A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
42 pág.
Vibrações Mecânicas e Vibrações Forçadas Harmonicamente Amortecidas

Pré-visualização | Página 1 de 3

Vibrações Mecânicas e 
Vibrações Forçadas 
Harmonicamente Amortecidas
Maria Ribeiro Machado Pires
1
Tópicos
 Introdução à Vibrações 
Mecânicas;
 Classificação das vibrações;
 Exemplo de Vibrações;
 Elementos de mola;
 Associação de molas;
 Elementos de massa;
 Associação de massas;
 Amortecimento;
 Definições importantes;
 Vibrações forçadas 
harmonicamente amortecidas;
 Equação do movimento;
 Resposta de um sistema não 
amortecido à força harmônica;
 Resposta total e batimento;
 Resposta de um sistema 
amortecido à força harmônica;
 Resposta total;
 Fator de Qualidade e largura de 
banda;
 Exercícios Resolvidos
 Conclusão;
 Referências Bibliográficas;
2
Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Fonte: ScienceDirect
Figura 1:
3
Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Primeiramente, temos que citar a importância do 
estudo da vibração. Os primeiros estudiosos dessa área se 
concentraram em entender os fenômenos naturais e 
desenvolver as teorias matemáticas em cima desses 
fenômenos para que pudesse ser entendendo como um 
sistema físico. Aqui trataremos o estudo das vibrações na 
engenharia, em que podem ser estudados motores, 
estruturas, máquinas, etc.
Durante a explicação, conceitos serão definidos a fim 
de melhorar o entendimento.
4
Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
O conceito de Vibração:
É o movimento oscilatório de corpos. É Qualquer 
movimento que se repita após um intervalo de 
tempo, como por exemplo, um pêndulo.
Partes elementares de sistemas vibratórios:
Um sistema vibratório geralmente inclui um meio para 
armazenar energia potencial, um meio para 
armazenar energia cinética, e um meio de perda 
gradual de energia. Sendo estes, respectivamente, 
mola, massa e amortecedor.
Graus de liberdade:
É o número mínimo de coordenadas independentes 
requeridas para determinar completamente as 
posições de todas as partes de um sistema a 
qualquer instante.
5
Introdução 
à 
Vibrações 
Mecânicas
Sistemas discretos e contínuos:
Uma grande quantidade de sistemas práticos podem 
ser descritas usando um número finito de graus de 
liberdade. Sistemas com um número finito de graus 
de liberdade são denominados sistemas discretos, 
enquanto que os que tem um numero infinito de 
graus de liberdade são denominados sistemas 
contínuos.
Fonte: Vibrações mecânicas 
– Rao Singiresu
Figura 2: Exemplos de sistemas com três graus de liberdade
6
Classificação das vibrações
 Podemos classificar as vibrações de diferentes formas:
 Vibração livre: Se um sistema, após uma perturbação inicial continuar a vibrar por conta 
própria, a vibração resultante é conhecida como vibração livre, em que nenhuma força 
externa age sobre o sistema.
 Vibração forçada: se um sistema estiver sujeito a uma força externa, a vibração 
resultante é conhecida como vibração forçada. 
 Vibração não amortecida: ocorre quando nenhuma energia é perdida ou dissipada por 
atrito ou outra resistência durante a oscilação.
 Vibração amortecida: quando qualquer energia é perdida durante a oscilação.
7
Classificação das vibrações
 Vibração linear: quando todos os componentes básicos de um sistema vibratório, como 
a mola, a massa e o amortecedor, se comportam linearmente.
 Vibração não-linear: os elementos não se comportam de forma linear.
 Vibração determinística: quando o valor ou a magnitude da excitação que está agindo 
sobre um sistema vibratório é conhecido a qualquer instante.
 Vibração aleatória: o valor da excitação não pode ser previsto.
8
Exemplo de vibrações
Fonte: Fundamentos de vibrações 
mecânicas – Professor Sidney 
Bruce 9
Elementos de mola
A mola linear é um elo mecânico que desenvolve força quando há movimento relativo entre 
suas extremidades. 
Lei de Hooke: 𝐹𝑘 = 𝑘𝑥
A mola é um elemento que armazena energia na forma de energia potencial elástica:
Mola de translação: 𝑈𝑘 =
1
2
𝑘𝑥²
Mola torcional: 𝑈𝑘 =
1
2
𝑘𝜃²
É importante ressaltar que nem sempre haverá uma mola propriamente dita em um sistema 
vibratório e que alguns casos uma estrutura elástica fará o papel de mola, sendo necessário 
achar uma rigidez de mola equivalente para fazer a análise.
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce 10
Elementos de mola
No exemplo dado temos um sistema de Barra uniforme. Contém o Módulo de Young, Área 
de seção transversal e o Comprimento Inicial :
𝜎 = 𝐸𝜀
𝐹
𝐴
= 𝐸(
∆𝑙
𝑙0
)
𝐹 = (
𝐸𝐴
𝑙0
)∆𝑙
𝐹 = 𝑘𝑒𝑞𝑥
𝒌𝒆𝒒 =
𝑬𝑨
𝒍𝟎
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce
Fonte: Fundamentos de 
vibrações mecânicas –
Professor Sidney Bruce
11
Associação de molas
Nas aplicações práticas, varias molas lineares são usadas em 
associação, que podem ser associadas em uma única mola 
equivalente como vamos exemplificar:
CASO 1: MOLAS EM PARALELO: Para derivar uma expressão para 
a constante elástica equivalente de molas ligadas em paralelo, 
iremos considerar as molas mostradas na figura. Quando é 
aplicada uma carga W, o sistema sofre deflexão estática 𝛿𝑠𝑡. 
Então o diagrama de corpo livre representado fornece a 
equação de equilíbrio
𝑊 = 𝑘1𝛿𝑠𝑡 + 𝑘2𝛿𝑠𝑡
FONTE: Vibrações mecânicas –
Rao Singiresu
12
Associação de molas
Se 𝑘𝑒𝑞 é a constante elástica equivalente para a associação de duas molas, então para a 
mesma deflexão 𝛿𝑠𝑡, teremos:
𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡
Associando as equações anteriores, teremos então 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2
Em geral, se tivermos n molas com constante elásticas 𝑘1, 𝑘2, … 𝑘𝑛 em paralelo, então pode se 
obter a constante elástica equivalente:
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 +⋯+ 𝑘𝑛
13
Associação de molas
CASO 2 -MOLAS EM SÉRIE: agora será conceituado a expressão para a 
constante elástica equivalente de molas ligadas em série, considerando as 
duas molas demonstradas na figura presente. Sob a ação de uma carga 
W as molas 1 e 2 sofrem alongamentos 𝛿1 e 𝛿2, respectivamente, como 
mostrado. O alongamento total, ou deflexão estática do sistema 𝛿𝑠𝑡 é dado 
por 𝛿𝑠𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2. Visto que ambas molas estão sujeitas à mesma força W, 
temos o equilíbrio mostrado na figura:
𝑊 = 𝑘1𝛿1 𝑒 𝑊 = 𝑘1𝛿2
Se 𝑘𝑒𝑞 denotar a constante elástica equivalente, então para a mesma 
deflexão estática, 𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡, com as equações teremos 𝑘1𝛿1 = 𝑘1𝛿2 =
𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡. Isolando 𝛿1 𝑒 𝛿2 e somando as equações, teremos uma equação 
generalizada para o caso de n molas:
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+⋯+
1
𝑘𝑛
FONTE: Vibrações 
mecânicas – Rao Singiresu
14
Elementos de massas
Em um sistema vibratório a massa é responsável por armazenar energia cinética
 Translação: 𝑇 =
1
2
𝑚 ሶ𝑥²
 Rotação: 𝑇 =
1
2
𝐽 ሶ𝜃2, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐽 é 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙.
15
Associação de Massas
A associação de massas é feita igualando-se a soma das energias cinéticas de cada massa 
à energia cinética de uma massa equivalente.
𝑇𝑒𝑞 = 𝑇1 + 𝑇2 +⋯+ 𝑇𝑛
Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia (energia cinética e potencial) na 
forma de calor ou som. Essas perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia 
gradativamente até o sistema entrar em equilíbrio. 
O mecanismo deperda de energia é chamado de AMORTECIMENTO.
16
Amortecimento
Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia na forma de calor ou som. Essas 
perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia gradativamente até o sistema 
entrar em equilíbrio. Esse mecanismo de perda de energia é chamado AMORTECIMENTO. 
Temos alguns tipos de amortecimento:
 Amortecimento viscoso: perdas de um corpo em um fluido: 𝐹𝑐 = 𝑐 ሶ𝑥, em que C é 
coeficiente de amortecimento [Ns/m].
 Amortecimento de Coulomb (atrito seco): força devido ao contato entre superfícies e 
força de módulo constante e sentido oposto ao do movimento do corpo: |F|=𝜇𝑁 em 𝜇 é 
o coeficiente de atrito que depende das superfícies em contato e

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.