Solução modal analítica: vibrações livres sem amortecimento - Apostila
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Solução modal analítica: vibrações livres sem amortecimento - Apostila

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Vibrações Mecânicas – Resumo
SISTEMAS MECÂNICOS VIBRACIONAIS
COM MDOF – ANÁLISE MODAL
ANALÍTICA – PARTE 01: VIBRAÇÕES
LIVRES SEM AMORTECIMENTO
Introdução:
Uma vez obtidas as equações do movimento, nosso trabalho será resolver o conjunto
de equações diferenciais ordinárias (EDO’s).
Figura 01: Exemplo de um sistema com vários graus de liberdade
Importante ressaltar que o sistema representando pela figura 01 corresponde a um
sistema acoplado de equações, o que pode dificultar determinadas análises, além de
não permitir uma generalização direta com sistemas com 1 GDL. Nessas situações,
transformar o sistema para uma outra base de coordenadas pode ser útil e ganha um
destaque em dinâmica estrutural. Esse assunto é , na literatura, referenciado como
análise modal analítica, que veremos mais alguns detalhes para problemas de vibrações
livres sem amortecimento.
Vibrações Livres em Sistema Sem Amortecimento
Considerando o sistema indicado na figura 01 com coeficiente de amortecimento
viscoso, C, igual a 0 e forças de excitação, F igual a zero. A equação do movimento
ficará:
. ̈ + . =  ()
Sendo a solução do tipo:
=   ( )
Onde:
Ф é o vetor amplitudes que indicam as formas modais do problema.
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Derivando e substituindo em (a), vem:
−. .   + .   =  ()
Colocando em evidência, fica:
 [− + ]. =  ()
Como  é sempre diferente de zero, a expressão somente será zero, se:
[ ]. =  ()
A equação (e) representa um problema clássico de autovalor e autovetor, que pode
ser descrito como:
[  − ]. =  ()
Sendo:
I a matriz identidade de ordem n x n;
n o número de graus de liberdade;
= relacionados diretamente às frequências naturais do sistema.
Escrevendo o problema de autovalor e autovetor na forma padrão, fica:
 . = . ()  . = .  ()
Sendo:
=
= Autovalores relacionados as frequências naturais dos sistemas;
Autovetores que representam os modos de vibrar dos sistemas;
Mas afinal, o que são Modos de Vibrar?
Também são chamados de formas de vibrar. Modo de vibrar nada mais é do que uma
razão de amplitudes.
vários métodos para solução do problema de autovalores e autovetores, como por
exemplo, o método de Choleski, com algorítmo pronto no Matlab ou Scilab, e os mais
tradicionais, por meio do cálculo do determinante da matriz.
Assim, temos:
det(  − )= ou  [ ]=  (h)
No caso, o problema de autovalor leva a uma equação algébrica em . Como o s
coeficientes M e K são, normalmente, re ais e simétricos teremo s n raízes reais e
consequentemente n frequências naturais.
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Se o sistema for estável implica em K positiva e com as raízes positivas. Já um sistema
não restringido aprese ntará modos de corpo rígido corre spondendo a fre quências
naturais nulas.
Importante reparar que os modos de vibrar representam uma base ortogonal no
espaço. Assim, a matriz modal apresenta as seguintes propriedades para  :

=  ()

=  ()
Sendo:
o i-ésimo modo associado com a i-ésima frequência natural  ;
o j-ésimo modo associado com a j-ésima frequência natural  ;
Assim:
= 1 (
)
= 
(
)
Nesses casos, os modos são normalizados em relação a matriz massa, o que implica
que a matriz modal é ortonormal.
A matriz modal contém as formas de vibrar
quando o sistema é excitado na
primeira frequência natural  , quando o sistema é excitado na segunda
frequência natural  e assim por diante, dessa forma, a matriz é dada por:
 = [
] ( )
Uma vez calculados os modos de vibrar e as frequências naturais  podemos
substituir na equação (b) para a solução da resposta de vibração do sistema, desde que,
se conheça as condições iniciais.
Um sistema MDOF com coordenadas f ísicas também pode ser convertido em
coordenadas modais:
=  ( )
Onde:
q vetor deslocamento em coordenadas modais;
Substituindo na eq. do movimento inicial e já pré-multiplicando por :

̈+  =  ( )
Assumindo que é normalizada em relação a M e ortonormal, fica:
 =  (
)
 =  ()