listas 1 coulomb e campo eletrico

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Universidade Federal do Piau´ı
Centro de Cieˆncias da Natureza - CCN
Departamento de F´ısica
Prof. Renato Germano
Primeira lista de exerc´ıcios de F´ısica III
Lei de Coulomb e Campo Ele´trico
1 - Uma carga negativa fica em equil´ıbrio quando colocada no ponto me´dio do segmento de
reta que une duas cargas positivas ideˆnticas. Mostre que essa posic¸a˜o de equil´ıbrio e´ esta´vel
para pequenos deslocamentos da carga negativa em direc¸o˜es perpendiculares ao segmento, mas
que e´ insta´vel para pequenos deslocamentos ao longo dele.
2 - Uma part´ıcula de massa m e carga negativa −q esta´ a uma distaˆncia y e esta´ vinculada
a mover-se sobre a mediatriz do segmento que liga duas cargas positivas +Q. separadas por
uma distaˆncia d (figura 1). Inicialmente, a part´ıcula y � d do centro desse segmento. Mostre
que ela executa um movimento harmoˆnico simples em torno do centro, e calcule a frequeˆncia
angular ω de oscilac¸a˜o. (Resp. ω = 2
√
Qq/pi�0md3)
3 - As duas cargas q da figura 8 esta˜o fixas a distaˆncia 2a, e a carga q′ esta´ posicionada de
modo que as treˆs cargas formam um triaˆngulo iso´sceles. Para qual valor de h a forc¸a sobre a
carga q′ tem valor ma´ximo? (Resp. h = ±a/√2)
4 - Quatro cargas pontuais ideˆnticas q esta˜o localizadas nos ve´rtices de um retaˆngulo, como
mostra a figura 13. As dimenso˜es do retaˆngulo sa˜o L e W . Calcule a magnitude e a direc¸a˜o da
forc¸a ele´trica resultante exercida na carga situada no ve´rtice esquerdo inferior pelas outras treˆs
cargas. (Resp. ~FR = −keq2
[(
L
(L2+W 2)3/2
+ 1
L2
)
x̂+
(
W
(L2+W 2)3/2
+ 1
W 2
)
ŷ
]
)
5 - Duas barras ideˆnticas de comprimento 2a com cargas iguais a +Q uniformemente dis-
tribu´ıdas ao longo de seus comprimentos. As barras esta˜o sobre o eixo x como mostra a figura
11. Mostre que a magnitude da forc¸a exercida pela barra esquerda sobre a barra direita e´ dado
por
F =
(
keQ
2
4a2
)
ln
(
b2
b2 − 4a2
)
.
6 - Treˆs cargas de igual magnitude q esta˜o presas nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero
(figura 7). Uma quarta carga Q esta´ livre para mover-se ao longo do eixo x positivo sob a
influeˆncia das forc¸as exercidas pelas treˆs cargas fixas. Encontre um valor para s para o qual Q
esta´ em equil´ıbrio. Voceˆ precisara´ resolver uma equac¸a˜o transcendental. (Resp. s = 0,0729a)
7 - Todas as cargas nos ve´rtices do cubo visto na figura 9 teˆm a mesma carga q. Observe
que na˜o ha´ carga em um dos ve´rtices. Calcule o campo ele´trico no centro do cubo. (Resp.
E = 4kq
3a2
, campo apontando para o ve´rtice sem carga)
8 - Uma part´ıcula com carga q situa-se sobre o eixo de um disco circular de raio a, a` distaˆncia
b do mesmo, como mostra a figura 10. Calcule o fluxo do campo ele´trico no disco. Sugesta˜o:
considere uma casca esfe´rica centrada na carga e passando pelo contorno do disco.(Resp. ΦE =
q
2�0
(1− b/√a2 + b2))
9 - Usando a similaridade matema´tica entre a lei de Coulomb e a lei da Gravitac¸a˜o Universal
de Newton, mostre que a lei de Gauss para a gravitac¸a˜o pode ser escrita como∫
g.dA = −4piGmint
em quemint e´ a massa total dentro da superf´ıcie gaussiana e g = Fg/m e´ o campo gravitacional.
Determine o campo gravitacional a uma distaˆncia r do centro da Terra, em que r < Rt,
1
assumindo que a densidade de massa da Terra e´ uniforme. (Resp. g = MTGr/R
3
T , direcionada
para o centro)
10 - Um modelo cla´ssico de uma mole´cula ionizada e´ constitu´ıdo por um par de part´ıculas
fixas, ambas de carga +e, separadas por uma distaˆncia 2a, com uma terceira part´ıcula, de carga
−e, massam, descrevendo uma o´rbita circular de raio ρ em torno do eixo que liga as duas outras
cargas. Obtenha: (i) o campo ele´trico que atua sobre a carga −e; (ii) a relac¸a˜o entre o raio ρ e
a frequeˆncia angular de revoluc¸a˜o ω. (Resp. ~E = e
2pi�0
~ρ
(a2+ρ2)3/2
, ω2 = e2/2pi�0m(a
2 + ρ2)3/2)
11 - Seja E a magnitude do campo num ponto P situado a uma distaˆncia D de um plano
uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ. A maior contribuic¸a˜o para E
prove´m dos pontos mais pro´ximos de P sobre o plano. Mostre que a regia˜o do plano situada a
uma distaˆncia 6 2D do ponto P e´ responsa´vel pela metade (E/2) do campo em P .
12 - Um fio retil´ıneo de comprimento l esta´ uniformemente carregado com densidade linear
de carga λ. Calcule o campo ele´trico num ponto situado sobre o prolongamento do fio, a uma
distaˆncia d de sua extremidade. (Resp. ~E = λl/4pi�0d(l + d))
13 - Dois fios retil´ıneos de mesmo comprimento a, separados por uma distaˆncia b, esta˜o
uniformemente carregados com densidades lineares de carga λ e −λ (figura 2). Calcule o
campo ele´trico no centro P do retaˆngulo de lados a e b. (Resp. E = 2λa/bpi�0
√
a2 + b2, vertical
para baixo)
14 - Um fio,quadrado de lado 2l esta´ uniformemente carregado com densidade linear de
carga λ. Calcule o campo ele´trico num ponto P situado sobre a perpendicular ao centro do
quadrado, a` distaˆncia D do seu plano (figura 3). (Resp. E = 2λlD
pi�0(l2+D2)
√
2l2+D2
, vertical para
cima)
15 - A figura 12 mostra um quadrupolo ele´trico, formado por dois dipolos de mesmo mo´dulo
e sentidos opostos. Mostre que o valor de E em um ponto P sobre o eixo do quadrupolo situado
a uma distaˆncia z do centro (supondo z � d) e´ dado por
E =
3Q
4pi�0z4
,
em que Q = 2qd2 e´ chamado de momento quadrupolar de distribuic¸a˜o de cargas.
16 - Uma distribuic¸a˜o de cargas na˜o uniforme, mas com simetria esfe´rica, produz um campo
ele´trico de mo´dulo E = Kr4, em que K e´ uma constante e r e a distaˆncia do centro da esfera.
O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual e´ a distribuic¸a˜o volume´trica de cargas
ρ? (Resp. 6K�0r
3)
17 - Uma carga puntiforme q e´ colocada numa caixa cu´bica de aresta l. Calcule o fluxo
do campo ele´trico sobre cada uma das faces (a) se a carga ocupa o centro do cubo; (b) se e´
colocada num dos ve´rtices. (Resp. (a) q/6�0, b) 0 (faces adjacentes), c) q/24�0 (faces opostas))
18 - Dois planos paralelos esta˜o uniformemente carregados, com densidades superficiais de
carga σ e −σ, respectivamente. Calcule o campo ele´trico em pontos acima de ambos, abaixo
de ambos, e entre os dois. Represente as linhas de forc¸a nas treˆs regio˜es. (Resp. −σ/�0 entre
os dois, 0 acima e abaixo de ambos)
19 - No modelo cla´ssico de J. J. Thomson para o a´tomo de hidrogeˆnio, a carga +e do nu´cleo
era imaginada como estando uniformemente distribu´ıda no interior de uma esfera de raio a e o
ele´tron era tratado como uma carga puntiforme −e movendo-se no interior desta distribuic¸a˜o.
(a) Calcule o campo ele´trico que atuaria sobre o ele´tron num ponto a` distaˆncia r < a do centro
da esfera; (b) mostre que o ele´tron poderia mover-se radialmente com um movimento harmoˆnico
simples e calcule a frequeˆncia angular. (Resp. ~E = ρ~r/3�0, ω = e/
√
4pi�0mea3)
20 - Uma casca esfe´rica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com
densidade de carga volume´trica ρ, envolve uma esfera conceˆntrica de raio a, tambe´m carregada
uniformemente com a mesma densidade (figura 4). Calcule o campo ele´trico nas quatro regio˜es
diferentes do espac¸o: 0 ≤ r ≤ a, a ≤ r ≤ b, b ≤ r ≤ c e r > c. (Resp. ~E = E(r)r̂ em que
2
E(r) = ρr
3�0
, (0 6 r 6 a); E(r) = ρa3
3�0r2
, (a 6 r 6 b); E(r) = ρr
3�0
− ρ
3�0r2
(b3 − a3), (b 6 r 6 c);
E(r) = ρ
3�0r2
(c3 − b3 + a3)(r > c))
21 - Uma distribuic¸a˜o de carga esfericamente sime´trica tem densidade volume´trica de carga
dada por
ρ(r) = ρ0 exp (−r/a), (0 6 r <∞)
em que ρ0 e´ uma constante e r e´ a distaˆncia a` origem. Calcule o campo ele´trico num ponto
qualquer do espac¸o. (Resp. E(r) = 2ρ0a
3
�0r2
{
1− 1
2
[(
r
a
)2
+ 2 r
a
+ 2
]
exp
(− r
a
)}
)
22 - Uma esfera uniformemente carregada com densidade volume´trica ρ conte´m em seu
interioruma cavidade esfe´rica. Mostre que o campo no interior da cavidade e´ uniforme e e´
dado por E = ρd/(3�0), em que d e´ o vetor que liga os centros das duas esferas (figura 5).
Sugesta˜o: Use o princ´ıpio de superposic¸a˜o.
23 - Considere a distribuic¸a˜o de carga mostrada na figura 6. Calcule a magnitude do campo
ele´trico no centro de qualquer face do cubo. (Resp. 2,18keq/s
2)
24 - Mostre que o campo ele´trico devido a um anel de raio a, uniformemente carregado
possui intensidade ma´xima para z = ±a/√2.
25 - Uma carga Q e´ distribu´ıda uniformemente sobre um fio semicircular de raio a, figura
14. Calcule a forc¸a com que atua sobre uma carga de sinal opostao −q colocada no centro.
(Resp. ~F = qQ/(2pi2�0a
2), vertical para cima)
26 - Mostre que ∇.(~c× ~r) = 0, em que ~c e´ um vetor constante.
3
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