de 𝑑, por falta, com uma casa decimal. 
Utilizando o mesmo procedimento determinamos a segunda casa decimal de 𝑑. 
(1,41)2 = 1,9881 . 
(1,42)2 = 2,0164 
Logo, 𝑑 está entre 1e 2 (1,41 < 𝑑 < 1,42). 
Então, 1,41 é o valor aproximado de 𝑑, por falta, com duas casas decimais. 
Após mais algumas tentativas, perceberemos que a medida da diagonal 𝑑 está 
entre 1,414 e 1,415, ou seja: 
(1,414)2 = 1,999396 . 
(1,415)2 = 2,002225 . 
Assim, 1,414 é o valor aproximado de 𝑑, por falta, com três casas decimais. 
Se continuarmos repetindo esse processo, obteremos quantas casas decimais 
quisermos, mas encontraremos sempre um valor aproximado para 𝑑, por falta, 
pois esse valor elevado ao quadrado, é sempre um número menor que 2. 
Dessa forma, representamos o valor exato para medida do quadrado de lado 1 
por √2. 
√2 = 1,414213562 … 
Esse número tem uma infinidade de casas decimais que não apresentam 
padrão de repetição. Portanto, não é uma dízima periódica e, por isso, não 
pode ser escrito na forma de fração com inteiros com denominador diferente de 
zero. Logo, √2 não é um número racional. É um número irracional. 
Veja outros exemplos de números irracionais: 
√7 = 264575131 …. 
√6
3
= 1,817120592 … 
As raízes quadradas de números naturais que não são exatas, ou seja, de 
números naturais que não são quadrados perfeitos, são números irracionais. 
Exemplos: √2, √3, √5, √6, √10, √57, …. 
Na reta numérica temos: