06 TorcaoNaoCircular

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20/04/2018
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
Aula 06 – Torção
Torção em Barras de Seção Não-Circular e Barras de Paredes Esbeltas
Propriedades geométricas de superfícies planas;
- momento estático (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos estáticos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento estático;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
CCE0330 – Resistência dos Materiais II
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Flexão 
- tipos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas, 
módulo de resistência;
- material elasto-plástico perfeito;
- momento elástico máximo;
- momento último;
Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obtidas pela variação de 
momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
com seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
seções com seções compostas
- centro de cisalhamento
Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de Euler para diferentes condições de 
extremidade
- Determinação de carga crítica de colunas
Torção
- momento torsor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelásOco
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
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Introdução
As• formulações para determinação das tensões e distribuição das deformações
em barras circulares NÃO se aplicam aqui;
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Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
CIRCULAR
NÃO-CIRCULAR
as seções transversais permanecem 
planas após a deformação e mantém 
sua forma;
as seções transversais não se mantém 
planas, perdendo a forma inicial.
Torção em Barras de Seção Não-Circular
Em uma barra de seção transversal •
quadrada subme2da a uma torção:
Quando girada de 90 ˚ou 180 ˚mantém a mesma ü
aparência;
As suas diagonais bem como as linhas que ligam os ü
pontos médios dos lados se conservam retas;
Qualquer outra linha se deformarü á quando a barra for 
torcida, devido a falta de assimetria, e a própria seção 
transversal sairá do seu plano original.
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Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
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Torção em Barras de Seção Não-Circular
• Tensões cisalhantes são nulas nas faces deste 
elemento cúbico nos cantos;
• As maiores deformações, ou seja, as maiores 
tensões ocorrem ao longo do centro de cada uma 
das faces da barra.
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B
e
e
r 
&
 J
o
h
n
s
to
n
, 
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 M
a
te
ri
a
is
 ,
7
ª.
 E
d
Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
Torção em Barras de Seção Não-Circular
• Determinação das tensões obtidos pela Teoria da Elasticidade para barras 
retas com uma seção transversal retangular uniforme:
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Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
A tensão máxima de cisalhamento e o ângulo de •
torção são dados por:
!"#$ =
&
'()*
+
O ângulo de torção:•
∅ =
&-
'+)*
./
onde os coeficientes • '! e '", dados na tabela, dependem 
da relação a/b, G é o módulo de elasFcidade transversal.
A barra abaixo, tem comprimento L
e lados a e b (respectivamente lado 
maior e lado menor), está
submetida ao torque T; 
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Torção em Barras de Seção Não-Circular
• Coeficientes !" e !#que dependem da relação a/b:
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B
e
e
r 
&
 J
o
h
n
s
to
n
, 
M
e
c
â
n
ic
a
 d
o
s
 M
a
te
ri
a
is
 ,
7
ª.
 E
d
Torção em Barras de Seção Não-Circular
Para uma seção retangular temos:•
!"#$ =
&
'(#)
*
e ∅ =
&,
'*#)
-.
Para uma seção • quadrada:
Com ü /! = 0,208 e 4 = 5, temos: !"#$ =
%
&,(&).#.#+
!"#$ =
4,81. 9
4:
Com ü /( = 0,1406, temos: ∅ =
%,
&,!-&..#.#/0
∅ =
7,10. 9=
4>?
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Exemplo 01
Para uma barra de seção transversal retangular 
cheia, medindo 25 mm por 64 mm, subme8da a 
um carregamento torcional T = 414 Nm. 
Determine a tensão de cisalhamento máxima no 
centro da face maior da barra.
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!"#$ =
&
'()*
+
Exemplo 01 – Solução
Tensão cisalhante máxima retangular:•
!"#$ =
&
'()*
+
10
• C1
)
*
=
64
25
= 2,56
- Interpolação linear:
2 = 2! +
4 − 4!
4" − 4!
. 2" − 2! →
Logo → '! = 0,259
!#$% =
414
0,259×0,064×0,025"
!#$% = 39961389,96 >)
!#$% ≅ 40 MPa
2 = 0,258 +
2,56 − 2,5
3 − 2,5
. 0,267 − 0,258
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Exemplo 02
Para uma barra de seção transversal quadrada 
cheia, medindo 40 mm por 40 mm, a tensão de 
cisalhamento máxima no centro da face da barra 
é !"#$ = 37,56 Mpa.
Determine o carregamento torcional T ao qual a 
barra foi submetida.
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!"#$ =
/
012
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Exemplo 02 – Solução
Tensão cisalhante máxima quadrada:•
!"#$ =
&
'()
*
)
+
=
40
40
= 1,0 → '( = 0,208
!"#$ = 37,56 MPa
37,56×10; =
&
0,208×0,040*
& = 37,56×10;×0,208×0,040*
& ≅ 500 =.?
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Barras de Paredes Esbeltas
• No caso de eixos vazados não circulares de 
paredes finas, fazemos uma aproximação 
da distribuição de tensões no eixo.
• Considerando um componente vazado 
cilíndrico de seção não circular submetido a 
um carregamento torcional.
• Embora a espessura t possa variar ao longo 
da seção transversal, será considerado que 
ela permanece pequena comparada com as 
outras dimensões do componente.
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Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
Barras de Paredes Esbeltas
A tensão de cisalhamento em qualquer •
ponto de uma seção transversal de um 
componente vazado é paralela à parede da 
super9cie.
A tensão de cisalhamento é dado por:•
! =
#
$%&
Onde:•
'– → torque
)– → espessura da parede fina
*– → área limitada pela linha de centro da parede
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Beer & Johnston, Mecânica dos Materiais ,7ª. Ed
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Exemplo 3
Uma barra de alumínio de seção transversal vazada retangular 
que mede 64 mm x 100 mm foi fabricada por extrusão. Determine 
a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes da 
barra quando ela é subme?da a um torque de 2,7 kN.m.
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Exemplo 3 – Solução
Área limitada pela linha de centro: •
! = 100 − 4 64 − 4
! = 96×60 = 5760 ,,-
Tensão de cisalhamento:•
. =
/
21!
. =
2,7×103
2×(0,004)×(5760×1067)
. = 58,6 9:;
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Exemplo 4
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Uma barra de alumínio de seção transversal vazada retangular que mede 64 
mm x 100 mm foi fabricada por extrusão. Supondo que como resultado de um 
defeito de fabricação, as paredes AB e AC têm espessura de 3 mm, e as paredes 
BD e CD têm espessura de 5 mm. Determine a tensão de cisalhamento em cada 
uma das quatro paredes da barra quando ela é submeDda a um torque de 2,7 
kN.m.
Exemplo 4 – Solução
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Área limitada pela linha de centro: •
! = 100 − 4 64 − 4
! = 96×60 = 5760 ,,-
Tensão de cisalhamento nas paredes:•
. =
/
-01
.12 = .13 e .34 = .24
.12 = .13 =
2,7×107
2×(0,003)×(5760×10;<)
= 78,1 >?@
.34 = .24 =
2,7×107
2×(0,005)×(5760×10;<)
= 46,9 >?@