3 Método Gráfico Pesquisa Operacional 1
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3 Método Gráfico Pesquisa Operacional 1


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Prof. José Luiz
Pesquisa Operacional
Prof. José Luiz
Função Linear - Introdução
O conceito de função é encontrado em diversos setores da 
economia, por exemplo, nos valores pagos em um 
determinado período de um curso. 
O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas 
que o aluno está matriculado. 
Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no 
período. 
Então, temos: y = f(x)
y = número de disciplinas . x
Função do 1° Grau
Denominamos função do primeiro grau a qualquer função f: R\uf0ae\uf020R, tal 
que:
f(x) = ax + b (com a \uf0b9\uf0200)
O gráfico de uma função do 1° grau é sempre uma reta inclinada que 
encontra o eixo vertical quando y = b.
O valor constante b da expressão ax + b é chamado coeficiente 
linear.
O coeficiente a da expressão ax + b é chamado coeficiente angular e está 
associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá (na verdade o 
valor de a é igual à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico forma 
com o eixo horizontal).
Função Linear - Exemplos
f(x) = 5x \u2013 3 , onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x \u2013 7 , onde a = -2 e b = 7
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 
Representação no Plano Cartesiano
Uma reta real é orientada a um eixo, e cada ponto está 
associado a um único número real. O ponto zero é chamado 
origem, portanto, qualquer ponto á direita de 0, o número será 
positivo; à esquerda, será negativo. 
E quando coincidir com o zero , será nulo. 
origem
-3 -2 -1 0 1 2 3
Plano Cartesiano
Vamos imaginar um número P = - 3. Teremos OP = - 3.
Agora vamos praticar:
Para P = -1 teremos OP = -1
Para P = +2 teremos OP = +2
origem
- 3 -2 -1 0 1 2 3P = 
Plano Cartesiano
Consideremos num plano \u3b1 de dois eixos, x e y,
perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a \u3b1,
existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de
modo que r // y e s // x.
Eixos:
X = eixo das abscissas 
y = eixo das ordenadas 
\u3b1 = plano cartesiano
Plano Cartesiano
O plano cartesiano está dividido em quatro quadrantes: 
Plano Cartesiano - Exemplos
Podemos então localizar os pontos 
A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2): 
Funções crescentes e decrescentes
Exemplo 1:
Construir o gráfico da função y = 3x - 1
X Y = 3x \u2013 1
0 -1
1/3 0
O gráfico de uma função de 1° grau y = ax + b, com a 0
é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
\uf0b9
Funções Crescentes
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes 
valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a 
função y = 3x \u2013 1 é crescente. 
Funções Decrescentes
Exemplo 2:
Construir o gráfico da função y = - 2x + 3
X Y = -2x +3
0 3
3/2 0
Funções Decrescentes
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes 
valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função 
y = -2x + 3 é decrescente. 
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
PESQUISA OPERACIONAL
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS 
DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
MÉTODO GRÁFICO
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
Conceito: Consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o 
conjunto das possíveis soluções do problema, ou seja, o conjunto de 
pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo 
sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da 
representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas 
de acordo com sua posição no gráfico.
Gráfico: A representação gráfica de uma equação linear com duas 
variáveis é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear 
com duas variáveis é um dos semiplanos definidos pela reta 
correspondente à equação.
Exemplo 1: Representar graficamente a inequação: x1 + 2x2 \uf0b3 10
a) Construir a reta correspondente à equação x1 + 2x2 = 10
Precisamos de dois pontos:
Fazendo x1 = 0, teremos 2x2 = 10 \uf0de x2 = 5
Fazendo x2 = 0, teremos x1 = 10
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
b. Testar a inequação: x1 + 2x2 \uf0b3 10
Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta, por 
exemplo o ponto (x1 = 10, x2 = 5).
Substituindo na inequação:
10 + 2.5 \uf0b3 10 ou 20 \uf0b3 10, o que é verdadeiro, portanto a região das soluções 
da inequação é aquela que contém o ponto testado.
MÉTODO GRÁFICO
x2
0 x1
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
Exemplo 2:
Representar graficamente a solução do sistema:
x1 + 3x2 \uf0a3 12
2x1 + x2 \uf0b3 16
x1 \uf0b3 0
x2 \uf0b3 0
Solução:
Vamos representar cada uma das retas correspondentes:
1. x1 + 3x2 = 12; se x1 = 0 \uf0ae x2 = 4; se x2 = 0 \uf0ae x1 = 12; A = (0; 4) e B = (12; 0)
2 . 2x1 + x2 \uf0b3 16; se x1 = 0 \uf0ae x2 = 16; se x2 = 0 \uf0ae x1 = 8; C = (0; 16) e D = (8; 0)
As restrições de não negatividade x1 \uf0b3 0 e x2 \uf0b3 0 representam o primeiro quadrante do 
gráfico das soluções.
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
Verificar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação. 
Para isso, escolhe-se um ponto fora das retas, por exemplo o ponto (8, 16).
1. x1 + 3x2 \uf0a3 12; 1substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se:
8 + 3.16 \uf0a3 12, ou 56 \uf0a3 12; a desigualdade é falsa.
Solução: região oposta. (Verificar flecha indicativa)
2. 2x1 + x2 \uf0b3 16; substituindo x1 = 8, x2 = 18, obtém-se:
2.8 + 16 \uf0b3 16, ou 32 \uf0b3 16; a desigualdade é verdadeira (Flecha indicativa 
da solução na região do ponto testado.)
A região de soluções aparece sombreada no gráfico.
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO LINEAR \u2013 MÉTODO GRÁFICO
Avaliação do objetivo
Devemos agora avaliar o desempenho da função objetivo:
Maximizar L = 2x1 + 5x2 na região de soluções do gráfico a seguir.
Solução:
Escolhemos um valor arbitrário para L, por exemplo, o valor 10.
A equação: 10 = 2x1 + 5x2 fornece o conjunto de pontos (x1, x2) que dão para 
L o valor 10. Vamos representar esses pontos:
2x1 + 5x2 = 10
Escolhemos um segundo valor para L, por exemplo, o valor 15, então:
2x1 + 5x2 = 15
Graficamente teremos: 
Se x1 = 0, então 2.0 + 5.x2 = 10. Portanto, x2 
= 10/5 ou x2 = 2
Se x2 = 0, então 2.x1 + 5.0 = 10, Portanto, x1 
= 10/2 ou x1 = 5
Se x1 = 0, então 2.0 + 5.x2 = 15. Portanto, x2 
= 15/5 ou x2 = 3
Se x2 = 0, então 2.x1 + 5.0 = 15, Portanto, x1 
= 15/2 ou x1 = 7,5
Verificamos do gráfico que:
1. À medida que atribuirmos valores a L, obtemos retas paralelas.
2. À medida que os valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do sistema de 
eixos.
Podemos concluir que pelo ponto P do gráfico, teremos a paralela de maior valor que 
ainda apresenta um ponto na região de soluções. Portanto, o ponto P é a solução que 
maximiza L na região de soluções dadas.
Como P = (0, 6) e L = 2x1 + 5x2, substituindo x1 = 0 e x2 = 6, teremos:
L = 2.0 + 5.6 ou L máximo = 30
1 . Retas Paralelas2 . Afastamento da 
origem
PESQUISA OPERACIONAL
Prof. José Luiz
Exercícios Propostos
1 \u2013 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente
sapatos e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele
gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato
e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto.
Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e
que o lucro unitário por sapato é de 15 unidades monetárias
e o do cinto é de 10 unidades monetárias, pede-se:
O modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo
é maximizar seu lucro por hora.
PESQUISA