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Vibrações livres amortecidas: superamortecimento e o decremento logarítmico - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA –
SUPERAMORTECIMENTO E
AMORTECIMENTO CRÍTICO –
DECREMENTO LOGARÍTMICO
Introdução:
Vimos em aulas anteriores que um sistema com massa-mola-
amortecedor com vibração livre, representado na figura ao
lado tem sua EDO (Equação Diferencial Ordinária) é do tipo:
 ̈ +  ̇ +  = 0
A solução da equação acima é ()=  . 1 .. + 2  . ,
onde:
ξ Fator de amortecimento
n frequência angular natural
Vimos também que quando, 0 < ξ < 1, temos uma vibração subamortecida, quando ξ =
1 temos o amortecimento crítico e, por fim, ξ > 1, temos o amortecimento
supercrítico.
O fator de amortecimento é definido por  =
, onde:
c coeficiente de amortecimento viscoso
cc coeficiente de amortecimento crítico
O coeficiente de amortecimento crítico cc pode definido como c c = 2.m.n, onde m é a
massa do sistema.
Também foi definido a frequência angular natural amortecida
d que é definida por
=
1
Para um sistema com vibração subamortecida, chegamos à seguinte solução:

2
()=  . . ()+
 ..
. (), que também pode ser escrita
em termos de amplitude C e ângulo de fase ϕ, a saber: ()=  .  .  ( +
) sendo = (
 )(.)
e =   .
 .. onde xo é a posição
inicial e vo a velocidade inicial.
Quando plotamos um gráfico da resposta temos:
Sendo a curva tracejada vermelha definida por:  
Vibração Livre com Super Amortecimento ou Amortecimento
Supercrítico (ξ > 1)
Para > 1 implica que as raízes da equação − 
± 
− 1 sejam reais e
distintas.
Dessa forma, podemos escrever a solução da como:
()= A.  + .  –
Onde A e B são constantes reais definidas a partir das condições iniciais de posição
inicial xo e velocidade inicial vo. Resolvendo e após algumas manipulações algébricas
chegamos:
A =
 .
 e B =
 .

Nesse sistema, a sua resposta é sem oscilação e
quando perturbado, retorna de forma exponencial a
sua posição de equilíbrio como podemos visualizar na
figura ao lado.


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Vibração Livre com Amortecimento Crítico ( ξ = 1)
Para termos ksi igual a um implica que a raízes da equação − 
± 
− 1 sejam
raízes reais e iguais, pois com ksi igual a 1, o resultado da − 1 é igual a zero.
Assim a solução será ()= [(
+ 
) + ]
Este sistema não oscila, quando perturbado retorna para o ponto de equilíbrio no
tempo mais rápido.
Sua aplicação prática é em sistemas de amortecimento de portas e também, em
sistemas de recolhimento de armas de fogo.
Fazendo uma simulação para algumas condições iniciais, temos o indicado na figura:
Comparação entre Movimentos com Tipos Diferentes de
Amortecimento
Para entendermos melhor o efeito do tipo de amortecimento, observe o gráfico
abaixo: