Aula 4 Sistemas de Numeração

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Sistemas de Numeração
Prof. Silvério Sirotheau
ssirotheau@gmail.com
Sistemas de Numeração – Introdução
• Sistemas de Numeração:
– O número é um conceito abstrato que representa a 
ideia de quantidade; portanto, é um conceito 
fundamental para a área de computação;
– Um sistema de numeração é o conjunto de símbolos 
 utilizados para representar quantidades e as regras 
que definem a forma de representação;
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Sistemas de Numeração – Introdução
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• Sistemas de Numeração:
– Um sistema de numeração é determinado 
fundamentalmente pela Base, que indica a 
quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo;
• Decimal (base 10):
– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
• Binário (base 2):
– 0, 1;
• Octal (base 8):
– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
• Hexadecimal (base 16):
– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F;
Sistemas de Numeração – Introdução
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• Sistemas de Numeração:
– Em sistemas digitais, o sistema de numeração binário 
 é o mais importante;
– Como usa apenas os símbolos 0 e 1, é mais fácil de 
ser representado por circuitos eletrônicos (presença 
ou não de tensão, chave aberta ou fechada, etc.);
– Os símbolos binários são denominados de Bits
(Binary Digit);
– O conjunto de 8 bits é denominado de Byte;
– Palavras (Words) são grupos de Bytes e possui 40 
bits ou 5 bytes;
Sistemas de Numeração – Introdução
1 Byte, é formado por um conjunto de 8bits, e um byte 
refere-se ao tamanho de qualquer tecla no seu teclado. Ou 
seja, quando escrevemos uma palavra no teclado, como por 
exemplo: blog , o computador interpreta cada letra como 8 
bits, ou 1 byte, então a palavra blog possui, 32bits e 4 
bytes.
A partir do byte a contagem é feita em relação a 1024, ou 
seja, 1024bytes, correspondem a 1Kb(kilobyte). E agora 
segue assim por diante:
Sistemas de Numeração – Introdução
● 1 Byte = 8 bits
● 1 kilobyte (kB ou Kbytes) = 1024 bytes (210)
● 1 megabyte (MB ou Mbytes) = 1024 kilobytes
● 1 gigabyte (GB ou Gbytes) = 1024 megabytes
● 1 terabyte (TB ou Tbytes) = 1024 gigabytes
● 1 petabyte (PB ou Pbytes) = 1024 terabytes
● 1 exabyte (EB ou Ebytes) = 1024 petabytes
● 1 zettabyte (ou Zbytes) = 1024 exabytes
● 1 yottabyte (ou Ybytes) = 1024 zettabytes.
Sistemas de Numeração – Introdução
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• Sistemas de Numeração:
– Para a representação de números binários grandes 
utilizamos os sistemas de numeração octal e 
hexadecimal:
• 1100 0000 0000 00002 = 1400008 = A00016
– A base 10 é importante por ser a que 
manipulamos (cotidianamente);
– A base 2 é útil por conta dos circuitos lógicos, porém 
 documentar números grandes apenas com 0 e 1s é 
complicado;
– As bases 8 (octal) e 16 (hexadecimal) compactam 
 significativamente a representação em binários.
Sistemas de Numeração – Notação
• Sistemas de Numeração (Notação Proposicional):
– Em um sistema numérico posicional de base r, um 
número D tem seu valor dado por:
– Onde:
• r : base do sistema;
• p : número de dígitos à esquerda da vírgula;
• n : número de dígitos à direita da vírgula.
– O valor de cada símbolo é determinado de acordo 
 com a sua posição no número.
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Sistemas de Numeração – Sistema Binário
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• Sistema de Numeração Binário:
– O sistema binário, como sugere o nome, tem dois 
algarismos aos quais damos geralmente os símbolos 
 0 e 1;
– Eles correspondem a qualquer conjunto dual, como: 
 não e sim; falso e verdadeiro; desligado e ligado; 
negativo e positivo, etc.;
– Nos circuitos lógicos, 0 e 1 representam 
respectivamente níveis de tensão baixa e alto ou 
estados de saturação e corte de transistores;
– Daí, uma outra designação comum: L e H (“Low and 
 High levels”), baixo e alto níveis de tensão.
Sistemas de Numeração – Notação
• Sistemas de Numeração (Notação Proposicional):
– MSB: “most significant bit” (bit mais 
significativo);
– LSB: “least significant bit” (bit menos 
significativo)
2914,193
2 x 103 + 9 x 102 + 1 x 101 + 4 x 100 + 1 x 10-1 + 9 x 10-2 + 3 x 10-3
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Sistemas de Numeração – Sistema Binário
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• Sistema de Numeração Binário:
– O sistema binário, como sugere o nome, tem dois 
algarismos aos quais damos geralmente os símbolos 
 0 e 1;
– Eles correspondem a qualquer conjunto dual, como: 
 não e sim; falso e verdadeiro; desligado e ligado; 
negativo e positivo, etc.;
– Nos circuitos lógicos, 0 e 1 representam 
respectivamente níveis de tensão baixa e alto ou 
estados de saturação e corte de transistores;
– Daí, uma outra designação comum: L e H (“Low and 
 High levels”), baixo e alto níveis de tensão.
Sistemas de Numeração – Sistema Binário
• Sistema de Numeração Decimal versus Binário:
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Sistemas de Numeração – Sistema Octal
• Sistema de Numeração Octal:
– Sistema de base 8;
– Contém 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7;
– É utilizado por ser um sistema que tem 
relação direta com o sistema binário;
– Os valores posicionais são:
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Sistemas de Numeração – Sist. Hexadecimal
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• Sistema de Numeração Hexadecimal:
– Do hexa (6) e deci (10), sistema numérico de base 
16;
– Possui 16 símbolos distintos em sua contagem;
– Além dos 10 dígitos (0 a 9), utiliza as letras A, B, C, D, 
E e F que fazem o papel das grandezas 10, 11, 12, 13, 
 14 e 15 respectivamente;
– Usamos as letras maiúsculas pela necessidade de 
termos que representar cada uma destas grandezas 
com um único algarismo;
– O sistema Hexadecimal é um sistema muito utilizado 
em computadores.
Sistemas de Numeração – Comparativo
• Representação comparativa:
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Sistemas de Numeração – 
Conversão
Conversões para decimal
Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Binário para Decimal:
– Devemos considerar os valores posicionais na base 2 
e fazer a soma das potências dos bits em “1”;
– Ex. : 110112 = 2710
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Binário para Decimal:
– Devemos considerar os valores posicionais na base 2 
e fazer a soma das potências dos bits em “1”;
– Ex. : 110112 = 2710
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Octal para Decimal:
– Assim como fizemos no sistema binário também 
utilizamos os valores posicionais;
– Ex. 2: 3728 = 25010
– Ex. 3: 24,68 = 20,7510
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Hexadecimal para Decimal:
– Assim como fizemos no sistema binário também 
utilizamos os valores posicionais;
– Ex. 4: 35616 = 85410
– Ex. 5: 2AF16 = 68710
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Sistemas de Numeração – 
Conversão
Conversões para decimal
Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Decimal para Binário:
– Há duas formas de converter o número decimal 
 inteiro para o equivalente binário:
• A mais simples é utilizar as divisões sucessivas por 2, e a 
escrita de modo inverso dos restos de cada divisão até 
que o quociente 0 seja obtido.
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Decimal para Octal:
– Também utiliza-se o método das divisões sucessivas, 
só que agora a base é 8.
26610 = 4128
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Decimal para Hexadecimal:
– Da mesma forma utiliza-se o processo de divisões 
sucessivas;
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Sistemas de Numeração – 
Conversão
Conversões para octal
Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Octal para Binário:
– A principal vantagem do sistema octal é a transcrição 
de cada dígito octal para binário, sem a necessidade 
de cálculos:
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Hexadecimal para Binário:
– Assim como na conversão octal para binário, 
utilizamos a substituição de cada dígito hexadecimal 
para seu correspondente binário:
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Binário para Hexadecimal:
– Análogo à conversãode Binário para Octal, só que 
agrupando 4 dígitos ao invés de 3.
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Hexadecimal para Octal e Octal para
Hexadecimal :
– Converter para Binário e depois para Octal ou 
Hexadecimal.
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Sistemas de Numeração – Conversão
• Conversão de Binário para Octal:
– A conversão de números binários inteiros para octais 
inteiros se dá substituindo o conjunto de cada 3 
binários pelo octal equivalente;
– Esta divisão deverá ser feita da direita (LSB) para 
esquerda (MSB); se faltar bits à esquerda preencher 
com zeros.
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	Slide 1
	Sistemas de Numeração – Introdução
	Sistemas de Numeração – Introdução
	Sistemas de Numeração – Introdução
	Slide 5
	Slide 6
	Sistemas de Numeração – Introdução
	Sistemas de Numeração – Notação
	Sistemas de Numeração – Sistema Binário
	Sistemas de Numeração – Notação
	Sistemas de Numeração – Sistema Binário
	Sistemas de Numeração – Sistema Binário
	Sistemas de Numeração – Sistema Octal
	Sistemas de Numeração – Sist. Hexadecimal
	Sistemas de Numeração – Comparativo
	Slide 16
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Slide 21
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Slide 25
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão
	Sistemas de Numeração – Conversão