1EE Calculo 1 Resolucao - Cálculo Diferencial e Integral I - UFPE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
RESOLUC¸A˜O DO PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR DE CA´LCULO 1
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2007 – 28 DE MAIO DE 2007
1aQuesta˜o: (3 pontos) Calcule os limites abaixo usando as propriedades de limite vistas em sala. Justi-
fique suas respostas.
(a) lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 . Resoluc¸a˜o: x
2 + x− 6 = (x− 2)(x+ 3) e x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2), assim:
lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 = limx→2
x+ 3
x+ 2
=
limx→2(x+ 3)
limx→2(x+ 2)
=
5
4
. Resposta: lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 =
5
4
(b) lim
x→1+
1 + x2
1− x2 . Resoluc¸a˜o: Se x→ 1
+ temos 1 + x2 → 2 e 1− x2 → 0−, pois x > 1, assim:
Resposta: lim
x→1+
1 + x2
1− x2 = −∞ .
(c) lim
x→0
senx
tg 2x
. Resoluc¸a˜o:
senx
tg 2x
=
senx
2x
· 2x
tg 2x
. Usando o limite fundamental lim
x→0
senx
x
= 1 e
tgx =
senx
cosx
temos: lim
x→0
senx
tg 2x
= lim
x→0
senx
2x
· lim
x→0
2x
sen 2x
· lim
x→0
cos 2x =
1
2
Resposta: lim
x→0
senx
tg 2x
=
1
2
(d) lim
x→0+
3
√
x cos
(
1
x
)
. Resoluc¸a˜o: −1 ≤ cos θ ≤ 1, para x > 0 temos − 3√x ≤ 3√x cos 1
x
≤ 3√x.
Como lim
x→0+
− 3√x = lim
x→0+
3
√
x = 0, o Teorema do Confronto garante que Resposta: lim
x→0+
3
√
x cos
(
1
x
)
= 0
2aQuesta˜o: (3 pontos) Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule a derivada de cada uma das seguintes
func¸o˜es:
a) f(x) =
1 + secx
x3 + 1
. Resoluc¸a˜o: f ′(x) =
(1 + secx)′(x3 + 1)− (1 + secx)(x3 + 1)′
(x3 + 1)2
Resposta: f ′(x) =
secx tgx(x3 + 1)− (1 + secx)3x2
(x3 + 1)2
b) g(x) = (3senx− cosx) e3x Resoluc¸a˜o: g′(x) = (3senx− cosx)′ e3x + (3senx− cosx) (e3x)′
g′(x) = (3 cosx+ senx) e3x + (3senx− cosx) 3e3x Resposta: g′(x) = 10 senx e3x
c) h(x) = ln(x6 + 4x5 − 3x2) Resoluc¸a˜o: h′(x) =
(
x6 + 4x5 − 3x2)′
x6 + 4x5 − 3x2 =
6x5 + 20x4 − 6x
x6 + 4x5 − 3x2
Resposta: h′(x) =
6x4 + 20x3 − 6
x5 + 4x4 − 3x
3aQuesta˜o: (1 ponto) Utilizando a definic¸a˜o de derivada (sem usar as regras de derivac¸a˜o), calcule a
derivada da func¸a˜o f(x) =
1
x
− 3x, para x 6= 0.
Resoluc¸a˜o: y = f(x); ∆y = f(x+∆x)− f(x) = 1
x+∆x
− 3(x+∆x)−
(
1
x
− 3x
)
∆y =
1
x+∆x
− 1
x
− 3∆x = −∆x
(x+∆x)x
− 3∆x ∴ ∆y
∆x
=
−1
(x+∆x)x
− 3, logo
f ′(x) = y′ = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
−1
(x+∆x)x
− 3 = − 1
x2
− 3
Resposta: f ′(x) = − 1
x2
− 3
4aQuesta˜o: (3 pontos) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a`s curvas dadas nos pontos especificados.
a) y = 2x+
√
x , (x0, y0), com x0 = 14 ;
Resoluc¸a˜o: y′(x) = 2 +
1
2
√
x
, o coeficiente da reta tangente e´ y′(x0) = y′(1/4) = 3 e
(x0, y0) = (1/4, y(1/4)) = (1/4, 1) e´ um ponto da reta, de fato, o ponto de tangeˆncia.
Equac¸a˜o da reta tangente:
∆y
∆x
=
y − y0
x− x0 = y
′(x0) =
y − 1
x− 14
= 3⇒ y = 3x+ 1
4
Resposta: y = 3x+
1
4
b) x3 − 2xy2 + y3 = 1 , (x0, y0) = (1, 2).
Resoluc¸a˜o: Para calcular y′ usamos derivac¸a˜o implicita.(
x3 − 2xy2 + y3 = 1)′ = (1)′ ∴ 3x2 − 2y2 − 4xyy′ + 3y2y′ = 0 ∴ (3y2 − 4xy)y′ = 2y2 − 3x2;
y′ =
2y2 − 3x2
3y2 − 4xy , no ponto de tangeˆncia (x0, y0) = (1, 2) temos y
′ =
8− 3
12− 8 =
5
4
;
Equac¸a˜o da reta tangente:
∆y
∆x
=
y − y0
x− x0 =
y − 2
x− 1 =
5
4
⇒ y = 5
4
x+
3
4
Resposta: y =
5
4
x+
3
4