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Noc¸o˜es Ba´sicas de Probabilidade.
Charmilla Freire
Instituto de Matema´tica Pura e Aplicada-IMPA
Programa de Iniciac¸a˜o Cient´ıfica Junior-PIC
Sobral-Ce 29 de Maio de 2018
1 / 15
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
2 PROBLEMAS
2 / 15
Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
2 PROBLEMAS
3 / 15
Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Probabilidade
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuic¸a˜o humana para
estudar os fenoˆmenos. Para isso, vamos utilizar o princ´ıpio ba´sico do
aprendizado humano que e´ a ideia de experimento.
DETERMINI´STICOS
Sa˜o experimentos na˜o aleato´rios,ou seja, sa˜o fenoˆmenos em que o
resultado e´ sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta forma,
nada temos a fazer. Ex: a´gua ferve a 100oC ;
PROBABIL´ISTICOS
Quando um experimento e´ repetido inu´meras vezes, com condic¸o˜es
inalteradas, e na˜o somos capazes de prever o resultado encontrado.
Ex: O resultado do lanc¸amento de um dado, na˜o posso a priori saber
o resultado que ira´ acontecer;
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Probabilidade
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuic¸a˜o humana para
estudar os fenoˆmenos. Para isso, vamos utilizar o princ´ıpio ba´sico do
aprendizado humano que e´ a ideia de experimento.
DETERMINI´STICOS
Sa˜o experimentos na˜o aleato´rios,ou seja, sa˜o fenoˆmenos em que o
resultado e´ sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta forma,
nada temos a fazer. Ex: a´gua ferve a 100oC ;
PROBABIL´ISTICOS
Quando um experimento e´ repetido inu´meras vezes, com condic¸o˜es
inalteradas, e na˜o somos capazes de prever o resultado encontrado.
Ex: O resultado do lanc¸amento de um dado, na˜o posso a priori saber
o resultado que ira´ acontecer;
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Probabilidade
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuic¸a˜o humana para
estudar os fenoˆmenos. Para isso, vamos utilizar o princ´ıpio ba´sico do
aprendizado humano que e´ a ideia de experimento.
DETERMINI´STICOS
Sa˜o experimentos na˜o aleato´rios,ou seja, sa˜o fenoˆmenos em que o
resultado e´ sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta forma,
nada temos a fazer. Ex: a´gua ferve a 100oC ;
PROBABIL´ISTICOS
Quando um experimento e´ repetido inu´meras vezes, com condic¸o˜es
inalteradas, e na˜o somos capazes de prever o resultado encontrado.
Ex: O resultado do lanc¸amento de um dado, na˜o posso a priori saber
o resultado que ira´ acontecer;
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Probabilidade
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuic¸a˜o humana para
estudar os fenoˆmenos. Para isso, vamos utilizar o princ´ıpio ba´sico do
aprendizado humano que e´ a ideia de experimento.
DETERMINI´STICOS
Sa˜o experimentos na˜o aleato´rios,ou seja, sa˜o fenoˆmenos em que o
resultado e´ sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta forma,
nada temos a fazer. Ex: a´gua ferve a 100oC ;
PROBABIL´ISTICOS
Quando um experimento e´ repetido inu´meras vezes, com condic¸o˜es
inalteradas, e na˜o somos capazes de prever o resultado encontrado.
Ex: O resultado do lanc¸amento de um dado, na˜o posso a priori saber
o resultado que ira´ acontecer;
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Probabilidade
A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuic¸a˜o humana para
estudar os fenoˆmenos. Para isso, vamos utilizar o princ´ıpio ba´sico do
aprendizado humano que e´ a ideia de experimento.
DETERMINI´STICOS
Sa˜o experimentos na˜o aleato´rios,ou seja, sa˜o fenoˆmenos em que o
resultado e´ sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta forma,
nada temos a fazer. Ex: a´gua ferve a 100oC ;
PROBABIL´ISTICOS
Quando um experimento e´ repetido inu´meras vezes, com condic¸o˜es
inalteradas, e na˜o somos capazes de prever o resultado encontrado.
Ex: O resultado do lanc¸amento de um dado, na˜o posso a priori saber
o resultado que ira´ acontecer;
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
A Probabilidade mede a frequeˆncia com que se obte´m um resultado
em oportunidade da realizac¸a˜o de um experimento sobre o qual se
conhecem todos os resultados poss´ıveis grac¸as a`s condic¸o˜es de
estabilidade que o contexto estabelece com antecedeˆncia.
CARACTER´ITICAS
Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente, contanto que
mantidas as mesmas condic¸o˜es;
Embora na˜o sejamos capazes de prever o resultado, conhecemos
todos os resultados poss´ıveis;
Repetindo-se o experimento um ”grande” nu´meros de vezes uma
regularidade surgira´; Uma das principais aplicac¸o˜es das te´cnicas de
contagem e´ a resoluc¸a˜o de problemas simples de Probabilidade.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
A Probabilidade mede a frequeˆncia com que se obte´m um resultado
em oportunidade da realizac¸a˜o de um experimento sobre o qual se
conhecem todos os resultados poss´ıveis grac¸as a`s condic¸o˜es de
estabilidade que o contexto estabelece com antecedeˆncia.
CARACTER´ITICAS
Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente, contanto que
mantidas as mesmas condic¸o˜es;
Embora na˜o sejamos capazes de prever o resultado, conhecemos
todos os resultados poss´ıveis;
Repetindo-se o experimento um ”grande” nu´meros de vezes uma
regularidade surgira´; Uma das principais aplicac¸o˜es das te´cnicas de
contagem e´ a resoluc¸a˜o de problemas simples de Probabilidade.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
A Probabilidade mede a frequeˆncia com que se obte´m um resultado
em oportunidade da realizac¸a˜o de um experimento sobre o qual se
conhecem todos os resultados poss´ıveis grac¸as a`s condic¸o˜es de
estabilidade que o contexto estabelece com antecedeˆncia.
CARACTER´ITICAS
Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente, contanto que
mantidas as mesmas condic¸o˜es;
Embora na˜o sejamos capazes de prever o resultado, conhecemos
todos os resultados poss´ıveis;
Repetindo-se o experimento um ”grande” nu´meros de vezes uma
regularidade surgira´; Uma das principais aplicac¸o˜es das te´cnicas de
contagem e´ a resoluc¸a˜o de problemas simples de Probabilidade.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
A Probabilidade mede a frequeˆncia com que se obte´m um resultado
em oportunidade da realizac¸a˜o de um experimento sobre o qual se
conhecem todos os resultados poss´ıveis grac¸as a`s condic¸o˜es de
estabilidade que o contexto estabelece com antecedeˆncia.
CARACTER´ITICAS
Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente, contanto que
mantidas as mesmas condic¸o˜es;
Embora na˜o sejamos capazes de prever o resultado, conhecemos
todos os resultados poss´ıveis;
Repetindo-se o experimento um ”grande” nu´meros de vezes uma
regularidade surgira´; Uma das principais aplicac¸o˜es das te´cnicas de
contagem e´ a resoluc¸a˜o de problemas simples de Probabilidade.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
A Probabilidade mede a frequeˆncia com que se obte´m um resultado
em oportunidade da realizac¸a˜o de um experimento sobre o qual se
conhecem todos os resultados poss´ıveis grac¸as a`s condic¸o˜es de
estabilidade que o contexto estabelece com antecedeˆncia.
CARACTER´ITICAS
Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente, contanto que
mantidas as mesmas condic¸o˜es;
Embora na˜o sejamos capazes de prever o resultado, conhecemos
todos os resultados poss´ıveis;
Repetindo-se o experimento um ”grande” nu´meros de vezes uma
regularidade surgira´; Uma das principais aplicac¸o˜es das te´cnicas de
contagem e´ a resoluc¸a˜o de problemas simples de Probabilidade.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Exemplo
Uma moeda equilibrada e´ jogada 3 vezes. Qual a probabilidade de
ocorrer 3 coroas? e 2 caras e 1 coroa?
SOLUC¸A˜O
k-coroa e c-cara, temos
kkk ,kkc , kck , kcc , ckk , ckc , cck , ccc
ccc,
1
8
kcc , ckc , cck ,
3
8
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Exemplo
Uma moeda equilibrada e´ jogada 3 vezes. Qual a probabilidade de
ocorrer 3 coroas? e 2 caras e 1 coroa?
SOLUC¸A˜O
k-coroa e c-cara, temos
kkk , kkc , kck , kcc , ckk , ckc , cck , ccc
ccc,
1
8
kcc , ckc , cck ,
3
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Exemplo
Uma moeda equilibrada e´ jogada 3 vezes. Qual a probabilidade de
ocorrer 3 coroas? e 2 caras e 1 coroa?
SOLUC¸A˜O
k-coroa e c-cara, temos
kkk , kkc , kck , kcc , ckk , ckc , cck , ccc
ccc,
1
8
kcc , ckc , cck ,
3
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Exemplo
Uma moeda equilibrada e´ jogada 3 vezes. Qual a probabilidade de
ocorrer 3 coroas? e 2 caras e 1 coroa?
SOLUC¸A˜O
k-coroa e c-cara, temos
kkk , kkc , kck , kcc , ckk , ckc , cck , ccc
ccc,
1
8
kcc , ckc , cck ,
3
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
Exemplo
Uma moeda equilibrada e´ jogada 3 vezes. Qual a probabilidade de
ocorrer 3 coroas? e 2 caras e 1 coroa?
SOLUC¸A˜O
k-coroa e c-cara, temos
kkk , kkc , kck , kcc , ckk , ckc , cck , ccc
ccc,
1
8
kcc , ckc , cck ,
3
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
ESPAC¸O AMOSTRAL
Conjunto formado por todos os resultados poss´ıveis.
EVENTO
Um subconjunto do espac¸o amostral.
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Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
ESPAC¸O AMOSTRAL
Conjunto formado por todos os resultados poss´ıveis.
EVENTO
Um subconjunto do espac¸o amostral.
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PROBLEMAS
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o ao Estudo de Probabilidade
2 PROBLEMAS
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PROBLEMAS
EXERC´ICIO 1
Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de voˆlei
em que:
• Cada time joga contra cada um dos outros uma u´nica vez;
• Qualquer partida termina com a vito´ria de um dos times;
• Em qualquer partida, os times teˆm a mesma probabilidade de ganhar;
• Ao final do torneio, os times sa˜o classificados em ordem pelo nu´mero de
vito´rias.
a) E´ poss´ıvel que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo
nu´mero de vito´rias? Por queˆ?
b) Qual e´ a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba
isolado em primeiro lugar?
c) Qual e´ a probabilidade de que o torneio termine com treˆs times
empatados em primeiro lugar?
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
a) Ao todo teremo 6 jogos.
(A,B), (A,C ), (A,D)
(B,C ), (B,D)
(C ,D)
A partir da´ı e´ poss´ıvel concluir que teremos 6 vito´rias, como temos 4
times na˜o e´ poss´ıvel distribuir igualmente o nu´mero de vito´rias para
cada time. Logo na˜o e´ poss´ıvel.
b) ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve
ganhar todas as suas partidas.
EVENTO
G
(
G
(
G
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
1× 1× 1× 2× 2× 2 = 8
8
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
a) Ao todo teremo 6 jogos.
(A,B), (A,C ), (A,D)
(B,C ), (B,D)
(C ,D)
A partir da´ı e´ poss´ıvel concluir que teremos 6 vito´rias, como temos 4
times na˜o e´ poss´ıvel distribuir igualmente o nu´mero de vito´rias para
cada time. Logo na˜o e´ poss´ıvel.
b) ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve
ganhar todas as suas partidas.
EVENTO
G
(
G
(
G
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
1× 1× 1× 2× 2× 2 = 8
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
a) Ao todo teremo 6 jogos.
(A,B), (A,C ), (A,D)
(B,C ), (B,D)
(C ,D)
A partir da´ı e´ poss´ıvel concluir que teremos 6 vito´rias, como temos 4
times na˜o e´ poss´ıvel distribuir igualmente o nu´mero de vito´rias para
cada time. Logo na˜o e´ poss´ıvel.
b) ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve
ganhar todas as suas partidas.
EVENTO
G
(
G
(
G
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
1× 1× 1× 2× 2× 2 = 8
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
a) Ao todo teremo 6 jogos.
(A,B), (A,C ), (A,D)
(B,C ), (B,D)
(C ,D)
A partir da´ı e´ poss´ıvel concluir que teremos 6 vito´rias, como temos 4
times na˜o e´ poss´ıvel distribuir igualmente o nu´mero de vito´rias para
cada time. Logo na˜o e´ poss´ıvel.
b) ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
Para que o Quixajuba termine isolado em primeiro lugar, ele deve
ganhar todas as suas partidas.
EVENTO
G
(
G
(
G
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
1× 1× 1× 2× 2× 2 = 8
8
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PROBLEMAS
C) EVENTO
Suponhamos que os times sejam A,B,CeD e que o torneio termine
com D isolado em u´ltimo lugar. Enta˜o D perdeu todas suas partidas;
Logo A, B e C dividem entre si as seis vito´rias, ou seja, cada um deles
ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros.
Pode ocorrer o seguinte:
A− (G )− B ou B − (G )− A e A− (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
B − (G )− C ou C − (G )− B e B − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
C − (G )− A ou B − (G )− A e C − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
Logo: 2× 2× 2× = 8
ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
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PROBLEMAS
C) EVENTO
Suponhamos que os times sejam A,B,CeD e que o torneio termine
com D isolado em u´ltimo lugar. Enta˜o D perdeu todas suas partidas;
Logo A, B e C dividem entre si as seis vito´rias, ou seja, cada um deles
ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros.
Pode ocorrer o seguinte:
A− (G )− B ou B − (G )− A e A− (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
B − (G )− C ou C − (G )− B e B − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
C − (G )− A ou B − (G )− A e C − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
Logo: 2× 2× 2× = 8
ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
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PROBLEMAS
C) EVENTO
Suponhamos que os times sejam A,B,CeD e que o torneio termine
com D isolado em u´ltimo lugar. Enta˜o D perdeu todas suas partidas;
Logo A, B e C dividem entre si as seis vito´rias, ou seja, cada um deles
ganhou duas vezes; uma contra D e uma contra um dos outros.
Pode ocorrer o seguinte:
A− (G )− B ou B − (G )− A e A− (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
B − (G )− C ou C − (G )− B e B − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
C − (G )− A ou B − (G )− A e C − (G )− D → (1 + 1)× 1 = 2
Logo: 2× 2× 2× = 8
ESPAC¸O AMOSTRAL
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
g/p
(
2× 2× 2× 2× 2× 2 = 64
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PROBLEMAS
EXERC´ICIO 2
Observe na Figura 1 que a planificac¸a˜o a esquerda gera o dado a` direita.
Logo, a planificac¸a˜o da Figura 2 ira´ gerar um dado com os respectivos
s´ımbolos apresentados em suas faces. Se jogarmos esse dado duas vezes
no cha˜o e observarmos o que apareceu na face superior, enta˜o determine
qual e´ a probabilidade de obtermos dois resultados iguais.
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
Podemos obter dois s´ımbolos iguais das seguintes formas:
• 2 quadrados cinzas de 3× 3 = 9 formas;
• 2 c´ırculos brancos de 2× 2 = 4 formas;
• 2 c´ırculos pretos de 1× 1 = 1 forma.
Isso totaliza 9 + 4 + 1 = 14 formas de obter 2 s´ımbolos iguais. O nu´mero
total de casos poss´ıveis e´ 6× 6 = 36, logo a probabilidade de obter dois
s´ımbolos iguais e´
14
36
=
7
18
.
13 / 15
PROBLEMAS
EXERC´ICIOS 3
Andre´, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre si. Para isto,
colocam 3 bolas brancas e 1 preta em uma caixa e combinam que, em
ordem alfabe´tica de seus nomes, cada um tirara´ uma bola, sem devolveˆ-la
a caixa. Aquele que tirar a bola preta ganhara´ o livro.
a) Qual e´ a probabilidade de que Andre´ ganhe o livro?
b) Qual e´ a probabilidadede que Dalva ganhe o livro?
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PROBLEMAS
RESOLUC¸A˜O
a)
1
4
b)
Para Dalva ganhar o livro, Andre´, Bianca e Carlos devem retirar bola
brancas. Como inicialmente a caixa conte´m 3 bolas brancas, a
probabilidade de Andre´ retirar uma bola branca e´ 3/4. Supondo que Andre´
tire uma bola branca, sobrara˜o na caixa 2 bolas brancas e 1 preta; assim, a
probabilidade de Bianca tirar uma bola branca e´ 2/3 . Do mesmo modo,
se Andre´ e Bianca tirarem bolas brancas, a probabilidade de Carlos tirar
uma bola branca sera´ 1/2 . Assim, a probabilidade de Andre´, Carlos e
Bianca tirarem bolas brancas e´ 3/4× 2/3× 1/2 = 1/4 , que e´ a
probabilidade de Dalva ganhar o livro.
Racioc´ınio semelhante mostra que a probabilidade de qualquer um dos
amigos ganhar o livro e´ 1/4, ou seja, o sorteio e´ justo e a ordem em que
eles retiram as bolas na˜o tem importaˆncia.
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