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Vibrações Mecânicas e Vibrações Forçadas Harmonicamente Amortecidas Maria Ribeiro Machado Pires 1 Tópicos Introdução à Vibrações Mecânicas; Classificação das vibrações; Exemplo de Vibrações; Elementos de mola; Associação de molas; Elementos de massa; Associação de massas; Amortecimento; Definições importantes; Vibrações forçadas harmonicamente amortecidas; Equação do movimento; Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica; Resposta total e batimento; Resposta de um sistema amortecido à força harmônica; Resposta total; Fator de Qualidade e largura de banda; Exercícios Resolvidos Conclusão; Referências Bibliográficas; 2 Introdução à Vibrações Mecânicas Fonte: ScienceDirect Figura 1: 3 Introdução à Vibrações Mecânicas Primeiramente, temos que citar a importância do estudo da vibração. Os primeiros estudiosos dessa área se concentraram em entender os fenômenos naturais e desenvolver as teorias matemáticas em cima desses fenômenos para que pudesse ser entendendo como um sistema físico. Aqui trataremos o estudo das vibrações na engenharia, em que podem ser estudados motores, estruturas, máquinas, etc. Durante a explicação, conceitos serão definidos a fim de melhorar o entendimento. 4 Introdução à Vibrações Mecânicas O conceito de Vibração: É o movimento oscilatório de corpos. É Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo, como por exemplo, um pêndulo. Partes elementares de sistemas vibratórios: Um sistema vibratório geralmente inclui um meio para armazenar energia potencial, um meio para armazenar energia cinética, e um meio de perda gradual de energia. Sendo estes, respectivamente, mola, massa e amortecedor. Graus de liberdade: É o número mínimo de coordenadas independentes requeridas para determinar completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante. 5 Introdução à Vibrações Mecânicas Sistemas discretos e contínuos: Uma grande quantidade de sistemas práticos podem ser descritas usando um número finito de graus de liberdade. Sistemas com um número finito de graus de liberdade são denominados sistemas discretos, enquanto que os que tem um numero infinito de graus de liberdade são denominados sistemas contínuos. Fonte: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu Figura 2: Exemplos de sistemas com três graus de liberdade 6 Classificação das vibrações Podemos classificar as vibrações de diferentes formas: Vibração livre: Se um sistema, após uma perturbação inicial continuar a vibrar por conta própria, a vibração resultante é conhecida como vibração livre, em que nenhuma força externa age sobre o sistema. Vibração forçada: se um sistema estiver sujeito a uma força externa, a vibração resultante é conhecida como vibração forçada. Vibração não amortecida: ocorre quando nenhuma energia é perdida ou dissipada por atrito ou outra resistência durante a oscilação. Vibração amortecida: quando qualquer energia é perdida durante a oscilação. 7 Classificação das vibrações Vibração linear: quando todos os componentes básicos de um sistema vibratório, como a mola, a massa e o amortecedor, se comportam linearmente. Vibração não-linear: os elementos não se comportam de forma linear. Vibração determinística: quando o valor ou a magnitude da excitação que está agindo sobre um sistema vibratório é conhecido a qualquer instante. Vibração aleatória: o valor da excitação não pode ser previsto. 8 Exemplo de vibrações Fonte: Fundamentos de vibrações mecânicas – Professor Sidney Bruce 9 Elementos de mola A mola linear é um elo mecânico que desenvolve força quando há movimento relativo entre suas extremidades. Lei de Hooke: 𝐹𝑘 = 𝑘𝑥 A mola é um elemento que armazena energia na forma de energia potencial elástica: Mola de translação: 𝑈𝑘 = 1 2 𝑘𝑥² Mola torcional: 𝑈𝑘 = 1 2 𝑘𝜃² É importante ressaltar que nem sempre haverá uma mola propriamente dita em um sistema vibratório e que alguns casos uma estrutura elástica fará o papel de mola, sendo necessário achar uma rigidez de mola equivalente para fazer a análise. Fonte: Fundamentos de vibrações mecânicas – Professor Sidney Bruce 10 Elementos de mola No exemplo dado temos um sistema de Barra uniforme. Contém o Módulo de Young, Área de seção transversal e o Comprimento Inicial : 𝜎 = 𝐸𝜀 𝐹 𝐴 = 𝐸( ∆𝑙 𝑙0 ) 𝐹 = ( 𝐸𝐴 𝑙0 )∆𝑙 𝐹 = 𝑘𝑒𝑞𝑥 𝒌𝒆𝒒 = 𝑬𝑨 𝒍𝟎 Fonte: Fundamentos de vibrações mecânicas – Professor Sidney Bruce Fonte: Fundamentos de vibrações mecânicas – Professor Sidney Bruce 11 Associação de molas Nas aplicações práticas, varias molas lineares são usadas em associação, que podem ser associadas em uma única mola equivalente como vamos exemplificar: CASO 1: MOLAS EM PARALELO: Para derivar uma expressão para a constante elástica equivalente de molas ligadas em paralelo, iremos considerar as molas mostradas na figura. Quando é aplicada uma carga W, o sistema sofre deflexão estática 𝛿𝑠𝑡. Então o diagrama de corpo livre representado fornece a equação de equilíbrio 𝑊 = 𝑘1𝛿𝑠𝑡 + 𝑘2𝛿𝑠𝑡 FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 12 Associação de molas Se 𝑘𝑒𝑞 é a constante elástica equivalente para a associação de duas molas, então para a mesma deflexão 𝛿𝑠𝑡, teremos: 𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡 Associando as equações anteriores, teremos então 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 Em geral, se tivermos n molas com constante elásticas 𝑘1, 𝑘2, … 𝑘𝑛 em paralelo, então pode se obter a constante elástica equivalente: 𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 +⋯+ 𝑘𝑛 13 Associação de molas CASO 2 -MOLAS EM SÉRIE: agora será conceituado a expressão para a constante elástica equivalente de molas ligadas em série, considerando as duas molas demonstradas na figura presente. Sob a ação de uma carga W as molas 1 e 2 sofrem alongamentos 𝛿1 e 𝛿2, respectivamente, como mostrado. O alongamento total, ou deflexão estática do sistema 𝛿𝑠𝑡 é dado por 𝛿𝑠𝑡 = 𝛿1 + 𝛿2. Visto que ambas molas estão sujeitas à mesma força W, temos o equilíbrio mostrado na figura: 𝑊 = 𝑘1𝛿1 𝑒 𝑊 = 𝑘1𝛿2 Se 𝑘𝑒𝑞 denotar a constante elástica equivalente, então para a mesma deflexão estática, 𝑊 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡, com as equações teremos 𝑘1𝛿1 = 𝑘1𝛿2 = 𝑘𝑒𝑞𝛿𝑠𝑡. Isolando 𝛿1 𝑒 𝛿2 e somando as equações, teremos uma equação generalizada para o caso de n molas: 1 𝑘𝑒𝑞 = 1 𝑘1 + 1 𝑘2 +⋯+ 1 𝑘𝑛 FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 14 Elementos de massas Em um sistema vibratório a massa é responsável por armazenar energia cinética Translação: 𝑇 = 1 2 𝑚 ሶ𝑥² Rotação: 𝑇 = 1 2 𝐽 ሶ𝜃2, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐽 é 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 15 Associação de Massas A associação de massas é feita igualando-se a soma das energias cinéticas de cada massa à energia cinética de uma massa equivalente. 𝑇𝑒𝑞 = 𝑇1 + 𝑇2 +⋯+ 𝑇𝑛 Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia (energia cinética e potencial) na forma de calor ou som. Essas perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia gradativamente até o sistema entrar em equilíbrio. O mecanismo deperda de energia é chamado de AMORTECIMENTO. 16 Amortecimento Em sistemas reais é inevitável a dissipação de energia na forma de calor ou som. Essas perdas energéticas fazem com que o deslocamento decaia gradativamente até o sistema entrar em equilíbrio. Esse mecanismo de perda de energia é chamado AMORTECIMENTO. Temos alguns tipos de amortecimento: Amortecimento viscoso: perdas de um corpo em um fluido: 𝐹𝑐 = 𝑐 ሶ𝑥, em que C é coeficiente de amortecimento [Ns/m]. Amortecimento de Coulomb (atrito seco): força devido ao contato entre superfícies e força de módulo constante e sentido oposto ao do movimento do corpo: |F|=𝜇𝑁 em 𝜇 é o coeficiente de atrito que depende das superfícies em contato eN é a reação normal. A associação de amortecedores é feita de forma análoga a associação de molas. 17 Definições importantes Amplitude de vibração (A): máxima amplitude de deslocamento do corpo; Período de oscilação (T): tempo para completar um ciclo de movimento; Frequência de oscilação (f em Hz) ou (𝜔 em rad/s): é o número de ciclos de oscilação por unidade de tempo f= 1 𝑇 = 𝜔 2𝜋 Valor quadrático médio (RMS): usado para quantificar a magnitude de um sinal oscilatório x(t) com duração T: 𝑥𝑅𝑀𝑆 = 1 𝑇 0 𝑇 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡 Ângulo de fase (𝜙): considerando duas oscilações, temos 𝑥1 𝑡 = 𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑥2 𝑡 = 𝐴2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) O ângulo (𝜙) em radianos traz um atraso/avanço de uma vibração em relação à outra. 18 Definições importantes Exemplo dos ângulos de fase: Fonte: Fundamentos de vibrações mecânicas – Professor Sidney Bruce 19 Vibrações Forçadas Harmonicamente Amortecidas FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 20 Vibrações Forçadas Harmonicamente Amortecidas Um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre que a energia externa é fornecida ao sistema durante vibração. A energia pode ser fornecida ao sistema por meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta. A resposta de um sistema à excitação harmônica é denominada resposta harmônica. Nesta parte iremos considerar a resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade sob excitação harmônicas da forma 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑒 𝑖(𝜔𝑡+𝜙) ou 𝐹 𝑡 = 𝐹0cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ou 𝐹 𝑡 = 𝐹0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) , onde 𝐹0 é 𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒, 𝜔 é 𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒 𝜙 é 𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎çã𝑜 ℎ𝑎𝑟𝑚ô𝑛𝑖𝑐𝑎. O valor de f depende do valor de F (t) em t=0 e geralmente é considerado zero. Sob excitação harmônica, a resposta do sistema também será harmônica. Se a frequência de excitação corresponde à frequência natural do sistema, a resposta será muito grande. Essa condição, conhecida como ressonância, deve ser evitada para que o sistema não falhe. 21 Equação do movimento Se uma força F (t) atua em um sistema de massa-mola viscosamente amortecido, como mostrado na figura, a equação do movimento pode ser obtida aplicando a segunda lei de Newton: Como essa equação não é homogênea, a soma da solução homogênea 𝑥ℎ(𝑡) e a solução particular, 𝑥𝑝(𝑡) fornece sua solução geral. A solução homogênea, que é a solução da equação homogênea FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu A parte do movimento que é reduzida pelo amortecimento (a parte de vibração livre) é chamada de transitória. A taxa na qual o movimento transitória é reduzido depende dos valores dos parâmetros do sistema k, c e m. 22 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Considerando a força agindo sobre uma massa m de um sistema amortecido temos que: A solução homogênea dessa equação é dada por: Em que 𝜔𝑛 = ( 𝑘 𝑚 )1/2 é a frequência natural do sistema. Como a força excitadora F(t) é harmônica, a solução particular também é harmônica e tem a mesma frequência 𝜔, admitindo uma solução na forma O X denota a máxima amplitude, quando substituímos temos a equação: 23 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹0 𝑘 é a deflexão estática. Sendo assim a solução total fica: E usando as condições iniciais x(t=0)= ሶ𝑥(t=0)= ሶ𝑥0 constatamos que E por consequência Sendo a a máxima amplitude X expressa como 24 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica - CASOS Caso 1: 0 < 𝜔 𝜔𝑛 < 1 quando a resposta do sistema Xp(t) está em fase com a força externa. Caso 2: 𝜔/𝜔𝑛 > 1 a resposta do sistema a uma força harmônica de frequência muito alta é próxima de zero Caso 3: 𝜔/𝜔𝑛 = 1 isso acontece quando a frequência forçante é igual a frequência natural e o sistema entra no que definimos como ressonância. FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 25 Resposta total e batimento Batimento: se a frequência natural for próxima, mas não exatamente igual à frequência natural do sistema pode ocorrer o batimento. Resposta total: o movimento completo pode ser expresso como a soma de duas curvas cossenóides de frequências diferentes. Período e frequência do batimento: 26 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica Sob a atuação de uma força harmônica a equação do movimento amortecido se torna A solução particular é Colocando a amplitude X em evidência e reagrupando os termos Usando as relações trigonométricas: Igualando os coeficientes: De onde se obtém 27 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica Dividindo os denominadores por k, temos: Como Citando a razão das frequências como 𝑟 = 𝜔/𝜔𝑛 A figura representa a representação gráfica de uma função excitadora e resposta: FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 28 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 29 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica 30 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica 31 Resposta total Teremos a solução da reposta particular da seguinte maneira As constantes 𝑋0 𝑒 𝜙0 são constantes de integração obtidas através das condições iniciais. Com x(t=0)=𝑥0 e ሶ𝑥=(t=0)=𝑣0, 𝑋0 𝑒 𝜙0 são obtidos como 32 Fator de qualidade e largura de banda Para baixos fatores de amortecimento 𝜉 < 0,05 a equação abaixo pode ser utilizada, em que Q é fator de qualidade. Na figura os valores R1 e R2 correspondentes a relações de frequência para as quais a razão de amplitudes é 𝑄/ 2, são chamados de pontos de meia potência, pois a energia vibratória é proporcional ao quadrado da amplitude no movimento harmônico. A diferença entre as frequências correspondentes a estes dois pontos, ω2 - ω1 , define o que se chama de largura de banda. Os valores das relações de frequência correspondentes a estes pontos podem ser obtidos fazendo 33 Fator de qualidade e largura de banda Subtraindo as duas raízes, temos: FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 34 Uma bomba alternativa com 150lb de peso está montada no meio de uma placa de aço de 0,5in de espessura, 20in de largura e 100in de comprimento, presa por braçadeiras ao longo de duas bordas, como mostra a figura. Durante a operação da bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica, F(t)=50cos62,832t lb. Determine a amplitude de vibração da placa. A placa pode ser modelada como uma viga fixa nas duas extremidades com módulo de Young (E) = 30× 106𝑝𝑠𝑖, comprimento (l)=100in d momento de inércia da área (I)= 1 12 20 0,5 3 = 0,2083𝑖𝑛4. A resistência à flexão da viga é dada por A amplitude da resposta harmônica é dada pela equação abaixo e o sinal indica que a resposta x(t) da placa está defasada da excitação F(t). FONTE: Vibrações mecânicas – Rao Singiresu 35 Determine a resposta total de um sistema com um grau de liberdade com m=10kg, c=20N.m, k=4000N/m, 𝑥0 = 0,01𝑚, ሶ𝑥0 = 0 sob as seguintes condições: 36 Um peso de 50N está suspenso por uma mola de rigidez 4000N/m e sujeito a uma força harmônica de amplitude 60N e a frequência 6Hz. Determine: a) a extensão da mola devido ao peso suspenso; b) o deslocamento estático da mola devido à máxima força aplicada; c) amplitude de movimento da forçado do peso. 37 Determine a razão da frequência r=𝝎/𝝎𝒏 ao qual a amplitude de um sistema amortecido com um grau de liberdade atinge o valor máximo. Determine também o valor da amplitude máxima. 38 Exemplos de como as vibrações podem agir de forma inesperada. Com vento forte, a estrada apresentaria violentas vibrações de torção, conforme mostrado nas imagens. Fonte: PBS e Brown 39 Conclusões A importância de se estudar as vibrações é encontrar uma maneira de calcular, principalmente nos presentes casos deste trabalho, a frequência e amplitude. Na engenharia, analisaremosvários sistemas conservadores de vibração livre, sistema dissipativo, para que possamos mostrar a influência das perdas de energia no sistema mecânico e por fim, analisar e discutir o comportamento desses sistemas quando há forças aplicadas e por isso outras variáveis e ações foram mostradas. Fonte: Directgate 40 Referências Bibliográficas https://www.sciencedirect.com/topics/materials-science/mechanical-vibration https://sites.google.com/site/profsbshiki/teaching/vibracoes-mecanicas https://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/wonder/structure/narrows1_bridge.html https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_overview/ vibrations_overview.htm https://directgate.blogspot.com/2019/09/mechanical-vibrations-recommended-books.html RAO, SINGIRESU S. Vibraciones mecánicas Quinta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012. RAO, SINGIRESU S. Vibrações Mecânicas Quarta edição. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009. Vibrações Mecânicas RAO (4ª Edição) – solucionário – acesso em: https://www.passeidireto.com/lista/94533135-dinamica-de-maquinas-e- vibracoes/arquivo/68525910-vibracoes-mecanicas-rao-4-edicao-solucionario 41 https://www.sciencedirect.com/topics/materials-science/mechanical-vibration https://sites.google.com/site/profsbshiki/teaching/vibracoes-mecanicas https://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/wonder/structure/narrows1_bridge.html https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_overview/vibrations_overview.htm Obrigado 42
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