MECANICA DOS FLUIDOS

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Mecânica dos Fluidos
Prof. Evandro Bittencourt (Dr.)
29 de fevereiro de 2012
Sumário
1 Introdução 2
1
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos 2
1.1 Conceitos e de�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tensão de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Viscosidade absoluta ou dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Forma diferencial e simpli�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Massa especí�ca (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Peso especí�co (γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Peso especí�co relativo (γr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Viscosidade cinemática (ν) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.10 Fluido incompressível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.11 Equação de estado dos gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.12 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.13 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Estática dos Fluidos 10
2.1 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Teorema de Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Pressão em torno de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Lei de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Carga de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Escalas de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Medidores da pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Barômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9 Manômetro metálico ou de Bourdon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.10 Coluna piezométrica ou piezômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.11 Manômetro com tubo em U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.12 Equação Manométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.13 Força numa superfície plana submersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.14 Centro das pressões (baricentro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15 Força em superfícies reversas submersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15.1 Componente horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.15.2 Componente vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.16 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.17 Flutuador - Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.18 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.19 Estabilidade vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.19.1 Corpo totalmente submerso em equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.19.2 Corpo parcialmente submerso em equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.20 Estabilidade à rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.20.1 Corpo totalmente submerso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.20.2 Corpo parcialmente submerso, em equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.21 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Cinemática dos Fluidos 36
3.1 Regimes permanente e variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Escoamento laminar e turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Trajetória e linhas de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Escoamento unidimensional ou uniforme na seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Vazão - velocidade média na seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Equação da continuidade para regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Velocidade e aceleração nos escoamentos de �uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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A Informações úteis 45
A.1 Unidades SI - Sistema Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.2 Pre�xos SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.3 Letras gregas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B Centróide e Baricentro 46
B.1 Centróide de Figuras Conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.2 Cálculo do centróide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
C Momento de Inércia 48
C.1 Momento de inércia de �guras conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
C.2 Teorema dos eixos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 4
1 Introdução
Mecânica do Fluidos é a ciência que estudo o comportamento físico (mecânico) dos �uidos, bem
como as leis que regem esse comportamento.
As bases lançadas pela Mecânica dos Fluidos são fundamentais para muitos ramos de aplicação
da engenharia.
Para Engenharia Ambiental e Sanitária a Mecânica dos Fluidos é base para o estudo dos siste-
mas ambientais que se baseiam-se em trocas de massa e energia, sendo o ar e a água os meios de
transporte. Também nas instalações industriais e domésticas são utilizados tubulações para a dis-
tribuição de líquidos e gases. Denomina-se Mecânica dos Fluidos Ambiental um ramo da Mecânica
dos Fluidos que estuda a base física dos processos de relacionados, como por exemplo, transporte de
e�uentes contaminantes ou poluentes sob as formas de massas, quantidades de movimento e energias
no ambiente natural.
1.1 Conceitos e de�nições
A de�nição de um �uido é formalizada comparando-se com um sólido. Elementarmente: Fluido é
um substância que não tem um forma própria assumindo o formato do recipiente
Aprofundando-se, reologicamente, o �uido tem um comportamento diferente quando solicitado
por um força.
Ao contrário do sólido que sofre um deformação quando solicitado (equilíbrio estático), e no
regime elástico, retorna a sua condição inicial após a retirada da força, o �uido se deforma continu-
amente quando submetido a uma força tangencial constante não atingindo uma nova con�guração
de equilíbrio estático.
Ft =constante
Figura 1: Deformação num sólido con�gurando equilíbrio estático
Ft =constante Ft =constante
Figura 2: Deformação num �uido não con�gurando equilíbrio estático
A deformação no volume do �uido ocorre continuamente.
1.2 Tensão de cisalhamento
Uma força
~F aplicada sobre uma superfície de área A pode ser decomposta em componentes segundo
a direção normal (
~Fn) e tangencial (~Ft).
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~Fn
~F
~Ft
A
Figura 3:Decomposição de uma força aplicada
A tensão de cisalhamento é o quociente de uma força tangencial por uma área:
τ =
Ft
A
Newton descobriu que em muitos �uidos (�uidos newtonianos) a tensão de cisalhamento é pro-
porcional ao gradiente de velocidade (variação de velocidade).
y
Ft
v0
v0
v
v1
v2
Diagrama de velocidades
v1 é maior
que v2
v1
v2
τ τ
y y
y+dy
v0
v+dv
v
Figura 4: Formação do gradiente de velocidade entre duas placas
A placa superior é acelerada pela força Ft, passando da velocidade nula para velocidade �nita
(v0) quando as forças internas do �uido equilibram a força externa (equilíbrio dinâmico). As forças
internas do �uido aparecem devido ao atrito entre as diversas camadas. Portanto existe uma velo-
cidade relativa entre as diversas camadas (gradiente de velocidade). Na �gura está representada a
tensão de cisalhamento (τ) que aparece entre as camadas com velocidades v1 e v2.
Disso, podemos traduzir a lei de Newton da viscosidade:
τα
dv
dy
ou
τ
dv
dy
= constante
Assim como a água, o ar, os óleos, a grande maioria dos �uidos obedece essa equação.
1.3 Viscosidade absoluta ou dinâmica
A constante de proporcionalidade obtida na equação acima é um coe�ciente (µ) chamado de vis-
cosidade absoluta ou dinâmica, assim:
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τ = µ
dv
dy
=
N · s
m2
É uma propriedade de cada �uido, dependendo de diversas condições, entre elas pressão e prin-
cipalmente temperatura.
De uma forma prática: viscosidade é a propriedade que indica a maior ou a menor di�culdade
de o �uido escoar.
1.4 Forma diferencial e simpli�cada
A lei de Newton da viscosidade é escrita na forma diferencial:
τ = µ
dv
dy
onde a fração
dv
dy
é o gradiente da velocidade (variação de v com y) conforme a �gura:
y
dy
v2
v1
dv
dy
�
Figura 5: Representação diferencial
Quando a distância (�) entre a posição �xa e a placa é reduzida podemos considerar um gradiente
linear de velocidade.
y
dy
v0
v2
v1
dv
�
Figura 6: Representação simpli�cada (linear)
por semelhança de triângulos podemos relacionar:
dv
dy
=
v0
�
dessa maneira a tensão de cisalhamento pode ser calculada:
τ = µ
dv
dy
= µ
v0
�
com v0 sendo a velocidade da placa.
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1.5 Massa especí�ca (ρ)
ρ =
m
V
=
massa
volume
=
kg
m3
1.6 Peso especí�co (γ)
γ =
mg
V
= ρg =
N
m3
1.7 Peso especí�co relativo (γr)
γr =
γ
γH2O
1.8 Viscosidade cinemática (ν)
ν =
µ
ρ
=
m2
s
1.9 Fluido ideal
É aquele cuja viscosidade é nula. Na prática não existe, mas essa hipótese é algumas vezes utilizada
quando a viscosidade é um efeito secundário do fenômeno estudado.
1.10 Fluido incompressível
Quando o volume não varia com a pressão. Os líquidos têm um comportamento muito próximo e
na prática são considerados. Em certos casos até os gases podem ser considerados incompressível,
como efeito simpli�cativo.
1.11 Equação de estado dos gases
O gás é dito "gás perfeito"quando obedece a equação:
p
ρ
= RT ou ρ =
p
RT
onde:
p = pressão absoluta
R = constante cujo valor depende do gás (R
ar
= 287 m
2/s2K
T = temperatura em Kelvin (
o
C+273)
Numa mudança do estado de um gás:
p1
p2
=
ρ2
ρ1
=
T1
T2
O processo é isotérmico quando na transformação não há variação de temperatura:
p1
ρ1
=
p2
ρ2
= constante
O processo é isobárico quando na transformação não há variação de pressão:
ρ1T1 = ρ2T2 = constante
O processo é isocórico ou isométrico quando na transformação não há variação de volume:
p1
T1
=
p2
T2
= constante
O processo é adiabático quando na transformação não há troca de calor:
p1
ρk1
=
p2
ρk2
= constante
onde k é chamada constante adiabática cujo valor depende do gás (k
ar
= 1, 4).
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1.12 Exercícios
1) Um pistão de peso G=4 N cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 2
m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1 cm e o do pistão é 10,0 cm. Determinar a viscosidade do
lubri�cante colocado na folga entre o pistão e o cilindro.
Solução:
Como ~v =constante temos ~a = 0 colocando o pistão
em equilíbrio dinâmico onde a somátoria de forças é
igual a zero.
Σ~F = m ~a = 0
Dessa maneira a força devido as tensões de cisalha-
mento equilibra o peso G na velocidade dada.
De=10,1 cm
Di=10 cm
L
=
5
c
m
G=4 N
lubri�cante�
Fµ = G ou τ A = G ou µ
dv
dy
pi Di L = G
Sendo a distância � =
De −Di
2
=
10, 1− 10
2
=0,05 cm relativamente muito pequena, adota-se
um diagrama linear de velocidades.
µ
v
�
pi Di L = G
µ =
� G
v pi Di L
=
0, 05× 10−2 · 4
2 pi 0, 1 0, 05
= 6, 37× 10−2 N · s/m2
2) O peso especí�co relativo de uma substância é 0,8. Qual será o seu peso especí�co?
Solução:
γr =
γ
γH2O
⇒ γ = γr γH2O = 0, 8 · 1000 = 800kgf/ m3 ∼= 8.000 N/m3
3) Numa tubulação escoa hidrogênio (k = 1,4, R = 4,122 m
2
/s
2
K). Numa seção (1), p1 =
3 × 105 N/m2 (abs) e T1 = 30o C. Ao longo da tubulação, a temperatura mantém-se
constante. Qual é a massa especí�ca do gás numa seção (2), em que p2 = 1, 5 × 105 N/m2?
Solução:
p1
ρ1
= R T1 ⇒ ρ1 = p1
R T1
T1 = 30 + 273 = 303 K
ρ1 =
3 × 105
4122 · 303 = 0, 24 kg/m
3
Como o processo é dito isotérmico: T1 = T2 → p1
ρ1
=
p2
ρ2
ou ρ2 = ρ1
p2
p1
ρ2 = 0, 24× 1, 5 × 10
5
3× 105 = 0, 12 kg/m
3
4) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m
2
/s e o peso especí�co relativo é 0,85. Deter-
minar a viscosidade dinâmica. [µ = 23,3 N.s/m2]
5) A viscosidade dinâmica de um óleo é 5 × 10−4 kgf.s/m2 e o peso especí�co relativo é 0,82.
Derterminar a viscosidade cinemática (g = 10 m/s
2
; γH2O =1000 kgf/m
3
). [ν = 6 × 10−6 m2/s]
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6) O peso de 3 dm
3
de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10
−5
m
2
/s. Se
g = 10 m/s
2
, qual será a viscosidade dinâmica? [7,83 × 10−3 N.s/m2]
7) Ar escoa ao longo de uma tubulação. Em uma seção (1), p1 = 200.000 N/m
2
(abs) e T1 =
50
o
C. Em uma seção (2), p2 = 150.000 N/m
2
(abs) e T2 = 20
o
C. Determinar a variação
porcentual da massa especí�ca de (1) para (2). [17,3%]
8) Um gás natural tem peso especí�co relativo 0,6 em relação ao ar a 9,8 × 104 Pa (abs) e 15o
C. Qual é o peso especí�co desse gás nas mesmas condições de pressão e temperatura? Qual
é a constante R desse gás? (Rar = 287 m
2
/s
2
K; g = 9,8 m/s
2
) [γ =7 N/m3; R = 478 m2/s2K]
9) Calcular o peso especí�co do ar a 441 kPa (abs) a 38
o
C. [γ =49,4 N/m3]
10) Um volume de 10 m
3
de dióxido de carbono (k = 1,28) a 27
o
C e 133,3 kPa (abs) é comprimido
até se obter 2 m
3
. Se a compressão é isotérmica, qual será a pressão �nal? Qual seria a pressão
�nal se o processo fose adiabático? [666,4 kPa (abs); 1,046 MPa (abs)]
11) O pistão da �gura tem uma massa de 0,5 kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado
para cima com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e
entre os dois existe um óleo de µ = 10−4 m2/s e γ = 8.000 N/m3. Com que velocidade deve
subir o cilindro para que o pistão permaneça em repouso? (diagrama linear e g = 10 m/s
2
).
[v = 22,1 m/s]
D2
D1
L
=
5
c
m
m = 0,5 kg
�uido
12) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 mm. A placa superior move-se com
velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é �xa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido
com óleo (µ = 0, 1 St; ρ = 830 kg/m3), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
[τ = 16, 6 N/m2]
v = 4 m/s2 mm
13) Uma placa quadrada de 1,0 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30
o
,
sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 2 m/s constante. Qual é a viscosidade
dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm? [µ = 102 N.s/m2]
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2 mm
30
o
20 N
2 m/s
14) O dispositivo da �gura é constituído de dois pistões de mesmas dimensões geométricas que
se deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe
um lubri�cante de viscosidade dinâmica 10
2
N.s/m
2
. O peso especí�co do pistão (1) é 20.000
N/m
3
. Qual é o peso especí�co do pistão (2) para que o conjunto se desloque na direção
indicada com um velocidade de 2 m/s constante? Desprezar o atrito na corda e nas roldanas.
[γ2 =16.800 N/m
3
]
10,1 cm
10 cm
(2)
(1)
1.13 Exercícios complementares
1) Um pistão de peso G=10 N cai dentro de um cilindro (diâmetro = 12 cm) com uma velocidade
constante de 4 m/s. Determinar o diâmetro do pistão para uma viscosidade do lubri�cante
colocado na folga entre o pistão e o cilindro igual a 10
−1
N.s/m
2
. Considerar um diagrama
linear de velocidades.
De=12 cm
Di = ?
L
=
8
c
m
G=10 N
lubri�cante�
2) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 1,5 mm. A placa superior move-se
com velocidade de constante, enquanto a inferior é �xa. Se o espaço entre as duas placas for
preenchido com óleo (ν = 8 × 10−6m2/s) e a tensão de cisalhamento que agirá no óleo igual
a τ = 35 N/m2. Calcular a velocidade v0.
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v0 = ?
1,5 mm
3) Uma placa quadrada de 2,0 m de lado e 50 N de peso desliza sobre um plano inclinado de
30
o
, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é 3 m/s constante. Sabendo que a
viscosidade dinâmica do óleo é µ = 5× 102 N.s/m2 calcular a espessura da película?
?
30
o
50 N
3 m/s
4) O dispositivo da �gura é constituído de dois pistões de mesmo peso especí�co (γ = 3 ×
104 N/m3), mesmo diâmetro e comprimentos diferentes que se deslocam em dois cilindros
de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe um lubri�cante de viscosidade
dinâmica 10
2
N.s/m
2
. Qual é o comprimento do pistão (2) para que o conjunto se desloque
na direção indicada com um velocidade de 3 m/s constante? Desprezar o atrito na corda e
nas roldanas.
12,1 cm
12 cm
L
=
1
0
c
m
(2)
(1)
L
=
?
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2 Estática dos Fluidos
A Estática dos Fluidos se preocupa, em especial, com a pressão e as forças geradas por um �uido
quando esse se encontra num equilíbrio estático.
2.1 Pressão
Na forma in�nitesimal podemos representar a presssão:
p =
dFn
dA
Se a pressão for uniforme ou para obter a pressão média:
p =
Fn
A
A1=10 cm
2
p1
100 N
p1 =
F1
A1
=
100 N
10 cm2
= 10
N
cm2
A2=5 cm
2
p2
100 N
p2 =
F2
A2
=
100 N
5 cm2
= 20
N
cm2
Notar que a força aplicada (100 N) é a mesma, o que difere é a área de aplicação.
2.2 Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois pontos de um �uido em repouso é igual ao produto do peso especí�co
do �uido pela diferença das cotas dos dois pontos.
Observa-se:
ˆ na diferença de pressão entre dois pontos o que interessa é a diferença de cota;
ˆ a pressão no nível horizontal é a mesma em todos os pontos;
ˆ o cálculo da pressão não depende do formato do recipiente;
ˆ se a pressão na superfície for nula, a pressão num ponto com cota h será calculada: p = γh;
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PHR - Plano Horizontal de Referência
p = 0
p = γh
h
Z
N
Z
M
N
M
ˆ como nos gases o peso especí�co é relativamente pequeno, a pressão entre duas cotas pode ser
considerada , por simplicação, igual.
2.3 Pressão em torno de um ponto
Num �uido em repouso a pressão num ponto é a mesma em qualquer direção.
A
B
2.4 Lei de Pascal
A pressão aplicada num ponto de um �uido em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos
do �uido.
1
2
3
(a)
1
2
3
A2=5 cm
2
100 N
(b)
Figura 7
Na Figura 7a, o �uido apresenta uma superfície livre, supondo que a pressão nos pontos seja:
p1 = 1 N/cm
2
; p2 = 2 N/cm
2
; p3 = 3 N/cm
2
Ao aplicar a força de 100 N, por meio de um êmbolo (Figura 7b), teremos um acréscimo na pressão
de
100
5
= 20
N
cm2
. Assim, teremos nos pontos indicados os valores:
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p1 = 21 N/cm
2
; p2 = 22 N/cm
2
; p3 = 23 N/cm
2
2.5 Carga de pressão
Usando o teorema de Stevin podemos expressar a pressão num determinado �uido em unidade de
comprimento:
p
γ
= h
p = 0
h
A
A
B
h
B
A pressão no ponto A, por exemplo, será pA = γ hA, enquanto a carga de pressão será hA.
Nos condutos forçados podemos medir a carga de pressão com um tubo de vidro auxiliar.
p
(a)
γ
p
(b)
γ
h
Figura 8
Notar que a altura h da coluna é a carga de pressão de p.
2.6 Escalas de pressão
A referência para medição de pressão pode ser o vácuo (zero absoluto), que é chamada de pressão
absoluta, ou a referência pode ser a pressão atmosférica, que é chamada de pressão efetiva.
Praticamente todos os medidores de pressão (manômetros) registram zero quando abertos à
atmosfera, portanto, medindo a pressão efetiva.
pabs = patm + pef
onde pef pode ser positiva ou negativa.
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zero absoluto (vácuo absoluto)
pressão atmosférica
pressão
p2
pressão absoluta
(p2abs > 0)
(p2ef < 0)
pressão efetiva
negativa (depressão)
pressão efetiva
(p1ef )
(p1abs)
pressão absoluta
p1
A pressão atmosférica também é chamada de pressão barométrica e varia com a altitude, num
determinada altitude ela varia também dependendo das condições meteorológicas.
2.7 Medidores da pressão
2.8 Barômetro
O barômetro mede a pressão atmosférica. O processo envolve virar um tubo cheio de líquido dentro
de uma vasilha (dentro do mesmo líquido), ele descerá até uma certa posição de equilíbrio.
h
γ
vácuo
patm
2.9 Manômetro metálico ou de Bourdon
O manômetro metálico permite medidas de pressão e depressão. A leitura do manômetro é efetiva
quando a parte externa estiver exposta à pressão atmosférica.
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O sistema envolve o mesmo efeito do brinquedo "língua de sogra", ou seja a pressão medida
deforma um tubo em arco (Bourdon tipo "C"). A reti�cação da extremidade é medida numa escala
convertida. Dessa maneira temos:
p
manômetro
= p
tomada de pressão
− p
externa
2.10 Coluna piezométrica ou piezômetro
Mede diretamente a carga de pressão, aparato simples com um tudo de vidro ligado ao reservatório.
h
=
p
/γ O centro do tubo
é a origem da
medida h
O uso do piezômetro tem uso limitado devido:
ˆ para líquidos de baixo peso especí�co a altura h será muito alta inviabilizando o aparato;
ˆ a medição da pressão em gases �ca comprometida por escape;
ˆ não é possível medir pressões negativas, pois haverá entrada de ar no reservatório sem a
formação da coluna h.
2.11 Manômetro com tubo em U
A �gura 9 mostra uma manômetro de tubo em U, sem e com �uido manométrico. Comparando com
o piezômetro, o formato em U corrige o problema de medida das pressões efetivas negativas, além
disso, a presença do �uido manométrico permite a medida da pressão de gases evitando escape e,
por outro lado, pode diminuir a altura adotando-se um peso especí�co relativamente alto.
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h
h
1
h
2
Fluído manométrico
Figura 9: Manômetro com tubo em U
Chaman-se manômetros diferenciais os ligados a dois reservatórios.
A B
Figura 10: Manômetro diferencial
2.12 Equação Manométrica
A equação manométrica relaciona a pressão de um reservatório (ou a diferença de pressão).
Considerando-se o manômetro da �gura podemos calcular a pressão num determinado ponto
relativamente a outro ponto, para isso usa-se o Teorema de Stevin e a Lei de Pascal.
h
1
h
2
h
3
h
4
pA (γA)
pB (γB)
γM
Figura 11: Equação manométrica
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Pressão no fundo do ramo esquerdo
pfe = pA + γA(h1 − h2) + γMh2
Pressão no fundo do ramo direito
pfd = pB + γB(h4 − h3) + γMh3
como o sistema está em equilíbrio, a pressão no mesmo nível é a mesma.
pfe = pfd
pA + γA(h1 − h2) + γMh2 = pB + γB(h4 − h3) + γMh3
conhecendo-se pA podemos calcular pB
pB = pA + γA(h1 − h2)− γB(h4 − h3)− γM (h3 − h2)
a regra é, começando do lado esquerdo, soma-se à pressão pA a pressão das colunas descendentes e
subtrai-se aquela das colunas ascendentes:
pA + γA(h1 − h2)− γM (h3 − h2)− γB(h4 − h3) = pB
2.13 Força numa superfície plana submersa
Num �uido em repouso todas as forças serão normais a uma superfície submersa.
Quando a pressão tem um distribuição uniforme, basta multiplicar pela área correspondente para
obter a força correspondente que tem o ponto de aplicação no centro de gravidade da superfície.
No caso dos líquidos a pressão será uniforme somente se a superfície submersa for horizontal. Nos
gases, por simpli�cação, podemos adotar pressão uniforme qualquer que seja a posição da superfície.
CG
CP
CG
CP
h
h
'
h
C
P
h
'
C
P
h
p = γh
A
B
A'
B'
C
C'
superfície livre
A pressão varia conforme à profundidade, no segmento AB a pressão inicia em zero (ponto A)
e proporcionalmente aumenta conforme h até o ponto B, gerando um con�guração triangular de
pressão.
No segmento A�B� a pressão inicia com um determinado valor (proporcional a profundidade
do ponto A� e aumenta até o ponto B�. O coe�ciente de proporcionalidade é o peso especí�co do
�uido.
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A força resultante será calculada considerando a somatória dos produtos das áreas elementares
pela pressão correspondente, ou a área da carga distribuida.
O ponto de aplicação da força resultante (CP - Centro de Pressão ou baricentro) se localiza
abaixo do centro de gravidade da área (CG), próximo das maiores pressões.
O
d
y
C
G
C
P
A
B
F
θ
superfície livre
y
y¯
y
CP
dA
dh
CG
CP
h = y sen θ
hCP h¯
O
x
hCP = yCP sen θ h¯ = y¯ sen θ
Para calcular a força F (resultante) consideramos um elemento de área horizontal (pressão cons-
tante):
dA = xdy; p = γh e h = y sen θ
No elemento dA, a força resultante será:
dF = p dA = γ h da = γ y sen θ da
Integrando:
F = γ sen θ
∫
y da
O centro de gravidade de uma �gura plana é:
y¯ =
1
A
∫
y da
Isolando a integral: ∫
y da = y¯A
Substituindo:
F = γ sen θ y¯ A
Ou
F = γh¯ A = p¯ A
Dessa maneira, a força resultante é calculada pelo produto da pressão, na profundidade do centro
de gravidade da superfície, por sua própria área.
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2.14 Centro das pressões (baricentro)
O ponto de aplicação da força resultante é o centro das pressões. Considerando que o momento das
forças distribuidas é igual ao momento da força resultante (em relação a linha Ox).
A força elementar na placa:
dF = p dA = γ h da = γ y sen θ da
O momento (elementar) será o produto da força elementar pela distância ao eixo:
y dF = γ y2 sen θ da
O equilíbrio dos momentos:
yCP F = γ sen θ
∫
y2 da = γ sen θ IO
Onde IO é o momento de inércia da área A em relação ao eixo Ox. Dessa maneira:
yCP =
γ sen θ IO
F
=
y sen θ IO
γ sen θ y¯ A
=
IO
y¯ A
Usando a propriedade dos eixos paralelos do momento de inércia:
IO = ICG + y¯
2 A
Onde ICG é o momento de inércia calculado segundo o eixo que passa pelo centro de gravidade da
superfície de área A. Dessa maneira:
yCP = y¯ +
ICG
y¯ A
Para �guras simétricas o centro de pressão será localizado no eixo de simetria, caso contrário pode-
mos calcular xCP :
xCP F =
∫
x p dA
2.15 Força em superfícies reversas submersas
Nas supefícies reversas, superfícies não plani�cáveis, as forças elementares são diferentes em módulo
e direção, �cando impossível obter uma somatória delas.
Por outro lado, podemos obter a força resultante em certas direções, como a horizontal e a
vertical. Além disso, a resultante dessas duas forças pode ser obtida se ambas estiverem num
mesmo plano.
2.15.1 Componente horizontal
Considerando uma superfície AB qualquer projetada sobre um plano vertical, originando a superfície
plana A�B�. As únicas forças horizontais que agem no volume formado entre AB e A�B� são Fx e
F� conforme a �gura.
A�
B�
A
B
A�
V
F�
Fx
A��B��
A
B
G
Fy
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Dessa forma, a componente horizontal que age em qualquer superfície é igual à força horizontal
que age numa superfície plana, projeção daquela sobre um plano vertical.
2.15.2 Componente vertical
Da mesma forma, a componente vertical pode ser obtida considerando o volume contido entre a
superfície qualquer AB e sua projeção no plano da superfície livre de líquido.
Caso a pressão na superfície for atmosférica, as únicas forças verticais serão o peso G do volume
e Fy devido a pressão na superfície AB:
Fy = G
Fy será vertical é sua linha de ação passa pelo CG do volume.
2.16 Empuxo
A componente vertical que age numa superfície submersa qualquer é igual ao peso do volume do
�uido (real ou �ctício) contido acima dessa superfície.
VU
C
A
B
D
Fy
Fy�
O corpo pode ser imaginado como duas superfícies, uma ABC, que tem as forças de pressão
com componente vertical para cima, e outra ADC, que tem as forças de pressão com componente
vertical para baixo. A resultante das componentes verticais na superfície ABC será:
Fy = γ VUABCV
da mesma maneira na superfície ADC será:
Fy� = γ VUADCV
O saldo resultante (Fy − Fy�) será uma força vertical para cima, chamada de Empuxo (E):
E = Fy − Fy� = γ(VUABCV − VUADCV )
E = γ VABCD = γ V
onde V é igual ao volume do �uido deslocado pelo corpo.
A expressão revela o princípio de Arquimedes "Num
corpo total ou parcialmente imerso num �uido, age
uma força vertical de baixo para cima, chamado
empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do volume de
�uido deslocaldo".
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Considerando a de�nição do empuxo podemos estabelecer a condição de �utuação de um corpo.
G
E
Para um corpo totalmente submerso, ele �utuará se seu peso G for menor que o empuxo (E) :
E ≥ G
No caso de igualdade (E = G), o corpo, em qualquer posição, manterá o equilíbrio. Se o corpo
estiver totalmente submerso:
Vcorpo = Vdeslocado
γfluido Vdeslocado ≥ γfluido Vcorpo
e a condição para �utuação será:
γfluido ≥ γfluido
2.17 Flutuador - Nomenclatura
ˆ Corpo �utuante (�utuador) é qualquer corpo que mantém o equilíbrio quando está parcial ou
totalmente imerso num líquido;
ˆ plano de �utuação é o plano horizontal da superfície livre;
ˆ linha de �utuação é a intersecção do plano de �utuação (superfície livre) com a superfície do
�utuador;
ˆ seção de �utuação é a seção plana cujo contorno é a linha de �utuação;
ˆ volume de carena é o volume de �uido deslocado pela parte imersa do �utuador (o peso do
volume de carena é o empuxo);ˆ centro de carena é o ponto de aplicação do empuxo (para �uido homogêneo, o centro de carena
coincide com o centro de gravidade do volume de carena).
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plano de
�utuação
centro de carena
seção de �utuação
linha de �utuação
volume de carena
E
CC
2.18 Estabilidade
A estabilidade depende das forças e dos momentos relativos. Num corpo total ou parcialmente
submerso agem o peso (G) aplicado no centro de gravidade do corpo, e o empuxo (E) aplicado no
centro de carena.
Para o equilíbrio do �utuador é necessário que as forças estejam na mesma linha de ação, tenham
a mesmo módulo e direção oposta. Além disso, é necessário analisar a estabilidade desse equilíbrio.
Além das duas forças (G e E) o �utuador pode estar sujeito a forças isoladas que são aplicadas
por um período relativamente curto in�uenciando no equilíbrio temporário e na retomada ou não
do equilíbrio inicial. Podem acontecer três situações:
a) o corpo retorna à posição de equilíbrio inicial con�gurando um equilíbrio estável;
b) o corpo, mesmo retirando a força, cada vez mais, afasta-se da posição inicial, con�gurando
um equilíbrio instável;
c) o corpo permanece na nova posição, sem retornar, con�gurando um equilíbrio indiferente.
A análise da estabilidade de �utuadores é feita considerando-se a estabilidade vertical e a de
rotação.
2.19 Estabilidade vertical
2.19.1 Corpo totalmente submerso em equilíbrio
Nesse caso, o volume deslocado é sempre o mesmo, qualquer que seja o deslocamento o equilíbrio
inicial não será alterado (equilíbrio indiferente).
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2.19.2 Corpo parcialmente submerso em equilíbrio
Nesse caso, o deslocamento para baixo, o volume de carena e o empuxo aumentam, passando para
situação onde E > G. Ao retirar a força, o volume desloca-se para cima para novamente E = G.
Se o corpo for deslocado para cima, o volume e o empuxo diminuem, �cando E < G. Ao retirar a
força adicional o corpo desce até que E = G na posição inicial.
Dessa maneira, nos deslocamentos verticais, os �utuadores têm um equilíbrio estável.
2.20 Estabilidade à rotação
Quando o �utuador gira um pequeno ângulo em torno do seu eixo podemos ter dois casos que
diferem no comportamento.
2.20.1 Corpo totalmente submerso
Quando o centro de gravidade estiver abaixo do centro de carena.
G
E
CG
CC
a) equilíbrio
pequena rotação
G
E
CG
CC
b) recuperação do equilíbrio
conjugado restaurador
No giro de um pequeno ângulo, o empuxo (E) e o peso (G) criam um conjugado que tende a
girar o corpo no sentido contrário ao da rotação con�gurando um equilíbrio estável.
Por outro lado, se o CG estiver acima do CC, o conjugado tenderá a girar mais o corpo con�-
gurando um equilíbrio instável.
E
G
CC
CG
a) equilíbrio
pequena rotação
E
G
CC
CG
b) Desequilíbrio
conjugado
Desse modo, num corpo totalmente submerso, a estabilidade à rotação é obtida com o centro de
gravidade (CG) abaixo do centro de carena (CC).
2.20.2 Corpo parcialmente submerso, em equilíbrio
Para corpo parcialmente submerso o estudo é diferente dos corpos totalmente submersos, sendo
mais complexo. Não sendo condição necessária para o equilíbrio estável o centro de carena (CC)
estar acima do centro de gravidade (CG).
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Por outro lado, a rotação do corpo causa uma variação no formato do volume de carena (o que
não acontece no corpo totalmente submerso), o que cria um deslocamento no centro de carena, tal
que o equilíbrio pode ser estável mesmo que este (CC) esteja abaixo do centro de gravidade.
CC
CG
A
B
D
C
O
M
C
C
C
G
A
B
D
C
O
L I
E
G
CC'
Figura 12
No corpo parcialmente submerso, com a rotação em torno do eixo O, o volume de carena passa
de ABCD para LICB deslocando o centro de carena para a esquerda (CC�).
Dessa maneira, o �utuador tem condições de retornar à posição inicial, con�gurando equilíbrio
estável, desde que o empuxo esteja à esquerda do peso, conforme a �gura 12
O sentido do conjugado pode ser analisado pela posição do metacentro (ponto M), que é a
interseção do eixo de simetria do �utuador com a direção do empuxo.
Dessa maneira:
ˆ se o ponto M estiver acima do CG, o conjugado será contrário à rotação o que con�gura
equilíbrio estável;
ˆ se o ponto M estiver abaixo do CB, o conjugado será a favor da rotação con�gurando equilíbrio
instável;
ˆ se o ponto M estiver exatamente no CG, o equilíbrio será indiferente.
Assim, quanto mais acima estiver o metacentro (M) relativamente ao CG, maior será o conju-
gado restaurador, portanto, mais estável o equilíbrio. Essa observação mostra a importância de se
conhecer a distância do metacentro ao centro de gravidade (indicada por r).
CC
CG
1
2
3
O
C
C
C
G
1
2
3
O
4 5
df
E'E
G
CC'
M
r
l
δ
x
x tg θ
θ
dA
Figura 13
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Para a determinação de r, temos o per�l da �gura 13 girado de um ângulo θ (relativamente
pequeno) em torno de O. Com a rotação, o volume de carena alterou-se de V123 para V425, fazendo
com que o CC se desloque para CC�. Apesar disso, E� = E, já que o volume é o mesmo (apesar da
forma) pois considera-se que não existe alteração no G.
O momento de E� em relação ao ponto CC deverá ser igual ao momento dos elementos de volume
de V425 em relação ao mesmo ponto.
Entretanto, temos um momento nulo, considerando que V402 é simétrico ao V302.
Então:
E δ = momento do V305
E δ =
∫
x df
Mas: df = d V γ = dA x tg θ γ, onde dA é um elemento de área horizontal, da seção de �utuação
(�gura 14).
E δ =
∫
γ x2tg θ dA = γ tgθ
∫
x2dA
onde
∫
x2dA = Iy é o momento de inércia da área da seção de �utuação em relação ao eixo y. Assim:
E δ = γ tg θ Iy
Note-se que: E = γ V e tg θ =
δ
(r + l)cosθ
. Logo:
γ V δ = γ
δ
(r + l) cos θ
Iy ou r + l =
Iy
V cos θ
Considerando o ângulo θ pequeno (como se admitiu) então cos θ ∼= 1:
r =
Iy
V
− l
Como no caso temos equilíbrio: G = E = γ V então V =
G
γ
. Logo:
r =
γ Iy
G
− l
y
linha de �utuação
seção de �utuação
b
b
b
b
dA
Figura 14
Deve-se ter r>0 e, quanto maior, maior será a estabilidade do �utuador. Dessa maneira, te-
mos que diminuir l, abaixando o centro de gravidade, ou, aumentando a relação
γ Iy
G
, ou seja,
aumentando o momento de inércia da seção de �utuação.
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2.21 Exercícios
1) A �gura mostra, esquematicamente, uma prensa hidráulica. Os dois êmbolos têm, respectiva-
mente, as áreas A1 = 10 cm
2
e A2 = 100 cm
2
. Se for aplicada uma força de 200 N no êmbolo
(1), qual será a força transmitida em (2)?
(2)
p2
F2
(1)
p1
F1
Solução:
A pressão transmitida pelo êmbolo (1) será p1 =
F1
A1
. Mas pela Lei de Pascal, essa pressão
será trasmitida ao êmbolo (2), portanto p2 = p1. Logo
p2 A2 = p1 A2 = F2
Como: p1 =
200
10
= 20
N
cm2
. Então
F2 = 20 · 100 = 2000 N
A força não só foi transmitida, mas também, ampliada. É nesse princípio que se baseiam-se:
prensas hidráulicas, servomecanismos, dispositivos de controle, freios, etc.
2) Determinar o valor da pressão de 340 mmHg em psi e kgf/cm
2
na escala efetiva e em Pa e
atm na escala absoluta. (patm= 101,2 kPa)
Solução:
(a) Efetiva em kgf/cm
2
760 mmHg
1,033 kgf/cm
2
340 mmHg
x
x =
1, 033 · 340
760
= 0, 461
kgf
cm2
(b) Efetiva em psi
760 mmHg
14,7 psi
340 mmHg
y
y =
14, 7 · 340
760
= 6, 6 psi
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(c) Absoluta em Pa (pabs = pef + patm)
760 mmHg
101.033 Pa
340 mmHg
z
x =
101.033 · 340
760
= 45.287 Pa = 45, 3 kPa
logo, pabs = 45, 3 + 101, 2 = 146, 5 kPa (abs)
(d) Absoluta em atm
760 mmHg
1atm
340 mmHg
u
x =
1 · 340
760
= 0, 447 atm
logo, pabs = 0, 477 + 1 = 1, 477 atm (abs)
3) Dado o esquema da �gura:
(a) Qual é a leitura no manômetro metálico?
(b) Qual é a força que age sobre o topo do reservatório?
2
0
c
m
1
0
c
m
30
o
60 cm
patm
água (γ = 10.000 N/m3)
óleo (γ = 8.000 N/m3)
ar
área do topo = 10 m
2
pm
Solução:
(a) Determinação de pm
Usando a equação manométrica, lembrando que os γ dos gases é pequeno e que pode-se
desprezar o efeito da coluna de ar em face de outros efeitos, dessa maneira em escala
efetiva (patm = 0) temos:
pM + γo ho + γH2O hH2O − γH2O L sen 30o
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Onde L sen 30o é o desnível da coluna de água a direita, pois pelo teorema de Stevin, a
pressão independe da distância, depende somente das diferenças de cotas.
pM = γH2O(L sen 30
o − hH2O)− γo ho
pM = 10.000(0, 6 · 0, 5− 0, 2)− 8.000 · 0, 1
pM = 200 N/m
2
(b) Pela de�nição de pressão
Ftopo = pm A = 200 · 10 = 2.000 N
4) Na placa retangular da �gura, de largura 2 m, determinar a força devida á água numa de suas
faces e seu ponto de aplicação (γ =10.000 N/m3).
O
C
G
C
P
l
=
5
m
C
G
C
P
F
b
=
2
m
d
A
30
o
y¯
y
CP
1
m
h¯
A pressão no centro de gravidade, devida ao líquido, será:
p¯ = h¯ γ = (1 + 2, 5 sen 30o)10.000 = 22.500 N/m2
Com a força podendo ser calculada:
F = p¯ A = 22.500 · 5 · 2 = 225.000 N
O cálculo do ponto de aplicação será:
yCP − y¯ = ICG
y¯ A
com o momento de inércia no eixo que passa pelo centróide ICG =
∫
y2 dA =
∫ l/2
−l/2
y2b dy =
b l3
12
. Assim
yCP − y¯ =
b l3
12
y¯ A
com y¯ =
1
sen 30o
+
l
2
= 2+ 2, 5 = 4, 5 m ; A = b · l = 2 · 5 = 10 m2 ; b l
3
12
=
2 · 53
12
= 12, 8 m4
yCP − y¯ = 20, 8
4, 5 · 10 = 0, 46 m ou yCP = 0, 46 + 4, 5 = 4, 96 m
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5) Determinar a força R que deverá ser aplicada no ponto A da comporta da �gura para que
permaneça em equilíbrio, sabendo-se que a mesma pode girar em torno do ponto O. Dados:
p1 = 100 kPa γ1 = 10.000 N/m
3
p2 = 50 kPa γ1 = 8.000 N/m
3
Comporta retangular com h = 5 m e b = 2 m.
O
1
m
5
m
(1) (2)
γ1 γ2
p1 p2
RA
Solução:
Para que, no nível dos dois líquidos, a pressão efetiva seja nula substituimos p1 e p2 por cargas
de pressão equivalentes:
h1 =
p1
γ1
=
100× 103
10.000
= 10 m ; h2 =
p2
γ2
=
50× 103
8.000
= 10 m
Note-se que h1 e h2 são as alturas �ctícias dos líquidos que causariam, em seus níveis reais,
as pressões p1 e p2.
Agora podemos calcular as forças atuantes em cada lado da comporta.
Lado 1:
Pressão: p¯1 = γ1 h¯1 = 10.000(10 + 1 + 2, 5) = 135.000 N/m
2
Força: F1 = p¯1A1 = 135.000 · 5 · 2 = 1.350.000 N = 1.350 kN
Centro de pressão: yCP1 − y¯1 = ICG
y¯1A
=
b h3
12
h¯1 · bh
=
h2
12 h¯1
hCP1 − h¯1 = 5
2
12 · 13, 5 = 0, 15 m
Distância do CP1 ao ponto O: b1 = 2, 5 + 0, 15 = 2, 65 m
Lado 2:
Pressão: p¯2 = γ2 h¯2 = 8.000(6, 25 + 1 + 2, 5) = 78.000 N/m
2
Força: F2 = p¯2A2 = 78.000 · 5 · 2 = 780.000 N = 780 kN
Centro de pressão: yCP2 − y¯2 = ICG
y¯2A
=
b h3
12
h¯2 · bh
=
h2
12 h¯2
hCP2 − h¯2 = 5
2
12 · 9, 75 = 0, 21 m
Distância do CP1 ao ponto O: b1 = 2, 5 + 0, 21 = 2, 71 m
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Fazendo a somátoria dos momentos em relação ao ponto O igual a zero:
R · h+ F2 · b2 − F1 · b1 = 0
R =
F1 b1 − F2 b2
h
=
1.350.000 · 2, 65− 780.000 · 2, 71
5
= 293.000 N
6) Um navio desloca 9,45 × 106 N e tem uma seção de �utuação como a indicada na �gura. O
centro de carena está a 1,8 m abaixo da superfície de �utuação e o centro de gravidade, a 0,3
m. Determinar a altura metacêntrica em relação a um inclinação em torno do eixo y.
Solução:
y
9
m
6 m 24 m 6 m
seção de �utuação
Altura metacêntrica: r =
γ Iy
G
− l
Onde l = 1, 8− 0, 3 = 1, 5 m
Para o cálculo do momento de inércia vamos dividir a seção de �utuação em �guras conhecidas,
retângulo (parte central) e triângulo (extremidades) (ver seção C)
y
(1)
h
=
9
m
b = 24 m
y
(2)
h
=
9
m
b = 12 m
Iy1 =
b h3
12
=
24 · 93
12
= 1.458 m4
Iy2 =
b h3
48
=
12 · 93
48
= 182 m4
Iy = 1.458 + 182 = 1.640 m
4
Logo: r =
10.000 · 1640
9, 45× 106 − 1, 5 = 0, 24 m > 0 (estabilidade)
7) Uma balsa tem o formato de um paralelepípedo com 9 m de largura, 24 m de comprimento
e 2,4 m de altura. A balsa pesa 4,72 × 106 N quando carregada e o seu centro de gravidade
está a 3 m acima do fundo. Determinar a altura metacêntrica.
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 32
z
3
m
2
,
4
m
24 m
CG
Solução:
É preciso determinar a distância l entre o centro de gravidade e o centro de carena. Para isso,
vamos determinar a altura z, pois l = 3− z
2
.
Sabe-se que: E = γ V = G
V =
G
γ
=
4, 72× 106
104
= 472 m3
z =
472
24 · 9 = 2, 18 m
Logo: l = 3− 1, 09 = 1, 9 m
Tem-se que: r =
γ Iy
G
− l = Iy
V
− l
Como Iy =
b h3
12
=
24 · 93
12
= 1.458 m4
Portanto: r =
1.458
472
− 1, 9 = 1, 2 m
8) Qual é a altura da coluna de mercúrio (γHg = 136.000N/m
3
) que irá produzir na base a mesma
pressão de uma coluna de água de 5 m de algura? (γH2O = 10.000 N/m
3
) [hHg = 368 mm]
9) Determinar a pressão de 3,5 atm nas outras unidades de pressão na escala efetiva e, sendo a
pressão atmosférica local 740 mmHg, determinar a pressão absoluta. [pabs = 4, 47 atm =
0, 47 MPa]
10) No manômetro da �gura, o �uído A é água e o B, mercúrio. Qual é a pressão p1? Dados
γHg = 136.000 N/m
3
; γH2O = 10.000 N/m
3
. [p1 = 13, 5 kPa]
5
c
m
7
,
5
c
m
1
5
c
m
B
A
p1
11) No manômetro diferencial da �gura, o �uído A é água, o B é óleo e o �uido manométrico é
mercúrio. Sendo h1 = 25 cm, h2 = 100 cm, h3 = 80 cm e h4 = 10 cm, qual a diferença de
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 33
pressão pa − pb? Dados: γ
óleo
= 8.000 N/m3; γHg = 136.000 N/m
3
; γH2O = 10.000 N/m
3
.
[pA − pB = −132, 1 kPa]
h
4
h
3h
2
h
1
A
B
12) Calcular a leitura do manômetro A da �gura. γHg = 136.000 N/m
3
. [pA = 79, 6 kPa]
1
5
c
m
Hg
A
arar
100 kPa
13) Determinar as pressões efetivas e absolutas:
(a) do ar;
(b) no ponto M, da con�guração a seguir.
Dados: leitura barométrica 740 mm Hg; γ
óleo
= 8.500 N/m3; γHg = 136.000 N/m
3
.
[a) par = 34 kPa; par abs = 134 kPa; b) pM = 36, 5 kPa; pM abs = 136, 5 kPa]
7
0
c
m
8
0
c
m
3
0
c
m
3
0
c
m
7
0
c
m
Hg
M
água
óleo
ar
água
14) Aplica-se uma força de 200 N na alavanca AB, como é mostrado na �gura. Qual é a força F
que deve ser exercida sobre a haste do cilindro para que o sistema permaneça em equilíbrio.
[F = 100 kN]
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 34
2
0
c
m
1
0
c
m
5
c
m
2
5
c
m F
200 N
15) Na instalação da �gura, a comporta quadrada AB, que pode girar em torno de A, está em equi-
líbrio evido à ação da força horizontal F. Sabendo que γm = 80.000 N/m
3
e γ = 30.000 N/m3,
determinar o valor da força F. [F = 8.640 kN]
0
,
6
c
m
0
,
4
c
m
γm
γ
A
BF
16) Um tanque retangular, como o da �gura, tem 4,5 m de comprimento, 1,2 m de largura e 1,5
m de altura. Contém 0,6 m de águae 0,6 m de óleo. Calcular a força devido aos líquidos
nas paredes laterais e no fundo. Dados: γ
óleo
= 8.000 N/m3 e γ
água
= 10.000 N/m3.
[FA = 8.640 N ; FB = 7.700 N ; Ffundo = 60.000 N ]
0
,
6
m
0
,
6
m
1
,
2
c
m
1
,
5
c
m
4
,
5
c
m
água
óleo
17) A comporta AB da �gura tem 1,5 m de largura e pode girar em torno de A. O tanque à
esquerda contém água (γ = 10.000 N/m3) e o da direita, óleo (γ = 7.500 N/m3). Qual é a
força necessária em B para manter a comporta vertical. [F = 50.000 kN]
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 35
5
m
2
m
A
B
água
óleo
18) Determinar a força, devido à pressão da água, na comporta retangular da �gura, sendo o peso
especí�co do �uido 10.000 N/m3. [F = 99,4 kN]
2,5 m
2
m
1
,
5
m
60
o
19) Um cilindro de ferro fundido, de 30 cm de diâmetro e 30 cm de altura, é imerso em água
do mar (γ = 10.300 N/m3). Qual é o empuxo que a água exerce no cilindro? Qual seria o
empuxo se o cilindro fosse de madeira (γ = 7.500 N/m3)? Nesse caso, qual seria a altura
submersa do cilindro? [E = 218 N; E = 159 N; hsub = 0,218 m]
h
su
b
20) Um cilindro, que pesa 500 N e cujo diâmetro é 1 m, �utua na água (γ = 10.000 N/m3), com
seu eixo na vertical, como mostra a �gura. A âncora consiste de 0,23 m
3
de concreto de peso
especí�co 25.000 N/m
3
. Qual é a elevação da maré necessária para elevar a âncora do fundo?
(Desprezar o peso da barra) [h = 0,3 m]
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 36
0
,
2
m
H
h
21) O Corpo maciço de seção triangular e largura 1 m deve �utuar na posição indicada pela �gura.
Calcular a força a ser aplicada no plano da superfície AB e a sua distância ao ponto A. Dados:
peso especí�co do corpo γc = 2.000 N/m
3
; AB = 1,8 m; BC = 0,6 m; γH2O = 10.000 N/m
3
.
[xF = 0,3 m; F = 270 N]
0
,
3
m
0
,
3
m
xF F
A B
C
22) Determinar a altura de óleo (γo = 6.000 N/m
3
) para que o corpo (γc = 6.000 N/m
3
) passe
da posição (1) para a posição (2). [ho = 0,8 m]
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 37
2
m
2
m
(1)
γl
h
o
1
,
5
m
(2)
γl
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 38
3 Cinemática dos Fluidos
3.1 Regimes permanente e variado
No regime permanente as propriedades em um determinado ponto são invariáveis ao longo do tempo.
O �uido pode estar em movimento, mas a con�guração de suas propriedades num instante qualquer
permanece a mesma.
(1)
NC = Nível Constante
(2)
Figura 15: Regime permanente, quantidade que entra (1) igual que sai (2)
Ao contrário, no regime variado, as propriedades num determinado ponto variam com o tempo.
O fornecimento de �uidos é regime permanente quando a fonte (reservatório) for de grandes
dimensões, ao contrário, teremos o regime variado para reservatórios de pequenas dimensões, em
que o �uxo de �uido interfere nas cotas do volume armazenado.
Reservatório de grandes
dimensões (regime per-
manente)
NC
Reservatório de pequenas
dimensões
(regime variado)
t1
t2
t3
t3
t2
t1
Figura 16: Comparação entre regime permanente e regime variado
3.2 Escoamento laminar e turbulento
No escoamento laminar as particulas de �uido se deslocam em "lâminas"individualizadas, sem trocas
de massa entre elas. Ao contrário, no regime turbulento, as partículas apresentam uma movimen-
tação aleatória num nível macroscópico, ou seja, a velocidade do �uido apresenta componentes
transversais ao movimento principal.
Na prática o escoamento laminar é menos comum que o escoamento turbulento.
Um número adimensional, Número de Reynolds, marca o limite entre o regime laminar e tur-
bulento para um determinado �uido considerando as condições de �uxo: velocidade, diâmetro do
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 39
tubo, viscosidade dinâmica e massa especí�ca.
Re =
ρ v D
µ
=
vD
ν
Dessa maneira, o Número de Reynolds de�ne três faixas:
Re < 2000 Escoamento laminar
2000 < Re < 2400 Escoamento de transição
Re > 2400 Escoamento turbulento
Muitas vezes o escoamento turbulento pode ser considerado laminar, quando a média das pro-
priedades ao longo do tempo for considerada nos cálculos sem prejuízo dos resultados.
3.3 Trajetória e linhas de corrente
A marcação do lugar geométrico de uma partícula feita em instantes sucessivos de�ne a trajetória.
A equação de de�ne a trajetória é função do ponto inicial e do tempo.
t1
t2
t3 tn
Figura 17: Trajetória
Somando-se a isso temos a linha de corrente que é a tangente vetorial nos pontos da trajetória
num determinado instante t.
~v1
~v2
~v3
~v4
Figura 18: Linha de corrente - instante t
Dessa maneira a trajetória e a linha de corrente são coincidentes (geométricamente) no escoa-
mento laminar.
Numa visão bidimensional das linhas de corrente, temos o tubo de corrente, de�nido como
superfície tubular, formado pelas linhas de corrente, apoiada lateralmente numa linha geométrica
fechada.
linha geométrica fechada
linha de corrente
~v
Figura 19: Tubo de corrente
As propriedades principais dos tubos de corrente são duas:
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 40
ˆ os tubos de corrente são �xos quando o regime é permanente;
ˆ os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa (transversalmente).
A segunda propriedade garante que, no regime permanente, as partículas que entram em um
extremo do tubo de corrente deverão sair noutro.
3.4 Escoamento unidimensional ou uniforme na seção
No escoamento unidimensional uma única dimensão (ao longo do comprimento do tubo de corrente)
é su�ciente para descrever as propriedades do �uido.
x
(1)
(2)
v1
v2
x1 x2
Figura 20: Escoamento unidimensional
Adicionalmente, podemos ter o escoamento bidimensional onde existe a necessidade de duas
dimensões (uma dimensão ao longo do comprimento do tubo de corrente e outra lateralmente) para
descrever as propriedades do �uido.
x
y
y1
(1)
(2)
v1
x1 x2
v = f(x, y)
Figura 21: Escoamento bidimensional
E, ainda, podemos ter o escoamento tridimensional, onde a descrição das propriedades do �uido
são necessariamente feitas com três dimensões (uma dimensão ao longo do comprimento do tubo de
corrente e outras duas lateralmente) (v = f( x, y, z)).
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 41
Torna-se evidente que as equações que regem as propriedades se complicam com o aumento do
número de dimensões.
3.5 Vazão - velocidade média na seção
A velocidade de um �uido para uma determinada seção geométrica é caracterizada como vazão,
onde a unidade medida contra o tempo decorrido pode ser o volume, ou a massa, ou, ainda, o peso
do �uido.
Dessa maneira:
Q =
V
t
=
m3
s
=
m3
h
=
L
s
=
L
min
Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do �uido.
s
A
γ
γ
t = 0
t
Considerando que o volume que atravessa a seção de área A pode ser representado pelo produto
de um determinado comprimento do tubo de corrente s, temos:
Q =
V
t
=
sA
t
como v =
s
t
Q = v A
Quando a velocidade não é uniforme na seção (escoamento bidimensional ou escoamento tridi-
mensional) se de�ne uma velocidade média na seção. Isso acontece na maioria dos casos práticos.
Já, o cálculo da vazão para escoamentos não unidimensionais é feito considerando o cálculo
in�nitezimal:
dQ = v dA
Q =
∫
A
v dA
De�nindo-se então, a velocidade média, como aquela que reproduzirá a mesma vazão:
Q =
∫
A
v dA = vm A
Assim, a velocidade média:
vm =
1
A
∫
A
v dA
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânicados Fluidos - 2012 42
vm
vreal
Figura 22: Per�l de velocidade real e velocidade média
3.6 Equação da continuidade para regime permanente
Considerando que num tubo de corrente não existe �uxo lateral de massa, a vazão em massa na
seção de entrada Qm1 e na saída Qm2 são iguais.
Qm1
Qm2
A1
A2
Figura 23: Vazão em massa na entrada igual na saída
Considerando que o regime permanente não contempla variações ao longo do tempo temos a
equação de continuidade para o regime permanente:
Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1v1A1 = ρ2v2A2
Se o �uido for incompressivel, a massa especí�ca será a mesma (ρ1 = ρ2 = ρ), na entrada e na saída:
ρ Q1 = ρ Q2 ou Q1 = Q2 ou v1A1 = v2A2
A equação v1A1 = v2A2 mostra que velocidade média e área são inversamente proporcionais, con-
siderando por exemplo, aumento relativo de área entre entrada e saída teremos diminuição relativa
de velocidade entre entrada e saída.
Para a situação onde deparamos com diversas entrada e saídas num sistema de tubo de corrente
único teremos:
Σe Qm = Σs Qm
E no caso de �uído incompressível �camos com:
Σe Q = Σs Q
Prof. Evandro Bittencourt - Mecânica dos Fluidos - 2012 43
3.7 Velocidade e aceleração nos escoamentos de �uidos
A escolha do sistema de referência auxilia em transformar, algumas vezes, situações com regime
variado em de regime permanente. Por exemplo, considerando um sistema contendo um barco em
movimento em água parada, a colocação do sistema de referência na margem faz as propriedades
dependerem do tempo (regime variado), ao contrário, colocando o sistema de referência no barco
temos regime permanente.
O regime permanente (com uso de um sistema de referência inercial) permite simpli�car muitos
problemas.
Se a velocidade vetorial num sistema cartesiano for ~v = vx~ex + vy~ey + vz~ez, para o regime as
velocidades serão dependentes apenas das posições geométricas (e não do tempo). Logo:
vx = vx(x, y, z)
vy = vy(x, y, z)
vz = vz(x, y, z)
Considerando ~a =
d~v
dt
, podemos escrever:
~a =
δ~v
δx
dx
dt
+
δ~v
δy
dy
dt
+
δ~v
δz
dz
dt
Mas vx =
dx
dt
; vy =
dy
dt
; vz =
dz
dt
Logo:
~a = vx
δ~v
δx
+ vy
δ~v
δy
+ vz
δ~v
δz
Mas:
δ~v
δx
=
δ~v
δx
~ex +
δ~v
δx
~ey +
δ~v
δx
~ez
δ~v
δy
=
δ~v
δy
~ex +
δ~v
δy
~ey +
δ~v
δy
~ez
δ~v
δz
=
δ~v
δz
~ex +
δ~v
δz
~ey +
δ~v
δz
~ez
Teremos as componentes:
~a× ~ex = ax = vx δ~vx
δx
+ vy
δ~vx
δy
+ vz
δ ~vx
δz
~a× ~ey = ay = vx δ~vy
δx
+ vy
δ~vy
δy
+ vz
δ ~vy
δz
~a× ~ez = ax = vx δ~vz
δx
+ vy
δ~vz
δy
+ vz
δ ~vz
δz
No caso de regime variado, devemos considerar a variação com o tempo:
ax =
{
vx
δ~vx
δx
+ vy
δ~vx
δy
+ vz
δ ~vx
δz
}
+
δvx
δt
ay =
{
vx
δ~vy
δx
+ vy
δ~vy
δy
+ vz
δ ~vy
δz
}
+
δvy
δt
az =
{
vx
δ~vz
δx
+ vy
δ~vz
δy
+ vz
δ ~vz
δz
}
+
δvz
δt
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3.8 Exercícios
1) Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da �gura. Na seção (1), tem-se
A1 = 20 cm
2
, ρ1 = 4 kg/m
3
e v1= 30 m/s. Na seção (2), A1 = 10 cm
2
, ρ1 = 12 kg/m
3
. Qual
é a velocidade na seção (2). [v2 = 20 m/s]
gás
(1)
(2)
Solução:
Qm1 = Qm2
logo: ρ1v1A1 = ρ2v2A2 ou v2 = v1
ρ1
ρ2
A1
A2
. Portanto:
v2 = 30
4
12
20
10
= 20 m/s
2) O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na �gura. Determinar a
velocidade na seção mínima (garganta) de área 5 cm
2
, se na seção de entrada de A1 = 20 cm
2
a velocidade é 2 m/s. O �uido é considerado incompressível. [vG = 8 m/s]
Ae
AG
Venturi
Garganta
Solução: Pela equação da continuidade
veAe = vGAG
vG = ve
Ae
AG
= 2
20
5
= 8 m/s
3) Num escoamento no plano Oxy, o campo de velocidades é dado por vx = 2 x t e vy = y
2
t.
Determinar a aceleração na origem e no ponto P = ( 1; 2) no instante t = 5 s (medidas em
cm). [~a = 416 cm/s2]
Solução:
O movimento é variado, pois vx e vy são funções do tempo,
ax =
δvx
δt
+ vx
δvx
δx
+ vy
δvx
δy
+ vz
δvx
δz
ax = 2 x+ 2 x t(2 t) + y
2 t(0) = 2 x+ 4 x t2
ay =
δvy
δt
+ vx
δvy
δx
+ vy
δvy
δy
+ vz
δvy
δz
ay = y
2 + 2 x t(0) + y2t(2 y t) = y2 + 2 y3t2
No instante t = 5 s
ax = 2 x+ 4 x (25) = 102 x
ay = (2)
2 + 50(2)3 = 4 + 400 = 404
Logo:
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~a(P,1) = 102 ~ex + 404 ~ey
| ~a |=
√
(102)2 + (404)2 = 416 cm/s2
4) Um gás ( γ = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção
A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1 m. Numa seção B, o peso
especí�co do gás é 10 N/m
3
. Qual será a velocidade média do escoamento nas seções A e B?
(g = 10 m/s
2
) [vA = 20 m/s; vB = 10 m/s]
5) Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é 6.000 L em 1h40 min. Determinar
a vazão em volume, em massa e em peso em unidade do SI se ρH2O = 1.000 kg/m
3
e g = 10
m/s
2
. [Q = 10
−3
m
3
/s; Qm = 10 N/s]
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1) Um gás ( γ = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção
A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1 m. Numa seção B, o peso
especí�co do gás é 10 N/m
3
. Qual será a velocidade média do escoamento nas seções A e B?
(g = 10 m/s
2
) [vA = 20 m/s; vB = 10 m/s]
2) Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é 6.000 L em 1h40 min. Determinar
a vazão em volume, em massa e em peso em unidade do SI se ρH2O = 1.000 kg/m
3
e g = 10
m/s
2
. [Q = 10
−3
m
3
/s; Qm = 10 N/s]
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A Informações úteis
A.1 Unidades SI - Sistema Internacional
Unidade Quantidade Unidade Símbolo Fórmula
Unidades básicas Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Temperatura kelvin K
Unidade complementar Ângulo plano radiano rad
Unidades derivadas Energia joule J N · m
Força newton N kg · m/s2
Potência watt W J/s
Pressão pascal Pa N/m
2
Trabalho joule J N · m
A.2 Pre�xos SI
Fator de Multiplicação Pre�xo Símbolo
1 000 000 000 000 = 1012 tera T
1 000 000 000 = 109 giga G
1 000 000 = 106 mega M
1 000 = 103 quilo k
0, 001 = 10−3 mili m
0, 000 001 = 10−6 micro µ
0, 000 000 001 = 10−9 nano n
0, 000 000 000 001 = 10−12 pico p
A.3 Letras gregas
Letra Nome
α alfa A
β beta B
γ gama Γ
δ delta ∆
� epsilon E
ζ zeta Z
η eta H
θ theta Θ
ι iota I
κ kapa K
λ lâmbda Λ
µ mi M
ν ni N
ξ csi Ξ
o ômicron O
pi pi Π
ρ rô P
σ sigma Σ
τ tau T
υ upsilon Υ
φ � Φ
χ qui Σ
ψ psi Ψ
ω ômega Ω
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B Centróide e Baricentro
O cálculo de centro de áreas (centróide) e centro de forças (baricentro) de uma �gura qualquer é
realizado usando o conceito de momento.
B.1 Centróide de Figuras Conhecidas
Retângulo
h
h
/
2
b/2
b
c
Triângulo reto
c
h
b
h
3
b
3
Círculo
d
d
/
2
c
Semi-círculo
c
d
2
2 · d
3 · pi
Quarto de círculo
c
d
2
2 · d
3 · pi
2 · d
3 · pi
B.2 Cálculo do centróide
O centróide de uma �gura qualquer pode ser determinado pela divisão desta em �guras conhecidas.
Após a �xação de eixos de referência, estes são usados para o cálculo do momento das áreas das
diversas �guras divididas que por sua vez deve ser igual ao momento da �gura total em relação
ao mesmo eixo. Assim o cálculo da posição do centróide em relação aos eixos de referência são
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calculados:
x =
n∑
i=1
xi ·Ai
n∑
i=1
Ai
y =n∑
i=1
yi ·Ai
n∑
i=1
Ai
Exemplo:
6
0
3030
c1
c2
Posicionando os eixos de referência no canto inferior esquerdo da �gura temos:
1 2
x 15 40
y 30 20
A 1800 900
Calculando x:
x =
15 · 1800 + 40 · 900
1800 + 900
= 23, 33
Calculando y:
y =
30 · 1800 + 20 · 900
1800 + 900
= 26, 67
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C Momento de Inércia
O cálculo do momento de inércia é feito considerando um eixo. Assim:
Iy =
∫
x2 da ; Ix =
∫
y2 da
.
C.1 Momento de inércia de �guras conhecidas
Para as �guras conhecidas o momento de inércia é apresentado considerando os eixos que passam
pelo centróide ou, no semi-círculo e quarto de círculo, na face.
Retângulo
h
b
c
x
y
Ix =
b h3
12
; Iy =
h b3
12
Triângulo reto
h
b
c x
y
Ix =
b h3
36
; Iy =
h b3
36
Círculo
d
c
x
y
Ix =
pi d4
36
; Iy =
pi d4
36
Semi-círculo
c
x
y'
d
2
Ix =
pi d4
36
; Iy =
pi d4
36
Quarto de círculo
c
x'
y'
d
2
Ix′ = pi d
4
36
= Iy′
C.2 Teorema dos eixos paralelos
O transporte do momento de inércia em relação ao eixo que passa no centróide de uma �gura para
outro eixo paralelo pode ser feito pelo teorema dos eixos paralelos.
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d
c x
x'
A
Ix′ = Ix + d2 ·A