GQ2 AULA 6 NÚMEROS COMPLEXOS

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AULA 6 
NÚMEROS COMPLEXOS 
Números complexos são os elementos do conjunto C , uma extensão do conjunto dos números reais, onde 
existe um elemento j que representa a raiz quadrada do número -1, a assim chamada unidade imaginária. 
 
Cada número complexo z pode ser representado na forma: 
z = a +jb 
 → a e b são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e j denota a unidade imaginária, 
onde j2 = -1 
 
Plano Complexo (Plano de Argand-Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de representar um número complexo 
 
 
Forma Retangular ou Cartesiana 
 
 
 
 
 
 
 
Forma Polar 
Utiliza a distância r do ponto z até a origem do sistema de coordenadas e o ângulo θ formado com o eixo dos 
números reais. 
 
 
 
 
 
 
Um número complexo, assim como um vetor, possui uma representação polar, indicada pela forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os números reais, em notação complexa, possuem ângulo zero ou 180º. 
 
 
 
 
Os imaginários puros possuem ângulo de +90º ou –90º. 
 
 
 
 
z = a + jb 
 
Parte real: Re [z] = a 
 
Parte imaginária: Im [z] = b 
Argumento (ângulo) → Arg [z] 
[ ] θ∠= rz [ ]
22 barzMódulo +==→
º011 ∠= º05555 ∠= º18011 ∠=− º1803535 ∠=−
º901 ∠=j º901 −∠=− j º903535 −∠=− jº903535 ∠=j
Conversão de coordenadas polares e retangulares 
 
 
 
 
De coordenadas retangulares 
 
 
 
Para coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De coordenadas polares 
 
 
 
 
Para coordenadas retangulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 bar +=
z = a + jb 
 
a
b
tg 1−=θ
θ∠= rz
θ∠= rz
a = r . cos 
b = r . sen θ 
z = a + jb 
 
Operações Elementares 
 
 
Adição e Subtração → usar a forma retangular 
 
 
 Sejam 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação e Divisão → usar a forma polar 
 
Necessitamos conhecer a Fórmula de Euler 
 
 
Multiplicando a expressão por r → 
 
 
 
Observando que verificamos que estas parcelas correspondem à parte real e à parte imaginária 
 
 
do nº complexo em sua forma retangular 
 
 
Então podemos escrever 
 
 
 
 
Onde, conforme vimos anteriormente 
 
 
 
 
 
Assim, de acordo com a Fórmula de Euler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = a + jb 
w = c + jd 
Adição → z + w = (a + c) + j ( b + d) 
Subtração → z – w = (a- c) + j (b – d) 
 
θθθ senje j += cos
θθθ senrjrer j += cos
a = r . cos θ 
b = r . sen θ 
z = a + jb 
bjaer j +=θ
22 bar +=
a
b
tg 1−=θ
z = a + jb 
bjaer j +=θ
θjerz =
Aplicando a Fórmula de Euler na Multiplicação e na Divisão 
 
 
Sejam 
 
 
 
 
Multiplicando: M1. M2 = m1 e j θ1 . m2 e j θ2 = m1 . m2 . e j θ1 . e j θ2 = = (m1 . m2) .e ( j θ1 + j θ2 ) = m1 . m2 θ1 + θ2 
 
 
Dividindo: 
 
 
 
 
 
 
Conjugado 
 
Um conjugado de um número complexo é um número que possui a mesma parte imaginária com o mesmo 
módulo com sinal contrário, mantendo a mesma parte real. 
Exemplo: Conjugado de z = a + j b → z = a – j b 
 
M1 = m1 e j θ1 
M2 = m2 e j θ2 
( ) ( )
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2121
2
1
θθθθθθθ
θ
−∠==== −−
m
m
e
m
m
e
m
m
e
e
m
m
M
M jjj
j
j