Solução modal analítica: exercício sobre vibrações livres sem amortecimento - Apostila
3 pág.

Solução modal analítica: exercício sobre vibrações livres sem amortecimento - Apostila

Pré-visualização3 páginas
1
Vibrações Mecânicas – Resumo
SISTEMAS MECÂNICOS VIBRACIONAIS
COM MDOF – ANÁLISE MODAL
ANALÍTICA – PARTE 02: EXERCÍCIO:
VIBRAÇÕES LIVRES SEM
AMORTECIMENTO
Introdução:
Na aula anterior nós desenvolvemos as equações para um MDOF Livre e sem
amortecimento e agora vamos resolver um exercício de fixação:
Exercício
Para o sistema da figura, calcule as frequências naturais e os modos de vibrar,
considerando que os coeficientes de amortecimento viscosos C1 = C2 = C3 = 0, k1 = k2 =
k3 = k e m1 = m2 = m.
Figura 01: Exercício: Vibrações Livres sem amortecimento
Este exercício é o mesmo que resolvemos na aula 20, quando usamos as equações de
Lagrange para obtenção da equação do movimento e as matrizes correspondentes.
Vamos, portanto, aproveitar os resultados:
Para a matriz M temos:
 = 
0
0 
Para a matriz K, temos:
2
=
+ −
−+ 
Que particularizando para o presente exercício, fica:
→  =  2 −
− 2
Para se calcular as frequências naturais e os modos de vibrar deste sistema deve-se
resolver o problema de autovalor (frequências naturais) e autovetor (modos de vibrar)
associados as matrizes M e K. Assim:
Det (K - M) = 0
Sendo  =  e efetuando os cálculos correspondentes, temos:
 2 −  −
− 2 −   = 0
O que nos conduz a seguinte equação característica:
(2 − ) = 0
Expandindo este termo, chegamos a:
− 4
+ 3
= 0
Resolvendo a equação encontramos os valores de
, .
Lembrando que
, =  ,
, encontramos  , :
 =
1ª Frequência Natural
 =
2ª Frequência Natural
Agora precisamos calcular os autovetores dos sistemas, lembrando que cada
frequência natural está associada a um modo de vibrar.
1º Modo de Vibrar (1ª Frequência Natural):
Substituindo  =
em [−].  = , temos:
 −
−  

 =0
Sendo o 1º modo de vibrar definido por:
3
=[

 ]
Sendo
 e
 valores das amplitudes nas coordenadas generalizadas 1 e 2
respectivamente. Resolvendo o sistema linear acima, temos:

 = 1
Portanto os autovetores não são únicos, e podemos definir por exemplo:
= 1
1
 e
 tem mesmo sinal, isso significa que as massas irão oscilar em fase e como a
razão é 1, na mesma intensidade.
2º Modo de Vibrar (2ª Frequência Natural):
Substituindo  =
em [−].  = , temos:
− −
− −  

 =0
Sendo o 2º modo de vibrar definido por:
=[

 ]
Sendo
 e
 valores das amplitudes nas coordenadas generalizadas 1 e 2
respectivamente e resolvendo o sistema linear acima, temos:

 = −1
Novamente, os autovetores não são únicos e podemos definir, por exemplo:
=  1
−1
 e
 tem sinais opostos, isso significa que as massas irão oscilar em fase oposta,
ou seja, quando a massa m1 for para direita, a massa m2 vai para a esquerda, quando a
massa m1 vai para esquerda, a massa m2 vai para a direita, e como a razão é 1, será na
mesma intensidade.
E assim, nós finalizamos nosso exercício.