Gabarito da Tarefa 2 administracao 2bi 2018 1

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Econômicas 
Matemática para Administração 
 Prof. Anderson Tres 
 
 
 
Gabarito da Tarefa 2 – Módulo 2 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Sabendo que a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 passa pelos pontos A(-2, 3) e B(4, 1): 
 
a) Determine o valor de “𝑎” (coeficiente angular) e “𝑏” (coeficiente linear). 
 
Solução: Como (-2, 3) é um ponto da reta, substituímos x por -2 e y por 3 na equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 3 = 𝑎(−2) + 𝑏 → −2𝑎 + 𝑏 = 3 
Como (4, 1) é um ponto da reta, substituímos x por 4 e y por 1 na equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 1= 𝑎(4) + 𝑏 → 4𝑎 + 𝑏 = 1 
Assim, temos o seguinte sistema: 
 {
−2𝑎 + 𝑏 = 3
4𝑎 + 𝑏 = 1
 
Subtraindo as duas equações, vamos ter: 
 −6𝑎 + 0 = 2 → 𝑎 =
2
−6
= −
1
3
. 
Substituindo a= −
1
3
 em qualquer uma das duas equações, por exemplo, 4𝑎 + 𝑏 = 1, vamos ter:
 −
4
3
+ 𝑏 = 1 → 𝑏 = 1 +
4
3
=
7
3
 
Logo, 𝑎 = −
1
3
 e 𝑏 =
7
3
, e a função é dada por: 𝑦 = −
𝑥
3
 +
7
3
. 
 
(b) Faça o gráfico desta função (faça pelo menos no intervalo de x=-2 até x=2.) 
 
 
 
 
 
x 
𝑦 = −
𝑥
3
 +
7
3
 
-2 3 
-1 8/3 
0 7/3 
1 2 
2 5/3 
3 4/3 
4 1 
 
 
 
 
c) Explique se a função é crescente ou decrescente. 
A função é decrescente pois 𝑎 = −
1
3
 < 0 (negativo). 
d) Determine o valor de y para x = - 3 
𝑦 = −
(−3)
3
+
7
3
=
3
3
+
7
3
=
10
3
. 
e) Determine o valor de x para y = - 5 
−5 = −
𝑥
3
+
7
3
→ −15 = −𝑥 + 7 → 𝑥 = 22. 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Uma fábrica de equipamentos eletrônicos está colocando um novo produto no mercado. Durante o 
primeiro ano, o custo fixo para iniciar a nova produção é de R$ 300.600,00 e o custo variável para 
produzir cada unidade é de R$ 35,00. Durante o primeiro ano o preço de venda é de R$ 80, 00 por 
unidade. 
 
(a) Expressar o custo C, a receita R e o lucro L do primeiro ano como função de x unidades. 
 
Sabemos que o custo é dado por 𝐶 = 𝐶𝑓 + 𝐶𝑣, onde 𝐶𝑓 representa o custo fixo e 𝐶𝑣 o custo 
variável. Como a fábrica tem uma despesa fixa mensal de R$ 300.600,00, então 𝐶𝑓 = 300600. 
Ainda, a fábrica tem um custo de produção de R$ 35,00 por unidade produzida, logo 𝐶𝑣 = 35𝑥. 
Assim, o 
custo é dado por: 
𝐶 = 𝐶𝑓 + 𝐶𝑣 
𝐶(𝑥) = 35𝑥 + 300600 
 
A função receita é dada por R(x) = p.x, logo, 𝑅(𝑥) = 80𝑥. 
 
Como o lucro é dado por 𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥), temos que 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 80𝑥 − (35𝑥 + 300600) = 80𝑥 − 35𝑥 − 300600 
= 45𝑥 − 300600. 
 
 
(b) Determinar o lucro do primeiro ano, se 23000 unidades foram vendidas. 
 
Para x=23000, temos 𝐿(23000) = 45. (23000) − 300600 = 1035000 − 300600 = 734400. 
Logo o vendedor teve um lucro de R$ 734400,00. 
 
 
(c) Determinar quantas unidades precisam ser vendidas durante o primeiro ano para que a fábrica 
não tenha lucro e nem prejuízo? 
 
Para que a fábrica não tenha nem lucro e nem prejuízo, o lucro deve ser zero, ou seja, 𝐿 = 0. 
Substituindo na função lucro temos que 
0 = 45𝑥 − 300600 → 45𝑥 = 300600 → 𝑥 =
300600
45
→ 𝑥 = 6680 
Logo, a fábrica deve vender 6680 unidades do produto para que não tenha lucro e nem prejuízo. 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
De acordo com fontes industriais, o faturamento de vendas por telefone de uma certa empresa ao 
longo dos anos desde a sua criação pode ser aproximado pela função: 
𝑦 = −𝑥2 + 18𝑥 + 49 
onde 𝑦 representa o faturamento em bilhões de dólares e 𝑥 é medido em anos, com 𝑥 = 0 
correspondendo ao início de 1990, x=1 correspondendo ao início de 1991, e assim por diante. 
(a) Qual foi o faturamento no início do ano 1993? 
Se 1990 corresponde a 𝑥 = 0, temos que 1993 corresponde a 𝑥 = 3, logo 
 𝑦 = −(3)2 + 18(3) + 49 = −9 + 54 + 49 = 94 bilhões de dólares. 
(b) No período entre 1990 e 2010, em que ano o faturamento foi de 30 bilhões de dólares? 
Temos que achar o valor de x para o qual y=30, e assim, tem que resolver a equação do 2º grau: 
30 = −𝑥2 + 18𝑥 + 49 → 𝑥2 − 18𝑥 − 19 = 0 → 𝑥 =
−(−18) ± √182 − 4. (1). (−19)
2. (1)
 
𝑥 =
18 ± √324 + 76
2
=
18 ± 20
2
→ 𝑥′ =
38
2
= 19, 𝑥′′ = −
2
2
= −1. 
Como x é o tempo contado positivo a partir de x=0, quando era o ano de 1990, então a resposta é 
x=19, e portanto, no ano 1990+19 = 2009. 
(c) No período entre 1990 e 2010, em que ano o faturamento foi máximo? E qual foi este 
faturamento máximo em bilhões de dólares? 
O máximo ocorre no ponto em que a parábola para de crescer e começa a decrescer que é no 
vértice. Logo, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−18
2(−1)
=
18
2
= 9. 
 
Ou seja, após 9 anos a contar de 1990, ou seja, no ano de 1999. O faturamento máximo foi de: 
𝑦 = −(9)2 + 18(9) + 49 = −81 + 162 + 49 = 130 bilhões de dólares. 
 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Para uma pequena empresa de fabricação têxtil, o preço de uma jaqueta varia de acordo com a 
função p = -3x + 162, onde x é o número de jaquetas e p é o preço (em reais) de cada jaqueta 
vendida. Sabendo que o custo para a produção e comercialização de x jaquetas é dado por 
C(x) = 6x + 576, determine: 
 
(a) A função receita. 
A função receita é dada por R(x) = p.x, logo, 𝑅(𝑥) = (−3𝑥 + 162). 𝑥 = −3𝑥2 + 162𝑥 
(b) A função lucro. 
𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = −3𝑥2 + 162𝑥 − (6𝑥 + 576) = −3𝑥2 + 162𝑥 − 6𝑥 − 576 
= −3𝑥2 + 156𝑥 − 576. 
(c) A quantidade de jaquetas vendidas para que o lucro seja máximo. 
O máximo ocorre no ponto em que a parábola para de crescer e começa a decrescer que é no 
vértice. Logo, 
𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
=
−156
2(−3)
=
156
6
= 26. 
Ou seja, a quantidade de jaquetas para que o lucro seja máximo é de 26 jaquetas. 
(d) Indique o vértice da parábola, e as raízes onde o gráfico intercepta o eixo x. 
Para o vértice, temos que x=26 jaquetas, e 𝐿 = −3(26)2 + 156. (26) − 576 = 1452 reais. 
As raízes são os valores de x para os quais a função é igual a zero. Assim temos que: 
−3𝑥2 + 156𝑥 − 576 = 0 → → 𝑥 =
−(156) ± √1562 − 4. (−3). (−576)
2. (−3)
 
𝑥 =
−156 ± √17424
−6
=
−156 ± 132
−6
→ 𝑥′ =
−288
−6
= 48, 𝑥′′ =
−24
−6
= 4 
As raízes são 4 e 48. 
 
Esboço: 
 
(e) O intervalo em que o lucro cresce. 
O lucro é crescente no intervalo [0, 26].