Fisica 1 Cap9

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·1	Uma	partícula	de	2,00	kg	 tem	coordenadas	xy	 (−1,20	m,	0,500	m),	 e	 uma	partícula	de	4,00	kg	 tem
coordenadas	xy	(0,600	m,	−0,750	m).	Ambas	estão	em	um	plano	horizontal.	Em	que	coordenada	(a)	x	e
(b)	y	deve	ser	posicionada	uma	terceira	partícula	de	3,00	kg	para	que	o	centro	de	massa	do	sistema	de
três	partículas	tenha	coordenadas	(−0,500	m,	−0,700	m)?
 
(a) The x coordinate of the system’s center of mass is: 
 
( )( ) ( ) 31 1 2 2 3 3
com
1 2 3
(2.00 kg)( 1.20 m) 4.00 kg 0.600 m 3.00 kg
2.00 kg 4.00 kg 3.00 kg
0.500 m.
xm x m x m xx
m m m
− + ++ += =+ + + +
= −
 
 
Solving the equation yields x3 = –1.50 m. 
 
(b) The y coordinate of the system’s center of mass is: 
 
( )( ) ( ) 31 1 2 2 3 3
com
1 2 3
(2.00 kg)(0.500 m) 4.00 kg 0.750 m 3.00 kg
2.00 kg 4.00 kg 3.00 kg
0.700 m.
ym y m y m yy
m m m
+ − ++ += =+ + + +
= −
 
 
Solving the equation yields y3 = –1.43 m. 
·2	A	Fig.	9-35	mostra	um	sistema	de	três	partículas	de	massas	m1	=	3,0	kg,	m2	=	4,0	kg	e	m3	=	8,0	kg.	As
escalas	do	gráfico	são	definidas	por	xs	=	2,0	m	e	ys	=	2,0	m.	Qual	é	(a)	a	coordenada	x	e	(b)	qual	é	a
coordenada	y	 do	 centro	 de	massa	 do	 sistema?	 (c)	Se	m3	 aumenta	 gradualmente,	 o	 centro	 de	massa	 do
sistema	se	aproxima	de	m3,	se	afasta	de	m3,	ou	permanece	onde	está?
Figura	9-35 	Problema	2.
2. Our notation is as follows: x1 = 0 and y1 = 0 are the coordinates of the m1 = 3.0 kg 
particle; x2 = 2.0 m and y2 = 1.0 m are the coordinates of the m2 = 4.0 kg particle; and x3 = 
1.0 m and y3 = 2.0 m are the coordinates of the m3 = 8.0 kg particle. 
 
(a) The x coordinate of the center of mass is 
 ( )( ) ( )( )1 1 2 2 3 3
com
1 2 3
0 4.0 kg 2.0 m 8.0 kg 1.0 m
1.1 m.
3.0 kg 4.0 kg 8.0 kg
m x m x m xx
m m m
+ ++ += = =+ + + + 
 
(b) The y coordinate of the center of mass is 
 
( )( ) ( )( )1 1 2 2 3 3
com
1 2 3
0 4.0 kg 1.0 m 8.0 kg 2.0 m
1.3 m.
3.0 kg 4.0 kg 8.0 kg
m y m y m yy
m m m
+ ++ += = =+ + + + 
 
(c) As the mass of m3, the topmost particle, is increased, the center of mass shifts toward 
that particle. As we approach the limit where m3 is infinitely more massive than the 
others, the center of mass becomes infinitesimally close to the position of m3. 
··3	A	Fig.	9-36	mostra	uma	placa	de	dimensões	d1	=	11,0	cm,	d2	=	2,80	cm	e	d3	=	13,0	cm.	Metade	da
placa	 é	 feita	 de	 alumínio	 (massa	 específica	 =	 2,70	 g/cm3)	 e	 a	 outra	 metade	 é	 feita	 de	 ferro	 (massa
específica	=	 7,85	 g/cm3).	Determine	 (a)	 a	 coordenada	x,	 (b)	 a	 coordenada	y	 e	 (c)	 a	 coordenada	 z	 do
centro	de	massa	da	placa.
Figura	9-36 	Problema	3. 
(a) By symmetry xcom = –d1/2 = –(13 cm)/2 = – 6.5 cm. The negative value is due to our 
choice of the origin. 
 
(b) We find ycom as 
 
( )( ) ( )( )
com, com, com, cm,
com
3 3
3 3
11 cm / 2 7.85 g/cm 3 11 cm / 2 2.7 g/cm
8.3 cm.
7.85 g/cm 2.7 g/cm
i i a a i i i a a a
i a i i a a
m y m y V y V y
y
m m V V
ρ ρ
ρ ρ
+ += =+ +
+= =+
 
 
(c) Again by symmetry, we have zcom = (2.8 cm)/2 = 1.4 cm. 
··6	 A	 Fig.	 9-39	 mostra	 uma	 caixa	 cúbica	 que	 foi	 construída	 com	 placas	 metálicas	 homogêneas,	 de
espessura	desprezível.	A	caixa	não	tem	tampa	e	tem	uma	aresta	L	=	40	cm.	Determine	(a)	a	coordenada	x,
(b)	a	coordenada	y	e	(c)	a	coordenada	z	do	centro	de	massa	da	caixa. 
6. The centers of mass (with centimeters understood) for each of the five sides are as 
follows: 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
 ( , , ) (0, 20, 20) for the side in the plane
 ( , , ) (20,0, 20) for the side in the plane
 ( , , ) (20, 20,0) for the side in the plane
( , , ) (40, 20, 20) for the remaining side paral
x y z yz
x y z xz
x y z xy
x y z
=
=
=
=
5 5 5
lel to side 1
( , , ) (20,40,20) for the remaining side parallel to side 2x y z =
 
 
Recognizing that all sides have the same mass m, we plug these into Eq. 9-5 to obtain the 
results (the first two being expected based on the symmetry of the problem). 
 
(a) The x coordinate of the center of mass is 
 
x mx mx mx mx mx
mcom
cm= + + + + = + + + + =1 2 3 4 5
5
0 20 20 40 20
5
20 
 
(b) The y coordinate of the center of mass is 
 
y my my my my my
mcom
cm= + + + + = + + + + =1 2 3 4 5
5
20 0 20 20 40
5
20 
 
(c) The z coordinate of the center of mass is 
 
z mz mz mz mz mz
mcom
cm= + + + + = + + + + =1 2 3 4 5
5
20 20 0 20 20
5
16 
··13	Um	canhão	dispara	um	projétil	com	uma	velocidade	inicial	 0	=	20	m/s	e	um	ângulo	θ0	=	60°	com	a
horizontal.	No	ponto	mais	alto	da	trajetória,	o	projétil	explode	em	dois	fragmentos	de	massas	iguais	(Fig.
9-42).	 Um	 fragmento,	 cuja	 velocidade	 imediatamente	 após	 a	 colisão	 é	 zero,	 cai	 verticalmente.	 A	 que
distância	do	canhão	cai	o	outro	fragmento,	supondo	que	o	terreno	é	plano	e	que	a	resistência	do	ar	pode
ser	desprezada?
Figura	9-42 	Problema	13.
 
13. The (vertical) forces at points A, B, and P are FA, FB, and FP, respectively. We note 
that FP = W and is upward. Equilibrium of forces and torques (about point B) lead to 
 
0
0.
A B
A
F F W
bW aF
+ + =
− = 
(a) From the second equation, we find 
 
FA = bW/a = (15/5)W = 3W = 33(900 N) 2.7 10 N= × . 
 
(b) The direction is upward since FA > 0. 
 
(c) Using this result in the first equation above, we obtain 
 
 34 4(900 N) 3.6 10 NB AF W F W= − = − = − = − × , 
or 3| | 3.6 10 NBF = × . 
 
(d) FB points downward, as indicated by the negative sign. 
···16	Ricardo,	com	80	kg	de	massa,	e	Carmelita,	que	é	mais	leve,	estão	apreciando	o	pôr	do	sol	no	Lago
Mercedes	em	uma	canoa	de	30	kg.	Com	a	canoa	imóvel	nas	águas	calmas	do	lago,	o	casal	troca	de	lugar.
Seus	 assentos	 estão	 separados	 por	 uma	 distância	 de	 3,0	m	 e	 simetricamente	 dispostos	 em	 relação	 ao
centro	da	embarcação.	Se,	com	a	troca,	a	canoa	se	desloca	40	cm	em	relação	ao	atracadouro,	qual	é	a
massa	de	Carmelita?
 
16. The forces exerted horizontally by the obstruction and vertically (upward) by the 
floor are applied at the bottom front corner C of the crate, as it verges on tipping. The 
center of the crate, which is where we locate the gravity force of magnitude mg = 500 N, 
is a horizontal distance A = 0 375. mfrom C. The applied force of magnitude F = 350 N is 
a vertical distance h from C. Taking torques about C, we obtain 
 
(500 N) (0.375m) 0.536m.
350 N
mgh
F
= = =A 
·25	Uma	bola	de	1,2	kg	cai	verticalmente	em	um	piso	com	uma	velocidade	de	25	m/s	e	ricocheteia	com
uma	velocidade	inicial	de	10	m/s.	(a)	Qual	é	o	impulso	recebido	pela	bola	durante	o	contato	com	o	piso?
(b)	Se	a	bola	fica	em	contato	com	o	piso	por	0,020	s,	qual	é	a	força	média	exercida	pela	bola	sobre	o
piso? 25. We consider the wheel as it leaves the lower floor. The floor no longer exerts a force 
on the wheel, and the only forces acting are the force F applied horizontally at the axle, 
the force of gravity mg acting vertically at the center of the wheel, and the force of the 
step corner, shown as the two components fh and fv. If the minimum force is applied the 
wheel does not accelerate, so both the total force and the total torque acting on it are zero. 
 
 
 
We calculate the torque around the step corner. The second diagram indicates that the 
distance from the line of F to the corner is r – h, where r is the radius of the wheel and h 
is the height of the step. 
The distance from the line of mg to the corner is r r h rh h2 2 22+ − = −b g . Thus, 
 
F r h mg rh h− − − =b g 2 02 . 
The solution for F is 
 
2 2 2 22
2
2 2
2(6.00 10 m)(3.00 10 m) (3.00 10 m)2= (0.800 kg)(9.80 m/s )
(6.00 10 m) (3.00 10 m)
13.6 N.
rh hF mg
r h
− − −
− −
× × − ×− =− × − ×
=
 
Note: The applied force here is about 1.73 times the weight of the wheel. If the height is 
increased, the force that must be appliedalso goes up. Next we plot F/mg as a function of 
the ratio /h r . The required force increases rapidly as / 1h r → . 
 
 
··46	Uma	marmita	de	4	kg	que	está	deslizando	em	uma	superfície	sem	atrito	explode	em	dois	fragmentos
de	2,0	kg,	um	que	se	move	para	o	norte	a	3,0	m/s	e	outro	que	se	move	em	uma	direção	30o	ao	norte	do
leste	a	5,0	m/s.	Qual	era	a	velocidade	escalar	da	marmita	antes	da	explosão?
46. From Eq. 13-37, we obtain v = /GM r for the speed of an object in circular orbit 
(of radius r) around a planet of mass M. In this case, M = 5.98 × 1024 kg and 
 
r = (700 + 6370)m = 7070 km = 7.07 × 106 m. 
 
The speed is found to be v = 7.51 × 103 m/s. After multiplying by 3600 s/h and dividing 
by 1000 m/km this becomes v = 2.7 × 104 km/h. 
 
(a) For a head-on collision, the relative speed of the two objects must be 2v = 5.4 × 104 
km/h. 
 
(b) A perpendicular collision is possible if one satellite is, say, orbiting above the equator 
and the other is following a longitudinal line. In this case, the relative speed is given by 
the Pythagorean theorem: 2 2ν ν+ = 3.8 × 104 km/h. 
 ···48	Uma	partícula	A	 e	 uma	 partícula	B	 são	 empurradas	 uma	 contra	 a	 outra,	 comprimindo	 uma	mola
colocada	entre	as	duas.	Quando	as	partículas	são	liberadas,	a	mola	as	arremessa	em	sentidos	opostos.	A
massa	de	A	é	2,00	vezes	a	massa	de	B	e	a	energia	armazenada	na	mola	era	60	J.	Suponha	que	a	mola	tem
massa	desprezível	e	que	toda	a	energia	armazenada	é	transferida	para	as	partículas.	Depois	de	terminada
a	transferência,	qual	é	a	energia	cinética	(a)	da	partícula	A	e	(b)	da	partícula	B?
 
48. Kepler’s law of periods, expressed as a ratio, is 
 
3 2 2
3(1.52)
1y
M M M
E E
a T T
a T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
where we have substituted the mean-distance (from Sun) ratio for the semi-major axis 
ratio. This yields TM = 1.87 y. The value in Appendix C (1.88 y) is quite close, and the 
small apparent discrepancy is not significant, since a more precise value for the semi-
major axis ratio is aM/aE = 1.523, which does lead to TM = 1.88 y using Kepler’s law. A 
question can be raised regarding the use of a ratio of mean distances for the ratio of semi-
major axes, but this requires a more lengthy discussion of what is meant by a ”mean 
distance” than is appropriate here. 
 
·49	Uma	bala	com	10	g	de	massa	se	choca	com	um	pêndulo	balístico	com	2,00	kg	de	massa.	O	centro	de
massa	do	pêndulo	sobe	uma	distância	vertical	de	12	cm.	Supondo	que	a	bala	 fica	alojada	no	pêndulo,
calcule	a	velocidade	inicial	da	bala.
 
49. (a) The period of the comet is 1420 years (and one month), which we convert to T = 
4.48 × 1010 s. Since the mass of the Sun is 1.99 × 1030 kg, then Kepler’s law of periods 
gives 
2
10 2 3 13
11 3 2 30
4(4.48 10 s) 1.89 10 m.
(6.67 10 m /kg s )(1.99 10 kg)
a aπ−⎛ ⎞× = ⇒ = ×⎜ ⎟× ⋅ ×⎝ ⎠ 
(b) Since the distance from the focus (of an ellipse) to its center is ea and the distance 
from center to the aphelion is a, then the comet is at a distance of 
 
13 13(0.11 1) (1.89 10 m) 2.1 10 mea a+ = + × = × 
 
when it is farthest from the Sun. To express this in terms of Pluto’s orbital radius (found 
in Appendix C), we set up a ratio: 
13
12
2.1 10 3.6 .
5.9 10 P P
R R
⎛ ⎞× =⎜ ⎟×⎝ ⎠
 
··57	Na	Fig.	9-61,	uma	bola	de	massa	m	=	60	g	é	disparada	com	velocidade	vi	=	22	m/s	para	dentro	do
cano	de	um	canhão	de	mola	de	massa	M	=	240	g	inicialmente	em	repouso	em	uma	superfície	sem	atrito.	A
bola	fica	presa	no	cano	do	canhão	no	ponto	de	máxima	compressão	da	mola.	Suponha	que	o	aumento	da
energia	térmica	devido	ao	atrito	da	bola	com	o	cano	seja	desprezível.	(a)	Qual	é	a	velocidade	escalar	do
canhão	depois	que	a	bola	para	dentro	do	cano?	(b)	Que	fração	da	energia	cinética	 inicial	da	bola	fica
armazenada	na	mola?
Figura	9-61 	Problema	57.
 
57. In our system, we have m1 = m2 = M (the mass of our Sun, 1.99 × 1030 kg). With r = 
2r1 in this system (so r1 is one-half the Earth-to-Sun distance r), and v = πr/T for the 
speed, we have 
( )2 2 31 2
12
2 .
2
r TGm m rm T
r r GM
π π= ⇒ = 
 
With r = 1.5 × 1011 m, we obtain T = 2.2 × 107 s. We can express this in terms of Earth-
years, by setting up a ratio: 
( )7 72.2 10 s(1y) = 1 y 0.71 y.1y 3.156 10 s
TT
⎛ ⎞⎛ ⎞ ×= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
·62	Duas	esferas	de	titânio	se	aproximam	com	a	mesma	velocidade	escalar	e	sofrem	uma	colisão	elástica
frontal.	Após	a	colisão,	uma	das	esferas,	cuja	massa	é	300	g,	permanece	em	repouso.	(a)	Qual	é	a	massa
da	outra	esfera?	(b)	Qual	é	a	velocidade	do	centro	de	massa	das	duas	esferas	se	a	velocidade	escalar
inicial	de	cada	esfera	é	de	2,00	m/s? 
62. Although altitudes are given, it is the orbital radii that enter the equations. Thus, rA = 
(6370 + 6370) km = 12740 km, and rB = (19110 + 6370) km = 25480 km. 
(a) The ratio of potential energies is 
 
/ 1 .
/ 2
B B A
A A B
U GmM r r
U GmM r r
−= = =− 
(b) Using Eq. 13-38, the ratio of kinetic energies is 
 
/ 2 1 .
/ 2 2
B B A
A A B
K GmM r r
K GmM r r
= = = 
 
 
(c) From Eq. 13-40, it is clear that the satellite with the largest value of r has the smallest 
value of |E| (since r is in the denominator). And since the values of E are negative, then 
the smallest value of |E| corresponds to the largest energy E. Thus, satellite B has the 
largest energy. 
 
(d) The difference is 
1 1 .
2B A B A
GmME E E
r r
⎛ ⎞Δ = − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
Being careful to convert the r values to meters, we obtain ΔE = 1.1 × 108 J. The mass M 
of Earth is found in Appendix C.