Matemática Basica Exercícios MB

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GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
DAVID DEGENSZAJN
ROBERTO PÉRIGO
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
voluME únICo – CD-romvoluME únICo – CD-rom
Sumário
Seleção de exercícios de vestibulares
  1  Conjuntos e conjuntos numéricos ................................................................................................................ 1
Respostas ................................................................................................................................................... 5
  2  Funções ....................................................................................................................................................... 6
Respostas ................................................................................................................................................... 18
  3  Progressões .................................................................................................................................................. 19
Respostas ................................................................................................................................................... 24
  4  Matemática comercial e financeira ............................................................................................................... 25
Respostas ................................................................................................................................................... 32
  5  Trigonometria .............................................................................................................................................. 33
Respostas ................................................................................................................................................... 40
  6  Matrizes, determinantes e sistemas lineares ................................................................................................. 41
Respostas ................................................................................................................................................... 45
  7  Geometria plana .......................................................................................................................................... 46
Respostas ................................................................................................................................................... 54
  8  Geometria espacial ...................................................................................................................................... 55
Respostas ................................................................................................................................................... 64
  9  Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton .......................................................................... 65
Respostas ................................................................................................................................................... 72
10  Geometria analítica ...................................................................................................................................... 73
Respostas ................................................................................................................................................... 81
11  Números complexos, polinômios e equações algébricas ............................................................................... 82
Respostas ................................................................................................................................................... 85
12  Estatística..................................................................................................................................................... 86
Respostas ................................................................................................................................................... 92
Coletânea de testes do ENEm .................................................................................................. 93
Respostas ............................................................................................................................................................. 109
Matemática Volume Único
1
Conjuntos e conjuntos numéricos
  1.  (Fatec-SP) O número inteiro N 5 1615 1 256 é divisível 
por:
a) 5
b) 7
c) 11
d) 13
e) 17
  2.  (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num do-
mingo. Três mil dias após essa data, cairá:
a) Numa quinta-feira.
b) Numa sexta-feira.
c) Num sábado.
d) Num domingo.
e) Numa segunda-feira.
  3.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acen-
dem juntos num determinado instante. Um deles 
permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segun-
dos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto 
e apagado 20 segundos. A partir desse instante 
qual o número mínimo de minutos necessários para 
que os dois sinais voltem a acender juntos outra 
vez? Assinale no cartão de respostas o número da 
alternativa que contém a resposta que você calcular 
como correta.
01) Oito
02) Dez
04) Doze
08) Quatorze
  4.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número 
de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos 
tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A  B) 5 8, 
assinale o que for correto.
01) n(A – B) 5 12
02) n(B) 5 23
04) n(A  B) 5 35
08) n(A  B) – n(A  B) 5 27
16) n(A) – n(B) 5 n(A – B)
  5.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. 
(Indique a soma dos números obtidos.)
01) O número real representado por 0,5222... é um 
número racional.
02) O quadrado de qualquer número irracional é um 
número racional.
04) Se m e n são números irracionais então m ? n 
pode ser racional.
08) O número real √ 3 pode ser escrito sob a forma
a
b
, onde a e b são inteiros e b  0.
16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau 
é um número real.
  6.  (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker 
(1823-1891),
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho 
do homem”.
Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemá-
tico, uma das grandes invenções humanas.
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, 
é correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre 
um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um 
número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo 
menos um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos 
é sempre um número inteiro negativo.
  7.  (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num 
certo instante, para dois relógios, A e B, que só indi-
cam horas e minutos. Naquele instante, A e B 
indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. 
Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo 
entre os amigos:
“Nessas condições, a dedução lógica é que a defa-
sagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama 
Manuel.
“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre 
A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta 
Joaquim.
“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só 
é possível concluir que a defasagem entre A e B é 
de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio.
2
Conjuntos e conjuntos numéricos
Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das 
afirmativas a seguir é verdadeira.
 I – Só Manuel está certo
 II – Só Joaquim está certo
 III – Só Antônio está certo
 IV – Os três estão certos
 V – Os três estão errados
 VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos 
três está certo.
  8.  (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respec-
tivamente, dos dígitos de um número natural. Por 
exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8. 
Sabendo-se que N é um númeronatural de dois 
dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de 
N é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 8
e) 9
  9.  (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação 
entre as sete notas musicais e números racionais:
DÓ rÉ mi Fá SoL Lá Si DÓ
1
8
9
64
81
3
4
2
3
16
27
128
243
1
2
Para encontrarmos o número 
16
27
 (relativo à nota 
LÁ), multiplicamos 
2
3
 (o correspondente da nota 
SOL) por 
8
9
.
Assim, para obtermos 
3
4
 (relativo à nota FÁ), devemos 
multiplicar 
64
81
 (da nota MI) por:
a) 
8
9
b) 
9
8
c) 
243
256
d) 
256
243
e) 
192
324
10.  (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se 
que 60% dos funcionários falam inglês, 45% 
falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma 
daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários 
falam inglês e espanhol, podemos concluir que o 
número de funcionários dessa empresa é igual a: 
a) 180 d) 165
b) 140 e) 127
c) 210
11.  (Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que 
a – b 5 c, então podemos afirmar que a 1 b 1 c é 
igual a: 
a) 2a d) 5a
b) 3a e) 6a
c) 4a
12.  (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão 
algébrica 
2x2 2 3xy
√ x2 1 3y 2 4 , para x 5 21 e y 5 4.
a) 
10
3
 d) 
13
7
b) 
11
3
 e) 
14
3
c) 
12
7
13.  (Enem-MEC) A classificação de um país no quadro 
de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do 
número de medalhas de ouro que obteve na com-
petição, tendo como critério de desempate o nú-
mero de medalhas de prata seguido do número de 
medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas 
de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no 
quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de 
ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro 
de medalhas é reproduzida a seguir:
Classifica-
ção País
medalhas 
de ouro
medalhas 
de prata
medalhas 
de bronze
Total de 
medalhas
8º Itália 10 11 11 32
9º
Coreia do 
Sul
9 12 9 30
10º
Grã-
Bretanha
9 9 12 30
11º Cuba 9 7 11 27
12º Ucrânia 9 5 9 23
13º Hungria 8 6 3 17
Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. 
Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).
3
Matemática Volume Único
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 
de prata e 10 de bronze, sem alterações no número 
de medalhas dos demais países mostrados no quadro, 
qual teria sido a classificação brasileira no quadro de 
medalhas das Olimpíadas de 2004? 
a) 13º
b) 12º
c) 11º
d) 10º
e) 9º
14.  (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os 
planetas é tão grande que seria possível colocá-
los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio 
é o menor de todos. Marte é o segundo menor: 
dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único 
com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno 
é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. 
Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 
23 Netunos.
Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras ca-
bem dentro de Júpiter? 
a) 406
b) 1 334
c) 4 002
d) 9 338
e) 28 014
15.  (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 , mostre que x 
é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x2.)
16.  (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade 
de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião 
junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre 
as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior. 
No questionário, pergunta-se sobre a aprovação 
de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame 
vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas 
na tabela abaixo:
Política 
pública Cotas Bolsas ENEm
Cotas 
e 
Bolsas
Bolsas 
e 
ENEm
Cotas 
e 
ENEm
Cotas, 
Bolsas 
e 
ENEm
Número 
de apro-
vações
226 147 418 53 85 116 44
Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar 
que:
a) a quantidade de alunos que não opinaram por 
nenhuma das três políticas é 12.
b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma 
política pública é 415.
c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma 
política é 167.
d) a quantidade de alunos que aprovam as três po-
líticas é 45.
e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos 
que aprovam somente o ENEM. 
17.  (UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as 
moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência:
1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra
1 real 5 0,18 libra
De acordo com esses dados, é correto afirmar que, 
nessa data, 1 dólar equivalia a:
a) R$ 3,40 d) R$ 3,55
b) R$ 3,45 e) R$ 3,60
c) R$ 3,50
18.  (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao 
intervalo 2√ 10, √ 15 ?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) Nenhum 
19.  (UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que 
tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos 
no ano X2. Considerando estas informações, analise 
as afirmações seguintes:
0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte.
1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936.
2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936.
3-3) Antônio nasceu em 1922.
4-4) Antônio nasceu em 1936.
20.  (UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. No primeiro, 
estão três décimos do total de figuras; no segundo, 
estão alguns oitavos do total de figuras e, no terceiro 
álbum, estão 15 figuras. Quantas figuras estão no 
segundo álbum?
a) 110 d) 125
b) 115 e) 130
c) 120
4
Conjuntos e conjuntos numéricos
21.  (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois 
concursos: um para gari e outro para assistente admi-
nistrativo. Nesses dois concursos, houve um total de 
6 500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente, 
870 fizeram prova somente do concurso para gari. 
Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 
4 630 não fizeram a prova do concurso para gari, 
é correto afirmar que o número de candidatos que 
fizeram provas dos dois concursos foi:
a) 4 630
b) 1 870
c) 1 300
d) 1 740
e) 1 000
22.  (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números 
irracionais a e b pode ser um número racional c. 
Assinale a única alternativa abaixo que exemplifica 
esta afirmação.
a) a 5 √ 12, b 5 √ 3 , c 5 √ 36
b) a 5 √ 9 , b 5 √ 4 , c 5 √ 36
c) a 5 √ 144, b 5 1
4
, c 5 √ 36
d) a 5 2√ 12, b 5 2√ 3 , c 5 2√ 36
e) a 5 √ 9, b 5 √ 4 , c 5 6
23.  (Uneb-BA) Considerem-se as proposições
 I – p é um número racional.
 II – Existe um número racional cujo quadrado é 2.
 III – Se a . 0, então 2a , 0.
 IV – Todo número primo é impar.
Com base nelas, é correto afirmar:
01) A proposição I é verdadeira.
02) A proposição II é verdadeira.
03) A proposição III é verdadeira.
04) As proposições I, II e IV são verdadeiras.
05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.
24.  (UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma 
quantidade de canetas, de determinada marca, em 
número inferior a 60 e superior a 1, que pretende 
oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as ca-
netas foram vendidas, e obteve-se um faturamento 
de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada 
uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual 
foi este preço?
a) R$ 0,73
b) R$ 0,72
c) R$ 0,71
d) R$ 0,70
e) R$ 0,69
25.  (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de 
nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e 
deixa a água imprópria para o consumo humano, 
ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério 
da Saúde limita a concentração de nitrato em, 
no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração 
ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é 
adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análi-
se feita na água de um reservatório de 12 000 , 
constatou a presença de nitrato na concentração 
de 15 mg/,.
Com base em tais informações, a quantidade míni-
ma de litros de água que se deve acrescentar para 
que o reservatório volte aos padrões normais de 
potabilidade é:
a) 6 000 ,
b) 4 000 ,
c) 12 000 ,
d) 18 000 ,
26.  (UF-PA) AOrquestra Sinfônica do Theatro da Paz 
(OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de 
instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro 
de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de 
cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. 
No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo 
que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de 
instrumentos mantenham a mesma proporção entre 
eles, o número de músicos de cordas e o número de 
músicos de metais passariam a ser respectivamente:
a) 54 e 22
b) 60 e 30
c) 50 e 20
d) 82 e 40
e) 81 e 33
Matemática Volume Único
5
respostas
  1.  e
  2.  a
  3.  04
  4.  01, 02, 04, 08
  5.  01 1 04 5 05
  6.  d
  7. Opção V
  8.  e
  9.  c
10. b
11. a
12. e
13. b
14. b
15. x 5 22
16. b
17. c
18. b
Conjuntos e conjuntos numéricos
19. F, F, V, V, F
20. d
21. e
22. a
23. 03
24. c
25. a
26. e
Funções
6
Funções
  1.  (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indi-
que a soma dos valores:
01) Dentre todos os retângulos com 40 m de períme-
tro, o de maior área é aquele com lado de 20 m 
e área de 400 m2.
02) Uma cidade é servida por três empresas de telefo-
nia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura 
de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. 
A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de 
R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A 
empresa Z não cobra assinatura mensal para até 
50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, 
o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. 
Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal 
a empresa X é mais vantajosa para o cliente do 
que as outras duas.
04) Em certa fábrica, durante o horário de traba-
lho, o custo de fabricação de x unidades é de 
C(x) 5 x2 1 x 1 500 reais. Num dia normal de 
trabalho, durante as t primeiras horas de pro-
dução, são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O 
gasto na produção, ao final da segunda hora, é 
de R$ 1 430,00.
08) Certa substância radioativa que se desintegra 
uniformemente ao longo do tempo tem sua 
quantidade ainda não desintegrada, após t anos, 
dada pela equação M(t) 5 M0 ? 2
2 
t
20 onde M0 
representa a quantidade inicial dessa substância. 
A porcentagem da quantidade ainda não desin-
tegrada após 40 anos em relação à quantidade 
inicial M0 é de, aproximadamente, 50%.
16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro 
pagou de impostos (em reais per capita) nos 
anos indicados.
1980
2 042 2 082 2 006
2 594
3 269
4 160
R$ 1 000
R$ 1 500
R$ 2 000
R$ 2 500
R$ 3 000
R$ 3 500
R$ 4 000
R$ 4 500
1985 1990 1995 2000 2005
Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-
se afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 
20% no gasto com impostos, em relação a 1995.
  2.  (U.F. Lavras-MG) A solução da equação 
log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log 
1
x
 satisfaz: 
a) log(log2(x)) 5 1
b) x 5 10
c) log2(log(x)) 5 1
d) x 5 10log(4)
  3.  (UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis 
retângulos com lados paralelos aos eixos coorde-
nados e vértices opostos sobre o gráfico da função 
f(x) 5 log2 x, x . 0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
y
f(x) 5 log2x
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a:
a) 2 unidades de área
b) 3 unidades de área
c) 4 unidades de área
d) 5 unidades de área
  4.  (UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21,  [ definida por 
f(x) 5 x2 2 4x 1 3
Então a função inversa f21 é:
a) f21(x) 5 2
b) f21(x) 5 
1
2
c) f21(x) 5 2 
115
3
d) f21(x) 5 2 1 
55
6
  5.  (U.E. Londrina-PR) Considere a função real definida 
por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, cujo gráfico é o seguinte:
7
Matemática Volume Único
y
x
Com base na situação exposta e nos conhecimentos 
sobre o tema, considere as seguintes afirmativas:
 I. D 5 b2 2 4ac . 0
 II. a(b 1 c) . 0
 III. f 
2b 2 2a
2a
 5 f 
2b 1 2a
2a
 
 IV. a √ D  . 0
Assinale a alternativa que contém todas as afirma-
ções corretas.
a) I e III.
b) III e IV.
c) I, II e III.
d) I, II e IV.
e) II, III e IV.
  6.  (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax2 1 bx 1 c é o 
ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a 
curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que:
a) a . 1, b , 1 e c , 4
b) a . 2, b . 3 e c . 4
c) a , 1, b , 1 e c . 4
d) a , 1, b . 1 e c . 4
e) a , 1, b , 1 e c , 4
  7.  (PUC-RS) A representação:
y
4
2
0 x222
22
24
24 4
é da função dada por y 5 f(x) 5 logn (x). O valor de 
logn (n
3 1 8) é 
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
  8.  (U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são 
expressões matemáticas que definem uma rela-
ção de igualdade. Dessa forma, dadas as funções 
f(x) 5 
1
(9x 2 1)
 e h(x) 5 3x 1 1, para que seus gráficos 
tenham um ponto em comum, deve existir um valor 
de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas 
funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:
a) (1, 21)
b) (21, 1)
c) (3, 81)
d) 
1
3
, 
4
3
 
e) 
1
3
, 33 √ 3 
  9.  (U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno 
de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, 
surgiu uma situação de perigo, em que houve ne-
cessidade de disparar um sinalizador para avisar o 
restante do grupo que ficara no acampamento.
A função que descreve o movimento do sinal lumino-
so é dada por h(t) 5 30t 2 3t2, onde h é a altura do 
sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, 
desde o disparo até o momento em que o sinalizador 
cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo 
sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, 
respectivamente:
a) 75 m e 10 s
b) 75 m e 5 s
c) 74 m e 10 s
d) 74 m e 5 s
e) 70 m e 5 s
10.  (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números 
naturais que pertencem ao conjunto solução de: 
(3 2 x) ? (x2 2 1)
x 1 2
 > 0 é igual a:
a) 13
8
Funções
b) 14
c) 15
d) 19
e) 20
11.  (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião 
com 200 lugares para uma semana de férias, devendo 
cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte 
aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do 
avião que ficasse vago. Nessas condições, o número 
de passagens vendidas que torna máxima a quantia 
arrecadada por essa empresa é igual a:
a) 100
b) 125
c) 150
d) 180
12.  (PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma 
escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um 
produto em conserva, segue a seguinte função de 
tempo, t, em meses:
V 5 e2t, t > 0
Onde: e 5 2,7183
É CORRETO afirmar:
 I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade cor-
responde a 36,79%.
 II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade 
corresponde a 0,25%.
 III. Quanto mais próximo do dia da produção maior 
o frescor.
a) Somente a alternativa III está correta.
b) As alternativas I e III estão corretas.
c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas.
d) As alternativas II e III estão corretas.
e) Nenhuma das alternativas está correta.
13.  (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação:
  (2x 2 2)3  
 x 1 3
 . 4x
é:
a) S 5 {x   | 21 , x , 6}
b) S 5 {x   | x , 26 ou x . 1} 
c) S 5 {x   | x , 21 ou x . 6}
d) S 5 {x   | 26 , x , 1}
e) S 5 {x   | x , 2 √ 6 ou x . √ 6 }
14.  (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da 
função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é:
a) y
4
3
2
1
x21022 2123
b) y
4
3
2
1
x4320 121
c) y
2
1
x1022 2123
d) y
4
3
2
1
x2 31022 212324
 
e) y
3
2
1
x2 31022 21
21
22
23
15.  (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis ofere-
cem planos diferentes para a diária de um veículo 
econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa 
fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro 
rodado. Já a locadora Mercúrio temum plano mais 
elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com 
uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode 
percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, 
para cada km rodado além dos 200 km incluídos na 
franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.
Wind
Lápis
Wind
Lápis
Wind
Lápis
9
Matemática Volume Único
a) Para cada locadora, represente no gráfico a função 
que descreve o custo diário de locação em termos 
da distância percorrida no dia.
b) Determine para quais intervalos cada locadora 
tem o plano mais barato. Supondo que a locadora 
Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indi-
que qual deve ser seu novo custo por km rodado 
para que ela, lucrando o máximo possível, tenha 
o plano mais vantajoso para clientes que rodam 
quaisquer distâncias.
16.  (Fuvest-SP) A função f:  →  tem como gráfico uma 
parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo 
número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre 
quando x é igual a:
a) 
11
6
b) 
7
6
c) 
5
6
d) 0
e) 2 
5
6
17.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções 
f(x) 5 
2x 1 1
x 2 1
 e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for 
correto. Indique a soma dos valores.
01) O domínio da função f é {x   | x . 1} 
02) A função f assume valores estritamente positivos 
para x , 2 
1
2
 ou x . 1
04) g(f(2)) 5 10
08) A função inversa de g é definida por g21(x) 5 
5 
x 1 5
3
16) f 
1
x
 5 2f(x)
18.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de  
em  definida por f(x) 5 3x 1 2, assinale o que for 
correto.
Indique a soma dos valores.
01) f(f(0)) 5 29
02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [
04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b)
08) A função é decrescente
16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x
19.  (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala 
Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da 
energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, 
o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, 
na base 10, do inverso da concentração de íons H1.
Considere as seguintes afirmações:
 I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas 
justifica-se pelas variações exponenciais das gran-
dezas envolvidas.
 II. A concentração de íons H1 de uma solução ácida 
com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma 
solução alcalina com pH 8.
 III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala 
Richter libera duas vezes mais energia que outro, 
de magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
20.  (UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado 
MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 
16 cm2.
A
Q
D
B
N
C
P
M
Determine:
a) as medidas de AM e MB para que a área do qua-
drado MNPQ seja igual a 9 cm2.
b) as medidas de AM e MB para que a área do qua-
drado MNPQ seja a menor possível.
Justifique suas respostas.
21.  (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencial-
mente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será 
dado por V 5 Ae2kx, em que e 5 2,7182… . Hoje, 
o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá 
R$ 30 000,00.
10
Funções
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos 
será: 
a) R$ 17 500,00
b) R$ 20 000,00
c) R$ 22 500,00
d) R$ 25 000,00
e) R$ 27 500,00
22.  (Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa 
WQTU Cosmético vende um determinado produto, 
cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 
3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela 
função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades 
do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas 
unidades precisa vender para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendi-
das pela empresa WQTU para a obtenção do maior 
lucro é:
a) 10 d) 116
b) 30 e) 232
c) 58
23.  (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Por-
tuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais 
devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas 
(Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses im-
postos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens 
de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. 
E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias 
(secos e molhados, entre outros) que entravam em 
Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 
1,125 contos de réis por arroba de peso.
O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas 
e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII.
1 700
0
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
(Em Contos de Réis)
Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais
1 720 1 740 1 760 1 780 1 800
Entradas Dízimos
Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro, 
ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado].
Com base nessas informações, em 1760, na capitania 
de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias, 
sobre as quais foram cobradas entradas, foi de apro-
ximadamente: 
a) 1 000
b) 60 000
c) 80 000
d) 100 000
e) 750 000
24.  (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até 
parar, após ter os freios acionados, depende de inú-
meros fatores. Essa distância em metros pode ser cal-
culada aproximadamente pela expressão D 5 V
2
250 
, 
onde V é a velocidade em km/h no momento inicial 
da frenagem e  é um coeficiente adimensional que 
depende das características dos pneus e do asfalto.
Considere que o tempo de reação de um condutor é 
de um segundo, do instante em que vê um obstáculo 
até acionar os freios. Com base nessas informações, e 
considerando  5 0,8, qual é a distância aproximada 
percorrida por um automóvel do instante em que o 
condutor vê um obstáculo, até parar completamente, 
se estiver trafegando com velocidade constante de 
90 km/h?
a) 25,0 m
b) 40,5 m
c) 65,5 m
d) 72,0 m
e) 105,5 m
25.  (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x) . Se o 
gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio 
de f é o conjunto:
4
3
2
1
2 3 4102221
21
22
2324
a) {x   | x > 0}
b) {x   | x < 22 ou x > 2}
c) {x   | 0 < x < 2}
d) {x   | 22 < x < 2}
Wind
Lápis
Wind
Lápis
11
Matemática Volume Único
26.  (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado 
por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 
meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 2
2 
t
15 , onde t 
é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, 
representa a variação do valor desse equipamento. 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar 
que o valor do equipamento após 45 meses de uso 
será igual a:
a) R$ 3 750,00 c) R$ 10 000,00
b) R$ 7 500,00 d) R$ 20 000,00
27.  (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x4 2 40x2 1 144 
e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4)
a) Para quais valores de x temos f(x) , 0?
b) Para quais valores de x temos g(x) , 0?
c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0?
28.  (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola 
de equação y 5 x2 2 x 2 6, a área do triângulo ABC 
é:
B C
A
a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12
29.  (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório 
aumenta em função do tempo, de acordo com o 
gráfico abaixo:
t(h)
V(m3)
3
1
Para encher este reservatório de água com 2 500 
litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário 
para que o reservatório fique completamente cheio?
a) 7h
b) 6h50min
c) 6h30min
d) 7h30min
e) 7h50min
30.  (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depen-
de da temperatura. Uma equação que relaciona essa 
velocidade v (em metros por segundo) com a tempe-
ratura t (em graus Celsius) de maneira aproximada 
é v 5 20 t 1 273. Com base nessas informações, 
responda às seguintes perguntas:
a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 
27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73)
b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é 
de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a 
que temperatura?
31.  (UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14milhões de usuários residenciais na rede mundial de 
computadores. Em fevereiro de 2008, esses internau-
tas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou 
57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não 
usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só 
são atendidos pela rede discada”.
Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, Ed. Abril.
Baseando-se nessa informação, observe o gráfico 
a seguir:
(mês)
22
JAN/08 FEV/08
14
(milhões de usuários)
Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de 
crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o 
número de usuários residenciais de computadores, 
em dezembro de 2009, será igual a:
a) 178 3 106
b) 174 3 105
c) 182 3 107
d) 198 3 106
12
Funções
32.  (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos 
utilizam filtros de luz em seus instrumentos de ob-
servação.
Admita um filtro que deixe passar 
4
5
 da intensidade 
da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade 
a menos de 10% da original, foi necessário utilizar 
n filtros.
Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n 
é igual a: 
a) 9 c) 11
b) 10 d) 12
33.  (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um 
ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A 
e B, conforme representado no sistema de eixos 
ortogonais:
x (m)
y (m)
A B350
C
D
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas 
com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é y 5 
2x2
75
 1 
2x
5
.
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao 
ponto B, em metros, é igual a: 
a) 38 
b) 40
c) 45
d) 50
34.  (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7, 
é correto afirmar que log5 20 corresponde a:
a) Exatamente 2.
b) Exatamente 0,6.
c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.
d) Um valor entre 1,8 e 1,9.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
35.  (UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número 
inteiro par que satisfaz a desigualdade
x2 2 32x 1 252 , 0. O número que representa a 
idade de Paulo pertence ao conjunto 
a) {12, 13, 14}
b) {15, 16, 17}
c) {18, 19, 20}
d) {21, 22, 23}
36.  (FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem 
as seguintes características:
O vértice é o ponto (4, 21).
Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).
O ponto de interseção do gráfico com o eixo das 
ordenadas é: 
a) (0, 14)
b) (0, 15)
c) (0, 16)
d) (0, 17)
e) (0, 18)
37.  (FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem cres-
cido mais rapidamente que o valor da cesta básica, 
contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da 
população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do 
salário mínimo e do valor da cesta básica na região 
Nordeste, a partir de 2005.
y
R$ 300,00
R$ 510,00
Salário Mínimo
Cesta Básica
R$ 184,00
R$ 154,00
2005 2006 2007 2008 2009 2010
x0 1 2 3 4 5
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais 
dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta 
básica, na região Nordeste, possam ser aproxi-
mados mediante funções polinomiais do 1º grau, 
f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos 
transcorridos após 2005.
a) Determine as funções que expressam os cresci-
mentos anuais dos valores do salário mínimo e 
dos preços da cesta básica, na região Nordeste.
b) Em que ano, aproximadamente, um salário míni-
mo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, 
na região Nordeste? Dê a resposta aproximando 
o número de anos, após 2005, ao inteiro mais 
próximo.
13
Matemática Volume Único
38.  (Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas 
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, 
considerando que a variação nesse número entre os 
anos considerados é linear.
372
1980 1992 2004
573
750
Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se 
mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o 
número de favelas em 2010 é 968, então o número 
de favelas em 2016 será:
a) menor que 1 150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1 200.
39.  (Enem-MEC) Nos processos industriais, como na 
indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos 
capazes de produzir elevadas temperaturas e, em 
muitas situações, o tempo de elevação dessa tempe-
ratura deve ser controlado, para garantir a qualidade 
do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado 
para elevar a temperatura ao longo do tempo de 
acordo com a função:
 
7
5
 t 1 20, para 0 < t < 100
T(t) 5 
 
2
125
 t2 2 
16
5
 t 1 320, para t > 100
em que T é o valor da temperatura atingida pelo 
forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, 
decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48 °C e retirada quando a tempe-
ratura for 200 °C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em 
minutos, igual a:
a) 100 d) 130
b) 108 e) 150
c) 128
40.  (UF-RJ) Considere o programa representado pelo 
seguinte fluxograma:
Entre com o 
valor de x
Calcule 
√ x 2 1
Calcule 
2x22
Calcule 
(x 1 2)1/3
Verifique: 
√ x 2 1 . 1?
SIM NÃO
a) Determine os valores reais de x para os quais é 
possível executar esse programa.
b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.
41.  (U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I, II e III, a seguir, 
esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos 
teóricos que descrevem a população de três espécies 
de pássaros ao longo do tempo.
tempo
população
I
 
tempo
população
II
 
tempo
população
III
Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% 
ao ano, que a população da espécie B aumenta 100 
pássaros ao ano e que a população da espécie C 
permanece estável ao longo dos anos.
Assim, a evolução das populações das espécies A, B 
e C, ao longo do tempo, correspondem, respectiva-
mente, aos gráficos 
a) I, III e II. d) III, I e II.
b) II, I e III. e) III, II e I.
c) II, III e I.
42.  (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta nume-
rada, e sua posição (em metros) em relação à origem 
é dada, em função do tempo t (em segundos), por 
P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t.
2
8
P(t)
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial 
(t 5 0).
14
Funções
b) Determine a medida do segmento de reta corres-
pondente ao conjunto dos pontos obtidos pela 
variação de t no intervalo 0, 32 .
43.  (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como 
se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo 
alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. 
Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus deter-
minou que, dentro de certas condições, o percentual 
P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém 
após t semanas pode ser aproximado pela fórmula:
P 5 (100 2 a) ? bt 1 a,
sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. 
Se essa fórmula é válida para um certo estudante, 
com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que 
o percentual se reduza a 28% será:
a) entre uma e duas semanas.
b) entre duas e três semanas.
c) entre três e quatro semanas.
d) entre quatro e cinco semanas.
e) entre cinco e seis semanas.
44.  (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3. 
A soma dos valores absolutos das raízes da equação 
f(g(x)) 5 g(x) é igual a:
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
45.  (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quan-
tia inicial em um determinado fundo de investimento. 
Suponha que a função F, que fornece o valor, em 
reais, que essa pessoa possui investido em relação 
ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2)t.
O tempo t, em meses, é contado a partir do instante 
do investimento inicial.
a) Qual foi a quantia inicial aplicada?
b) Quanto essa pessoa teria no fundode investimento 
após 5 meses da aplicação inicial?
c) Utilizando os valores aproximados log10 2 5 0,3 e 
log10 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante 
do investimento inicial, seriam necessários para 
que essa pessoa possuísse, no fundo de investi-
mento, uma quantia igual a R$ 2 700,00?
46.  (UF-PI) Sejam a, b  , a  0, b  0, satisfazendo 
a equação 23a 1 b 5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e 
log 3 5 0,48, é correto afirmar que
a) 
b
a
 5 2 
7
5
b) se 3a 2 b 5 1, então a 5 
8
5
c) a 5 2b
d) 
b
a
 5 2
e) a 5 b 5 log 3
47.  (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D   → , 
definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| , pode-se afirmar 
que
a) contém somente seis números inteiros.
b) possui dois inteiros positivos.
c) é um intervalo de comprimento igual a seis uni-
dades.
d) não possui números racionais.
e) é um conjunto finito.
48.  (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se 
por uma dinâmica de crescimento particular. Quan-
do colocada em meio de cultura, sua população 
mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia 
em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua 
quantidade a cada 8 horas.
Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias 
desse tipo foi colocada em meio de cultura.
Considerando essas informações,
1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias 
em meio de cultura.
2. DETERMINE a expressão da população P, de bac-
térias, em função do tempo t em dias.
3. CALCULE o tempo necessário para que a popu-
lação de bactérias se torne 30 vezes a população 
inicial.
(Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.)
49.  (UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria-
prima, para produzir x unidades de um produto, é 
dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de 
unidades produzidas desse produto, após t horas, 
0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 
1
2
 t2.
a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a 
10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para 
t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados.
b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)), 
que corresponde ao custo em função das horas (t).
15
Matemática Volume Único
50.  (UF-AM) O produto dos números naturais que satis-
fazem a inequação 
x
x 2 5
 < 
x 2 5
x
 é:
a) 12 d) 2
b) 2 e) 1
c) 60
51.  (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais 
f(x) 5 log3(x 1 1), g(x) 5 log2 x e h(x) 5 log 4x, pode-
se afimar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é
01) 8 04) 22
02) 2 05) 23
03) 0
52.  (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa, 
mas parece que o número de acidentes nas rodovias e 
estradas não está sendo suficiente para convencer os 
motoristas a abandonarem o volante depois de umas 
doses de álcool. Então, para evitar essa combinação 
perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina 
a punição muito mais rigorosa para os condutores 
bêbados.
Sobre a concentração de álcool (etanol) no organis-
mo, um recente estudo científico concluiu que essa 
decai linearmente em função do tempo. Em outros 
termos, a concentração pode ser descrita por uma 
função do tipo
C(t) 5 a ? t 1 b
Após o consumo de certa quantidade de álcool, 
verifica-se que a concentração de álcool no sangue de 
uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de 
113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão, 
é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, cons-
ciente de suas responsabilidades, só voltará a dirigir 
quando a concentração de álcool em seu sangue for 
zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela 
deve esperar para voltar a dirigir?
a) 8,2 horas d) 7,9 horas
b) 2,0 horas e) 8,6 horas
c) 9,7 horas
53.  (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica 
sob a resistência de uma força de atrito. O decaimen-
to da energia total é descrito pela função E(t) 5 E0e
2at, 
onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do 
instante inicial t0 5 0; a . 0 é uma constante real; 
e E0 é a energia inicial da corda. Considerando que 
em 7 segundos, a partir de t0, a energia da corda cai 
pela metade, o tempo necessário, para que a energia 
seja reduzida a 20% de E0, é:
Use: 
e0,7 5 2; e1,6 5 5
a) 16 s d) 18 s
b) 15 s e) 19 s
c) 14 s
54.  (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um 
dado terremoto na escala Richter é R 5 log10(I/I0), 
com I0 sendo a intensidade de um abalo quase im-
perceptível e I a intensidade de um terremoto dada 
em termos de um múltiplo de I0. Se um sismógrafo 
detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I0, 
qual a intensidade do terremoto na escala Richter? 
Indique o valor mais próximo.
Dado: use a aproximação log10 2  0,30.
a) 3,0 d) 4,5
b) 3,5 e) 5,0
c) 4,0
55.  (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto 
somente por encomenda de, no mínimo, 500 uni-
dades e, no máximo, 3 000 unidades.
O preço P, em reais, de cada unidade desse produto 
é fixado, de acordo com o número x de unidades 
encomendadas, por meio desta equação:
P 5 
90, se 500 < x < 1 000.
100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000.
O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades 
desse produto é calculado pela equação
C 5 60x 1 10 000
O lucro L apurado com a venda de x unidades desse 
produto corresponde à diferença entre a receita 
apurada com a venda dessa quantidade e o custo 
relativo à sua produção.
Considerando essas informações,
1. ESCREVA a expressão do lucro L corresponden-
te à venda de x unidades desse produto para 
500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000.
2. CALCULE o preço da unidade desse produto cor-
respondente à encomenda que maximiza o lucro.
3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma 
encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo 
menos, R$ 26 400,00.
56.  (UF-AL) Associe aos gráficos a seguir, enumerados de 
1 a 4, as funções correspondentes, que têm como 
16
Funções
domínio e contradomínio o conjunto dos números 
reais, e assinale a sequência obtida, de cima para 
baixo.
1) 2) 
3) 4) 
( ) y 5 |22x 2 1|
( ) y 5 |x2 2 3x 1 2|
( ) y 5 2 2 |x 1 1|
( ) y 5 |x|
A sequência correta é:
a) 3, 4, 1, 2 d) 1, 4, 3, 2
b) 3, 2, 1, 4 e) 4, 1, 3, 2
c) 2, 3, 4, 1
57.  (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das ár-
vores de grande porte da floresta amazônica é medir 
a quantidade do isótopo radioativo C14 presente no 
centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma 
castanheira, verificou-se que a quantidade de C14 
presente era de 84% da quantidade existente na 
atmosfera. Sabendo-se que o C14 tem decaimento 
exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e 
considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e 
In(0.84) 5 20.17, podemos afirmar que a idade, em 
anos, da castanheira é aproximadamente
a) 420 d) 1 430
b) 750 e) 1 700
c) 1 030
58.  (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido, 
de modo que a pressão P no seu interior varia com 
o tempo e a partir de um determinado valor, con-
1
1,5
2
20,5
21
1 2022 212324
0,5
1
1,5
2
1 2 3022 2123
0,5
2
3
4
5
6
7
1 2 3022 2123
1
2
3
4
5
6
3 420 121
1
forme o gráfico a seguir. A função que representa a 
pressão P no interior do reservatório em um instante 
t (minutos) tem lei de correspondência:
t
6
P(t)
5
4
3
0 2 4 6
a) y 5 
2
3
 x 1 3
b) y 5 x 1 3
c) y 5 
1
2
 x 1 2
d) y 5 
1
2
 x 1 3 
e) y 5 2 
1
2
 x 1 3
59.  (UF-AM) Considere a função f:  →  dada por 
f(x) 5 |3x 2 2|.
Com relação à função acima considere as afirmações:
 I. f é injetora.
 II. O valor mínimo assumido por f é zero.
 III. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de 
coordenadas (0, 22).
 IV. O gráfico de f é uma reta.
 V. f é uma função par. 
Então:
a) Somente V é verdadeira.
b) Somente I e II são falsas.
c) Somente II é verdadeira.
d)Somente III é verdadeira.
e) Todas são falsas.
60.  (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem 
exponencialmente, com taxas anuais de crescimento 
de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população 
de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 
11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de 
hoje, as populações das duas cidades serão iguais? 
Dados: use as aproximações In(1,03/1,02)  0,01 e 
In(11/9)  0,20.
a) 2 anos d) 15 anos
b) 6 anos e) 20 anos
c) 10 anos
17
Matemática Volume Único
61.  (UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou 
que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na 
fórmula x2 1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40 nú-
meros primos. No plano de coordenadas cartesianas 
xOy considerando y 5 g(x) 5 x2 1 x 1 41, conclui-se 
que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem 
a uma parábola que:
a) intercepta o eixo das ordenadas em um número 
composto.
b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39].
c) intercepta o eixo das abscissas em dois números 
primos.
d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos 
por Euler.
62.  (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de 
um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento 
de Newton, segundo a qual a taxa da variação da 
temperatura de um corpo é proporcional à diferença 
entre as temperaturas do corpo e do meio externo. 
Nesse sentido, suponha que, na investigação de um 
homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em 
°C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função 
T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt, em que: t0 5 0 representa 
o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0 
corresponde, em módulo, à quantidade de horas 
decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0 
representa a quantidade de horas decorridas desde 
a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva. 
Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do 
óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que, 
duas horas após a descoberta do corpo, a temperatu-
ra do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0,7, 
In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes.
a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua 
temperatura era inferior a 30 °C.
b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada 
por t 5 t(T) 5 
1
k
 In 
10
T 2 22
 .
c) O valor de k, em h21 é superior a 
5
8
.
d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocor-
reu 40 minutos antes da descoberta do cadáver.
e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o 
gráfico de T 5 T(t), válido a partir do momento 
em que o indivíduo morre, representa uma função 
decrescente que se inicia no 1º quadrante.
f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se 
aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca 
chega a atingi-la.
63.  (UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido 
em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar 
o contorno de um quadrado e o de um hexágono 
regular. 
Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas 
do quadrado e do hexágono regular seja a menor 
possível, qual o perímetro do hexágono?
a) (2 3 2 3)c d) 3
c
6
b) 
c
2
 e) 
2c
5
c) 2
c
3
64.  (UF-SE) Sejam f e g funções de  em  tais que f é do 
primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x2 2 4x 2 5. 
A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e 
g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais.
0
9
16
7
x
y
Use as informações dadas para analisar as sentenças 
seguintes.
a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23).
b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das abs-
cissas nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0).
c) Em , o conjunto solução da inequação g(x) < 
< f(x) é [22, 7].
d) O coeficiente angular da reta que representa f é 
igual a 1.
e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e 
y 5 |g(x)| têm três pontos comuns.
65.  (UF-AM) Sejam f:  →  e g:  →  funções 
de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e 
g(x) 5 ax 1 b. Se (g  f)(x) 5 (f  g)(x), então, pode-
mos concluir que:
a) b 5 a 2 2 d) b 5 a 1 1
b) b 5 a 2 1 e) b 5 a 1 2
c) b 5 a
Funções
18
respostas
  1.  02 1 04 5 06 8. e
  2.  c 9. a
  3.  a 10. b
  4.  a 11. b
  5.  c 12. c
  6.  d 13. c
  7.  b 14. a
15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e 
 C (x) 
 90, se 0 < x < 200
0,6 ? x 2 30, se x . 200
(locadora Mercúrio)
 x: número de quilômetros percorridos.
 
30
90
190
210
Distância percorrida (km)
C
us
to
 d
e 
lo
ca
çã
o 
(R
$)
200 400
Cm
Cs
b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300
 Mercúrio: 150 < x < 300
 R$ 0,30 por quilômetro rodado.
16. c 18. 01 1 02 1 16 5 19
17. 02 1 04 1 08 5 14 19. d
20. a) AM 5 2 2 √ 2
2
 e MB 5 2 1 √ 2
2
b) AM 5 MB 5 2
21. c 23. d 25. d
22. b 24. c 26. b
27. a) S 5 {x   | x , 24 ou 0 , x , 4}
b) S 5 {x   | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6}
c) S 5 {x   | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0 
ou 2 , x , 4 ou x . 6}
28. c 
29. d
30. a) 346 m/s b) 16 °C
31. d 34. d
32. c 35. b
33. b 36. b
37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300
 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154
b) Em 2012
38. c 39. d
Funções
40. a) x > 0 
b) x 5 0 → 3√ 2 
 x 5 4 → 3√ 6 
 x 5 9 → 
2
81
41. e
42. a) 2 m b) 9 m
43. c 44. d
45. a) 100 reais
b) aproximadamente R$ 249,00
c) 18 meses
46. a 47. c
48. 1) 4 096 bactérias
2) P(t) 5 
1 000; se 0 < t < 2
1 000 ? 23(t 2 2); se t . 2
3) 3,63 dias
49. a) x C t Q
10 100 2 10
16 160 4 16
18 180 6 18
b) 
 
180
60 12
50. a 53. a
51. 01 54. d
52. a
55. 1) L(x) 5 
30x 2 10 000; se 500 < x < 1 000
20,01x2 1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000
2) 80 reais
3) 1400 unidades
56. a 59. c
57. d 60. e
58. d 61. b
62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V
63. a 65. b
64. São verdadeiras: b, c, d.
Matemática Volume Único
19
  1.  (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da 
sequência (1, √ 3 , √ 3 2, √ 3 3, √ 3 4,..., √ 3 n21) seja 314, 
deverão ser considerados, nessa sequência:
a) 8 termos
b) 6 termos
c) 10 termos
d) 9 termos
e) 7 termos
  2.  (UF-RS) Considere o padrão de construção represen-
tado pelos desenhos a seguir.
Etapa 1
 
Etapa 2
 
Etapa 3
Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na 
Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro qua-
drados congruentes, sendo um deles retirado, como 
indica a figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo 
processo é repetido em cada um dos quadrados da 
etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de:
a) 100 
1
4
5
b) 100 
1
3
6 
c) 100 
1
3
5 
d) 100 
3
4
6 
e) 100 
3
4
5 
  3.  (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma 
progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos 
seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre 
o segundo e o primeiro termos dessa progressão, 
nessa ordem, é:
a) 1024 d) 1021
b) 1023 e) 1
c) 1022
Progressões
  4.  (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último in-
verno, foram suspensos alguns concertos em lugares 
fechados.
Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares 
abertos, como parques ou praças. Para uma apre-
sentação, precisou-se compor uma plateia com oito 
filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 
cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 
cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a) 384
b) 192
c) 168
d) 92
e) 80
  5.  (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como 
mostra a sequência de figuras abaixo:
quadrado original
 
passo 1
 
 
passo 2
 
passo 3
No passo 1, metade do quadrado original é preen-
chido. No passo 2, metade da área não coberta no 
passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da 
área não coberta nos passos anteriores é preenchida, 
e assim por diante.
a) No passo 4, quepercentual do quadrado original 
estará preenchido?
b) Qual é o número mínimo de passos necessários 
para que 99,9% do quadrado original seja preen-
chido?
  6.  (UF-BA) Considerando-se as sequências (an) e (bn) 
definidas por:
an 5 (21)
n 
n2
n2 1 1
 e 
b1 5 1
bn 1 1 5 
n 1 2
n 1 1
 bn
20
Progressões
01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer 
da sequência (an) é um número negativo.
02) Para qualquer n, tem-se 21 , an , 1.
04) A sequência (bn) é crescente.
08) Existe n tal que an 5 
1
2
.
16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética.
32) A sequência (an) é uma progressão geométrica 
de razão negativa.
  7.  (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam 
aumentar o número de integrantes usando estraté-
gias agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, 
espera conseguir 100 novos integrantes em um pe-
ríodo de uma semana e dobrar o número de novos 
participantes a cada semana subsequente. Assim, 
entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 
200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, 
acredita que conseguirá mais 100 associados na 
primeira semana e que, a cada semana subsequente, 
aumentará o número de internautas novos em 100 
pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no 
site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 
300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair 
daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A 
espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à 
marca dos 10 000 membros? 
  8.  (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a1 é o quádruplo de 
sua razão e a20 é igual a 69, sua razão será:
a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3
  9.  (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade 
com seus alunos utilizando canudos de refrigerante 
para montar figuras, onde cada lado foi representado 
por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada 
figura depende da quantidade de quadrados (Q) que 
formam cada figura. A estrutura de formação das 
figuras está representada a seguir.
Figura I
 
Figura II
 
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em 
função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C 5 4Q d) C 5 Q 1 3
b) C 5 3Q 1 1 e) C 5 4Q 2 2
c) C 5 4Q 2 1
10.  (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, 
os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que 
resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um 
sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”
A
G
B 
PH
O
TO
/T
PG
Papiro de Rhind
21
Matemática Volume Único
Coube ao homem que recebeu a parte maior da 
divisão acima a quantidade de 
a) 
115
3 
pães
b) 
55
6 
pães
c) 20 pães
d) 
65
6
 pães
e) 35 pães
11.  (UEL-PR) A solução da equação logarítmica:
log
3
x 1 log
3
x2 1 ... 1 log
3
x49 1 log
3
x50 5 2 550
é:
a) x 5 1
b) x 5 3
c) x 5 9
d) x 5 log
3
 1 275
e) x 5 log
3
 2 550
12.  (UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a 
partir do segundo, é obtido adicionando-se uma 
unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo 
dessa sequência é:
a) 211 2 1
b) 211 1 1
c) 212 2 1
d) 212 1 1
e) 213 2 1
13.  (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infi-
nitos, utilizados em demonstrações matemáticas de 
sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) 
propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos 
paradoxos mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O 
escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da 
seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tarta-
ruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes 
mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de 
vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tarta-
ruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga 
corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a 
tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse 
centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre 
esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, 
e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode 
correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percor-
rida por Aquiles nessa fábula é igual a
d 5 10 1 1 1 
1
10
 1 
1
102
 1 ...5 10 1 
 ∑
n50
 
1
10
n
É correto afirmar que: 
a) d 5 1
b) d 5 11,11
c) d 5 
91
9
d) d 5 12
e) d 5 
100
9
14.  (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência 
abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____ 
15.  (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de 
cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada 
choque com o solo, ela recupera apenas 
1
2
 da altura 
anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos ver-
ticalmente) efetuados pela bola até o momento de 
repouso é:
a) 12 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 16 m
16.  (UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obe-
dece às seguintes regras:
– antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve 
adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, 
dizendo “cara” ou “coroa”;
– quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, 
em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; 
ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e 
assim sucessivamente;
– em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma 
sigla.
22
Progressões
Veja o quadro que ilustra o jogo:
ordem de erro Letras escritas
1º UERJ
2º UERJUERJ
3º UERJUERJUERJ
4º UERJUERJUERJUERJ
-
-
-
nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ
O jogo terminará quando o número total de letras 
escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual 
a dez vezes o número de letras escritas, considerando 
apenas o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas 
até o final do jogo.
17.  (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência 
de números tal que a diferença entre cada um desses 
termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é 
constante. Essa diferença constante é chamada “ra-
zão da progressão aritmética” e usualmente indicada 
por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) 
de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula 
da soma dos termos de índice par dessa PA, em 
função de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a 
soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...) 
seja positiva? 
18.  (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima, 
foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um pe-
ríodo de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira 
que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a 
partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora 
anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse 
período, foram extraídos 18 360 barris, o número de 
barris extraídos, na primeira hora, foi:
a) 1 180 d) 1 190
b) 1 020 e) 1 090
c) 1 065
19.  (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita 
de números reais da forma a1, a2, a3,... com razão r. 
Formando a sequência b1, b2, b3,... na qual bn 5 a4n, 
n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afirmar que, necessaria-
mente,
a) b1, b2, b3,... forma uma progressão geométrica de 
razão 4r.
b) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética de 
razão 4r.
c) b1, b2, b3,... forma uma progressão aritmética cuja 
razão não depende de r.
d) b1, b2, b3,... não forma, necessariamente, nem 
uma progressão aritmética nem uma progressão 
geométrica.
e) b1, b2, b3,... independentemente do valor de r, for-
mam uma sequência que é tanto uma progressão 
aritmética quantouma progressão geométrica.
20.  (UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São 
Paulo, é uma das mais importantes provas de rua 
disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João, 
que treina em uma pista circular de 400 m, pretende 
participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a 
seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na 
primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2 
voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova.
a) A sequência numérica formada pela estratégia 
adotada por João é uma progressão geométrica 
ou uma progressão aritmética? Justifique sua 
resposta.
b) Determine em que semana do treinamento João 
atingirá a distância exigida na prova.
21.  (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos 
inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então 
o valor de 
b
a
21
 está no intervalo real:
a) [2, 4[ d) ]21, 0]
b) [1, 3[ e) ]0, 2[
c) [4, 6]
22.  (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em 
uma sequência infinita de “quadrados” formados 
por quatro linhas e quatro colunas, representados a 
seguir:
1 2 3 4 17 18 19 20
...
5 6 7 8 21 22 23 24
9 10 11 12 25 26 27 28
13 14 15 16 29 30 31 32
Em qual linha e coluna de um determinado quadrado 
desta sequência está localizado o número 2009?
a) 1ª linha e 3ª coluna
b) 3ª linha e 1ª coluna
23
Matemática Volume Único
c) 4ª linha e 2ª coluna
d) 2ª linha e 4ª coluna
e) 4ª linha e 1ª coluna
23.  (UE-PI) Três números reais positivos formam uma pro-
gressão aritmética, e outros três formam uma progres- 
são geométrica. Multiplicando os termos da pro-
gressão geométrica obtém-se 123. Adicionando 
os termos correspondentes nas duas progressões 
obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da 
progressão aritmética?
a) 
1
3
 d) 3
b) 2 e) 
1
5
c) 
1
2
24.  (UnB-DF)
nível I
 
nível II
 
nível III
A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da 
construção de um fractal utilizando-se como ponto de 
partida um triminó – nível I –, que consiste em uma 
peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado 
cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, 
substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por 
um triminó, que tem os comprimentos dos lados de 
seus quadradinhos adequadamente ajustados à situa-
ção, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme 
ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir 
do fractal de nível II, também substituindo-se cada um 
de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O 
processo continua dessa forma, sucessiva e indefinida-
mente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... .
Com base nessas informações, julgue os itens que 
se seguem.
a) No fractal de nível n, há 3n quadradinhos som-
breados.
b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual 
a 8 cm.
c) A área do fractal de nível V correspondente aos 
quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2.
d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível 
n correspondente aos quadradinhos sombreados 
aproxima-se cada vez mais de 1 cm2.
e) No quarto passo da construção, será obtido o 
fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:
f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de 
uma reta que bissecta o ângulo interno inferior 
esquerdo do quadradinho localizado no canto 
inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão 
congruentes, o que mostra ser essa estrutura 
simétrica em relação a essa reta.
g) O fractal de nível II pode ser considerado uma 
planificação de um poliedro convexo de 9 faces.
25.  (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m 
sobre uma superfície plana, observa-se que, devido 
a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera 
apenas 
3
8
 da altura anterior. Admitindo-se que o 
deslocamento da bola ocorra somente na direção 
vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola 
pulando para cima e para baixo?
a) 6 m d) 18 m
b) 11 m e) 19 m
c) 15 m
26.  (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na 
análise de relações entre progressões aritméticas e 
progressões geométricas. Considerando que a tabela 
abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com 
o mesmo número de termos, determine o último 
termo, X, da PG.
PA 0 0,5 1 1,5  6
PG 1 2 4 8  X
A alternativa correta é:
a) 500
b) 1 024
c) 3 216
d) 4 096
e) 10 128
Progressões
24
respostas
  1.  a
  2.  e
  3.  c
  4.  b
  5.  a) 93,75%
b) n 5 10
  6.  01 1 02 1 04 1 16 5 23
  7.  a) 3 200 novos participantes e no total 6 450.
b) 12 semanas.
  8.  e
  9.  b
10. a
11. c
12. e
13. e
14. 48
15. a
16. 760 letras
Progressões
17. a) 
n
4
 (n ? r 1 2 a1)
b) 114 termos
18. e
19. b
20. a) PA de razão 800
b) 11ª semana
21. a
22. b
23. d
24. a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
25. b
26. d
Matemática Volume Único
25
matemática comercial e financeira
  1.  (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000,00 no mer-
cado financeiro da seguinte forma: parte no fundo 
de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na 
poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1 018,00 em 
juros simples dos três investimentos. Nesse período 
de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo 
de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%.
Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações 
apenas metade do que ele investiu na poupança, os 
juros que ele obteve em cada um dos investimentos 
foram:
a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo 
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo 
de renda fixa e R$ 258,00 na poupança.
c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo 
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo 
de renda fixa e R$ 278,00 na poupança.
e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo 
de renda fixa e R$ 318,00 na poupança.
  2.  (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou 
o seguinte anúncio:
“Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pa-
gamento em 30 dias, ou à vista, com um desconto 
promocional de 20%”.
Se um cliente optar pela compra com pagamento 
em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é:
a) 20% b) 22% c) 25% d) 28%
  3.  (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus 
computadores e aparelhos de telefone celular utilizados 
por seus funcionários. Após a troca, fez um levanta-
mento do destino dado a esses equipamentos e cons-
tatou que 75% do total de equipamentos foram para a 
reciclagem, sendo que os computadores correspondiam 
a 60% do total de equipamentos e que 20% do total 
de telefones celulares não foram para a reciclagem.
Com base nesses dados sobre o total de equipamen-
tos, pode-se concluir que a porcentagem de compu-
tadores que foram para a reciclagem corresponde a 
a) 18% d) 37%
b) 25% e) 43%
c) 30%
  4.  (Unicamp-SP) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a 
participação das gerações mais velhas na população 
do Brasil aumentará. O gráfico a seguir mostra uma 
estimativa da população brasileira por faixa etária, 
entre os anos de 2010 e 2050. Os números apre-
sentados no gráfico indicam a população estimada, 
em milhões de habitantes, no início de cada ano. 
Considere que a população varia linearmente ao 
longo de cada década.
a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcu-
le exatamente em que ano o número de habitantes 
com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de 
habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta 
encontrar um número aproximado a partir do 
gráfico. É preciso mostrar as contas).
b) Determine qual será, em termos percentuais, a varia-
ção da população total do país entre 2040 e 2050.
140
120
2010 2020 2030
Ano
Po
p
u
la
çã
o
 (
em
 m
ilh
õ
es
)
2040 2050100
80
60
40
19
59
115
127 131 127
28
40 40
35
64
5252
45
116
20
0
Legenda: 0 a 17 anos 18 a 59 anos 60 anos ou mais
  5.  (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o 
número obtido pela divisão da massa de um indivíduo 
adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, 
medida em metros. É uma referência adotada pela 
Organização Mundial de Saúde para classificar um 
indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, 
conforme a tabela a seguir.
imC Classificação
até 18,4 Abaixo do peso
de 18,5 a 24,9 Peso normal
de 25,0 a 29,9 Sobrepeso
de 30,0 a 34,9 Obesidade grau 1
de 35,0 a 39,9 Obesidade grau 2
a partir de 40,0 Obesidade grau 3
26
Matemática comercial e financeira
Levando em conta esses dados, considere as seguin-
tes afirmações:
 I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta 
Obesidade Grau 1.
 II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade 
na população é aumentar a altura média de seus 
indivíduos por meio de atividades físicas orienta-
das para adultos.
 III. Uma nova classificação que considere obesos 
somente indivíduos com IMC maior que 40 pode 
diminuir os problemas de saúde pública.
Está correto o que se afirma somente em: 
a) I b) II c) III d) I e II e) I e III
  6.  (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que, para 
um acesso confortável aos bebedouros por parte de 
crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda 
desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm 
do piso, como indicado na figura a seguir.
Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 
91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. 
Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima 
do excesso em relação à altura recomendada é:
a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%
  7.  (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009, a infla-
ção acumulada pela moeda brasileira, o real, foi de 
244,15%. Em 1993, o Brasil teve a maior inflação 
anual de sua história.
A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria 
mostrando que, com uma inflação anual como a de 
1993, o poder de compra de 2 000 reais se reduziria, 
em um ano, ao poder de compra de 77 reais.
Dos valores a seguir, o mais próximo do percentual que 
a inflação acumulada entre julho de 1994 e julho de 
2009 representa em relação à inflação anual de 1993 é:
a) 5% b) 10% c) 11% d) 13% e) 15%
  8.  (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of 
Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo 
The Wall Street Journal e The Heritage Foundation, 
que avalia o grau de liberdade econômica de um 
país. Esse índice varia de zero a cem. Quanto maior 
o seu valor, maior a “liberdade econômica” do país. 
Tal índice é uma média da liberdade econômica em 
dez âmbitos: negócios; comércio; liberdade fiscal; 
intervenção do governo; monetário; investimentos; 
financeiro; corrupção; trabalho; direitos de proprie-
dade. A tabela a seguir fornece os índices de quatro 
países, no período de 2000 a 2009, e suas respectivas 
posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países 
foram avaliados).
Posição
em 2009 País
Índice de Liberdade Econômica
2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000
1
Hong
Kong
90,0 89,7 89,9 88,6 89,5 90,0 89,8 89,4 89,9 89,5
6
Estados
Unidos
80,7 81,0 81,2 81,2 79,9 78,7 78,2 78,4 79,1 76,4
105 Brasil 56,7 56,2 56,2 60,9 61,7 62,0 63,4 61,5 61,9 61,1
179
Coreia
do Norte
2,0 3,0 3,0 4,0 8,0 8,9 8,9 8,9 8,9 8,9
Fonte: http://www.heritage.org/Index/Explore.aspx? 
view=by-region-country-year
Com base nessa tabela, pode-se afirmar que o índice 
de liberdade econômica do Brasil:
a) teve um aumento superior a 1%, do ano de 2000 
para o ano de 2001.
b) teve um decréscimo de 0,1%, no período de 2001 
a 2004.
c) teve um aumento superior a 13%, do ano de 2003 
para o ano de 2008.
d) teve um decréscimo de 30%, do ano de 2004 para 
o ano de 2005.
e) cresceu, ano a ano, no período de 2003 a 2008.
  9.  (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para 
a compra de determinada marca de suco de laranja 
em caixa de 1litro:
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por 
unidade em relação ao preço original, para quem 
comprar 8 sucos de laranja.
Compre 
6 e lhe 
damos 
2 a mais
R$ 3,60
Th
in
ks
to
ck
/
G
et
ty
 Im
ag
es
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
27
Matemática Volume Único
10.  (FGV-SP) O gráfico a seguir fornece o Índice da Bolsa 
de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos 
2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8).
70 000
Ín
di
ce
 B
ov
es
pa
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
0 1
15 259
13 577 11 268
22 236 26 196
33 455
44 473
37 550
63 886
2 3 4
Ano
5 6 7 8 9 
Considerando o menor e o maior valor observados do 
índice, o aumento porcentual em relação ao menor 
valor foi de aproximadamente:
a) 170% 
b) 270% 
c) 370%
d) 470%
e) 570%
11.  (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura, na 
qual 
2
3
 do conteúdo é composto pelo produto A e 
1
3
 pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o 
dobro da capacidade da primeira, está cheia de uma 
mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa, 
sendo agora 
3
5
 do conteúdo composto pelo produto 
A e 
2
5
 pelo produto B. O conteúdo das duas garrafas 
é derramado em uma terceira garrafa, com o triplo 
da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo 
da terceira garrafa corresponde ao produto A?
a) 
10
15
 d) 
17
45
b) 
5
15
 e) 
3
8
c) 
28
45
12.  (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reserva-
tório, uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na 
razão de 1 m³ a cada 6 horas. Se o reservatório tem 
14 m³, em quantas horas ele estará cheio? 
a) 8 d) 14
b) 10 e) 16
c) 12
13.  (Unicamp-SP) O valor presente, Vp, de uma parcela 
de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, 
é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percen-
tual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da 
parcela.
Vp 5 
p
1 1 r100
n
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em 
duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser 
paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou 
seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mer-
cadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% 
ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja 
vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, 
com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 
mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supon-
do, novamente, que a taxa mensal de juros é igual 
a 1%, determine o valor presente da mercadoria, 
Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja 
deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, 
comprar à vista.
14.  (UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a 
venda de veículos novos é feita por meio de um 
imposto único de 8%, que incide sobre o valor de 
venda estipulado pelas concessionárias. O preço final 
de um veículo ao consumidor é o valor estipulado 
pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, 
que as concessionárias então repassam ao governo.
Como as vendas vinham caindo muito, em decor-
rência da crise mundial, o governo resolveu reduzir 
temporariamente esse imposto para 4%.
a) Determine a queda percentual no preço final 
de um veículo novo ao consumidor. Essa queda 
depende do preço de venda estipulado pelas 
concessionárias? Justifique a sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um 
acréscimo de 20% nas vendas, o que não impe-
diu que o governo perdesse receita. Determine a 
queda percentual da receita do governo advinda 
do imposto sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo 
poderia ter reduzido o imposto para x%. Admi-
tindo que, com a redução do imposto para x%, 
houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas,o governo arrecadaria uma fração f(x) do que 
arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8, e 
esboce o gráfico de f.
28
Matemática comercial e financeira
15.  (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto 
é vendida por R$ 2 500,00. O preço da TV sem des-
conto é:
a) R$ 3 125,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 2 800,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 500,00
16.  (Unemat-MT) Sr. José, residente em um município do 
Estado de Mato Grosso, verificou na fatura da rede 
de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado 
é de 25%. Em determinado mês, a fatura de Sr. José 
acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199,00 a 
ser pago.
Assinale a alternativa correta.
a) Deste total, R$ 49,75 é referente ao ICMS.
b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS, Sr. 
José pagará o valor de R$ 149,25.
c) O valor a ser pago pelo Sr. José, sem o ICMS, 
representa 75% do total apresentado na fatura.
d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso, do 
total apresentado na fatura de R$ 199,00, 25% 
são referentes ao ICMS.
e) No referido mês, Sr. José pagará a quantia de 
R$ 39,80, referente ao ICMS.
17.  (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para 
seu futuro, faz isto guardando R$ 50,00 por mês em 
um cofre dentro de sua casa. O senhor Mauricio tam-
bém economiza dinheiro para seu futuro e também 
guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda 
na poupança, que rende 0,5% ao mês. Rogério tem 
atualmente R$ 500,00 e Mauricio R$ 100,25.
Considerando que a situação descrita não sofrerá 
qualquer alteração, pode-se afirmar:
a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério.
b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de 
Mauricio em PA.
c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que 
Rogério.
d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês, 
passar a guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio 
nunca terá mais dinheiro que Rogério.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
18.  (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de 
R$ 1 400,00, para pagar um mês depois, com juros 
de 15% ao mês. Ao final do mês, não podendo pagar 
o total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o 
restante, firmou um novo contrato nas mesmas bases 
do anterior, o qual foi pago integralmente um mês 
depois. O valor do último pagamento foi:
a) R$ 889,00.
b) R$ 939,00.
c) R$ 989,00.
d) R$ 1 009,00.
19.  (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com 
capital inicial K. Um deles participou com a terça 
parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20% 
e o último com R$ 1 029 000,00. O valor de K situa-se 
entre:
a) R$ 3 000 000,00 e R$ 3 150 000,00.
b) R$ 3 100 000,00 e R$ 3 250 000,00.
c) R$ 3 200 000,00 e R$ 3 350 000,00.
d) R$ 3 300 000,00 e R$ 3 450 000,00.
20.  (UE-RJ)
A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente pro-
porcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por 
esse mesmo número.
Zi
ra
ld
o
29
Matemática Volume Único
Admita que a nota em matemática e a altura do 
personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y, 
inversamente proporcionais.
A relação entre x e y pode ser representada por:
a) y 5 
3
x2
 c) y 5 
2
x 1 1
b) y 5 
5
x
 d) y 5 
2x 1 4
3
21.  (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira, com-
prando um título público que lhe proporcionou, após 
um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de 
juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos 
concluir que o juro auferido na aplicação foi:
a) R$ 1 000,00 d) R$ 909,09
b) R$ 1 009,09 e) R$ 800,00
c) R$ 900,00
22.  (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de 
alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse 
mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o 
número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.
Podemos concluir que o número de alunos da escola é:
a) 1 000 d) 1 150
b) 1 050 e) 1 200
c) 1 100
23.  (Enem-MEC) Os dados do gráfico foram coletados 
por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Do-
micílios.
0
10
20
30
40
50
60
70
Possuíam
Não possuíam Regiões brasileiras
Estudantes que possuem telefone móvel celular 
com idade de 10 anos ou mais
37 36
56
62 5863
64
44
38 42
N
or
te
Po
rc
en
ta
ge
m
 (%
)
N
or
de
st
e
Su
de
st
e
Su
l
C
en
tr
o-
O
es
te
Fonte: IBGE. Disponível em http://www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes 
foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles 
possuíam telefone móvel celular?
a) 5 513 d) 8 344
b) 6 556 e) 9 536
c) 7 450
24.  (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em 
uma página inteira a seguinte divulgação de seu 
caderno de classificados.
26 mm
x mm
260 mm
400 mm
4%
outros 
jornais
96%
Pessoas que consultam 
nossos classificados
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem 
da área que aparece na divulgação, a medida do 
lado do retângulo que representa os 4% deve ser 
de aproximadamente:
a) 1 mm d) 160 mm
b) 10 mm e) 167 mm
c) 17 mm
25.  (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de 
controle de qualidade que classifica o seu desempenho 
financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. 
Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento 
é menor que 1%; regular, quando o crescimento é 
maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o 
crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; 
ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 
20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. 
Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 
2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade, 
o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 
2009 deve ser considerado:
a) insuficiente d) ótimo
b) regular e) excelente
c) bom
26.  (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite 
C foi submetido a um tratamento tradicional em 
que 40% desses pacientes foram completamente 
curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram 
distribuídos em dois grupos de mesma quantidade 
e submetidos a dois tratamentos inovadores. No 
primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes 
foram curados e, no segundo, 45%.
30
Matemática comercial e financeira
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, 
os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:
a) 16% d) 48%
b) 24% e) 64%
c) 32%
27.  (UF-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade de 
um veículo durante um passeio de três horas, iniciado 
às 13h00.
35
40
45
50
55
60
65
13h00 14h00 15h00 16h00
tempo
Ve
lo
ci
da
de
 (k
m
/h
)
De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nes-
se passeio em que o veículo esteve a uma velocidade 
igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de:
a) 20% d) 45%
b) 25% e) 50%
c) 30%
28.  (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz, em média, 
80 litros de leite por dia. Desse leite, 65% são utilizados 
na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7,50 
o quilo, e o restante é vendido no laticínio da cidade a 
R$ 0,75 o litro. Se, a cada 8 litros de leite, João fabrica 
1 quilo de queijo, a arrecadação mensal de João da 
Rosa com a venda dos queijos e do leite será 
a) menor que 1 946 reais.
b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais.
c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais.
d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais.
29.  (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em socie-
dade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por 
elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que 
os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem 
a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais 
aos capitais por eles empregados. No momento da 
apuração dos resultados, verificaram que a empre-
sa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa 
constatação,um dos sócios retirou 14 mil reais, que 
correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o 
total do capital por ele empregado na abertura da 
empresa. Determine o capital que cada sócio empre-
gou na abertura da empresa. 
30.  (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e, 
em seguida, conceder um desconto de 10% equivale a
a) permanecer com o preço original.
b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original.
c) ter um ganho de 3,5% em relação ao preço ori-
ginal.
d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original.
e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original.
31.  (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por 
um total de R$ 3 500,00. Se um desconto de 10% 
fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um 
desconto de 8% fosse dado no preço do segundo, o 
preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170,00. 
Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico?
a) R$ 2 400,00 d) R$ 2 650,00
b) R$ 2 500,00 e) R$ 2 700,00
c) R$ 2 600,00
32.  (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração 
com 22% de proteína, utilizando milho triturado, 
farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que 
o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de 
algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que 
o produtor disponha de 120 kg de milho, calcule as 
quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que 
ele deve adicionar ao milho para obter essa ração.
33.  (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na 
Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada pré-
sal é uma faixa que se estende, abaixo do leito do 
mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa 
Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petró-
leo encontrado nessa área está a profundidades que 
superam os 7 000 m, abaixo de uma extensa camada 
de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez 
maiores produtores do mundo.
Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras 
já perfurou poços de petróleo a uma profundidade 
de 7 000 m, o que representa um aumento de 582% 
em relação à profundidade máxima dos poços per-
furados em 1994.
De acordo com essas informações, calcule a profun-
didade máxima de um poço de petróleo perfurado 
pela Petrobras, no ano de 1994.
31
Matemática Volume Único
34.  (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em 
uma promoção. Ao término da promoção, o preço 
da blusa aumentou de 30%, e o da saia de 20%. Se 
comprasse as duas peças pelo novo preço, pagaria 
no total 24% a mais. Quanto mais caro foi o preço 
da saia em relação ao preço da blusa?
a) 42% d) 48%
b) 44% e) 50%
c) 46%
35.  (UF-MG) Um banco oferece dois planos para paga-
mento de um empréstimo de R$ 10 000,00, em pres-
tações mensais iguais e com a mesma taxa mensal 
de juros:
• no Plano 1, o período é de 12 meses; e
• no Plano 2, o período é de 24 meses.
Contudo a prestação de um desses planos é 80% 
maior que a prestação do outro.
1. Considerando essas informações, DETERMINE em 
qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor 
da prestação é maior.
2. Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma 
taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal 
de juros oferecida pelo mesmo banco.
CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao final 
de 12 meses.
36.  (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a 
produção de alumínio primário no Brasil, importante 
componente da produção industrial do Estado do 
Pará, e apresenta, além disso, a porcentagem da 
produção exportada.
Ano Quantidade de alumínio (mil ton)
Exportação 
(%)
1973 111 700 1
1978 186 365 2,1
1983 400 744 44,5
1989 887 432 61,5
2000 1 271 400 71,4
2004 1 457 000 71,3
Alguns críticos destacam a importância da produ-
ção de alumínio primário na exportação de energia 
elétrica, devido ao grande consumo dessa forma 
de energia na produção industrial. Considerando 
que o consumo de energia dependa linearmente 
da quantidade de alumínio produzida, podemos 
afirmar que, comparando os anos de 1983 e 2004, 
o crescimento da quantidade exportada de energia 
elétrica presente na produção de alumínio primário 
foi de aproximadamente:
a) 60% d) 363%
b) 263% e) 160%
c) 482%
37.  (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um 
determinado equipamento K. Desejando-se aumentar 
em 40% seu faturamento com as vendas de K, a pro-
dução desse equipamento deve aumentar em 30% e 
o preço do produto também deve sofrer um reajuste.
Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste 
mínimo aproximado de
a) 5,6% d) 8,6%
b) 6,3% e) 9,8%
c) 7,7%
38.  (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é com-
posto de uma parcela fixa de R$ 600,00, adicionada a 
5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000,00. 
Em determinado mês, o vendedor recebeu de salário 
líquido um total de R$ 1 080,00. Se o total de descon-
tos que incidem sobre seu salário bruto é de 10%, qual 
foi o seu total de vendas naquele mês?
a) R$ 11 000,00 d) R$ 14 000,00
b) R$ 12 000,00 e) R$ 15 000,00
c) R$ 13 000,00
39.  (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos. 
No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço 
unitário de X reais. Até o final de junho vendeu 
3
5
 
do total delas, com lucro de 40% sobre o preço da 
compra. Como desejava renovar o estoque, fez uma 
liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu 
todas as que haviam sobrado. Entretanto, nessa se-
gunda venda, teve um prejuízo de 10% em relação 
ao valor pago por elas. O total arrecadado com as 
vendas das 100 redes foi R$ 3 600,00.
Use o texto acima para analisar as afirmações abaixo.
a) X 5 30
b) O valor arrecadado com a venda das redes no 
primeiro semestre foi R$ 2 650,00.
c) O valor arrecadado com a venda das redes em 
agosto foi R$ 1 080,00.
d) Com a venda de todas as redes, ele teve um lucro 
de R$ 750,00.
e) Com a venda de todas as redes, ele teve um pre-
juízo de R$ 150,00.
Matemática comercial e financeira
32
respostas
  1.  a
  2.  c
  3.  e
  4.  a) No ano de 2032.
b) Redução de 1,83% no número de habitantes.
  5.  a
  6.  d
  7.  b
  8.  a
  9.  25%
10. d
11. e
12. c
13. a) 398,02
b) 1,5%
14. a) 3,7%
b) 40%
c) f(x) 5 
x(28 2 x)
160
O gráfico é uma parábola, com a , 0 e raízes 0 e 28. 
15. a
16. e
17. c
18. c
matemática comercial e financeira
19. d
20. b
21. d
22. e
23. d
24. d
25. c
26. b
27. e
28. d
29. R$ 12 000,00 e R$ 18 000,00 
30. c
31. b
32. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja.
33. 1 026,4 m, aproximadamente.
34. e
35. 1) Plano 1
2) R$ 12 500,00
36. c
37. c
38. c
39. São verdadeiras: a, c.
Matemática Volume Único
33
Trigonometria
  1.  (FGV-SP) O número de soluções da equação:
1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0,
com 0 < x , 2p, é:
a) 8 d) 5
b) 7 e) 4
c) 6
  2.  (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ? 
? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a:
a) 2
b) 
1
2
c) 1
d) 0
  3.  (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a 
Calvin na tira seguinte.
Calvin Hobbes, Bill Watterson © 1987 Watterson / 
Dist. by Universal Uclic
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um 
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então 
a resposta correta que Calvin deveria encontrar para 
o problema é, em centímetros: 
a) (5√ 3 )
3
 d) 5√ 3
b) (8√ 3 )
3
 e) 10√ 3
c) (10√ 3 )
3
  4.  (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos2 36° é idêntico ao 
de:
a) cos 36° d) 2sen2 36°
b) 2cos2 36° e) sen2 36°
c) cos2 36°
  5.  (UF-PB) Considere a função f: [0, 2p] → , definida 
por:
y 5 f(x) 5 
1
2
 ? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)]
O gráfico que melhor representa essa função é:
a) 
1
y
x
21
0 p 2p
1
2
p
2 3p
2
2 
1
2
b) 
1
y
x
21
0 p 2p
p
2
3p
2
c)1
y
x
21
0 2p
d) 
1
y
x
21
0 p 2p
1
2 p
2
3p
22 
1
2
e) 
1
y
x
21
0 p 2pp
2
3p
2
34
Trigonometria
  6.  (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração 
diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmos-
fera é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen 
pt
6
, 
em que t é a quantidade de horas para fazer essa 
medição.
O tempo mínimo necessário para fazer uma medição 
que registrou 4 gramas de fósforo é de:
a) 
1
2
 hora
b) 1 hora
c) 2 horas
d) 3 horas
e) 4 horas
  7.  (Mackenzie-SP) Na figura, tg  é igual a:
2,0 cm
0,5 cm 
10,0 cm
a) 
16
81
 d) 
2
3
b) 
8
27
 e) 
1
4
c) 
19
63
  8.  (UEL-PR) Se cos (2x) 5 1
3
 , onde x  (0, p), então o 
valor de y 5 
[sen (3x) 2 sen (x)]
cos (2x)
 é:
a) 21 d) (2√ 3 )
3
b) (√ 3 )
3
 e) 1
c) 3√ 3
  9.  (UF-SC) Na figura a seguir determine a medida do 
segmento AB, em cm, sabendo que sen a 5 0,6.
A
a
C
a
100 cm
B
10.  (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer 
que sejam os números reais p e q, 
sen p 1 sen q 5 2 ? sen 
p 1 q
2
 ? cos 
p 2 q
2
.
Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a:
a) sen 10x 1 sen 8x
b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x)
c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x)
d) 
1
2
 ? (sen 6x 1 sen 2x)
e) 
1
2
 ? (sen 10x 1 sen 8x)
11.  (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são 
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos 
internos são, portanto:
a) 
1
8
, 
1
8
, 
1
2
 d) 
1
2
, 
1
2
, 
1
4
b) 
1
4
, 
1
4
, 
1
8
 e) 
1
2
, 
1
2
, 
7
8
c) 
1
4
, 
1
4
, 
7
8
12.  (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos 
pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se 
funções trigonométricas.
A expressão 2 sen2 x 1 2 cos2 x 2 5 envolve estas 
funções e, para p , x , 
3p
2
, seu valor é de:
a) 27 d) 2p 2 5
b) 23 e) 3p 2 5
c) 21
13.  (UE-MG) Na figura a seguir, um fazendeiro F dista 
600 m da base da montanha (ponto B). A medida 
do ângulo AFˆB é igual a 30º.
A
(F)
B
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o 
fazendeiro encontrou a medida correspondente a:
a) 200√ 3
b) 100√ 2
c) 150√ 3
d) 250√ 2
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
35
Matemática Volume Único
a) 308,55
b) 309,05
c) 309,55
d) 310,05
e) 310,55
18.  (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações, 
t minutos após ter atingido sua órbita, está a r qui-
lômetros de distância do centro da Terra. Quando r 
assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que 
o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectiva-
mente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r 
em função de t seja dado por:
r(t) 5 
5 865
1 1 0,15 ? cos (0,06t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite 
para controlar o seu afastamento do centro da Terra. 
Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, 
no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S 
atinge o valor de:
a) 12 765 km
b) 12 000 km
c) 11 730 km
d) 10 965 km
e) 5 865 km
19.  (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1, representado 
na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N 
é o ponto médio de BC e MN 5 
14
4
. Então, DM é 
igual a:
D
A
C
BM
N
a) √ 2
4
b) √ 2
2
c) √ 2
d) 
3√ 2
2
e) 
5√ 2
2
14.  (Unemat-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um 
triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo 
retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm 
e CBˆD 5 900.
A
C
D
B
Qual a medida do segmento AD? 
a) √ 3
b) 4√ 3
c) √ 100 1 √ 3
d) √ 25 1 12√ 3
e) 2√ 3
15.  (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de 
altura em relação ao chão avista o topo de um edifício 
segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percor-
rendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, 
esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 
para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a 
altura desse edifício é de aproximadamente:
a) 59 m
b) 62 m
c) 65 m
d) 69 m
e) 71 m
16.  (UE-CE) O número de soluções da equação 
3 sen2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no 
intervalo [0, 2p] é:
a) 2
b) 8
c) 4
d) 6
17.  (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma 
empresa para 2011, em toneladas de um produto, 
é dada por f(x) 5 100 1 0,5x 1 3 sen 
px
6
, em que 
x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corres-
ponde a fevereiro de 2011 e assim por diante.
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro 
trimestre de 2011 é:
(Use a aproximação decimal √ 3 5 1,7.)
36
Trigonometria
20.  (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfico da 
função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa 
pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados 
um triângulo de área:
y
x
P
Q
0 1 2 3 4 5 6
 
a) 
p
2
 d) 
p
8
b) 
p
4
 e) 
p
6
c) p
21.  (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD 
de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede √ 5
4
, o 
ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. 
Nessas condições, o segmento DE mede:
A B
F
CED
a) 
3√ 5
40
 d) 
11√ 5
40
b) 
7√ 5
40
 e) 
13√ 5
40
c) 
9√ 5
40
22.  (UFF-RJ) Nos itens a seguir, arccos denota a função 
inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, p] 
e arctg denota a função inversa da função tangente 
restrita ao intervalo 2 
p
2
, 
p
2
 .
a) Calcule arccos cos 
p
5
 .
b) Calcule sen (arctg (21)).
c) Verifique que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x2 para todo 
x  [21,1].
23.  (UF-BA) Dadas as funções reais:
f(x) 5 
sen x, 0 < x , 
p
2
1 1 cos x, 
p
2
 < x < p 1 2
 e
g(x) 5 
f x 1 
p
2
 , 2 
p
2
 < x , 0
1 1 f x 1 
p
2
 , 0 < x < 
p
2
determine x, pertencente ao intervalo 0, p2  tal que 
[f(x)]2 1 g(x) 2 
7
4
 5 0.
24.  (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e 
seu esquema no plano.
 
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco 
que gira em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 
1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se ver-
ticalmente para cima ou para baixo, variando a 
distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a 
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida 
pela seguinte equação:
a) y 5 4 1 sen (x)
b) y 5 4 1 cos (x)
c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos2 (x)
d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen2 (x)
25.  (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e 
cosseno são definidas para todos os números reais. 
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
37
Matemática Volume Único
Em relação às imagens dessas funções, é correto 
afirmar:
a) sen (7) . 0
b) sen (8) , 0
c) (cos (√ 5 ) . 0)
d) (cos (√ 5 ) . sen (8))
26.  (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de re-
baixamento e elevação de grandes massas de água 
formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determi-
nada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela 
função h(t) 5 3 1 0,2 cos 
p
6
 ? t , onde t é medido 
em horas a partir da meia-noite.
Um turista contratou um passeio de carro pela orla 
dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o mo-
vimento das marés.
Desse modo,
a) qual a altura máxima atingida pela maré?
b) em quais horários isto ocorre no período de um 
dia?
27.  (UF-AL) De um ponto A, situado no mesmo nível da 
base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da 
torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma 
vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do 
topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: 
use as aproximações tg 20°  0,36 e tg 18°  0,32.
a) 42 m d) 45 m
b) 43 m e) 46 m
c) 44 m
28.  (UF-AL) Quantas soluçõesa equação trigonométrica 
sen4 x 2 cos4 x 5 
1
2
 admite no intervalo fechado com 
extremos 0 e 35p?
a) 66 d) 72
b) 68 e) 74
c) 70
29.  (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo 
0 , a , 
p
2
 e 
tan a
2
 5 √ 2. É correto afirmar que:
a) cos a 1 sen a 5 
1 2 2√ 2
3
b) sec a 5 3
c) cossec a é um número racional
d) sen a 5 1
e) sen a cos a 5 1
30.  (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um 
sistema de segurança em um condomínio fechado, 
representado pelo polígono da figura abaixo.
T A
S
P
R
Q
A empresa pretende colocar uma torre de comunica-
ção, localizada no ponto A, indicado na figura, que 
seja equidistante dos vértices do polígono, indicados 
por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipa-
mentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse 
polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados 
são todas iguais à distância do ponto A aos vértices 
do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde 
será instalada a torre, aos vértices do polígono.
31.  (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante, 
o valor de sec x 1 cossec x é:
a) 2√ 5 d) √ 5
2
b) 2 √ 5
4
 e) √ 5
c) 2 √ 5
2
32.  (UF-PB) Em determinado trecho do oceano, durante 
um período de vinte e quatro horas, a altura H das 
ondas, medida em metros, variou de acordo com a 
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
38
Trigonometria
expressão H(t) 5 2 1 
3
2
 sen 
pt
12
, onde t . 0 é 
o tempo, dado em horas. A altura das ondas nesse 
trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s):
a) 0h às 2h e das 10h às 24h
b) 1h às 3h e das 9h às 23h
c) 2h às 3h e das 8h às 20h
d) 3h às 5h e das 7h às 20h
e) 4h às 5h e das 6h às 20h
33.  (UF-PE) Considere a função f, com domínio e con-
tradomínio o conjunto dos números reais, dada por 
f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x, que tem parte de seu gráfico 
esboçado a seguir.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca 
de f:
a) f(x) 5 2 ? sen x 1 
p
6
 , para todo x real.
b) f é periódica com período 2p.
c) As raízes de f(x) são 2 
p
6
 1 2 kp,
 
com k inteiro.
d) f(x) > 2√ 3, para todo x real.
e) f(x) < 2, para todo x real.
34.  (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os 
pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do 
topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo 
de 30°. A linha de visão do topo com o ponto A 
tem inclinação de 30°, em relação à horizontal. Se 
AB 5 2√ 3 km, qual a altura da montanha?
30°
30°
A B
a) 2,8 km
b) 2,9 km
c) 3,0 km
d) 3,1 km
e) 3,2 km
35.  (UF-PE) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos 
congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. 
Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do 
ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação 
√ 3  1,73.
30°
A
36.  (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo 
de um corpo é dado pela expressão A 5 
v20 sen θ
g
 , 
onde v0 e g denotam respectivamente a velocidade 
inicial de lançamento do corpo e a aceleração da 
gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com 
velocidade inicial v0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance 
máximo de √ 2 2 cos θ metros.
Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e 
a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², o ângulo 
de lançamento θ é:
a) 
p
2
b) 
p
3
c) 
p
4
d) 
p
6
e) 
p
8
Fe
rn
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 M
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39
Matemática Volume Único
37.  (UF-AM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pen-
sam, não é o famoso relógio do Parlamento Inglês, 
nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa 
13 toneladas.
http://emundo.files.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg 
Acesso em: 21 out. 2009.
O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhe-
cido pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos 
minutos mede 3,4 m (medindo do centro do relógio 
até a extremidade do ponteiro).
Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela 
extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio 
é aproximadamente (considere p 5 3,14):
a) 11 m
b) 12 m
c) 15 m
d) 19 m
e) 21 m
38.  (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e  
√ a2 1 ab 1 b2 , quanto mede o maior ângulo do 
triângulo?
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
39.  (Uneb-BA) Se arcsen x 5 p
3
 , então cos (2 arcsen x) 
é igual a:
a) 
1 2 √ 3
4
b) 2 
1
2
c) 1 2 √ 3
d) 0
e) 1
40.  (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com pon-
teiro para hora e ponteiro para minuto) foi acertado, 
exatamente, às 3h. Se o ponteiro menor (das horas) 
tiver percorrido um ângulo de 
2p
5
 radianos com 
relação a sua posição inicial, qual a hora que estará 
indicada pelo relógio, assumindo que a cada hora o 
ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo com-
pleto e que tanto o movimento do ponteiro menor 
quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com 
o passar do tempo?
a) 6 horas e 24 minutos.
b) 5 horas e 30 minutos.
c) 3 horas e 12 minutos.
d) 5 horas e 12 minutos.
e) 5 horas e 24 minutos.
41.  (UF-RN) A figura abaixo representa uma torre de 
altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos 
L1 e L2, fixados nos pontos C e D, respectivamente.
30°
60°
A
B
DC
H
L1 L2
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a 
medição das distâncias entre esses pontos. Apenas 
com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre 
B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo 
(L1 1 L2) que usou para fixar a torre.
O valor encontrado, usando √ 3 5 1,73 e BD 5 10 m, é
a) 54,6 m. c) 62,5 m.
b) 44,8 m. d) 48,6 m.
Th
in
ks
to
ck
/G
et
ty
 Im
ag
es
Trigonometria
40
respostas
  1.  b
  2.  a
  3.  c
  4.  d
  5.  e
  6.  b
  7.  a
  8. d
  9.  96 cm
10. e
11. c
12. b
13. a
14. d
15. e
16. d
17. d
18. b
19. b
20. b
21. d
22. a) arccos cos 
p
5
 5 
p
5
b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 
p
4
 5 2
√ 2
2
 
c) Use a relação: sen2 a 1 cos2 a 5 1
Trigonometria
23. x 5 
p
6
24. d
25. a
26. a) 3,2 
b) 0h e 12h
27. d
28. c
29. b
30. 1 000 √ 3 m
31. c
32. a
33. a) F 
b) V 
c) F 
d) F 
e) V
34. c
35. 10
36. c
37. c
38. e
39. b
40. e
41. a
Matemática Volume Único
41
  1.  (Ufla-MG) O determinante da matriz
A 5 

sen x    cos2 x cos x
cos x 0 2sen x
sen x 2sen2 x cos x
é:
a) 21
b) 1
c) 0
d) sen 2x
  2.  (Fatec-SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y 
e z,
S

 x 1 2y 1 3z 5 1
2x 1 y 2 z 5 m
3x 1 ky 1 2z 5 4
em que k e m são constantes reais, pode-se afir-
mar que:
a) não admite solução se k 5 4.
b) admite infinitas soluções se k 5 m 5 3.
c) admite infinitas soluções se k 5 3 e m 5 5.
d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real.
e) admite solução única se k  5 e m 5 3.
  3.  (Udesc-SC) Dada a matriz A (figura 1).
Seja a matriz B tal que A21BA 5 D, onde a matriz D 
(figura 2), então o determinante de B é igual a:
Figura 1
A 5 

1 21 21
Figura 2
D 5 

 2 121 2
a) 3
b) 25
c) 2
d) 5
e) 23
  4.  (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz 
A 5 

 x 2 1
 1 21 1
2x 21 3
matrizes, determinantes e sistemas lineares
é nulo, então:
a) x 5 23
b) x 5 2 
7
4
c) x 5 21
d) x 5 0
e) x 5 
7
4
  5.  (Mackenzie-SP) Considerando 0 , x , 3p
2
, o número 
de soluções da equação
det

log(tg(x)) log(cotg(x))  5 0 é:1 1
a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4
  6.  (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (aij)3 3 3 tal que 

aij 5 10, se i 5 j
aij 5 0, se i  j
e B 5 (bij)3 3 3 tal que

bij 5 3, se i 5 j
bij 5 0, se i  j
, o valor de det(AB) é: 
a) 27 3 103
b) 9 3 103c) 27 3 102
d) 32 3 102
e) 27 3 104
  7.  (FGV-SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e 
y: 

 x 1 3y 5 m
2x 2 py 5 2
,
será impossível quando:
a) Nunca
b) p  26 e m 5 1
c) p  26 e m  1
d) p 5 26 e m 5 1
e) p 5 26 e m  1
42
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
  8.  (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total 
de R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro 
de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela 
ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra?
a) R$ 370,00 e R$ 300,00
b) R$ 270,00 e R$ 400,00
c) R$ 277,00 e R$ 400,00
d) R$ 200,00 e R$ 470,00
e) R$ 377,00 e R$ 293,00
  9.  (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são 
tais que 45m ? 60n ? 75p ? 90q 5 1.
Pede-se:
a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q).
b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como 
acima, tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8.
10.  (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de 
15 anos, Marcela convidou alguns amigos para uma 
festa em sua casa e comprou certa quantidade de 
brindes para distribuir entre seus convidados.
Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três 
brindes e ainda restariam dois para guardar de reser-
va. Porém, no dia da festa, seis amigos não puderam 
comparecer. Dessa forma, Marcela preferiu dar, para 
cada convidado, um brinde a mais do que o previsto, 
não lhe restando, assim, mais nenhum.
a) Represente a situação descrita no texto acima 
através de um sistema de equações.
b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a) 
e diga quantos amigos compareceram à festa de 
Marcela.
11.  (UF-PR) Considere a função f definida pela expressão:

cos (2x) sen x 0
f(x) 5 det cos x
1
2
0
1 0 2
a) Calcule f(0) e f 5 
p
4
 .
b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0?
12.  (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de 
bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A 
consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por 
sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar 
e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. 
Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe 
de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às 
questões a seguir.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A 
e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo 
do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria 
pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de 
que dispõe?
13.  (UF-ES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle 
do consumo de combustível de seu carro, observou 
que, com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km 
na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L 
de gasolina, ele pode rodar 190 km na cidade mais 
264 km na estrada.
a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar 
na cidade com 1L de gasolina.
b) Sabendo que Vicente viajou 143,5 km com 13 L 
de gasolina, determine o comprimento do seu 
trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto 
na cidade. 
14.  (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:
I.
 2 2
.
3 4
21 4 1 5
II.
3 26
.
 4 7
5 22 21 5
III.
 8 1
.
 9 2
2226 2127
É correto afirmar que:
a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) As três desigualdades são verdadeiras.
e) As três desigualdades são falsas.
15.  (UE-CE) Se x, y e z constituem a solução do sistema 
linear

x 1 y 1 z 5 1
x 1 2y 2 3z 5 22
x 1 4y 1 5z 5 24
então o produto x ? y ? z é igual a:
a) 24 c) 22
b) 28 d) 26
43
Matemática Volume Único
a) 

0 0 1 
1 0 0
0 1 0
 d) 

0 0 1 
0 1 0
1 0 0
b) 

1 0 0 
0 0 1
0 1 0
 e) 

1 0 0 
0 1 0
0 0 1
c) 

0 1 0 
1 0 0
0 0 1
19.  (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas 
iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, 
pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem 
juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de 
R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com 
base nessas informações, conclui-se que o valor de 
n é igual a:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
20.  (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras. 
Passou em um supermercado e numa farmácia, 
gastando um total de R$ 110,00.
Se suas despesas no supermercado foram superiores 
às despesas na farmácia em R$ 94,00, quanto ela 
gastou em cada estabelecimento?
21.  (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições 
seguintes:
– a primeira é formada por 20 gramas de ouro, 30 
gramas de prata e 40 gramas de bronze;
– a segunda é formada por 30 gramas de ouro, 40 
gramas de prata e 50 gramas de bronze;
– a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro, 
50 gramas de prata e 90 gramas de bronze.
As três ligas devem ser combinadas para compor uma 
nova liga contendo 37 gramas de ouro, 49 gramas de 
prata e 76 gramas de bronze. Quanto será utilizado 
da terceira liga?
a) 0,3 gramas
b) 0,4 gramas
c) 0,5 gramas
d) 0,6 gramas
e) 0,7 gramas
16.  (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a 
matriz 

1 0 0 
1 2 0
1 1 3
, então o valor do determinante da 
matriz Y 5 Xn é:
a) 2n c) 6n
b) 3n d) 9n
17.  (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z

x 2 y 5 10 1 z
y 2 z 5 5 2 x
z 1 x 5 7 1 y
pode ser escrito na forma matricial AX 5 B , em que:
X 5 

x 
y
z
 e B 5 

10
5
7
Nessas condições, o determinante da matriz A é 
igual a:
a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
18.  (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas 
em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos 
métodos de criptografia mais antigos consiste em 
permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos 
são números, uma permutação pode ser efetuada 
usando-se multiplicações por matrizes de permuta-
ção, que são matrizes quadradas que satisfazem as 
seguintes condições:
Cada coluna possui um único elemento igual a 1 
(um) e todos os demais elementos são iguais a zero;
cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) 
e todos os demais elementos são iguais a zero.
Por exemplo, a matriz M 5 

0 1 0 
0 0 1
1 0 0
 permuta os 
elementos da matriz coluna Q 5 

a 
b
c
,
transformando-a na matriz P 5 

b 
c
a
, pois P 5 M ? Q.
Pode-se afirmar que a matriz que permuta 

a 
b
c
, 
transformando-a em 

c 
a
b
, é: 
44
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
22.  (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas 
(A, B e C), são usados dois tipos de botão: grandes 
(G) e pequenos (P). O número de botões, por modelo, 
está indicado na tabela a seguir.
modelo
botão A B C
P 3 1 5
G 6 5 5
O número de cada modelo de camisas confecciona-
das, nos meses de julho e agosto, está indicado na 
tabela a seguir.
meses
camisas julho agosto
A 100 50
B 50 100
C 50 50
De acordo com esses dados, o número total de 
botões usados na confecção dessas camisas, nesses 
dois meses, foi:
a) 3 250
b) 5 000
c) 2 850
d) 4 200
e) 2 550
23.  (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 
tal que det A 5 k, com k  0. Sendo A21 a matriz 
inversa de A, o valor do det A21 é:
a) 2k
b) 3k
c) 
k
3
d) 
k
2
e) 
1
k
24.  (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes fa-
miliares de passeios turísticos, cobrando para crianças 
o equivalente a 
2
3
 do valor para adultos. Uma família 
de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, 
comprou um pacote turístico e pagou o valor total 
de R$ 8 125,00. 
Com base nessas informações, calcule o valor que a 
agência cobrou de um adulto e de uma criança para 
realizar esse passeio.25.  (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de 
aço, A1, A2 e A3 na construção de três tipos de carros, 
C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de aço, em 
toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, 
está na tabela a seguir:
C1 C2 C3
A1 2 3 4
A2 1 1 2
A3 3 2 1
Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1, 11 
toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3, qual 
o total de carros construídos (dos tipos C1, C2 ou C3)?
26.  (UE-PB) Se os dois sistemas lineares 

2x 2 y 5 0
 x 1 y 5 3
 e 

mx 1 ny 5 21
mx 2 ny 5 1
 são equivalentes, os valores de m 
e n são, respectivamente:
a) 
1
2
 e 21
b) 0 e 
1
2
c) 
1
2
 e 1
d) 0 e 2 
1
2
e) 1 e 22
27.  (UF-SE) Considere as matrizes A 5 

21 2 0 1 , 
B 5 

1 02 21 e C 5 

a bc d , com a, b, c, d reais, 
para analisar as afirmações abaixo.
a) A 1 B 5 

0 22 0
b) Se A 2 
B
2
 5 C, então ba 5√ 2.
c) Se At é a matriz transposta de A, então 
det At 5 21.
d) Se C é a matriz inversa de B, então a ? d 5 1.
e) Se A ? C 5 B, então C 5 

3 22 1 .
Matemática Volume Único
45
respostas
  1.  a
  2.  b
  3.  d
  4.  e
  5.  a
  6.  a
  7.  e
  8.  b
  9.  a) n 5 3, m 5 5, p 5 21 e q 5 26, por exemplo.
b) m 5 40, n 5 24, p 5 28 e q 5 248.
10. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes, 
temos:

y 5 3x 1 2
y 5 4(x 2 6)
b) O número de amigos que compareceram à festa é 20.
11. a) 1; 21
b) S 5
x   | x 5 
p
8
 1 k 
p
2
, com k  Z

12. a) Não, pois faltará farinha.
b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.
13. a) 9,5 km na cidade e 12 km na estrada.
b) 96 km na estrada e 47,5 km na cidade.
14. b
15. a
16. c
17. b
18. a
19. a
20. R$ 8,00 na farmácia e R$ 102,00 no supermercado.
21. c
22. a
23. e
24. Adulto: R$ 1 875,00; criança: R$ 1 250,00.
25. 9 carros ao todo
26. d
27. São verdadeiras: a, c.
matrizes, determinantes e sistemas lineares
Geometria plana
46
Geometria plana
  1.  (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, 
cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no 
quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta 
figura:
AP
H
G
B Q
C
D
REFS
Então, é correto afirmar que a área do quadrado 
PQRS é:
a) 1 1 2√ 2 dm2
b) 1 1 √ 2 dm2
c) 3 1 2√ 2 dm2
d) 3 1 √ 2 dm2
  2.  (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que fo-
ram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia 
por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para 
a realização de cerimônias religiosas que requeriam 
a construção de altares em formatos combinados 
de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas 
instruções é um método para construir um quadrado 
a partir de dois quadrados menores. Denotando-se 
por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na 
figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, 
de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X 
e constrói-se o novo quadrado AXFE. 
A
E
B
F
G
CXDS
R
P
Q
Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área 
da região sombreada ABGFE.
  3.  (Fuvest-SP)
A
F
G
C
x
E B
O triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado 
1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, 
aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os 
ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento 
AF é x.
Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é 
reto.
  4.  (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a 
36 cm2. Os pontos M e N são pontos médios dos lados 
AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm2, vale:
A
P
N CB
M
a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
  5.  (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de la-
drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm2 
e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a 
mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida 
do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se 
afirmar que a medida da área do modelo retangular, 
em centímetros quadrados, é igual a:
a) 60 c) 72
b) 64 d) 80
47
Matemática Volume Único
  6.  (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triân-
gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus 
lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos 
vértices do triângulo é o centro da circunferência.
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região 
destacada na figura é:
a) 9 
 (2√ 3 ) 2
 p6
  cm2
b) 9  (√ 3 ) 2
 p18
  cm2
c) 9 [(√ 3 ) 2 p] cm2
d) 9 
 (√ 3 ) 2
 p3
  cm2
e) 9  (√ 3 ) 2
 p6
  cm2
  7.  (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de 
aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas 
circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na 
figura a seguir.
A área de chapa que resta após a operação é de 
aproximadamente:
Dado: considere p 5 3,14.
a) 7,45 m2 c) 26,30 m2 e) 56 m2
b) 13,76 m2 d) 48 m2
  8.  (Mackenzie-SP)
2x
50 90
4
4
x
160
Considerando p 5 3, a área da figura vale: 
a) 1 176 d) 978
b) 1 124 e) 1 232
c) 1 096
  9.  (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas, 
certa comunidade utilizava uma unidade de área 
singular, que consistia em um círculo, cujo raio media 
1 cm, e a que se dava o nome de anelar.
Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que 
a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é:
a) 1
p
 anelar c) 1 anelar
b) 1
2p
 anelar d) p anelares
10.  (Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alu-
mínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. 
Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado 
BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em 
E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas 
de massa. A espessura e a densidade do material da 
chapa são uniformes. Determine o valor percentual 
da razão de AD por AB.
Dado: √ 11  3,32
A
ED
B C
r
a) 88,6 d) 66,4
b) 81,2 e) 44,0
c) 74,8
11.  (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma 
peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo 
e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de 
um quadrado de lado ,, como indica a figura a seguir.
1 5
6
3
2
4
7
,
2
,
,
2
Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa 
área é:
a) ,
2
16
 b) ,
2
12
 c) ,
2
8
 d) ,
2
6
 e) ,
2
4
48
Geometria plana
a) 4 c) 6
b) 5 d) 7
14.  (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma 
encomenda na cidade A, localizada a 85 km a no-
roeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio 
pela rota AB em linha reta.
No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na 
cidade C, situada no cruzamento das rodovias que 
ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos 
de mesma extensão. Com base em sua experiência, o 
transportador percebeu que esse desvio de rota, antes 
de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse 
o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por 
hora adicional de viagem.
a) Indique a localização das cidades A, B e C num 
esquema.
b) Calcule a distância em cada um dos trechos per-
pendiculares do caminho. (Considere a aproxima-
ção √ 2 5 1,4.)
c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto 
relativamente ao retorno em linha reta.
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o 
litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e 
seu rendimento médio de 7 km por litro, estabe-
leça o preço mínimo para o transportador aceitar 
o trabalho.
Norte
15.  (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste 
da formiga B. A formiga A está se movendo para o 
oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para 
o norte com a mesma velocidade.
12.  (UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a 
e b, com a . b
2
, foi dobrada duasvezes, conforme 
as figuras a seguir e as seguintes instruções:
– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepon-
do o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2);
– dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo 
que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).
Figura 1
b
a
Figura 2
Q P
a
Figura 3
A
B
C
a
A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em 
função de a e b, é:
a) A 5 2a2 1 2ab 1 
b2
2
b) A 5 
ab
2
c) A 5 a2 2 2ab 1 b2
d) A 5 a2 2 
b2
4
e) A 5 a2 2 ab 1 
b2
4
13.  (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2, foi 
recortada uma peça conforme indicado na figura. A 
medida da área da peça recortada, em centímetros 
quadrados, é:
49
Matemática Volume Único
Qual a distância entre as duas formigas às 14 h?
a) √ 17 km d) √ 117 km
b) 17 km e) 117 km
c) √ 51 km
16.  (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m 
de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados 
pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos. 
Supondo que nenhum piso se quebrará durante o 
serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o 
piso da cozinha?
a) 17 caixas d) 15 caixas
b) 16 caixas e) 12 caixas
c) 20 caixas
17.  (CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo, os quatro círculos são 
tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores 
medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD 
mede 12 cm.
A
D E C
B
a) Simbolizando o raio da circunferência maior por 
x, determine esse valor, aplicando o Teorema de 
Pitágoras aos lados do triângulo ADE.
b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD.
18.  (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimen-
sões , 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma 
bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de 
água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando 
o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 
3,
2
 do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e 
raio 2, (veja figura).
R
B C
porção irrigada
tubo condutor 
de água
2,
3,
,
3,
2
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o 
irrigador está no ponto C.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja in-
versamente proporcional à distância do irrigador 
até a bomba, calcule o raio da região irrigada 
quando o irrigador é colocado no centro da região 
retangular R.
19.  (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos 
M e N são respectivamente pontos médios dos lados 
AB e AC.
O segmento MN mede 6 cm.
A
N
C
M
B
A área do triângulo ABC mede:
a) 18√ 3 cm2
b) 24√ 2 cm2
c) 30√ 2 cm2
d) 30√ 3 cm2 
e) 36√ 3 cm2 
20.  (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada 
como mostra a figura abaixo. De acordo com as me-
didas fornecidas, a região sombreada, que é a parte 
visível do verso da folha, tem área igual a:
4 cm 6 cm
a) 24 cm2
b) 25 cm2
c) 28 cm2
d) 35 cm2
e) 36 cm2
50
Geometria plana
21.  (UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos 
lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a ex-
pressão da área deste triângulo em função de x. O 
valor, em m², de S 
1
3
 1 S(3) é:
a) 
17√ 3
18
b) 
35√ 3
18
c) 
49√ 3
18
d) 
41√ 3
18
22.  (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um 
triângulo equilátero intercepta os outros dois lados 
determinando um triângulo menor e um trapézio, os 
quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área 
do triângulo menor e a área do trapézio é:
a) 
6
4
 c) 
8
6
b) 
7
5
 d) 
9
7
23.  (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais 
por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear 
de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 
reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e 
molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros 
retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma 
segunda encomenda, mas agora para 8 quadros 
retangulares (50 cm 3 100 cm).
O valor da segunda encomenda será:
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque 
a altura e a largura dos quadros dobraram.
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas 
não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque 
a altura e a largura dos quadros dobraram.
d) menor do que o valor da primeira encomenda, 
mas não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o 
custo de entrega será o mesmo.
24.  (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma enco-
menda para fabricar, em grande quantidade, uma 
peça com o formato de um prisma reto com base 
triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm 
e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser va-
zada de tal maneira que a perfuração na forma de 
um cilindro circular reto seja tangente às suas faces 
laterais, conforme mostra a figura.
6 cm 8 cm
10 cm
O raio da perfuração da peça é igual a:
a) 1 cm d) 4 cm
b) 2 cm e) 5 cm
c) 3 cm
25.  (UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono 
regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos 
regulares, todos de lado L.
Figura 1 Figura 2
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 
ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? 
Justifique sua resposta.
26.  (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído 
sobre três suportes verticais de aço, colocados nos 
pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os 
suportes nas extremidades A e C medem, respecti-
vamente, 4 metros e 6 metros de altura.
12 m
A B C
4 m
8 m
6 m
A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros d) 5,2 metros
b) 4,5 metros e) 5,5 metros
c) 5 metros
51
Matemática Volume Único
27.  (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero 
de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A 
área do polígono DEFGHI vale:
A B
F G
H
ID
E
C
a) 1 1 √ 3 
b) 2 1 √ 3 
c) 3 1 √ 3
d) 3 1 2√ 3
e) 3 1 3√ 3
28.  (UF-MG) Considere esta figura:
A C
B
E
F
D
Nesta figura,
• o triângulo ABC é equilátero, de lado 3;
• o triângulo CDE é equilátero, de lado 2;
• os pontos A, C e D estão alinhados; e
• o segmento BD intersecta o segmento CE no 
ponto F.
Com base nessas informações,
1. DETERMINE o comprimento do segmento BD.
2. DETERMINE o comprimento do segmento CF.
3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF.
29.  (UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir, um trem 
saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocando-
se com a mesma velocidade com que um outro trem 
ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a 
distância do ponto M às cidades C e A é a mesma, 
e que, por um atraso, as locomotivas partiram no 
mesmo instante, é correto afirmar que:
M
90°
Cidade D
Cidade B
Cidade C
Cidade A
Distância em km
Cidade D
Cidade A 1 200
Cidade C 1 600
 
a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km.
b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km.
c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km.
d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km.
e) não haverá o choque dos trens.
30.  (UF-RN) Para comemorar o aniversário de indepen-
dência, o Governo da Guiana comprou um lote de 
bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 
representa a bandeira e a Figura 2, as características 
geométricas desta.
Figura 1
A B
D C
EF
Figura 2
Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção 
das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que 
a quantidade de tecido utilizada na confecção da 
bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma 
que a utilizada para o quadrilátero AFDE.
31.  (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difun-
didas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins, 
52
Geometria plana
campos de futebol, etc. Em certa loja de jardina-
gem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) 
naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura 
por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50.Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa 
grama seja colocado no terreno mantendo-se uma 
distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, 
em toda a volta do tapete. E, em relação às margens 
do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 
1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura 
a seguir.
Plantio de tapetes segundo as recomendações
2 cm
2 cm
1,25 m
2 cm
1 cm
1 cm
0,40 m
O dono de uma chácara procurou a referida loja para 
cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, 
com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo 
que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem 
ser cortado e seguindo as recomendações acima, 
qual será o custo total com os tapetes de grama-
esmeralda?
32.  (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma 
forma estudada pela Geometria Fractal e sua apa-
rência característica pode representar o formato 
dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou 
de um brócolis, dependendo de sua variação. A 
árvore pitagórica a seguir foi construída a partir 
de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3, 
AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos so-
bre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados 
e triângulos retângulos menores, semelhantes aos 
iniciais, sendo que os ângulos Cˆ, Fˆ, e Iˆ , são con-
gruentes, seguindo um processo iterativo que pode 
se estender infinitamente.
A
E
D
H
G
I
F
BC
Com base nessas informações, calcule a área do 
triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.
33.  (UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunfe-
rências tangentes duas a duas e com centros nos 
vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 
8 cm e 10 cm.
Calcule a área A da região do triângulo, em cm2, 
limitada pelas três circunferências e indique 10A.
Dado: use as aproximações: 
p  3,14 e arctg 0,75  0,64.
34.  (UF-PE) Na figura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15 
e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. 
Determine AF.
35.  (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada 
para confeccionar um outdoor com a sigla RN, con-
forme as medidas determinadas na figura a seguir.
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
53
Matemática Volume Único
Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na 
pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras.
Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, 
determine, em metros quadrados, a área de cada 
uma das letras.
36.  (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação 
linear experimentada por um objeto material é pro-
porcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação 
da temperatura a que é submetido (DT), sendo que a 
constante de proporcionalidade, denominada de coe-
ficiente de dilatação linear (a) depende do material 
utilizado.
Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21) de 10 m 
de comprimento está a uma temperatura de 20 °C, 
e é fixado pelas extremidades entre dois suportes, 
cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu 
ponto médio, de modo que o fio possa ser conside-
rado reto entre o ponto médio e cada extremidade. 
Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura 
de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o 
ponto médio estará a uma distância H da horizontal, 
como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o 
valor de H em centímetros?
37.  (UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao 
utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os 
lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm 
e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a 
36 m2, então o perímetro real da sala é igual a:
a) 21 m d) 25 m
b) 19 m e) 22 m
c) 20 m
38.  A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma 
cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.
Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir 
para a rua R2 até a posição B.
Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a 
distância, em metros, que Paulo vai percorrer será 
de, aproximadamente,
a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000.
39.  (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um 
retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os 
pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB 
e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área 
do retângulo ABCD é igual a:
a) 360 u.a. d) 200 u.a.
b) 120 u.a. e) 300 u.a.
c) 240 u.a.
40.  (UF-MG) Nesta figura plana, PQR é um triângulo 
equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, 
estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR:
Considerando essas informações,
a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF.
b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF.
c) DETERMINE o raio da circunferência que passa 
pelos vértices do hexágono ABCDEF.
Ilu
st
ra
çõ
es
: F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
Geometria plana
54
respostas
  1.  c
  2.  9 m2
  3.  a) Área 5 
(x2√ 3 )
2
b) 
1
5
  4.  b
  5.  a
  6.  e
  7.  b
  8.  a
  9.  a
10. d
11. c
12. e
13. c
14. a) A
C B
b) 59,5 km
c) 34 km
d) R$ 106,86
15. d
16. b
17. a) x 5 9
b) 156 cm2
18. a) A 5 
,2
6
 (2p 1 3√ 3 )
b) R 5 6 ? 
,
5
Geometria plana
19. e
20. b
21. d
22. d
23. b
24. b
25. As áreas são iguais.
26. d
27. c
28. 1) √ 19 
2) 
6
5
3) 
9√ 3 
10
29. a
30. Note que área ADF 5 
1
2
 ? área ADE.
31. R$ 3 750,00
32. 2,4576 cm2
33. 1,9 cm2
34. 15
35.  letra R ⇒ 0,64 m2
letra N ⇒ 0,64 m2
36. Aproximadamente 5
√ 1 000 
 m (ou 15,8 cm).
37. d
38. a
39. c
40. a) 3a(√ 3 1 1)
b) a2 ? (3 1 √ 3 )
c) 
a√ 12 1 3 √ 3 
3
Matemática Volume Único
55
Geometria espacial
Th
in
ks
to
ck
/G
et
ty
 Im
ag
es
  1.  (UE-GO) Uma lâmpada, cujas dimensões são consi-
deradas desprezíveis, é fixada no teto de uma sala de 
4 metros de altura. Um objeto quadrado com lado 
de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto, de 
modo que fique paralelo ao solo e seu centro esteja 
na mesma vertical que a lâmpada. Calcule a área da 
sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no 
solo.
  2.  (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE, 
cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
A
E
Q
P
B
D
C
AB 5 CD 5 √ 3
2
AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1
AP 5 DQ 5 1
2
Determine:
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) Volume da pirâmide BPQCE. 
  3.  (Mackenzie-SP)
a
a
a
2
2
a
3
A peça da figura, de volume a2, é o resultado de um 
corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, 
retirando-se um outro paralelepípedo reto retân-
gulo. O valor de a é:
a) 2
3
 d) 4
b) 5 e) 4
5
c) 6
  4.  (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces 
retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com 
um volume de 10 m3 (conforme figura a seguir). O 
comprimento de um dos lados da base deve ser o do-
bro do comprimento do outro lado. O material para 
construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, 
ao passo que o material para construir as laterais 
custa R$ 6,00 por metro quadrado.
n
p
2p
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n?
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de 
construção da caixa.
c) Encontre o custo de construção da caixa em fun-
ção de p.
  5.  (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado 
a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas 
de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixa-
dos por semiesferas idênticas retiradas de cada uma 
das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% 
do volume total do cubo.
Considerando p 5 3, a razão entre a medida da 
aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, 
expressas na mesma unidade, é igual a:
a) 6 c) 9
b) 8 d) 10
56
Geometria espacial
  6.  (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura: 
uma em forma de cuboe a outra em forma de 
paralelepípedo retângulo com área da base de 
6 m2. Se o volume da caixa cúbica tem 4 m3 a me-
nos que o volume da outra caixa, então a única 
medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m.
02) É possível construir um poliedro regular, utilizan-
do-se seis triângulos equiláteros.
04) Na figura 1, estão representados três sólidos e, na 
figura 2, estão representadas três planificações. 
Fazendo corresponder cada sólido com sua plani-
ficação, tem-se a relação A → 1, B → 3 e C → 2.
A B C
figura 1
3 1 2
figura 2
08) Um retângulo, quando girado em torno de seu 
lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem 
432p cm3. Se o lado maior do retângulo mede 
o dobro da medida do lado menor, então a área 
desse retângulo é de 72 cm2.
  7.  (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superin-
tensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada 
em tanques-rede colocados em açudes, com alta den-
sidade populacional e alimentação à base de ração. 
Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo 
e são revestidos com uma rede que impede a fuga 
dos peixes, mas permite a passagem da água.
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi 
posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes 
consomem, no total, 800 g de ração por refeição. 
Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 
1,5 g de ração por refeição e que um peixe da 
espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule 
quantos peixes de cada espécie o conjunto de 
tanques-rede contém.
b) Para uma determinada espécie, a densidade má-
xima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos 
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua 
largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. 
Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque 
para que ele comporte 7 200 peixes adultos da 
espécie considerada? 
  8.  (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um qua-
drado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é 
um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, 
que tem como vértices os baricentros de cada uma 
das faces laterais, é igual a:
a) 5
9
 d) 2
9
b) 4
9
 e) 1
9
c) 1
3
  9.  (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma 
reta r, assinale o que for correto.
01) Se r é perpendicular a a e a b então a é paralelo 
a qualquer plano que contenha r.
02) Se r é perpendicular a a e a b então a e b são 
paralelos entre si.
04) Se a e b são perpendiculares e a reta r está con-
tida em a, então r é também perpendicular a b.
08) Se r é paralela a a então todo plano contendo r 
é paralelo a a.
16) Se r  a 5  então r e a são paralelos.
10.  (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 
faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces 
triangulares, assinale o que for correto.
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então 
n 5 4.
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então 
n 5 10.
04) O menor valor possível para n é 1.
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do 
poliedro é 3 600º, então n 5 6.
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então 
n 5 8.
11.  (UF-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é 
armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em mol-
des em formato de pirâmides de base quadrada, cuja 
altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a
2
.
57
Matemática Volume Único
14.  (UF-GO) Leia o texto a seguir.
Era uma laje retangular enorme, uma brutidão de 
mármore rugoso […].
É a mãe da pedra, não disse que era o pai da pedra, 
sim a mãe, talvez porque viesse das profundas, ain-
da maculada pelo barro da matriz, mãe gigantesca 
sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens, 
ou ela esmagá-los a eles, quantos, faça as contas 
quem quiser, que a laje tem de comprimento trinta 
e cinco palmos, de largura quinze, e a espessura é de 
quatro palmos, e, para ser completa a notícia, depois 
de lavrada e polida, lá em Mafra, ficará só um pouco 
mais pequena, trinta e dois palmos, catorze, três, pela 
mesma ordem e partes, e quando um dia se acabarem 
palmos e pés por se terem achado metros na terra, 
irão outros homens a tirar outras medidas [...].
SARAMAGO, José. Memorial do convento. 17. ed. Rio 
de Janeiro: Bertrand Brasil, 1996. p. 244-245.
No romance citado, Saramago descreve a constru-
ção do Palácio e Convento de Mafra (séc. XVIII), em 
Portugal, no qual a laje (em forma de paralelepípedo 
retângulo) foi colocada na varanda da casa de Bene-
dictione. Supondo que a medida de um palmo seja 
20 cm, então o volume retirado do mármore, após 
ser polido e lavrado, em m3, foi de:
a) 0,024 c) 10,752 e) 60,480
b) 6,048 d) 16,800
15.  (PUC-RJ) Um octaedro é um 
poliedro regular cujas faces 
são oito triângulos equiláteros, 
conforme indicado na figura.
Para um octaedro de aresta a:
a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
16.  (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000 
caixas com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas, aproximadamente, quantos 
m2 de papelão serão necessários para a confecção 
das caixas?
40 cm
20 cm
14 cm
a) 0,328 m2 c) 112 m2 e) 1 640 m2
b) 1 120 m2 d) 3 280 m2
Considerando-se essas informações, é CORRETO 
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas 
uma dessas caixas, enche-se um total de:
a) 6 moldes c) 24 moldes
b) 8 moldes d) 32 moldes
12.  (UF-RS) Um reservatório tem 
forma de um cilindro circular 
reto com duas semiesferas 
acopladas em suas extremida-
des, conforme representado 
na figura ao lado.
O diâmetro da base e a altura 
do cilindro medem, cada um, 
4 dm, e o volume de uma 
esfera de raio r é 4
3
 pr3.
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da 
capacidade do reservatório, em litros, é:
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
13.  (FGV-SP) A figura indica a planificação da lateral de 
um cone circular reto:
252°
10
10
O cone a que se refere tal planificação é 
a) 
10
6
 d) 
10
6
b) 
10
7
 e) 
10
7
c) 
10
8
58
Geometria espacial
17.  (UF-PR) A parte superior de 
uma taça tem o formato de 
um cone, com as dimensões 
indicadas na figura.
a) Qual o volume de líquido 
que essa taça comporta 
quando está completa-
mente cheia?
b) Obtenha uma expressão 
para o volume V de líqui-
do nessa taça, em função da altura x indicada na 
figura.
18.  (UF-BA) Sendo  o ângulo formado entre uma dia-
gonal e uma face de um mesmo cubo, determine 
1
sen2 
.
19.  (UE-MG)
10 cm
60 cm
40 cm
O desenho, acima, representa uma caixa de madeira 
maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas 
iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. 
Nela será colocada uma mistura líquida de água 
com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve 
reposição da mistura, ao longo de um certo período, 
1 200 cm³ do líquido evaporaram. 
Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da 
mistura restante na caixa corresponde a um valor 
numérico do intervalo de 
a) [5,0; 5,9]
b) [6,0; 6,9]
c) [7,0; 7,6]
d) [7,6; 7,9]
20.  (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar 
o serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso, 
será necessária a construção de uma nova antena de 
transmissão. A antena deve ser composta por uma 
base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos maciços 
e feitos de concreto, por uma haste de sustentação 
e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica 
(conforme a ilustração a seguir).
esfera metálica
haste da antena
poste cilíndrico
base cúbica
Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em 
metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal 
da face da base cúbica e do raio da esfera metálica.
Sabe-se que:
1) O valor de D2 excede em 16 m2 o valor de d2.
2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade 
da aresta da base cúbica.3) O volume do poste cilíndrico é 18 m3.
4) 1 m3 da liga metálica corresponde a 300 kg (qui-
logramas).
Com base nestas informações, responda as seguintes 
perguntas:
a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor 
diferente da base cúbica. Considerando que a 
região de contato entre a haste e a parte superior 
do poste tenha área desprezível, qual é o valor da 
área do poste a ser pintada?
b) Se a haste da antena suporta um peso máximo 
de 50 kg, determine o maior valor possível para 
R, de forma que o peso da esfera de raio igual a 
este valor não exceda o peso máximo suportado 
pela haste.
21.  (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de 
seca, um agricultor pretende construir uma cisterna 
fechada, que acumule toda a água proveniente da 
chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo 
de um período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do 
telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída 
e a quantidade média mensal de chuva na região 
onde o agricultor possui sua casa.
Ilu
st
ra
çõ
es
: F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro4 cm
x
12 cm
59
Matemática Volume Único
Figura 1
Figura 2
8 m
h m
2 m4 m
12 m
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície 
plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a 
profundidade (h) da cisterna para que ela comporte 
todo o volume de água da chuva armazenada duran-
te um ano, acrescido de 10% desse volume.
22.  (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determina-
do chocolate, representada na figura abaixo, tem a 
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual 
a 5 cm.
Em relação ao prisma, considere:
• cada um dos ângulos Â, Bˆ, Cˆ e Dˆ da base superior 
mede 120º;
• as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a 
embalagem custa R$ 10,00 por m2 e que √ 3 5 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, 
em reais, gasto somente com o papelão é aproxima-
damente igual a:
a) 0,50 c) 1,50
b) 0,95 d) 1,85
23.  (UE-RJ) A figura abaixo representa um recipiente 
cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio 
a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.
H
12 cm
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a so-
lução inicial com água, até completar o recipiente, 
obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio 
a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equi-
valente a 
a) 16 c) 20
b) 18 d) 22
24.  (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as 
medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem 
tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões 
internas são as mínimas necessárias para contê-lo. 
Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocu-
pado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:
2 cm
6 cm
3 cm
10 cm
a) 142 cm3 d) 176 cm3
b) 154 cm3 e) 182 cm3
c) 168 cm3
Ilu
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çõ
es
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na
nd
o 
M
on
te
iro
60
Geometria espacial
25.  (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a 
forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões 
das latas fabricadas de forma que o volume seja pre-
servado. Se a medida do raio da base das novas latas 
é o dobro da medida do raio da base das antigas, 
então a medida da nova altura é:
a) a metade da medida da altura das latas antigas.
b) um terço da medida da altura das latas antigas.
c) um quarto da medida da altura das latas antigas.
d) dois terços da medida da altura das latas antigas.
26.  (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular 
reto, constituído de material homogêneo, flutua em 
um líquido, conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao 
meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume 
submerso e o volume do sólido será igual a:
a) 
1
2
b) 
3
4
c) 
5
6
d) 
7
8
27.  (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de 
óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao 
redor da embarcação a formação de uma mancha 
com a forma de um círculo cujo raio r varia com o 
tempo t mediante a função r(t) 5 
30
√ p t
0,5 metros. A 
espessura da mancha ao longo do círculo é de 0,5 
centímetros. Desprezando a área ocupada pelo barco 
na mancha circular, podemos afirmar que o volume 
de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e 
t 5 9 horas foi de:
a) 12,5 m3
b) 15 m3
c) 17,5 m3
d) 20 m3
e) 22,5 m3
28.  (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz 
diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo 
especial de peça feita nessa companhia tem o forma-
to de um paralelepípedo retangular, de acordo com 
as dimensões indicadas na figura que segue.
1,3 m
0,5 m
2,5 m
Metal Nobre
O produto das três dimensões indicadas na peça 
resultaria na medida da grandeza 
a) massa d) capacidade
b) volume e) comprimento
c) superfície
29.  (Enem-MEC) Dona Maria, diarista na casa da família 
Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas 
que se encontram numa reunião na sala. Para fazer 
o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica 
e copinhos plásticos, também cilíndricos.
4 cm
4 cm
8 cm
20 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista 
deseja colocar a quantidade mínima de água na 
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. 
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
30.  (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto, 
um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de 
espessura desprezível) foi envolvido homogeneamen-
te por uma camada de concreto, contendo 20 cm de 
espessura.
 F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
61
Matemática Volume Único
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe 
R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de 
p, então o preço dessa manilha é igual a:
a) R$ 230,40 
b) R$ 124,00 
c) R$ 104,16
d) R$ 54,56
e) R$ 49,60
31.  (Enem-MEC) No manejo sustentável de florestas, é 
preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode 
ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe 
um método prático, em que se mede a circunferência 
da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), 
conforme indicado na figura. A essa medida deno-
mina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica 
a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da 
tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura 
da árvore.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de 
cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, 
de duas espécies diferentes, sendo:
• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de 
comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3;
• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de 
comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3.
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que 
enviassem caminhões para transportar uma carga 
de, aproximadamente 
a) 29,9 toneladas
b) 31,1 toneladas
c) 32,4 toneladas
d) 35,3 toneladas
e) 41,8 toneladas
32.  (Enem-MEC) Em um casamento, os donos da festa 
serviam champanhe aos seus convidados em taças 
com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um 
acidente na cozinha culminou na quebra de grande 
parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um ou-
tro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, 
os noivos solicitaram que o volume de champanhe 
nos dois tipos de taçasfosse igual.
R 5 3 cm
Figura 1 Figura 2
R 5 3 cm
h
Considere:
Vesfera 5 
4
3
 pR3 e Vcone 5 
1
3
 pR2h
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de:
a) 1,33 
b) 6,00 
c) 12,00
d) 56,52
e) 113,04
33.  (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construí-
do no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado 
abaixo. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo 
maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, 
mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse 
objeto foi de 
a) 12 cm3
b) 64 cm3
c) 96 cm3
d) 1 216 cm3
e) 1 728 cm3
Ilu
st
ra
çõ
es
: F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
O volume da tora em m3 
é dado por
V 5 rodo2 3 altura 3 0,06
O rodo e a altura da árvore devem ser 
medidos em metros. 
O coeficiente 0,06 foi 
obtido experimentalmente.
62
Geometria espacial
34.  (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de 
futebol deve passar por vários testes. Um deles visa 
garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é 
medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a 
média aritmética desses valores é calculada. Para 
passar nesse teste, a variação de cada uma das de-
zesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação 
à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as 
variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa 
do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Se o diâmetro de uma 
bola tem aumento de 
1%, então o seu volume 
aumenta x%.
Dessa forma, é correto 
afirmar que:
a) x  [5, 6) d) x  [3, 4)
b) x  [2, 3) e) x  [4, 5)
c) x 5 1
35.  (Fuvest-SP) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é 
tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e 
contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide 
que tem como base um hexágono regular inscrito na 
intersecção de ε com b e, como vértice, um ponto 
em a, é igual a:
a) √ 3r3
4
 d) 
7√ 3r3
16
b) 
5√ 3r3
16
 e) √ 3r3
2
c) 
3√ 3r3
8
36.  (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de 
uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com 
diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será 
restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro qua-
drado. Quanto custará a restauração? Dado: use a 
aproximação p  3,14.
a) 3,14 milhões de reais
b) 6,28 milhões de reais
c) 7,28 milhões de reais
d) 8,14 milhões de reais
e) 262 milhões de reais
37.  (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina 
com raio 15 cm, é retirado um setor de ângulo central 
igual a 120°. Com o que restou do círculo, constrói-se 
um copo cônico. Qual é o volume desse copo?
120°
15 cm
a) 
p√ 3
3
 cm3 d) 128p cm3
b) 
100p
3
 cm3 e) 
500p√ 5
3
 cm3
c) 
128p
3
 cm3
38.  (UF-AL) Na ilustração a seguir, temos um paralele-
pípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que 
duas das diagonais de duas faces adjacentes formam 
com arestas da base e o comprimento da diagonal da 
face superior, como estão indicados na figura. Qual 
o volume do paralelepípedo?
30°
60°
√ 30 cm a) 23 cm3
b) 24 cm3
c) 25 cm3
d) 26 cm3
e) 27 cm3
39.  (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda 
de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de 
um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, 
diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos 
afirmar, utilizando p 5 3,14, que a capacidade da 
rasa, em litros, é aproximadamente
a) 18 d) 24
b) 20 e) 26
c) 22
40.  (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo 
volume de uma esfera com raio igual à medida do 
raio da base deste cone. Sabendo-se que a soma 
do raio da base do cone com sua altura é igual a 
5 metros, qual o volume deste cone em m3?
Im
ag
eb
ro
ke
r 
RM
/D
io
m
ed
ia
63
Matemática Volume Único
a) 
p
2
 d) 
2p
3
b) 
5p
3
 e) 
4p
3
c) 
p
3
41.  (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de 
trabalho, José colocou sobre uma mesa um aquário 
de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, 
com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm. 
Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 
40 cm 3 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.
Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 
20 cm 3 30 cm, a altura da água, mantendo-se o 
mesmo volume, seria de, aproximadamente,
a) 16 cm. c) 33 cm.
b) 17 cm. d) 35 cm.
42.  (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal 
tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano 
paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu 
vértice, formando uma região de área igual a 25 m2. 
A área da base dessa pirâmide é:
a) 156,25 m2 d) 125,00 m2
b) 165,52 m2 e) 225,00 m2
c) 150,00 m2
43.  (UF-AM) Considere as seguintes proposições:
 I. Se dois planos a e b são paralelos a uma reta r, 
então a é paralelo a b.
 II. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre 
um plano, são paralelas, então as retas são para-
lelas.
 III. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a 
um plano, então a reta está contida neste plano.
 IV. Se duas retas r e s são concorrentes, então elas 
possuem um único ponto em comum.
Podemos afirmar que:
a) somente as proposições I e II são falsas.
b) somente as proposições II e III são falsas.
c) somente as proposições I e IV são verdadeiras.
d) todas as proposições são falsas.
e) todas as proposições são verdadeiras.
44.  (UF-PB) Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve 
a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja 
essa mistura em um filtro de onde o café escoa para 
um recipiente, conforme a figura abaixo. Nessa situa-
ção, considere:
• o recipiente tem a forma de um cilindro circular 
reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm 
respectivamente;
• o filtro tem a forma de um cone circular reto, 
com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm 
respectivamente.
Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu 
a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume 
do resíduo do pó de café 
que ficou no filtro era de 
28p cm3, é correto afir-
mar que, no recipiente, 
o café atingiu uma altura 
de pelo menos:
a) 6,3 cm
b) 4 cm
c) 3 cm
d) 5,5 cm
e) 2 cm
45.  (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas 
conforme a figura a seguir:
3x + 9
x + 1
x + 3
x + 3
9 – x
3x
A aplicação polinomial que melhor representa o 
volume desta piscina é:
a) V(x) 5 9x3 1 
51
2
 x2 1 
45
2
 x 1 5
b) V(x) 5 9x3 1 
45
2
 x2 1 36x 1 3
c) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 
45
2
 x 1 
81
2
d) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 6x 1 
81
2
e) V(x) 5 3x3 1 
51
2
 x2 1 63x 1 
81
2
46.  (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a me-
dida da área da base igual à metade da área lateral. 
Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro 
mais próximo do volume da pirâmide, em cm3. Dado: 
use a aproximação √ 3  1,73.
15
12
18
20
Ilu
st
ra
çõ
es
: F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
Geometria espacial
64
respostas
  1.  1,44 m2
  2.  a) 
(√ 10 )
4
b) 
9
16
c) 
(3√ 3 )
64
  3.  d
  4. a) 1,25 m
b) R$ 170,00
c) 20p2 1 
180
p
  5.  d
  6.  04 1 08 5 12
  7.  a) 400 da espécie A e 200 da espécie B.
b) 3 m 3 3 m 3 2 m
  8.  d
  9.  são corretas: 2 e 16
10.  são corretas: 01, 02, 08 e 16
11. c
12. d
13. b
14. b
15. a) 2a2 ? √ 3 
b) 
(a3 ?√ 2 )
3
c) 
(a ?√ 6 )
3
16. d
17. a) 16p cm3
b) p ? x3
18. 3
19. c
Geometria espacial
20. a) 
18
p
 cm
 (36 1 p) cm2
b) r 5 
(3√ p2 )
2p
 cm
21. 7,7 m
22. b
23. b
24. d
25. c
26. d
27. e
28. b
29. a
30. d
31. a
32. b
33. d
34. d
35. e
36. a
37. e
38. e
39. b
40. e
41. c
42. a
43. a
44. e
45. e
46. 83,04 cm3Matemática Volume Único
65
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
  1.  (FGV-SP) Se 

n 2 15 1 

n 2 16 5 
n2 2 n
2
,
então n é igual a:
a) 4
b) 6
c) 9
d) 5
e) 8
  2.  (UF-CE) O símbolo 
nk indica a combinação de n 
objetos k a k. O valor de x2 2 y2 quando 
x 5 420 ? 
20 ∑
k50
 
20 k ? 

3
4

k
 e y 5 520 ? 
20 ∑
k50
 
20 k ? 

2
5

k
 
é igual a:
a) 0 d) 225
b) 21 e) 2125
c) 25
  3.  (Fatec-SP) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma 
de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma 
turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 
moças. Para participar de um debate serão escolhi-
dos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. 
Nessas condições, a probabilidade de que sejam 
escolhidos uma moça e um rapaz é:
a) 29
60
 d) 81
160
b) 47
96
 e) 183
360
c) 73
144
  4.  (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do 
Mackenzie.
Cada palavra da frase acima é colocada em uma 
urna. Sorteando-se, sucessivamente, sem reposição, 
duas palavras, a probabilidade de pelo menos uma 
das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é:
a) 9
14
 d) 5
15
b) 6
56
 e) 21
56
c) 5
14
  5.  (UF-RS) O Google, site de buscas na internet criado 
há onze anos, usa um modelo matemático capaz 
de entregar resultados de pesquisas de forma muito 
eficiente. Na rede mundial de computadores, são 
realizadas, a cada segundo, 30 000 buscas, em média. 
A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total 
entre os maiores sites de busca.
Sites Buscas
Google 21 000
Yahoo 2 700
Microsoft 800
Outros 5 500
Total 30 000
De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem 
simultaneamente uma busca na internet, a proba-
bilidade de que pelo menos uma delas tenha usado 
o Google é 
a) 67%
b) 75%
c) 83%
d) 91%
e) 99%
  6.  (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 
15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a 
probabilidade de a soma dos números que aparecem 
nessas bolas ser par é:
a) 1
13
 d) 31
65
b) 6
13
 e) 33
65
c) 28
65
  7.  (Ita-SP) A expressão (2√ 3 1 √ 5 )5 2 (2√ 3 2 √ 5 )5 é 
igual a:
a) 2 630√ 5
b) 2 690√ 5
c) 2 712√ 5
d) 1 584√ 15
e) 1 604√ 15
  8.  (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas 
musicais. Para compor um trecho de três notas mu-
66
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
sicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete 
notas que existem na escala musical. O número de 
melodias diferentes possíveis de serem escritas é:
a) 3
b) 21
c) 35
d) 210
e) 5 040
  9.  (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplica-
ção bancária que rendeu juros compostos de 1% ao 
mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, 
ele resgatou integralmente a aplicação. O montante 
resgatado é suficiente para que Poupêncio compre 
um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua 
resposta.
10.  (UF-PR) Em uma população de aves, a probabilidade 
de um animal estar doente é 1
25
.
Quando uma ave está doente, a probabilidade de 
ser devorada por predadores é 1
4
, e, quando não 
está doente, a probabilidade de ser devorada por 
predadores é 1
40
. Portanto, a probabilidade de uma 
ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser 
devorada por predadores é de:
a) 1,0%
b) 2,4%
c) 4,0%
d) 3,4%
e) 2,5%
11.  (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5 

a11 a12 a13 
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, 
cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa 
matriz são iguais a zero. Supondo também que 
não há nenhuma informação adicional sobre A, 
calcule a probabilidade de que o determinante 
dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij 5 0 para todo elemento 
em que j . i, e que aij 5 i 2 j 1 1 para os elemen-
tos em que j < i.
Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua 
inversa, A−1. 
12.  (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia 
Educacional do MEC financia e instala laboratórios 
de informática nas escolas públicas de Educação 
Básica. Suponha que, no processo de licitação para 
a compra dos computadores destinados aos labora-
tórios, o MEC tenha a sua disposição 15 consultores 
técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são 
consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, 
sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram 
participar do processo de licitação. Para decidir qual 
marca comprar, uma equipe de consultores técnicos 
testou as duas marcas durante uma semana. Os téc-
nicos concluíram que a probabilidade de que ocorra 
um problema em computadores da marca A é de 1
2
, 
da marca B é de 1
4
, e, em ambas, é de 1
100
.
Com base nestas informações, responda às seguintes 
perguntas:
a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos 
para compor a equipe de testes, sendo que 3 são 
consultores júnior e 2 são consultores sênior, de 
quantas maneiras distintas podem ser escolhidos 
os 5 consultores?
b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade 
de que nenhuma marca tenha apresentado pro-
blema?
13.  (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas 
de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas 
maneiras eles podem sentar-se nas poltronas:
a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) de modo que cada casal fique junto;
c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda 
ou todos os homens fiquem à direita de todas as 
mulheres. 
14.  (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros 
congruentes, conforme a representação abaixo.
A
B
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B 
sobre os lados dos triângulos, percorrendo X cami-
67
Matemática Volume Único
a) 26 d) 30
b) 24 e) 28
c) 22
19.  (FGV-SP)
a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas 
peças de mesma forma, tamanho e massa. As 
peças são numeradas, e seus números formam 
uma progressão aritmética:
 5, 10, 15, ..., 500
 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual 
é a probabilidade, expressa em porcentagem, de 
obtermos um número maior que 101?
b) Explique por que podemos afirmar que 101! 1 19 
não é um número primo.
20.  (Enem-MEC) A figura I abaixo mostra um esquema 
das principais vias que interligam a cidade A com a 
cidade B. Cada número indicado na figura II repre-
senta a probabilidade de pegar um engarrafamento 
quando se passa na via indicada.
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar 
engarrafamento no deslocamento do ponto C ao 
ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, 
quando se passa por E3. Essas probabilidades são 
independentes umas das outras.
AB
C
D
E3
E5
E4
E1
E6
E2
 
AB
C
D
0,5
0,4
0,3
0,8
0,6
0,7
 Figura I Figura II
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade 
B usando exatamente duas das vias indicadas, per-
correndo um trajeto com a menor probabilidade de 
engarrafamento possível.
O melhor trajeto para Paula é 
a) E1E3
b) E1E4
c) E2E4
d) E2E5
e) E2E6
nhos distintos, cujos comprimentos totais são todos 
iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível 
para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
a) 20 c) 12
b) 15 d) 10
15.  (Unemat-MT) Em uma competição há sete candida-
tos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. 
Para definir os dois primeiros candidatos que irão ini-
ciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, 
sem reposição, a partir de uma urna contendo fichas 
com os nomes de todos os candidatos.
Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes 
sorteados serem do sexo feminino é de:
a) 10
21
 d) 5
7
b) 7
21
 e) 5
14
c) 2
5
16.  (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o se-
gundo semestre,uma escola decidiu repor algumas 
aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis 
nos meses de outubro e novembro de 2009, com 
a condição de que não fossem utilizados 4 sábados 
consecutivos.
Para atender às condições de reposição das aulas, o 
número total de conjuntos distintos que podem ser 
formados contendo 4 sábados é de:
a) 80 c) 120
b) 96 d) 126
17.  (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete 
caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos 
e três letras maiúsculas, intercalando algarismos e 
letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são 
disponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número 
de senhas distintas que podem ser confeccionadas é:
a) 66 888 000 c) 78 624 000
b) 72 624 000 d) 84 888 000
18.  (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são 
feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas 
entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem 
ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e 
não as quantidades?
68
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
21.  (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista 
que os pés das mulheres estavam aumentando. Há 
alguns anos, a média do tamanho dos calçados das 
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não 
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e 
fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, 
obtendo o quadro a seguir:
Tamanho dos calçados Número de funcionárias
39,0 1
38,0 10
37,0 3
36,0 5
35,0 6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que 
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de 
ela calçar 38,0 é:
a) 1
3
 d) 5
7
b) 1
5
 e) 5
14
c) 2
5
22.  (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar 
cinco clientes, localizados em cidades diferentes da 
sua. Cada trajeto possível pode ser representado por 
uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto 
ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A, visitando 
as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para 
a cidade A. Além disso, o número indicado entre 
as letras informa o custo do deslocamento entre as 
cidades. A figura mostra o custo de deslocamento 
entre cada uma das cidades.
B
C
F
D
A
6
6
8 9
7
13
10
12
8
4
5
5
3
2
6
E
Como João quer economizar, ele precisa determinar 
qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco 
clientes.
Examinando a figura, percebe que precisa conside-
rar somente parte das sequências, pois os trajetos 
ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 
1min30s para examinar uma sequência e descartar 
sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas 
as sequências possíveis no problema é de 
a) 60 min
b) 90 min
c) 120 min
d) 180 min
e) 360 min
23.  (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no inte-
rior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, 
constrói-se um quadrado, também centrado em O, 
que tem M como ponto médio de um de seus lados.
Calcule a probabilidade de que o quadrado assim 
construído esteja inteiramente contido no círculo C.
24.  (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo 
continente que transpassa fronteiras geográficas e 
conecta computadores dos diversos países do globo. 
Atualmente, para que as informações migrem de um 
computador para outro, um sistema de endereça-
mento denominado IPv4 (Internet Protocol version 4) 
é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituí-
do por quatro campos separados por pontos. Cada 
campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo 
[0, 28 2 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor 
WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está 
sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada en-
dereço é constituído por oito campos e cada campo 
é um número inteiro no intervalo [0, 216 2 1].
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) o número de endereços diferentes no sistema 
IPv6 é o quádruplo do número de endereços 
diferentes do sistema IPv4.
Th
in
ks
to
ck
/G
et
ty
 Im
ag
es
69
Matemática Volume Único
b) existem exatamente 4 ? (28 2 1) endereços dife-
rentes no sistema IPv4.
c) existem exatamente 232 endereços diferentes no 
sistema IPv4.
d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 
é o dobro do número de endereços diferentes do 
sistema IPv4.
e) existem exatamente (28 2 1)4 endereços diferentes 
no sistema IPv4.
25.  (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes, apro-
ximadamente 10 000 foram vacinados contra o vírus 
H1N1, número muito menor do que as autoridades 
de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 
habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que 
tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?
a) 2 habitantes
b) 6 habitantes
c) 8 habitantes
d) 12 habitantes
e) 15 habitantes
26.  (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces 
numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada 
lançamento, anota-se o número obtido na face su-
perior do dado, formando-se uma sequência (a, b, 
c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de 
a ou que c seja sucessor de b?
a) 
4
27
b) 
11
54
c) 
7
27
d) 
10
27
e) 
23
54
27.  (U.F. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de final de um 
campeonato de futebol, 8 times, denominados A, B, 
C, D, E, F, G e H, serão divididos aleatoriamente em 
4 grupos de 2 times. Em cada grupo, os 2 times se 
enfrentam sem possibilidade de empate. O perdedor 
é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase.
a) O time A sempre vence os times B, C, D e E. Além 
disso, o time A sempre perde dos times F, G e 
H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à 
próxima fase?
b) Já sabemos que o time B sempre perde para o 
time A. Além disso, a probabilidade de vitória do 
time B, quando este enfrenta os times C, D ou E, 
é sempre igual a 
1
4
, e a probabilidade de vitória 
do time B, quando este enfrenta os times F, G ou 
H, é sempre igual a 
2
3
. Qual é a probabilidade de 
o time B avançar à próxima fase?
28.  (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as se-
guintes vagas de trabalho: duas para serviços de 
limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para 
serviços de entregador e uma para serviços gerais. 
Para preencher essas vagas, candidataram-se 23 
pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a 
de balconista, seis para a de entregador e duas para 
serviços gerais. Considerando todas as possibilidades 
de seleção desses candidatos, determine o número 
total dessas possibilidades.
29.  (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de 
borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de 
cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma 
bola é expelida ao acaso.
Observe a ilustração:
 
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma 
cor, o menor número de moedas a serem inseridas 
na máquina corresponde a:
a) 5
b) 13
c) 31
d) 40
30.  (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasi-
leira de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os 
números de medalhas dos alunos do Piauí, Ceará e 
Maranhão, apresentados no quadro a seguir. Qual é 
IN
B 
- 
Im
ag
es
/G
lo
w
 Im
ag
es
70
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
a probabilidade de se escolher dentre esses alunos 
um que seja do Piauí, dado que ele tenha recebido 
medalha de prata?
CE mA Pi Totais
ouro 19 1 1 21
Prata 31 7 8 46
Bronze 47 20 20 87
Totais 97 28 29
a) 
8
29
b) 
31
29
c) 
29
46
d) 
8
31
e) 
8
46
31.  (UF-MG) Numa brincadeira, um dado, com faces 
numeradas de 1 a 6, será lançado por Cristiano e, 
depois, por Ronaldo. Será considerado vencedor 
aquele que obtiver o maior número como resultado 
do lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido 
o mesmo resultado, ocorrerá empate.
Com basenessas informações,
1. CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate.
2. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o 
vencedor.
32.  (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas: 
os pais, duas meninas e um menino. No aniversário 
de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com 
os filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos.
Mantendo-se os pais à frente dos filhos,
a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes 
que podem ser tiradas, com relação à ordem de 
localização das pessoas na foto?
b) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabi-
lidade do pai estar à esquerda da mãe e o menino 
ficar entre as duas meninas?
33.  (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 fun-
cionários que podem operá-las. Calcule o número 
m de maneiras de se copiar simultaneamente (em 
máquinas distintas, sendo operadas por funcionários 
diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. 
Indique a soma dos dígitos de m.
34.  (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas 
da Companhia A e o restante da Companhia B. 
Suponha que 96% das telhas compradas de A são 
entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% 
das telhas de B. Se uma telha foi entregue com de-
feito, calcule a probabilidade percentual p% de ter 
sido entregue pela Companhia A. Indique p.
35.  (UF-AM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas 
por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. De 
quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A 
e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por 
cada cidade em cada caminho escolhido?
a) 90
b) 92
c) 94
d) 95
e) 102
36.  (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado 
por seis dígitos (que podem se repetir, e o código 
pode começar com o dígito 0). Quantos são os có-
digos de abertura com pelo menos um dígito 7?
a) 468 559
b) 468 595
c) 486 595
d) 645 985
e) 855 964
37.  (UF-MG) Cinco times de futebol, de igual excelência, 
vão disputar oito edições seguidas de um torneio 
anual. Considerando essa informação:
1. CALCULE a probabilidade de um mesmo time 
vencer as duas primeiras edições desse torneio.
2. CALCULE a probabilidade de não haver vencedo-
res consecutivos durante a realização das oito 
edições desse torneio.
38.  (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 1
3
10
, 
quantas parcelas são números inteiros?
 F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
71
Matemática Volume Único
41.  (UF-GO) Observa-se empiricamente, em diversas 
séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a 
frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquer-
da) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro 
dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 
5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 
2009, existem 1 619 municípios cuja população é 
expressa por um número iniciado por 1 (por exem-
plo: Goiânia, 1 281 975 habitantes), enquanto em 
apenas 209 municípios a população é expressa por 
um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 
92 832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei 
de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em 
um conjunto de observações numéricas satisfazendo 
essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja 
D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 
9, é dada por: PD 5 log 1 1 
1
D
.
De acordo com essas informações, para uma série 
de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo 
um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter 
o primeiro dígito menor do que 5?
Use log 2 5 0,3
39.  (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro 
mulheres, duas pessoas serão premiadas com uma 
viagem. Como todos merecem o prêmio, a escolha 
será feita escrevendo-se o nome de cada um num 
pedaço de papel, que será colocado numa urna. Sem 
nenhuma possibilidade de identificação prévia, dois 
papéis serão retirados da urna.
Determine a probabilidade de as duas pessoas esco-
lhidas serem homens.
40.  (UF-RN) Um empresário contribui financeiramente 
para uma instituição filantrópica e a visita semanal-
mente, sendo o dia da semana escolhido aleatoria-
mente.
Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a 
visita ocorrer no mesmo dia da semana é
a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias 
distintos.
b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias 
distintos.
c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias 
distintos.
d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias 
distintos.
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
72
respostas
  1.  e
  2.  a
  3.  a
  4.  a
  5.  d
  6.  e
  7.  b
  8.  d
  9.  (11 0,01)100 . 2 495
Para verificar essa afirmação, some os três primeiros 
termos do desenvolvimento do binômio.
Logo, o montante resgatado será suficiente para comprar 
o computador de R$ 2 490,00.
10. d
11. a) 
1
14
b) A21 5 

 1 0 0 
22 1 0
 1 22 1
12. a) 1 200
b) 26%
13. a) 20 160
b) 480
c) 2 016
14. b
15. a
16. c
17. c
18. a
19. a) 80%
b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19, pois um dos 
fatores de 101! é igual a 19.
20. d
21. d
22. b
23. 50%
24. c
25. a
26. c
27. a) 
4
7
b) 
11
28
28. 17 640
29. c
30. e
31. 1) 
1
6
2) 
5
12
32. a) 12
b) 
1
6
33. 141 120 maneiras; a soma dos dígitos é 9.
34. 75
35. d
36. a
37. 1) 
1
5
2) 4
5
7
38. 2
39. 
5
18
40. d
41. 70%
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
Matemática Volume Único
73
Geometria analítica
  1.  (U.E. Londrina-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz 
da parábola de equação y 5 x2 são dados por:
a) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 
1
4
 ; Reta diretriz: 
y 5 2
1
4
b) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 
1
2
 ; Reta diretriz: 
y 5 2
1
2
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz: y 5 21
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 21); Reta diretriz: y 5 1
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz: y 5 22
  2.  (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax2 1 
1 bx 1 c, que passa pelos pontos (2, 5), (21, 2) e 
tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progres-
são aritmética. Determine a distância do vértice da 
parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5).
  3.  (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos 
A(0, 2), B(3, 0) e C(21, 22), encontre a coordenada 
do centro da circunferência que contém os três 
pontos.
  4.  (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x2 1 x 1 1 e a reta 
y 5 2x 1 m:
a) Determine os valores de m para os quais a reta 
intercepta a parábola.
b) Determine para qual valor de m a reta tangencia 
a parábola. Determine também o ponto de tan-
gência.
  5.  (U.F. Pelotas-RS) O gráfico a seguir representa a função:
f(x) 5 x2 2 5x 1 6.
A
y
B
x
Com base nessas informações é CORRETO afirmar 
que a equação da circunferência que passa em B e 
tem centro em A é:
a) (x 2 6)2 1 y 5 45
b) x2 1 (y 2 6)2 5 9
c) x2 1 (y 2 6)2 5 45
d) (x 2 6)2 1 y2 5 9
e) x2 1 (y 2 3)2 5 9
  6.  (U.F. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer 
pastéis folheados, depois de esticada, é recortada 
em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que 
a equação matemática da circunferência que limita 
o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando 
p 5 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da 
massa utilizada para confeccionar cada pastel são, 
respectivamente:
a) 7 e 113,04
b) 7 e 153,86
c) 12 e 113,04
d) 14 e 113,04
e) 14 e 153,86
  7.  (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices 
A 5 (1, 2), B 5 (2, 4) e C 5 (4, 1).
y
B
x
A
C
a) 
5
2
b) 3
c) 
7
2
d) 4
e) 
9
2
  8.  (Udesc-SC) Analise as afirmações dadas a seguir, 
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
74
Geometria analítica
( ) A equação x2 2 2x 1 y2 1 2y 1 1 5 0 re-
presenta uma circunferênciaque é tangente 
tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das 
ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 1 4y2 5 36 intercepta 
a hipérbole de equação x2 2 4y2 5 4 em apenas 
dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 1 4y2 5 36 é 
paralelo ao eixo real da hipérbole x2 2 4y2 5 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência 
correta, de cima para baixo.
a) V – V – V d) F – F – V
b) V – V – F e) V – F – F
c) F – V – F
  9.  (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem 
vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal AC.
b) Determine a equação da reta que contém a dia-
gonal BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção 
das diagonais AC e BD.
10.  (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano 
cartesiano xOy:
A 5 {P(x, y); x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e
B 5 {P(x, y); 0 < y < x < 4}.
a) Identifique e esboce graficamente a região A.
b) Identifique e esboce graficamente a região B.
c) Calcule a área da região A  B.
11.  (UF-RJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e (25, 25) per-
tencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
12.  (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, são 
dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), 
vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação
r: 3x 2 5y 2 11 5 0.
y
B
x
A
D C
r
A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo 
ABCD em dois polígonos de mesma área, terá por 
equação:
a) 3x 2 5y 2 5 5 0
b) 3x 2 5y 5 0
c) 6x 2 10y 2 1 5 0
d) 9x 2 15y 2 2 5 0
e) 12x 2 20y 2 1 5 0
13.  (U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos 
A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um qua-
drado ABCD, assinale o que for correto.
01) A área do quadrado vale 50 u.a.
02) O vértice D tem coordenadas (4, –2).
04) A circunferência que circunscreve o quadrado 
tem raio igual a 5 u.c.
08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 
4x 1 3y – 10 5 0.
16) As diagonais do quadrado se interceptam no 
ponto (1, 2).
14.  (Vunesp-SP) A figura mostra a representação de algu-
mas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem 
calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma 
pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:
 I. os postes de iluminação projetam sobre a rua 
uma área iluminada na forma de uma elipse de 
excentricidade 0,943;
 II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente 
abaixo da lâmpada, no meio da rua;
 III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, 
tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem 
nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em 
metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de 
aproximadamente:
Dado: 0,9432  0,889 e √ 0,111  0,333
a) 35
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
75
Matemática Volume Único
19.  (FGV-SP) A representação gráfica da equação (x 1 
1 y)2 5 x2 1 y2 no sistema cartesiano ortogonal é:
a) o conjunto vazio.
b) um par de retas perpendiculares.
c) um ponto.
d) um par de pontos.
e) um círculo.
20.  (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas 
cartesianas Oxy da figura, estão representados a 
circunferência de centro na origem e raio 3, bem 
como o gráfico da função y 5 √ 8
|x|
.
y
BC
x
A
O
D
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção 
da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD. 
21.  (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas, o 
valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente 
ao círculo de equação x2 1 y2 5 1 é:
a) 2 d) 
1
√ 2
b) 1 e) 3
c) √ 2
22.  (Cefet-SC) Dada a figura abaixo cujas medidas estão 
expressas em centímetros,
2
2
22
22
15.  (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equa-
ção (x 2 4)2 1 (y 2 3)2 5 25 com os eixos coorde-
nados são vértices de um triângulo. A área desse 
triângulo é 
a) 22
b) 24
c) 25
d) 26
e) 28
16.  (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação 
de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa 
“em torno de”, e o segundo, metron, significa “me-
dida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coorde-
nadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10 1 √ 29 1 √ 26
b) 16 1 √ 29 1 √ 26
c) 22 1 √ 26
d) 17 1 2√ 26
e) 17 1 √ 29 1 √ 26
17.  (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo 
que pode gastar consumindo dois produtos A e B em 
quantidades x e y respectivamente.
O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é 
R$ 30,00.
Admite-se que as quantidades x e y sejam represen-
tadas por números reais não negativos e sabe-se 
que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com 
o produto A.
Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y) possí-
veis, representados no plano cartesiano, determinam 
uma região cuja área é:
a) 195
b) 205
c) 215
d) 225
e) 235
18.  (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 
2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de ordenada 
máxima. A soma das coordenadas de P é:
a) 10 d) 11,5
b) 10,5 e) 1
c) 11
76
Geometria analítica
e as proposições:
 I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm.
 II. é uma circunferência de área 4p cm².
 III. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4.
Considerando as proposições apresentadas, assinale 
a alternativa correta: 
a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
c) Apenas a proposição III é verdadeira.
d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
e) Apenas a proposição II é verdadeira.
23.  (UF-PR) A figura a seguir mostra uma circunferência 
tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e 
diâmetro de 10 unidades.
y
B x
A
D
C
a) Sabendo que A 5 (8, 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a 
reta que passa por A e B, calcule a área do triân-
gulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na 
figura acima, no qual a reta r intercepta a circun-
ferência.
24.  (UF-BA) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), 
C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do 
sistema de coordenadas e pelo ponto B.
B
r
A
4321O
CD
1
2
3
y
x
Com base nessa informação, pode-se afirmar: 
01) O triângulo BCD é equilátero.
02) A área do setor circular hachurado é igual a 
p
4
 u.a.
04) A equação y 5 
x
2
 representa a reta r.
08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e 
a reta r mede 30º.
16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação 
à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1).
32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de 
razão 
1
3
 é um triângulo de área 
4
3
 u.a.
64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em 
torno da origem do sistema, no sentido positivo, 
é o ponto de coordenadas (0, 3).
25.  (Unicamp-SP) No desenho a seguir, a reta y 5 ax (a . 0) 
e a reta que passa por B e C são perpendiculares, 
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto 
(2, 0), resolva as questões que se seguem.
a) Determine as coordenadas do ponto C em função 
de a.
b) Supondo, agora, que a 5 3, determine as coorde-
nadas do ponto A e a equação da circunferência 
com centro em A e tangente ao eixo x.
A
y
y 5
 ax
BO
C
x
26. (UFU-MG) No plano cartesiano, considere o círculo S 
descrito pela equação cartesiana x2 1 y2 5 5 e a reta 
r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. Assim, r 
intersecta S nos pontos A e B.
Considerando uma nova reta h, descrita pela equa-
ção cartesiana y 5 x 1 1, esta reta intersecta S nos 
pontos A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C.
27. (UF-TO) Considere as equações das circunferências:
C1: x
2 2 2x 1 y2 2 2y 5 0
C2: x
2 2 4x 1 y22 4y 5 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
C2
C1
O
y
x
77
Matemática Volume Único
A área da região hachurada é:
a) 3p unidades de área.
b) p unidades de área.
c) 5p unidades de área.
d) 6p unidades de área.
e) 
p
2
 unidades de área.
28.  (UF-TO) Considere  o conjunto dos números reais 
e b  . Encontre os valores de b, tais que no plano 
cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse 
x2
4
 1 y2 5 1 em um único ponto. A soma dos valores 
de b é:
a) 0 d) √ 5
b) 2 e) 22√ 5
c) 2√ 5
29.  (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro 
C (3; 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0; a), com a  , 
é correto afirmar:
a) Se 23 , a , 5, então P é externo à circunferência.
b) Se 23 , a , 5, então P pertence à circunferência.
c) Se a 5 5 ou a 5 23, então P é interno à circun-
ferência.
d) Se a , 23 ou a . 5, então P é externo à circun-
ferência.
e) Se a , 23 ou a . 5, então P é interno à circun-
ferência.
30.  (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1 
1 1 5 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto 
P(1, 1) será:
a) 2x 2 y 5 0
b) 2x 1 y 11 5 0
c) 2x 1 y 2 1 5 0
d) 2x 2 y 2 1 5 0
e) 2x 2 y 1 2 5 0
31.  (ESPM-SP) No plano cartesiano, uma reta de coeficien-
te angular 1 intercepta a parábola de equação y 5 
5 x2 2 2x 1 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da 
mesma. O comprimento do segmento AV é igual a:
a) 1 d) √ 3
b) 2 e) √ 2
c) √ 5
32.  (UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k 2 4)x 1 
1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma 
família de retas que passam pelo ponto fixo P(m, n). 
O valor de m 1 n é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 14
33.  (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência, 
cujo centro se encontra no segundo quadrante, 
tangencia os eixos x e y.
Se a distância da origem ao centro da circunferência 
é igual a 4, a equação da circunferência é:
a) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 2 (2√ 10 )y 1 10 5 0
b) x2 1 y2 1 (2√ 8 )x 2 (2√ 8 )y 1 8 5 0
c) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 1 (2√ 10 )y 1 10 5 0
d) x2 1 y2 2 (2√ 8 )x 1 (2√ 8 )y 1 8 5 0
e) x2 1 y2 2 4x 1 4y 1 4 5 0
34.  (Enem-MEC) A figura a seguir é a representação de 
uma região por meio de curvas de nível, que são 
curvas fechadas representando a altitude da região, 
com relação ao nível do mar. As coordenadas estão 
expressas em graus de acordo com a longitude, no 
eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala 
em tons de cinza desenhada à direita está associada 
à altitude da região.
20,0
70,0 800 m
700 m
600 m
500 m
400 m
300 m
200 m
100 m
60,8
60,6
60,4
60,2
60,0
20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2
N
S
LO
X
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento 
sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20; 60). O 
helicóptero segue o percurso:
0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou 
em um local cuja altitude é:
a) menor ou igual a 200 m.
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.
e) maior que 800 m.
78
Geometria analítica
35.  (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma 
rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a 
figura abaixo descreve a situação de maneira simpli-
ficada.
 
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos 
pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas 
do ponto P, indicado na figura, são, então: 
a) (21, 7) 
b) (22, 8) 
c) (24, 12)
d) (25, 13)
e) (26, 15)
36.  (U.F. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano, seja λ a 
circunferência de centro C 5 (3, 5) e raio 4 e seja r 
a reta de equação y 5 2x 1 6.
a) Determine todos os valores de x para os quais o 
ponto P 5 (x, y) pertence à reta r e está no interior 
da circunferência λ.
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1 
concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
37.  (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado 
para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de 
dois hectares, sendo que cada um corresponde a 
um quadrado de 100 metros de lado. Observações 
técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma 
área de, no mínimo, 1 000 m2 e cada bezerro de, no 
mínimo, 400 m2.
a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto 
comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua 
resposta.
b) Represente algébrica e graficamente as condi-
ções dessa situação, respeitando as observações 
técnicas.
38.  (UF-AL) A figura a seguir ilustra os gráficos da circun-
ferência com equação x2 1 y2 2 6x 1 2y 2 17 5 0, da 
reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência 
que tem um diâmetro com extremos nas interseções 
da reta e da circunferência anteriores. Qual das alter-
nativas a seguir é uma equação da circunferência, em 
tracejado na ilustração, que tem um diâmetro com 
extremos nas interseções da reta e da circunferência 
dadas?
2
2
22
22
4
0 4 6 8
24
26
6
a) x2 1 y2 2 4y 1 5 5 0
b) x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0
c) x2 1 y2 1 4y 1 5 5 0
d) x2 1 y2 1 4y 2 5 5 0
e) x2 1 y2 2 5y 1 4 5 0
39.  (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e 
pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0 
e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação:
a) t: y 1 2x 5 0
b) t: y 2 2x 5 0
c) t: y 1 x 5 0
d) t: y 2 x 5 0
e) t: y 5 0
40.  (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no 
ponto (21, 6) e formam, com o eixo das abscissas, 
ângulos agudos a e b, respectivamente. Se tg (a) 5 3 
e tg (b) 5 2, uma possibilidade para a medida da área 
do triângulo formado por r, s e o eixo das abscissas é
a) 11 unidades de área
b) 12 unidades de área
c) 13 unidades de área
d) 14 unidades de área
e) 15 unidades de área
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
79
Matemática Volume Único
b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interse-
ção A 5 r  s, B 5 r  y e C 5 s  t.
c) DETERMINE a área do triângulo ABC.
44.  (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município 
contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma 
praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto pro-
posto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular 
medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído 
um jardim em forma de elipse na parte central.
120 m
80 m
10 m
10 m
B
CF2F1A
D
10 m 10 m
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD, 
que são, respectivamente, o eixo maior e menor da 
elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos 
da elipse onde deverão ser colocados dois postes de 
iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a 
distância entre os postes de iluminação será, apro-
ximadamente, de:
a) 68 m
b) 72 m
c) 76 m
d) 80 m
e) 84 m
45.  (UF-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equa-
ções 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respectiva-
mente, se intersectam em um ponto C. Considerando 
o ponto P(0, 24) determine as coordenadas de dois 
pontos, A  r e B  s, de modo que o segmento CP 
seja uma mediana do triângulo ABC.
46.  (Uneb-BA) Se (m, n) são as coordenadas do centro da 
circunferência x2 1 2√ 3x 1 y2 2 6y 1 7 5 0, então 
(23m 1 √ 3n) é igual a
a) 6√ 3
b) 1
c) 0
d) 2√ 3
e) 23
41.  (UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com 
vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e 
(1, 3). Assinale 4a 2 2b.
42.  (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns 
com o intuito de estocar parte da produção da safra 
de grãos, de modo que não haja desperdícios por 
situações adversas. A seção transversal da cobertura 
de um desses armazéns tem a forma de um arco de 
cincunferência, apoiado em colunas de sustentação 
que estão sobre uma viga. O comprimento dessa 
viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna 
de sustentação é de 8 m, conforme figura a seguir.
24 m
C D
8 m
Considerandoum sistema cartesiano de eixos orto-
gonais xy, com origem no ponto C, de modo que o 
semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo 
y positivo apontando para cima, é correto afirmar 
que a equação da circunferência que contém o arco 
CD da seção transversal do telhado, com relação ao 
sistema de eixos xy, é dada por:
a) (x 2 12)2 1 (y 1 5)2 5 169
b) (x 2 12)2 1 (y 2 7)2 5 193
c) (x 2 12)2 1 (y 2 6)2 5 180
d) (x 2 12)2 1 (y 1 6)2 5 180
e) (x 2 12)2 1 (y 2 5)2 5 169
43.  (UF-MG) Considere as retas r, s e t de equações, 
respectivamente, 
y 5 2x 2 4, y 5 2x 1 11 e y 5 
x 1 7
5
.
a) TRACE, no plano coordenado abaixo, os gráficos 
dessas três retas.
7
6
5
4
3
2
1
21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21
y
x
80
Geometria analítica
47.  (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5 
5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro 
das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo 
y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas 
em centímetros, a distância entre os pontos A e B é:
a) 3√ 2 cm
b) (2 1 √ 3 ) cm
c) 2√ 3 cm
d) 2 cm
e) 1 cm
48.  (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfico é mostrado 
na figura a seguir é dada por:
a) 16x2 1 9y2 1 96x 2 36y 1 36 5 0
b) 16x2 1 9y2 2 96x 1 36y 1 36 5 0
c) 9x2 1 16y2 2 36x 2 96y 1 36 5 0
d) 9x2 2 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
e) 9x2 1 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
49.  (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas, os 
fabricantes utilizam uma curva, construída a partir 
de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, 
conforme a figura abaixo.
Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou 
como modelo a curva que passa pelos pontos de 
coordenadas (0, 0), (4, 1), (24, 1).
Outro ponto que também pertence a essa curva tem 
coordenadas
a) 3, 
1
2
 c) 22, 
1
2
b) 2, 
1
4
 d) 21, 
1
4
50.  (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na 
circunferência x2 1 y2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda 
de MN de comprimento igual, em u.c., a
a) 6 c) 3 e) √ 3
b) 2√ 3 d) 2√ 2
Ilu
st
ra
çõ
es
: F
er
na
nd
o 
M
on
te
iro
Matemática Volume Único
81
respostas
  1.  a
  2.  √ 5
5
  3. 
9
14
, 2 
2
7
  4.  a) m   | m > 
3
4
b) 
3
4
; 
1
2
, 
7
4
  5.  c
  6.  e
  7.  c
  8.  b
  9.  a) y 5 0,75x
b) y 5 
23
4
 x 1 
9
2
c) 2, 
3
2
10. a) 
2
2
C
A região A é um círculo centrado 
em (2, 2) de raio igual a 2.
b) Temos que:

0 < y < 4
0 < y < x < 4 ⇒ 0 < x < 4
y < x
 
4
4
y 5 x
C
A região B é um triângulo retângu-
lo isósceles cujos catetos medem 4.
c) 
p ? 22
2
 5 2p u.a.
11. 5
12. c
13. São corretas: 01, 02, 04, 08 e 16. 
14. b
15. b
16. e
17. d
18. a
19. b
20. a) A(2√ 2; 1), B(1; 2√ 2 ), 
C(21; 2√ 2 ) e D(22√ 2; 1)
b) 7 1 2√ 2
21. c
22. d
23. a) 30
b) (5, 5)
24. São corretas: 02 e 04.
25. a) C 0, 
2
a
b) A 
1
5
, 
3
5
 x 2 
1
5
2
 1 x 2 
3
5
2
 5 
3
5
 
2
26. a) A(1, 2), B(21, 22) e C(22, 21)
b) 3
27. d
28. a
29. d
30. d
31. e
32. a
33. b
34. a
35. c
36. a) 2 2 √ 7 , x , 2 1 √ 7
b) (x 2 3)2 1 (y 2 5)2 5 2 
37. a) não
b) Sejam x e y, respectivamente, 
o número de vacas e o número 
de bezerros. 
 Devemos ter: x > 0, y > 0 e 
5x 1 2y < 100.
50
y (B)
x (V)20
38. b
39. d
40. e
41. 24
42. a
43. a) 
7
6
5
4
3
2
1
21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21
y
A
B
C
r
st
x
b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3)
c) 9 u.a.
44. d
45. A 5 2
28
3
, 2
47
9
 e 
B 5 
28
3
, 2
25
9
 
46. a
47. c
48. e
49. b
50. b
Geometria analítica
Números complexos, polinômios e equações algébricas
82
  1.  (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i, 
em que i é a unidade imaginária, e o número real 3 
são raízes do polinômio de terceiro grau p(z), cujos 
coeficientes são números reais. Sabendo-se também 
que p(0) 5 30, calcule |p(i)|.
  2.  (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) 5 (x2 1 1)4 ? (x3 1 1)3 por um polinômio de grau 
2 é um polinômio de grau:
a) 5
b) 10
c) 13
d) 15
e) 18
  3.  (Mackenzie-SP)
A B
y
xO
A figura mostra uma semicircunferência com centro 
na origem. Se o ponto A é (2√ 2, 2), então o ponto 
B é:
a) (2, √ 2 )
b) (√ 2, 2)
c) (1, √ 5 )
d) (√ 5, 1)
e) (2, √ 5 )
  4.  (U.E. Ponta Grossa-PR) As representações gráficas 
dos complexos z tais que z3 5 1 são os vértices de 
um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o 
que for correto.
01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c.
02) É um triângulo isósceles de altura igual a 
3
4
 u.c.
04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante.
08) Seu perímetro é 3√ 3 u.c.
16) Sua área é 
3√ 3
4
 u.a.
  5.  (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para 
o qual a parte imaginária do número complexo 
cos 
p
8
 1 i ? sen 
p
8
n
 é negativa é:
a) 3 d) 8
b) 4 e) 9
c) 6
  6.  (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x5 2 ax3 1 
1 ax2 – 1, a  , admite a raiz 2i.
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes 
de p:
 I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
 II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
 III. Apenas uma das raízes é real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas:
a) I d) I e III
b) II e) II e III
c) III
  7.  (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 9x2 1 
1 25x 2 25. Sabendo-se que o número complexo 
z 5 2 1 i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices 
são as raízes de p, pode ser representado, no plano 
complexo, pela seguinte figura:
a) 
2
1
21
5 x
y
b) 
2
1
22
22 x
y
c) 
2
1
21
21 x
y
Números complexos, polinômios e equações algébricas
83
Matemática Volume Único
d) 
2
1
5
22 x
y
e) 
2
1
21
22 x
y
  8.  (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x3 2 (2a 2 1)x2 2 
2 a(a 1 1)x 1 2a2(a 2 1) 5 0 é (a 2 1). Quais são 
as outras duas raízes dessa equação?
  9.  (UE-CE) Os números 22, 21, 0, 1 e 2 são as soluções 
da equação polinomial p(x) 5 0, as quais são todas 
simples. Se o polinômio p(x) é tal que p(√ 2) 5 2√ 2, 
então o valor de p(√ 3) é igual a:
a) 2√ 3
b) 3√ 2
c) 3√ 3
d) 6√ 2
10.  (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números 
complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a 
equação z ? w 1 z 1 w 5 0, onde w é o conjugado 
de z, é dado por:
a) uma circunferência
b) uma elipse
c) uma hipérbole
d) uma parábola
e) o semiplano x < 0
11.  (FGV-SP)
a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são 
os afixos dos números complexos: 3, 6i, 23 e 26i, 
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do lo-
sango A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o 
losango ABCD, em torno da origem do plano 
cartesiano, no sentido anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número 
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o 
número complexo cujo afixo é o ponto B’?
OC A
B
D
x
y
12.  (U.F. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c 
um polinômio com coeficientes reais. Sabe-se que as 
três raízes desse polinômio são o quarto, o sétimo e o 
décimo sexto termos de uma progressão aritmética, 
cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 
80
3
 
e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Encontre 
os valores de a, b e c. 
13.  (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer 
operações com eles. Em determinado momento, ele 
pensou em três números naturais e, em relação a 
esses números, observou o seguinte:
• a soma desses números é 7;
• o produto deles é 8;
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos 
desses números tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são raízes 
da equaçãoa) x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0
b) x3 1 7x2 2 14x 1 8 5 0
c) x3 2 7x2 2 14x 2 8 5 0
d) x3 1 7x2 2 14x 2 8 5 0
14.  (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x2010 1 x1005 1 1 
pelo polinômio x3 1 x, qual o resto da divisão?
a) 0
b) x2 1 x 1 1
c) x2 2 x 1 1
d) x2 2 x 2 1
e) x2 1 x 2 1
15.  (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 ax 1 b, 
com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) possui três 
84
Números complexos, polinômios e equações algébricas
20.  (UF-AM) Na figura a seguir os números complexos 
Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 e Z6 estão representados pelos vérti-
ces de um hexágono regular. Podemos afirmar que 
Z2 ? Z3 
Z5 ? Z6
 é:
Z1 5 1
Z6Z5
Z4
Z3 Z2
x
y
a) 1 d) 22
b) 21 e) 3
c) 2
21.  (UF-SE) Considerando que a e b são números 
reais, use os números complexos u 5 
4 2 ai
1 2 i
 , 
v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para 
analisar a veracidade das afirmações seguintes.
a) Se u é um imaginário puro, então u5 5 1 024i.
b) Considerando que, no plano de Argand-Gauss, 
o afixo de v pertence ao quadrante, então, se 
|v| 5 5, o argumento principal de v é: 
11p
6
 rad.
c) Se a 5 22 e b 5 3, então 3 , 
v
u
 , 5.
d) Se a 5 b 5 0, o conjugado de (u 2 v)2 é igual a 
21 1 i.
e) Uma das raízes sextas de w10 é igual a 
2 
√ 3
2
 1 
1
2
 i.
raízes reais, distintas e que estão em Progressão Geo-
métrica. Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4, 
pode-se afirmar que o valor do coeficiente a é:
a) 26
b) 23
c) 0
d) 3
e) 6
16.  (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abs-
cissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos 
são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x). 
Considere os polinômios p(x) 5 x3 1 a2x
2 1 a1x 1 a0 
e q(x) 5 3 2 2x. Determine os valores de a0, a1 e a2 
para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos 
pontos de abscissa 22, 3 e 4.
17.  (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x2n13 2 
2 5x2n12 1 8, por x 1 1 com n natural é:
a) 21
b) 1
c) zero
d) 2
e) 6
18.  (UF-PE) Se as raízes da equação x3 2 7x2 2 28x 1 
1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica, 
determine e assinale o valor do termo constante k.
19.  (UF-PE) A representação geométrica dos nú-
meros complexos z que satisfazem a igualdade 
2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio 
r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule 
r, a e b e determine 9(a2 1 b2 1 r2).
Matemática Volume Único
85
respostas
  1.  16√ 5
  2.  d
  3.  a
  4.  São corretas: 01, 04, 08 e 16
  5.  e
  6.  c
  7.  a
  8. 2a e 2a
  9.  a
10. a
11. a) 36
b) (0, 3), (26, 0), (0, 23) e (6, 0)
c) Devemos multiplicar por i.
12. A 5 21, B 5 217 e C 5 215
13. a
14. b
15. a
16. a0 5 27; a1 5 24 e a2 5 25.
17. c
18. 64
19. 40
20. a
21. São verdadeiras: a, e.
Números complexos, polinômios e equações algébricas
Estatística
86
Estatística
  1.  (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze 
alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 
7,5. Considerando-se que a média da turma aumen-
tou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era:
a) 7,6 d) 6,0
b) 7,0 e) 6,4
c) 7,4
  2.  (UF-GO) O gráfico a seguir mostra a prevalência de 
obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 
20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 
anos, para meninas e meninos.
0
10
20
30
40
1960-62
Mulheres Homens Meninas Meninos
1971-74 1976-80 1988-94 1999-2002
po
rc
en
ta
ge
m
Fonte: Scientific American Brasil. São Paulo, jun. 2005, 
n. 38, p. 46.
De acordo com os dados apresentados neste gráfico,
a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens 
estavam obesos.
b) a porcentagem de meninas obesas, no período 
1999-2002, era o dobro da porcentagem de me-
ninas obesas no período 1988-1994.
c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos 
estavam obesos.
d) no período 1999-2002, mais de 50% da popula-
ção pesquisada estava obesa.
e) a porcentagem de mulheres obesas no perío-
do1988-1994 era superior à porcentagem de 
mulheres obesas no período 1976-1980.
  3.  (Cefet-MG) O gráfico da figura apresenta dados 
referentes às faltas diárias dos alunos na classe de 
uma escola, em determinado tempo.
nº de faltas 
por dia
nº de 
dias
0 1 2 3 4 5
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Analisando-se esses dados, é correto concluir que 
ocorreram:
a) 2 faltas por dia
b) 19 faltas em 15 dias
c) 52 faltas em 27 dias
d) 2 faltas a cada 4 dias
  4.  (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separa-
ção dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os 
principais materiais recicláveis são os papéis, vidros, 
plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais 
sejam enviados para as usinas de reciclagem e trans-
formados em outros produtos.
Considere que a matéria orgânica (vide gráfico) seja 
a parte do lixo que pode ser transformada em com-
posto orgânico (adubo).
O que tem o lixo do brasileiro
Fonte: ABRELPE
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
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 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . . . . . . . .
Matéria orgânica
57,4%
Plástico
16,49%
Papel/
papelão
13,16%
Outros
8,08%
Alumínio
0,51%
Material 
ferroso
1,56%
Vidro
2,34%
Inertes
0,46%
Fonte: Revista Carta Capital (27/9/2007 – Adaptado).
a) Considere que as oito mil toneladas de lixo cole-
tadas, em média, diariamente na cidade do Rio de 
Janeiro se distribuam proporcionalmente como no 
gráfico acima. Determine quantas toneladas desse 
lixo poderiam ser transformadas em adubo.
b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade 
de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de 
lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas. 
Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em 
Londrina?
  5.  (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70 
dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para 
vender num dia ensolarado do mês de outubro. Ini-
cialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja 
por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspon-
diam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para 
garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma, 
87
Matemática Volume Único
o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A 
tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de 
laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os 
respectivos preços cobrados pelo comerciante.
Período Preço por dúzia Nº de dúzias 
vendidas
Das 8h às 10h 3,70 10
Das 10h às 12h 3,20 15
Das 12h às 14h 2,80 30
Das 14h às 16h 2,50 15
a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida 
naquele dia?
b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias 
a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender 
cada dúzia restante para que o preço médio das 
dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de 
R$ 3,15?
  6.  (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo 
I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comercian-
te obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o 
quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó 
do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo 
da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas 
informações, é CORRETO afirmar que o preço de um 
quilo do café em pó do tipo I é igual a:
a) R$ 4,00 c) R$ 11,00
b) R$ 7,50 d) R$ 12,40 
  7.  (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre 
50 páginas da Internetmuito visitadas, informando 
que a média diária de visitas às páginas era igual 
a 500 e que o tempo médio de existência dessas 
páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet cri-
ticou a pesquisa por ela não ter considerado a sua 
página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou 
ainda que, com a inclusão de sua página, a média 
de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de 
existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que 
as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, 
então pelo menos uma das médias informadas pela 
BiteNet estaria errada.
Determine qual delas estaria necessariamente errada. 
Justifique sua resposta.
  8.  (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Tra-
balhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um 
pesquisador estudou a distribuição desse orçamento 
e representou o resultado em um gráfico de setores, 
como na figura a seguir.
Abono para quem 
ganha até dois 
salário mínimos
Financiamento 
do BNDES
Outras 
despesas
Seguro-desemprego
Qualificação de 
trabalhadores
Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para 
quem ganha até dois salários mínimos foi representa-
da por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador 
verificou, então, que o gráfico não estava correto, 
pois a quantia destinada ao abono encontrada na 
pesquisa superava em 200 milhões de reais a repre-
sentada pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na 
pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais,
a) 8,8 d) 9,8
b) 9,1 e) 10,6
c) 9,5
  9.  (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por 
unidade ao custo total de fabricação dividido pela 
quantidade produzida.
Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo 
mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, 
cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A 
capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 
unidades.
O custo médio mensal mínimo por unidade vale:
a) R$ 150,00 d) R$ 262,50
b) R$ 187,50 e) R$ 300,00
c) R$ 225,00
10.  (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do con-
junto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a 
mediana dos elementos desse conjunto.
Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x  17, 
então a média aritmética dos elementos desse con-
junto é igual a:
a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
88
Estatística
14.  (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos 
e positivos do número 2 310 é:
a) 5,6 c) 6,3
b) 6,0 d) 6,7
15.  (UF-PR) O gráfico a seguir mostra o número de 
usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral 
atendidos durante uma determinada semana, de 
segunda a sexta-feira.
 
400
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
n
ú
m
er
o
 d
e 
es
tu
d
an
te
s
2ª feira 3ª feira 4ª feira
almoço
jantar
5ª feira 6ª feira
450
350
50
100
200
300
250
150
50
dia da semana
Os preços fixos praticados pelo restaurante são: almo-
ço R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento 
do restaurante nessa semana?
a) R$ 4 220,00 d) R$ 5 000,00
b) R$ 10 800,00 e) R$ 10 000,00
c) R$ 4 060,00
16.  (FGV-SP) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais 
(em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empre-
sas A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética 
dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 
e 2009 das três empresas foi de aproximadamente:
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
A B
 2008 2009
C
200 210
300 320
400
450
a) 8,1% d) 9,3%
b) 8,5% e) 9,7%
c) 8,9%
17.  (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal 
publicou o ranking de desmatamento, conforme 
gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por 
nove estados.
11.  (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da 
USP indica que as emissões de gases do efeito estufa 
no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005.
Após a leitura das informações contidas no texto e 
ilustração acima, responda às perguntas abaixo:
a) Mantendo a variação percentual de emissão de 
gases para os próximos 15 anos, quantos milhões 
de toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá 
emitir em 2020?
b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos 
anos observados na figura acima?
12.  (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O 
primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o 
terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos 
parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de 
alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis:
Nota obtida 0 1 2 3 4 5 6 7
Nº de alunos 2 3 1 5 7 2 3 1
O número de alunos que acertaram o segundo teste 
foi:
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
13.  (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x  N* | x < 51}.
Retirando-se um número desse conjunto, a média 
aritmética entre seus elementos não se altera. Esse 
número é:
a) ímpar
b) primo
c) quadrado perfeito
d) maior que 30
e) múltiplo de 13
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
89
Matemática Volume Único
Ranking do Desmatamento em km2
9º Amapá
8º Tocantins
7º Roraima
6º Acre
5º Maranhão
4º Amazonas
3º Rondônia
2º Pará
1º Mato Grosso
4
136
326
549
766
797
3 463
7 293
10 416
Disponível em: www.folhaonline.com.br. 
Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento 
cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o 
desmatamento médio por estado em 2009 está entre:
a) 100 km2 e 900 km2
b) 1 000 km2 e 2 700 km2
c) 2 800 km2 e 3 200 km2
d) 3 300 km2 e 4 000 km2
e) 4 100 km2 e 5 800 km2
18.  (Enem-MEC) O gráfico apresenta a quantidade de 
gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo 
desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Quantidade de Gols dos Artilheiros  
das Copas do Mundo
Gols 14
0
2
4
6
8
10
12
Ano
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Disponível em: http://www.suapesquisa.com. 
Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das 
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das 
Copas do Mundo? 
a) 6 gols d) 7,3 gols
b) 6,5 gols e) 8,5 gols
c) 7 gols
19.  (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classificados em 
um concurso. Para a classificação no concurso o 
candidato deveria obter média aritmética na pontua-
ção igual ou superior a 14. Em caso de empate na 
média, o desempate seria em favor da pontuação 
mais regular. No quadro a seguir são apresentados os 
pontos obtidos nas provas de Matemática, Português 
e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o 
desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso:
mate-
mática
Portu-
guês
Co-
nheci-
mentos 
Gerais
média media-na
Desvio 
Padrão
marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto 
mais bem classificado no concurso, é:
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 
19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
20.  (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempe-
nho de um time de futebol no último campeonato. 
A coluna da esquerda mostra o número de gols 
marcados e a coluna da direita informa em quantos 
jogos o time marcou aquele número de gols.
Gols marcados Quantidade de partidas
0 5
1 3
2 4
3 3
4 2
5 2
7 1
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana 
e a moda desta distribuição, então:
a) X 5 Y , Z d) Z , X , Y
b) Z , X 5 Y e) Z , Y , X
c) Y , Z , X
21.  (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza 
extrema se sua renda mensal por pessoa é de, no 
máximo, 25% do salário mínimo nacional. Segundo 
levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica 
Aplicada (Ipea), mais de treze milhões de brasileiros 
saíram dapobreza extrema entre 1995 e 2008. No 
entanto, a diminuição generalizada nas taxas de po-
90
Estatística
breza extrema nesse período não ocorreu de forma 
uniforme entre as grandes regiões geográficas do 
país, conforme ilustra o gráfico a seguir.
Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas 
grandes regiões em 1995 e 2008 (em %)
22,8
0
10
20
30
40
50
Norte
1995 2008
Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste Brasil
41,8
11,7 13,6
17,5
20,9
17,6
24,9
6,9 5,5
11,6 10,5
Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea.
Tendo em vista o gráfico, verifica-se que a taxa na-
cional de pobreza extrema caiu 49,8%, passando de 
20,9% para 10,5%. Pode-se concluir, então, que a 
região em que a taxa de pobreza extrema (em %) 
caiu mais de 50% foi:
a) a região Norte
b) a região Sudeste
c) a região Nordeste
d) a região Centro-Oeste
e) a região Sul
22.  (UF-PR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 car-
ros a mais que em 2009. A seguir temos um gráfico 
ilustrando as vendas nesses dois anos.
Nessas condições, pode-se concluir que a média 
aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja 
durante os dois anos foi de:
a) 540 carros d) 270 carros
b) 530 carros e) 135 carros
c) 405 carros
23.  (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva, a distri-
buição de frequências de salários de um grupo de 
30 funcionários, no mês de dezembro de 2008, é 
apresentada na tabela a seguir:
Número da 
classe
Salário do mês
(em reais)
Número de 
empregados
1 465 | — 665 16
2 665 | — 865 8
3 865 | — 1065 4
4 1065 | — 1265 2
A média e a mediana do salário pago, nesse mesmo 
mês, são:
a) R$ 725,00 e R$ 725,00
b) R$ 711,67 e R$ 652,50
c) R$ 865,00 e R$ 525,00
d) R$ 711,67 e R$ 660,00
e) R$ 575,00 e R$ 625,00
24.  (UF-PB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das 
famílias brasileiras são estabelecidas, de acordo com 
a faixa de renda mensal total da família, conforme a 
tabela a seguir.
Classe Faixa de renda
A Acima de R$ 15 300,00
B De R$ 7 650,01 até R$ 15 300,00
C De R$ 3 060,01 até R$ 7 650,00
D De R$ 1 020,01 até R$ 3 060,00
E Até R$ 1 020,00
Adaptado de: http://www.logisticadescomplicada.com/ 
o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia. 
Acesso em: 5 nov. 2010.
Após um levantamento feito com as famílias de um 
município, foram obtidos os resultados expressos no 
gráfico a seguir.
250
Classe A
N
úm
er
o 
de
 f
am
íli
as
Classe B Classe C Classe D Classe E
500
1 500
2 250
Com base nas informações contidas no gráfico e na 
tabela, conclui-se que o percentual das famílias que 
têm renda acima de R$ 3 060,00 é de:
a) 45% d) 85%
b) 60% e) 90%
c) 70%
Fe
rn
an
do
 M
on
te
iro
91
Matemática Volume Único
25.  (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade ex-
portada de certo produto, em milhares de toneladas, 
no período de 2000 a 2009.
Ano Quantidade Exportada(em milhares de toneladas)
2000 48
2001 52
2002 54
2003 52
2004 52
2005 50
2006 48
2007 52
2008 54
2009 52
Considerando os dados apresentados na tabela, 
identifique as afirmativas corretas:
 I. A quantidade exportada, de 2006 a 2008, foi 
crescente.
 II. A média da quantidade exportada, de 2003 a 
2006, foi de 53 mil toneladas.
 III. A moda da quantidade exportada, de 2000 a 
2009, foi de 52 mil toneladas.
 IV. A média da quantidade exportada, de 2000 a 
2004, foi maior que a média de 2005 a 2008.
 V. A mediana da quantidade exportada, de 2000 a 
2009, foi de 51 mil toneladas.
26.  (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos 
Estudar para saber o número de horas que seus 
alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado 
apresentado no quadro a seguir:
Número de horas Número de alunos
3 5
5 10
7 14
9 8
11 3
O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi:
a) 6h d) 5h30min
b) 7h e) 6h42min
c) 7h36min
27.  (UF-RN) José, professor de Matemática do Ensino 
Médio, mantém um banco de dados com as notas 
dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, 
construiu as tabelas a seguir, referentes à distribuição 
das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.
Nota por nº de 
alunos – Turma A
Nota Número de alunos
30 4
50 5
60 9
70 5
80 2
90 3
100 2
 
Nota por nº de 
alunos – Turma B
Nota Número de alunos
20 2
40 3
50 4
60 6
90 3
100 2
Ao calcular a média das notas de cada turma, para 
motivar, José decidiu sortear um livro entre os alunos 
da turma que obteve a maior média.
A média da turma que teve o aluno sorteado foi:
a) 63,0 b) 59,5 c) 64,5 d) 58,0
28.  (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da 
arrecadação de certo imposto municipal, num dado 
mês, em uma cidade com 5 000 contribuintes.
Classe
Valor do 
imposto, em 
reais, per 
capita
Número de 
contribuintes
Valor total 
arrecadado 
por classe, em 
reais
1 0 —| 10 3 000 21 000
2 10 —| 20 1 000 15 000
3 20 —| 30 700 17 500
4 30 —| 40 300 10 000
Total 5 000 64 000
Use esses dados para analisar as informações que 
seguem.
a) Um histograma demonstrativo da relação entre 
os intervalos de valores do imposto per capita, em 
reais, e os respectivos números de contribuintes é:
Valor 
do imposto, 
em reais
Número de 
contribuintes
0 10
300
700
1 000
2 000
3 000
20 30 40
b) Nesse mês, o valor médio do imposto per capita 
localiza-se na classe 3.
c) Na classe 2, o valor médio do imposto pago pelos 
contribuintes é R$ 12,00.
d) Nesse mês, 20% do total de contribuintes paga-
ram mais de R$ 20,00 de imposto.
e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuin-
tes do município, a probabilidade de que o valor 
do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou 
menor do que R$ 30,00 é 
47
50
 .
Estatística
92
respostas
  1.  d
  2.  e
  3.  c
  4.  a) 4 592 toneladas
b) 27,5%
  5.  a) R$ 2,95
b) R$ 3,00
  6.  c
  7.  Tempo médio de existência. 
  8.  a
  9.  c
10. a
11. a) 2 492 milhões de toneladas.
b) 1 796,5 milhões de toneladas.
12. a
13. e
14. a
15. c
16. a
17. c
18. b
19. b
20. e
21. e
22. a
23. b
24. b
25.  I, III, IV
26. e
27. a
28. São verdadeiras: a, d, e.
Estatística
Matemática Volume Único
93
  1.  O mapa ao lado representa 
um bairro de determinada 
cidade, no qual as flechas 
indicam o sentido das mãos 
do tráfego. Sabe-se que esse 
bairro foi planejado e que 
cada quadra representada na 
figura é um terreno quadrado, 
de lado igual a 200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o 
tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade 
constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, 
demoraria para chegar até o ponto Y?
a) 25 min d) 1,5 min
b) 15 min e) 0,15 min
c) 2,5 min
Texto para as questões 2 e 3
A população mundial está ficando mais velha, os 
índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida 
aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados 
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Na-
ções Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas 
com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números 
da coluna da direita representam as faixas percentuais. 
Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 
60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 
10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
países desenvolvidos
países em
desenvolvimento
estimativas
números em milhões
110
1950 70 90 2010 30 50
0
5
10
15
20
25
30
35
269
1 592
461
95
490
Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. ONU, 2009.
Disponível em: www.economist.com. 
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
  2.  Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 correspondeao ano 2000, x = 1 correspon-
de ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a 
população em milhões de habitantes no ano x, seja 
usado para estimar essa população com 60 anos ou 
mais de idade nos países em desenvolvimento entre 
2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, 
estima-se que a população com 60 anos ou mais 
estará, em 2030, entre: 
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
  3.  Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoria-
mente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, 
na população dos países desenvolvidos, será um 
número mais próximo de:
a) 
1
2
	 c) 8
25
	 e) 3
25
b) 
7
20
	 d) 1
5
  4.  Dados da Associação Nacional de Empresas de 
Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o núme-
ro de passageiros transportados mensalmente nas 
principais regiões metropolitanas do país vem caindo 
sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros 
em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em 
abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota 
de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 
praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtivida-
de utilizado pelas empresas do setor, que é a razão 
entre o total de passageiros transportados por dia e 
o tamanho da frota de veículos.
650
Capitais brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano*
Passageiros transportados por veículos/dia**
1995 a 2008
*São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto 
Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia
** Passageiro total mensal/frota/25
600
550
500
450
400
350
631
581
569
555
568
505
506
446
451
422
435
400
438
440
447
391
428
393
407
404
410
410
418
415
463
411
441
o
u
t/9
5
pa
ss
ag
ei
ro
/ve
íc
ul
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/9
6
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6
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7
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7
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u
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8
a
br
/9
9
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9
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br
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0
o
u
t/0
0
a
br
/0
1
o
u
t/0
1
a
br
/0
2
o
u
t/0
2
a
br
/0
3
o
u
t/0
3
a
br
/0
4
o
u
t/0
4
a
br
/0
5
o
u
t/0
5
a
br
/0
6
o
u
t/0
6
a
br
/0
7
o
u
t/0
7
a
br
/0
8
o
u
t/0
8
Disponível em: http://www.ntu.org.br. 
Acesso em: 16 jul. 2009 (adaptado).
Coletânea de testes do ENEm
X
Y
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Coletânea de testes do ENEM
94
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas 
regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outu-
bro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do 
gráfico permitem inferir que o total de passageiros 
transportados no mês de outubro de 2008 foi apro-
ximadamente igual a:
a) 355 milhões 
b) 400 milhões 
c) 426 milhões
d) 441 milhões
e) 477 milhões
  5.  Uma resolução do Conselho Nacional de Política 
Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de 
adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos 
postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de 
2009, 4% do volume da mistura final seja formada 
por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era 
de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, 
bem como possibilita a redução da importação de 
dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. 
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de 
biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões 
de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. 
Considerando-se essa estimativa, para o mesmo 
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no 
segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de 
biodísel com a adição de 3%?
a) 27,75 milhões de litros.
b) 37,00 milhões de litros.
c) 231,25 milhões de litros.
d) 693,75 milhões de litros.
e) 888,00 milhões de litros.
  6.  O governo cedeu terrenos para que famílias cons-
truíssem suas residências com a condição de que 
no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida 
como área de preservação ambiental. Ao receber o 
terreno retangular ABCD, em que AB = 
BC
2
 , Antônio 
demarcou uma área quadrada no vértice A, para a 
construção de sua 
residência, de acordo 
com o desenho, no 
qual AE = 
AB
5
 é lado 
do quadrado.
B C
A E D
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria 
exatamente o limite determinado pela condição 
se ele:
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
  7.  A suspeita de que haveria uma relação causal entre 
tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela 
primeira vez a partir de observações clínicas. Para 
testar essa possível associação, foram conduzidos 
inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, 
houve o estudo do número de casos de câncer em 
relação ao número de cigarros consumidos por 
dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a 
seguir.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS
Summer Course — 1992 (adaptado).
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 2324 25
número de cigarros consumidos diariamente
ca
so
s 
de
 c
ân
ce
r p
ul
m
on
ar
Casos de câncer pulmonar dado o número de
cigarros consumidos diariamente
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas inversamente 
proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que não se 
relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas diretamente 
proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será 
diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
  8.  O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 
2008 a maio de 2009, da população economica-
mente ativa para seis regiões metropolitanas pes-
quisadas.
Matemática Volume Único
95
23 500
População economicamente ativa (em mil pessoas)
23 300
23 100
22 900
22 700
22 500
22 300
04
/0
8 05 06 07 08 09 10 11 12
01
/0
9 02 03 04 05
22
 
81
1
22
 
74
1 22
 
96
9
23
 
02
0
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e 
Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Considerando que a taxa de crescimento da popula-
ção economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja 
de 4%, então o número de pessoas economicamente 
ativas em 06/09 será igual a:
a) 23 940 c) 920 800 e) 32 228 000
b) 32 228 d) 23 940 800
  9.  A música e a matemática se encontram na repre-
sentação dos tempos das notas musicais, conforme 
a figura seguinte.
semibreve
mínima
semínima
colcheia
semicolcheia
fusa
semifusa
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
Za
pt
Um compasso é uma unidade musical composta por 
determinada quantidade de notas musicais em que 
a soma das durações coincide com a fração indicada 
como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fór-
mula de compasso for 
1
2
, poderia ter um compasso 
ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro 
colcheias, sendo possível a combinação de diferentes 
figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja 
fórmula é 
3
4
 , poderia ser preenchido com:
a) 24 fusas. d) 24 colcheias e 12 semínimas.
b) 3 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
c) 8 semínimas.
10.  As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-
cabeças queestá sendo montado. Observe que as 
peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da 
figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças 
são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no 
tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de 
modo a completar os desenhos.
Re
pr
od
uç
ão
Figura A
Re
pr
od
uç
ão
peça 1 peça 2
Figura B
Disponível em: http://pt.eternityii.com. 
Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado 
pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça:
a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.
b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.
e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
Za
pt
Coletânea de testes do ENEM
96
11.  O controle de qualidade de uma empresa fabricante 
de telefones celulares aponta que a probabilidade 
de um aparelho de determinado modelo apresentar 
defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba 
de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, 
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com 
exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 ? (0,2%)4 d) 4 ? (0,2%)
b) 4 ? (0,2%)2 e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)
c) 6 ? (0,2%)2 ? (99,8%)2
12.  A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido 
de carbono de uma fábrica, em função do número 
de toneladas produzidas. 
Produção
(em toneladas)
Emissão de dióxido de carbono 
(em partes por milhão – ppm)
1,1 2,14
1,2 2,30
1,3 2,46
1,4 2,64
1,5 2,83
1,6 3,03
1,7 3,25
1,8 3,48
1,9 3,73
2,0 4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.
Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de 
variação entre a emissão de dióxido de carbono (em 
ppm) e a produção (em toneladas) é:
a) inferior a 0,18.
b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
e) superior a 2,80.
13.  Uma pousada oferece pacotes promocionais para 
atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A 
hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos 
três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço 
da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, 
seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja 
taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. 
Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do 
sexto dia. Nessas condições, um modelo para a pro-
moção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, 
no qual o valor da diária é função do tempo medido 
em número de dias.
150
1 2 3 4 5 6 7 8 tempo
valor 
da diária
De acordo com os dados e com o modelo, comparan-
do o preço que um casal pagaria pela hospedagem por 
sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pa-
cote promocional por oito dias fará uma economia de:
a) R$ 90,00 d) R$ 150,00
b) R$ 110,00 e) R$ 170,00
c) R$ 130,00
14.  Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível 
encontrar um portão em que aparecem os anéis de 
Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os 
círculos representavam as três artes: escultura, pintura 
e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto 
inseparáveis.
Re
pr
od
uç
ão
Scientific American, ago, 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis 
de Borromeo? 
a) d) 
b) e) 
c) 
Matemática Volume Único
97
15.  Brasil e França têm relações comerciais há mais de 
200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica 
do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na 
economia mundial. No entanto, devido a uma série 
de restrições, o comércio entre esses dois países ainda 
não é adequadamente explorado, como mostra a 
tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
investimentos bilaterais
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França
França no 
Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1 458
2006 539 744
2007 280 1 214
Disponível em: www.cartacapital.com.br. 
Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período con-
siderado, os valores médios dos investimentos da 
França no Brasil foram maiores que os investimentos 
do Brasil na França em um valor
a) inferior a 300 milhões de dólares.
b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 
400 milhões de dólares.
c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 
500 milhões de dólares.
d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 
600 milhões de dólares.
e) superior a 600 milhões de dólares.
16.  Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial 
para organizar uma festa, que seria dividido entre 
elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para 
arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e 
que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No 
acerto foi decidido que a despesa total seria dividida 
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia 
ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma 
das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir 
com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor 
da cota calculada no acerto final para cada uma das 
55 pessoas?
a) R$ 14,00 d) R$ 32,00
b) R$ 17,00 e) R$ 57,00
c) R$ 22,00
17.  Técnicos concluem mapeamento 
do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos 
territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com 
extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos 
quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O 
aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos 
de água e é considerado um dos maiores do mundo. 
Na maioria das vezes em que são feitas referências à 
água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não 
as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento 
Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, 
por exemplo, um novo reservatório cuja ca pacidade de 
armazenagem é de 20 milhões de litros. 
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. 
Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e 
desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do 
aquífero Guarani é:
a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
18.  A rampa de um hospital tem na sua parte mais 
elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao 
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 
3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve 
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: 
a) 1,16 metro. d) 5,6 metros.
b) 3,0 metros. e) 7,04 metros.
c) 5,4 metros.
19.  A figura a seguir mostra as medidas reais de uma 
aeronave que será fabricada para utilização por com-
panhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa 
fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150. 
36 metros
28,5 metros
Za
pt
Coletânea de testes do ENEM
98
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha 
de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação 
às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm 3 3,4 cm. d) 21 cm 3 26 cm.
b) 3,9 cm 3 4,4 cm. e) 192 cm 3 242 cm.
c) 20 cm 3 25 cm.
20.  Um posto de combustível vende 10 000 litros de 
álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário 
percebeu que, para cada centavo de desconto que 
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais 
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool 
foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto 
dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, 
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a 
expressãoque relaciona V e x é: 
a) V = 10 000 + 50x – x2 d) V = 15 000 + 50x – x2
b) V = 10 000 + 50x + x2 e) V = 15 000 – 50x + x2
c) V = 15 000 – 50x – x2
21.  Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de 
raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, 
para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3, 
então o número máximo de esferas que podem ser 
transportadas em uma caixa é igual a:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32
22.  Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de 
Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 
9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na 
forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denomi-
nados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores 
são calculados, a partir da esquerda, da seguinte 
maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados 
pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro 
por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em 
seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto 
r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). 
O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os 
números a serem multiplicados pela sequência dada 
são contados a partir do segundo algarismo, sendo 
d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s 
da divisão por 11 das somas das multiplicações for 
0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, 
inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda 
na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os 
dígitos verificadores, recordando-se apenas que os 
nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste 
caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente:
a) 0 e 9 d) 9 e 1 
b) 1 e 4 e) 0 e 1
c) 1 e 7
23.  Um experimento consiste em colocar certa quantidade 
de bolas de vidro idênticas em um copo com água até 
certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado 
na figura a seguir. Como resultado do experimento, 
concluiu-se que o nível da água é função do número 
de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra al-
guns resultados do experimento 
realizado.
Número de 
bolas (x)
Nível da 
água (y)
 5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. 
Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o 
nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
a) y = 30x d) y = 0,7x
b) y = 25x + 20,2 e) y = 0,07x + 6
c) y = 1,27x
24.  Suponha que a etapa final de uma gincana escolar 
consista em um desafio de conhecimentos. Cada 
equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova 
objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela 
mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas 
valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a ven-
cedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida 
pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos 
da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última 
colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota 
zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da 
equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse com-
parecido, essa equipe 
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. 
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
y
Za
pt
Matemática Volume Único
99
d) permaneceria na terceira posição, independente-
mente da nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira co-
locação se o aluno obtivesse nota 9.
25.  Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro 
um contrato de trabalho nos seguintes termos: a coo-
perativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, 
em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes 
de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo 
de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e 
R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. 
O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se 
a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 
dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo 
que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja 
constante, a cooperativa deveria 
a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de 
uma máquina.
26.  Uma escola lançou uma campanha para seus alunos 
arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecí-
veis para doar a uma comunidade carente da região. 
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 
dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg 
de alimentos por dia. Animados com os resultados, 
30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram 
a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o 
término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados 
ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920 kg 
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg
27.  Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do car-
ro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a ga-
solina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por 
litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições 
dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, 
na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O 
consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 li- 
tros para cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica, 
que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 
750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, pa-
rado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda 
dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à 
pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
a) 617 kg 
b) 668 kg
c) 680 kg
d) 689 kg
e) 717 kg
28.  Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como 
herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que 
contém uma área de extração de ouro delimitada por 
um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto 
inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor 
da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em 
repartir a propriedade de modo que cada um ficasse 
com a terça parte da área de extração, conforme 
mostra a figura a seguir. 
3 km
2 km
1 km
1 km
João
Pedro
José
Em relação à partilha proposta, constata-se que 
a porcentagem da área do terreno que coube a 
João corresponde, aproximadamente, a: considere 
3
3
 = 0,58
a) 50% d) 33%
b) 43% e) 19%
c) 37%
29. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, 
estados ou países. O mapa a seguir mostra os es-
tados brasileiros e a localização de algumas capitais 
identificadas pelos números. Considere que a direção 
seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem 
Za
pt
Coletânea de testes do ENEM
100
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de 
reta com extremidades em DF e em 4.
1
2 3
54 6 7 8
9
10
11
12
1314
DF
16
15
1718
1 Manaus
2 Boa Vista
3 Macapá
4 Belém
5 São Luís
6 Teresina
7 Fortaleza
8 Natal
9 Salvador
10 Rio de Janeiro
11 São Paulo
12 Curitiba
13 Belo Horizonte
14 Goiânia
15 Cuiabá
16 Campo Grande
17 Porto Velho
18 Rio Branco
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. 
Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. 
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pe-
gou um avião AII, que seguiu a direção que forma 
um ângulo de 135° no sentido horário com a rota 
Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais 
brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão 
e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção 
que forma um ângulo reto, nosentido anti-horário, 
com a direção seguida pelo avião AII ao partir de 
Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por 
um avião é sempre dada pela semirreta com origem 
na cidade de partida e que passa pela cidade destino 
do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos 
fez uma conexão em:
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para 
Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para 
Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto 
Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de 
Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
30.  Doze times se inscreveram em um torneio de futebol 
amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido 
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times 
para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times 
do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o 
jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro 
deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo 
seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo 
A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo 
de abertura podem ser calculadas através de: 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
31.  Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal 
do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, 
em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns 
meses dos anos 2007 e 2008.
mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das 
cotações mensais do ovo extra branco nesse período 
era igual a:
a) R$ 73,10 c) R$ 82,00 e) R$ 85,30
b) R$ 81,50 d) R$ 83,00
32.  O quadro apresenta informações da área aproximada 
de cada bioma brasileiro.
Biomas 
continentais
brasileiros
área
aproximada
(km2)
área / total
Brasil
Amazônia 4 196 943 49,29%
Cerrado 2 036 448 23,92%
Mata Atlântica 1 110 182 13,04%
Caatinga 844 453 9,92%
Pampa 176 496 2,07%
Pantanal 150 355 1,76%
Área Total Brasil 8 514 877
Disponível em: www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em 
noticiários, o uso de múltiplos da área de um cam-
po de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) 
para auxiliar a visualização de áreas consideradas 
extensas. Nesse caso, qual é o número de campos 
de futebol correspondente à área aproximada do 
bioma Pantanal?
Za
pt
Matemática Volume Único
101
a) 1 400 d) 1 400 000
b) 14 000 e) 14 000 000
c) 140 000
33.  A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocu-
pação constante nos períodos chuvosos. Em alguns 
trechos, são construídas canaletas para controlar 
o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte 
vertical determina a forma de um trapézio isósceles, 
tem as medidas especificadas na figura I. Neste 
caso, a vazão da água é de 1 050 m3/s. O cálculo da 
vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do 
setor transversal (por onde passa a água), em m2, 
pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, 
Q = Av. 
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimen-
sões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência 
de enchentes.
30 m
20 m
2,5 m
49 m
41 m
2,0 m
Disponível em: www2.uel.br. 
Acesso em: 5 maio 2010.
Na suposição de que a velocidade da água não se 
alterará, qual a vazão esperada para depois da re-
forma na canaleta?
a) 90 m3/s d) 1 512 m3/s
b) 750 m3/s e) 2 009 m3/s
c) 1 050 m3/s
34.  Uma fábrica produz velas de parafina em forma de 
pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 
6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 
4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide 
de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, 
espaçados de 1 cm entre 
eles, sendo que a base 
superior de cada bloco é 
igual à base inferior do blo-
co sobreposto, com uma 
haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, 
unindo-os, conforme a 
figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, 
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 
1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo 
molde, quanto ele passará a gastar com parafina para 
fabricar uma vela?
a) 156 cm3 d) 216 cm3
b) 189 cm3 e) 540 cm3
c) 192 cm3
35.  A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamen-
te, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da 
mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, 
milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, 
especialmente quando o prêmio se acumula em 
valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis 
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 
60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. 
Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exata-
mente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em 
acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, 
justamente pela dificuldade desta última. Nesse 
caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de 
seis dezenas diferentes, que não tenham cinco nú-
meros em comum, do que uma única aposta com 
nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a 
quina no segundo caso em relação ao primeiro é, 
aproximadamente: 
a) 1 
1
2
 vez menor. d) 9 vezes menor.
b) 2 
1
2
	vezes menor. e) 14 vezes menor.
c) 4 vezes menor.
36.  Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado 
pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de 
crescimento, ultrapassando as importações em 2008. 
Entretanto, apesar de as importações terem se man-
tido praticamente no mesmo patamar desde 2001, 
os recursos gerados com as exportações ainda são 
inferiores àqueles despendidos com as importações, 
uma vez que o preço médio por metro cúbico do 
petróleo importado é superior ao do petróleo na-
cional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram 
gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e 
gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com 
as exportações. O preço médio por metro cúbico em 
maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo im-
portado e de 230 dólares para o petróleo exportado. 
6 cm 6 c
m
Im
ag
en
s:
 Z
ap
t
Coletânea de testes do ENEM
102
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 
2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. 
Comércio exterior de petróleo
(milhões de metros cúbicos)
Ano importação Exportação
2001 24,19 6,43
2002 22,06 13,63
2003 19,96 14,03
2004 26,91 13,39
2005 21,97 15,93
2006 20,91 21,36
2007 25,38 24,45
2008 23,53 25,14
2009* 9,00 11,00
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009. 
Disponível em: http://www.anp.gov.br. 
Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Considere que as importações e exportações de pe-
tróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 
7
5
 das importações e exportações, respectivamente, 
ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, 
supondo que os preços para importação e exportação 
não sofram alterações, qual seria o valor mais apro-
ximado da diferença entre os recursos despendidos 
com as importações e os recursos gerados com as 
exportações em 2009?
a) 600 milhões de dólares.
b) 840 milhões de dólares.
c) 1,34 bilhão de dólares.
d) 1,44 bilhão de dólares.
e) 2,00 bilhões de dólares.
37.  A resolução das câmeras digitais modernas é dada 
em megapixels, unidade de medida que representa 
um milhão de pontos. As informações sobre cada um 
desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. 
Porém, para evitar que as imagens ocupem muito 
espaço, elas são submetidas a algoritmos de com-
pressão, que reduzem em até 95% a quantidade de 
bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB == 1 000 bytes, 1 MB = 1 000 KB, 1 GB = 1 000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo al-
goritmo de compressão é de 95%, João fotografou 
150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja 
armazená-las de modo que o espaço restante no dis-
positivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar 
a) um CD de 700 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
c) um HD externo de 16 GB.
d) um memory stick de 16 MB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
38.  Considere um ponto P 
em uma circunferên-
cia de raio r no plano 
cartesiano. Seja Q a 
projeção ortogonal de 
P sobre o eixo x, como 
mostra a figura, e su-
ponha que o ponto P 
percorra, no sentido 
anti-horário, uma distância d < r sobre a circunfe-
rência. 
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância 
dada por: 
a) r 1	–	sen	 d
r
	
b) r 1	–	cos	 d
r
	
c) r 1 –	tg	 d
r
d) r sen 
r
d
e) r cos 
r
d
39.  Joana frequenta uma academia de ginástica onde 
faz exercícios de musculação. O programa de Joana 
requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 apare-
lhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. 
No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos 
na esteira e descansa durante 60 segundos para 
começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. 
Entre uma série e outra, assim como ao mudar de 
aparelho, Joana descansa por 60 segundos. 
Suponha que, em determinado dia, Joana tenha 
iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 
11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana 
a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios 
e dispor dos períodos de descanso especificados 
em seu programa.
b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido 
rigorosamente os períodos de descanso especifi-
cados em seu programa.
y
x
rP
Q
Matemática Volume Único
103
c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria 
de ter deixado de cumprir um dos períodos de 
descanso especificados em seu programa.
d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria 
todos os períodos de descanso especificados em 
seu programa, e ainda se permitiria uma pausa 
de 7 min.
e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios 
especificados em seu programa; em alguma 
dessas séries deveria ter feito uma série a menos 
e não deveria ter cumprido um dos períodos de 
descanso.
40.  O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe 
o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do 
Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da 
média aritmética entre a taxa de cobertura quali-
ficada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de 
cadastros (TA), em que TC = NV
NF
, TA = NA
NV
, NV é o 
número de cadastros domiciliares válidos no perfil 
do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas 
como público-alvo do CadÚnico e NA é o número 
de cadastros domiciliares atualizados no perfil do 
CadÚnico. 
Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o ICadÚnico de um município específico 
é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para 
0,5. Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a: 
a) 10 000 
b) 7 500 
c) 5 000
d) 4 500
e) 3 000
41.  João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao 
cheque especial de seu banco e cinco parcelas de 
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente 
do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no 
cheque especial, caso João quitasse esta dívida ime-
diatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação 
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. 
João também poderia renegociar suas dívidas em 
18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses 
termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar 
o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 
meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria: 
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação das duas dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as 
parcelas pendentes nos devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cheque especial e pagar as parcelas 
do cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à 
quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas 
do cheque especial.
42.  Um artesão construiu peças de artesanato inter-
ceptando uma pirâmide de base quadrada com um 
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que 
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter 
uma das faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão 
do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas 
laterais e a interseção de um plano com a pirâmi-
de intercepta suas arestas laterais. Assim, esses 
pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces 
triangulares e, quando um plano intercepta essa 
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um 
trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e 
a interseção de uma face com um plano é um 
segmento de reta. Assim, se o plano interceptar 
todas as faces, o polígono obtido nessa interseção 
tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido 
como interseção de uma pirâmide com um plano 
é igual ao número de faces da pirâmide. Como a 
pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido 
interceptando-se uma pirâmide por um plano é 
igual ao número de arestas laterais da pirâmide. 
Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono 
tem 4 lados.
43.  Um médico está estudando um novo medicamento 
que combate um tipo de câncer em estágios avan-
çados. Porém, devido ao forte efeito dos seus com-
ponentes, a cada dose administrada há uma chance 
de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos 
colaterais observados no estudo, tais como dores 
de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos 
Coletânea de testes do ENEM
104
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos 
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamen-
to, de acordo com o risco que o paciente pretende 
assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até 
35% de chances de que ocorra algum dos efeitos co-
laterais durante o tratamento, qual é o maior número 
admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses. 
b) 4 doses. 
c) 6 doses. 
d) 8 doses.
e) 10 doses.
44.  A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar 
água da chuva. Os principais critérios a serem ob-
servados para captação e armazenagem de água da 
chuva são: a demanda diária de água na propriedade; 
o índice médio de precipitação (chuva), por região, 
em cada período do ano; o tempo necessário para 
armazenagem; e a área de telhado necessária ou 
disponível para captação.
Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-
se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente 
de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um 
coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa 
Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicio-
nados 10% ao volume calculado de água.
Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é 
calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de 
demanda da água diária (m3), Ndia = número de dias 
de armazena gem, e este resultado deve ser acrescido 
de 10%.
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se 
que a captação seja feita somente nos telhados das 
edificações.
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm 
sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-
se calcular a área de um telhado a fim de atender a 
necessidade de armazenagem da seguinte maneira: 
área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em 
litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. 
Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros 
de água, com período de armazenagem de 15 dias e 
precipitaçãomédia de 110 mm, o telhado, retangular, 
deverá ter as dimensões mínimas de:
a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área 
de 30 m2.
b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma 
área de 300 m2.
c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma 
área de 3 000 m2.
d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma 
área de 2 730 m2.
e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma 
área de 3 300 m2.
45.  Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro 
partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com 
conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por 
completo e, adotando um procedimento semelhante 
ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, 
utilizando 40% do espaço dela.
Uma representação possível para essa segunda 
situação é
a) XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
b) 
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
c) 
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
d) 
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
e) 
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX
46.  Uma fábrica produz barras de chocolates no formato 
de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volu-
me. As arestas da barra de chocolate no formato de 
Matemática Volume Único
105
paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de 
comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que 
têm o formato de cubo é igual a
a) 5 cm. d) 24 cm. 
b) 6 cm. e) 25 cm.
c) 12 cm.
47.  O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que 
o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um 
salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão 
em um só pé será feito de modo que o atleta caia 
primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na 
passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é 
realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de es-
tudar seus movimentos, percebeu que, do segundo 
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, 
e, do terceiro para o segundo salto, o alcance dimi-
nuía 1,5 m.
Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e 
considerando os seus estudos, a distância alcançada 
no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
48.  O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Es-
tados Unidos, no período de 1988 a 2006.
Em bilhões de dólares
O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA
526,7536,6
486,4
417,4
341,5
304,1
301,7
290,5
289,7
298,1
315,1
315,1
334,8
354,8
371,4
354,3
403,7
422,1
426,8
600
500
400
300
200
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Queda do Muro de Berlim
(fim da Guerra Fria)
EUA entram na
Guerra do Golfo
Início da guerra
no Iraque
Atentado de 11 de setembro:
ação militar no Afeganistão
Almanaque Abril 2008. Editora Abril.
Com base no gráfico, o gasto militar no início da 
guerra no Iraque foi de
a) US$ 4 174 000,00.
b) US$ 41 740 000,00.
c) US$ 417 400 000,00.
d) US$ 41 740 000 000,00.
e) US$ 417 400 000 000,00.
49.  Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja 
amplamente utilizado, existem ainda inúmeras res-
trições teóricas ao uso e às faixas de normalidade 
preconizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com 
o modelo alométrico, possui uma melhor fundamen-
tação matemática, já que a massa é uma variável 
de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de 
dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
IMC = 
massa (kg)
[altura (m)]2
RIP = 
altura (cm)
3√ massa (kg)
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal:
Um Questionamento Científico. Baseado em Evidências.
Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC 
igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a
a) 0,4 cm/kg
1
3. d) 20 cm/kg
1
3.
b) 2,5 cm/kg
1
3. e) 40 cm/kg
1
3.
c) 8 cm/kg
1
3.
50.  Os dados do gráfico seguinte foram gerados a par-
tir de dados colhidos no conjunto de seis regiões 
metropolitanas pelo Departamento Intersindical de 
Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).
0 5 10 15 20
13,1São Paulo
Salvador
Recife
Porto Alegre
Belo Horizonte
Distrito Federal
19,9
19,3
9,8
10,2
14,7
25
Taxas de desemprego nas regiões
metropolitanas março/2010
Disponível em: http://g1.globo.com. 
Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na 
região metropolitana de Porto Alegre equivale a 
250 000, o número de desempregados em março 
de 2010, nessa região, foi de
a) 24 500. d) 223 000. 
b) 25 000. e) 227 500.
c) 220 500.
Coletânea de testes do ENEM
106
51.  Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 qui-
lômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do úl-
timo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá 
Paulista, na região de Presidente Prudente, assus-
tando agricultores da região. O artefato faz parte do 
programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, 
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição 
do comportamento da camada de ozônio, e sua des-
cida se deu após o cumprimento do tempo previsto 
de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. 
Acesso em: 2 maio 2010.
30°60°
1,8 km 3,7 km BA
Balão
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o ba-
lão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão 
e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 
5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com 
a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na 
figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o 
balão?
a) 1,8 km c) 3,1 km e) 5,5 km
b) 1,9 km d) 3,7 km
52.  Uma escola recebeu do governo uma verba de 
R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo 
correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de 
selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o 
primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 
enquanto para folhetos do segundo tipo seriam ne-
cessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e 
um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem 
selos de modo que fossem postados exatamente 500 
folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante 
de selos que permitisse o envio do máximo possível 
de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476 d) 965
b) 675 e) 1 538
c) 923 
53.  Acompanhando o crescimento do filho, um casal 
constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua 
altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 
aos 17 anos e,a partir de 17 anos, essa variação 
passava a ser cada vez menor, até se tornar imper-
ceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um 
gráfico relacionando as alturas do filho nas idades 
consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse 
casal em função da idade?
a) 
180
171
148
Altura (cm)
Idade (anos)
51
0 10 17
b) 
180
171
148
Altura (cm)
Idade (anos)
51
0 10 17
c) 
180
171
148
Altura (cm)
Idade (anos)
51
0 10 17
d) 
180
171
148
Altura (cm)
Idade (anos)
51
0 10 17
e) 
180
171
148
Altura (cm)
Idade (anos)
51
0 10 17
Matemática Volume Único
107
54.  Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 
bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste 
mesmo ano, a produção brasileira de etanol corres-
pondeu a 43% da produção mundial, ao passo que 
a produção dos Estados Unidos da América, usando 
milho, foi de 45%.
Disponível em: www.planetasustentavel.abril.com.br. 
Acesso em: 2 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial 
de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados 
Unidos produzirão somente a metade de sua produ-
ção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil 
e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 
88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar 
sua produção em, aproximadamente,
a) 22,5%. d) 65,5%.
b) 50,0%. e) 77,5%.
c) 52,3%.
55.  Ronaldo é um garoto que adora brincar com núme-
ros. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas 
numeradas de acordo com a sequência mostrada no 
esquema a seguir.
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
...
Ele percebeu que a soma dos números em cada 
linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa 
propriedade, era possível prever a soma de qualquer 
linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª li-
nha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a) 9 c) 64 e) 285
b) 45 d) 81
56.  Em canteiros de obras de construção civil é comum 
perceber trabalhadores realizando medidas de com-
primento e de ângulos e fazendo demarcações por 
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um 
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão 
plano. Foi possível perceber que, das seis estacas co-
locadas, três eram vértices de um triângulo retângulo 
e as outras três eram os pontos médios dos lados 
desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, 
em que as estacas foram indicadas por letras.
B
A
P
N
M
C
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria 
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde 
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
57.  A resistência elétrica e as dimensões 
do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões 
do condutor foi estudada por um grupo de cientistas 
por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles 
verificaram que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (,), dada a mesma 
secção transversal (A),
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado 
o mesmo comprimento (,) e 
• comprimento (,) e área da secção transversal (A), 
dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se 
exemplificar o estudo das grandezas que influem na 
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
resistência RA
fio condutor
�
resistência RA
fios de mesmo material
�
resistência RA
fios de mesmo
material
�
�
resistência RA
fios de mesmo material
�
resistência 2RA
2�
resistência R2A
2�
resistência2A R
2
upcurlybracketleft������������upcurlybracketmid������������upcurlybracketright
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. 
Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades exis-
tentes entre resistência (R) e comprimento (,), resis-
tência (R) e área da secção transversal (A), e entre 
comprimento (,) e área da secção transversal (A) são, 
respectivamente, 
a) direta, direta e direta. 
b) direta, direta e inversa. 
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
Coletânea de testes do ENEM
108
58.  Alguns testes de preferência por bebedouros de água 
foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos 
de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. 
Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de 
cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro 
da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectiva-
mente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm 
de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. 
Os três recipientes estão ilustrados na figura.
Bebedouro 1
Bebedouro 3
Bebedouro 2
120 cm 60 cm
60 cm 60 cm
60 cm
30 cm100
 cm
Considerando que nenhum dos recipientes tenha 
tampa, qual das figuras a seguir representa uma 
planificação para o bebedouro 3?
a) 100 cm
60 cm
60 cm
 d) 60 cm
100 cm
b) 100 cm
60 cm
 
e) 60 cm
60 cm
100 cm
c) 100 cm
60 cm
59.  No monte de Cerro Armazones, no deserto de Ataca-
ma, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o 
Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O 
E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, 
“o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. 
Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma profes-
sora fez uma suposição de que o diâmetro do olho 
humano mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho 
humano, suposto pela professora, e o diâmetro do 
espelho primário do telescópio citado?
a) 1 : 20 d) 1 : 1 000 
b) 1 : 100 e) 1 : 2 000
c) 1 : 200
60.  Uma empresa vende tanques de combustíveis de 
formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas 
indicadas nas figuras. O preço do tanque é direta-
mente proporcional à medida da área da superfície 
lateral do tanque. O dono de um posto de combustí-
vel deseja encomendar um tanque com menor custo 
por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
8 m
(II)
8 m
(III)
4 m
6 m
(I)
4 m 6 m
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do 
posto? (Considere p > 3.)
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 
1
3
.
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento 
de 
4
3
.
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamen-
to de 
3
4
.
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamen-
to de 
2
3
.
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamen-
to de 
7
12
.
61.  A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos 
pesados provavelmente surgiu com os antigos egíp-
cios ao construírem as pirâmides.
BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilín-
dricos, em metros, a expressão do deslocamento 
horizontal y do bloco de pedra em função de R, após 
o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
a) y 5 R. c) y 5 pR. e) y 5 4pR.
b) y 5 2R. d) y 5 2pR.
Matemática Volume Único
109
respostas
  1.  d
  2.  e
  3.  c
  4.  a
  5.  d
  6.  c
  7.  e
  8.  d
  9.  d
10. c
11. c
12. d
13. a
14. e
15. d
16. d
17. e
18. d
19. d
20. d
21. b
22. a
23. e
24. d
25. d
26. a
27. b
28. e
29. b
30. a
31. d
32. e
33. d
34. b
35. c
36. c
37. e
38. b
39. b
40. c
41. e
42. c
43. b
44. b
45. c
46. b
47. d
48. e
49. e
50. a
51. c
52. c
53. a
54. c
55. d
56. e
57. c
58. e
59. e
60. d
61. e
Coletânea de testes do ENEm
	Conjuntose conjuntos numéricos
	Respostas
	Funções
	Respostas
	Progressões
	Respostas
	Matemática comercial e financeira
	Respostas
	Trigonometria
	Respostas
	Matrizes, determinantes e sistemas lineares
	Respostas
	Geometria plana
	Respostas
	Geometria espacial
	Respostas
	Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
	Respostas
	Geometria analítica
	Respostas
	Números complexos, polinômios e equações algébricas
	Respostas
	Estatística
	Respostas
	Coletânea de testes do ENEM
	Respostas