Resolução do Capítulo 9, Halliday, Vol 1, Ed. 10
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Resolução do Capítulo 9, Halliday, Vol 1, Ed. 10

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Ca p í t u lo 9
1. Podemos usar a Eq. 9-5 para determinar x3 e y3.
(a) A coordenada x do centro de massa do sistema é
( ) ( ) ( )
3
11 2 2 3 3
CM
12 3
( 2, 00 kg)( 1, 20 m ) 4, 00 kg 0, 600 m 3, 00 kg
2, 00 kg 4, 00 kg 3, 00 kg
0, 500 m,
x
mx m x m x
xmm m
−+ +
++
= =
++ + +
= −
o que nos dá x3 = –1,50 m.
(b) A coordenada y do centro de massa do sistema é
( ) ( ) ( )
3
11 2 2 3 3
CM
12 3
( 2, 00 kg)( 0, 500 m ) 4, 00 kg 0, 750 m 3, 00 kg
2, 00 kg 4, 00 kg 3, 00 kg
0, 700 m,
y
my m y m y
ymm m
+ −+
++
= =
++ + +
= −
o que nos dá y3 = –1,43 m.
2. Vamos usar a seguinte notação: x1 = 0 e y1 = 0 são as coordenadas da partícul a de massa m1 = 3,0 kg; x2 = 2,0 m e y2 = 1,0 m são
as coordenadas da partícula de massa m2 = 4,0 kg; x3 = 1,0 m e y3 = 2,0 m são as coordenadas da partícula de massa m3 = 8,0 kg.
(a) A coordenada x do centro de massa é
( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 3 3
CM
12 3
0 4,0 kg 2,0 m 8,0 kg 1,0 m 1, 1 m .
3, 0 kg 4, 0 kg 8, 0 kg
mx m x m x
xmm m
++
++
= = =
++ + +
(b) A coordenada y do centro de massa é
( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 3 3
CM
12 3
0 4,0 kg 1,0 m 8,0 kg 2,0 m 1, 3 m .
3, 0 kg 4, 0 kg 8, 0 kg
my m y m y
ymm m
++
++
= = =
++ + +
(c) se a massa m3 aumenta, o centro de massa é deslocado para cima, na direção da partícula 3. No limite em que m3 tem uma
massa muito maior que as outras partículas, o centro de massa praticamente coincide com a posição da partíc ula 3.
3. Usamos a Eq. 9-5 para determinar as coordenadas do centro de massa.
(a) Por simetria, xCM = –d1/2 = –(13 cm)/2 = – 6,5 cm. O valor negativo se deve a nossa escolha da origem.
(b) A coordenada yCM é dada por
( )
( )
( )
( )
CM , CM , CM , CM,
CM
33
33
11 cm / 2 7, 85 g/cm 3 11 cm / 2 2, 7 g/ cm 8, 3 c m.
7, 85 g/cm 2, 7 g/cm
iiaa iiiaaa
i a ii aa
my m y Vy V y
ymm V V
ρρ
ρρ
++
= =
++
+
= =
+
(c) Por simetria, zCM = (2,8 cm)/2 = 1,4 cm.
4. Vamos chamar este arranjo de “mesa. Escolhemos para origem das coordenadas a extremidade esquerda do tamp o da mesa
(como mostra a Fig. 9-37). Tomando o sentido positivo do eixo x para a direita e o sentido positivo do eixo y para cima, o centro
MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR
321
de massa da perna direita da mesa está no ponto (+L, –L/2), o centro de massa da perna direita está no ponto (0, –L/2) e o centro
de massa do tampo da mesa está no ponto (L/2, 0).
(a) A coordenada x da mesa inteira é
( ) ( ) ( )
CM
0 3 /2
32
MLM ML
L
x
MM M
++ + +
= =
++ .
Para L = 22 cm, xCM = (22 cm)/2 = 11 cm.
(b) A coordenada y do centro de massa da mesa inteira é
( ) ( ) ( )
CM
/2 /2 3 0
35
ML ML M L
yMM M
−+−+
= = −
++
,
ou yCM = – (22 cm)/5 = – 4,4 cm.
As coordenadas mostram que o centro de massa da mesa inteira está 4,4 cm abaixo do centro do tampo da mesa.
5. Como a placa é homogênea, podemos dividi-la em três peç as retangulares, com a massa de cada peça proporcional à área e o
centro de massa coincidindo com o centro geométrico. Vamos chamar a peça maior, de 35 cm
×
10 cm (mostrada do lado es-
querdo do eixo y na Fig. 9-38), de Peça 1; ela representa 63,6% da área total e o centro de massa está no ponto (x1, y1) = (-5,0 cm,
-2,5 cm). A peça de 20 cm
×
5 cm (Peça 2, situada no primeiro quadrante) representa 18,2% da área total; o centro de massa está
no ponto (x2,y2) = (10 cm, 12,5 cm). A peça de 10 cm
×
10 cm (Peça 3, situada no quarto quadrante) também representa 18,2%
da área total; o centro de massa está no ponto (x3,y3) = (5 cm, -15 cm).
(a) A coordenada x do centro de massa da placa é
xCM = (0,636)x1 + (0,182)x2 + (0,182)x3 = – 0,45 cm.
(b) A coordenada y do centro de massa da placa é
yCM = (0,636)y1 + (0,182)y2 + (0,182)y3 = – 2,0 cm.
6. As coordenadas dos centros de massa (em centímetros) das cinco faces são:
Como todas as faces têm a mesma massa m, po demos substituir essas coordenadas na Eq. 9-5 para obter os resultados a seguir (os
dois primeiros resultados poder iam ser obtidos apenas por considerações de simetria).
(a) A coordenada x do centro de massa é
12345
CM
0 20 20 40 20 20 cm
55
mx mx mx mx mx
x
m
++++ ++++
= = =
(b) A coordenada y do centro de massa é
12345
CM
20 0 20 20 40 2 0 cm
55
my my my my my
y
m
++++
++++
= = =
322
MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR
(c) A coordenada z do centro de massa é
12345
CM
20 20 0 20 20 16 cm
55
mz mz mz mz mz
z
m
++++
++++
= = =
7. (a) Por simetria, o centro de massa está localizado no eixo de simetria da molécul a, que é o eixo y. Assim, xCM = 0.
(b) Para determinar yCM, basta notar que 3mHyCM = mN(yN – yCM), em que yN é a distância entre o átomo de nitrogênio e o plano
dos três átomos de hidrogênio:
( ) ( )
22
11 11 11
N10,14 10 m 9, 4 10 m 3, 803 10 m.y−− −
= × −× = ×
Assim,
( )
( )
( )
11
11
NN
CM
NH
14, 0067 3, 803 10 m 3, 13 10 m,
3 14, 0067 3 1, 00797
my
ymm
×
= = = ×
++
em que o valor das massas foi obtido no Apêndice F.
8. (a) Como a lata é homogênea, o centro de massa está no centro geométrico, a uma distância H/2 acima da base. O centro de massa
do refrigerante está no seu centro geométrico, a uma distância x/2 acima da base da lata. Quando a lata está cheia, os dois centros
geométricos coincidem. Assim, o centro de massa do conjunto está no eixo do cilindro e a uma distância h acima da base dada por
( ) ( )
/2 /2 .
2
M H mH
H
h
Mm
+
= =
+
Para H = 12 cm, obtemos h = 6,0 cm.
(b) No caso da lata vazia, o centro de massa está no eixo do cilindro, a uma distância H/2 = 6,0 cm acima da base.
(c) Quando x diminui, o centro de massa do conjunto diminui a princípio e depois aumenta até at ingir novamente uma altura
h = H/2 = 6,0 quando a lata fica totalmente vazia.
(d) Quando a superfície do refrigerante está a uma altura x acima da base da lata, a massa de refrigerante contida na lata é m
p =
m(x/H), na qual m é a massa de refrigerante quando a lata está cheia, e o centro de massa do refrigerante está a uma distância x/2
acima da base da lata. Assim,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
/2 /2 /2 / /2 .
/2
p
p
MH m x M H m xH x MH mx
hM m M mx H MH mx
+++
= = =
++ +
Para determinar o valor de x para o qual o centro de massa atinge o ponto mais baixo, derivamos h em relação a x e igualamos o
resultado a 0. A derivada é
( )
( )
( ) ( )
22 22 2
22
22
.
2
22
MH mx m
dh mx m x MmHx MmH
dx MH mx MH mx MH mx
+
+−
=−=
+
++
A solução da equação m2x2 + 2MmH x Mm H 2 = 0 é
11 .
MH m
x
mM

= −+ +



A raiz positiva foi escolhida porque x deve ser um número positivo. Substituindo esse valor de x na expressão h = (MH2 + mx2)/2
(MH + mx), obtemos, após algumas manipulações algébricas,