MEC. DOS FLUIDOS CAPT 4 FOX E ÇENGEL

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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
Prof. Dr. Alex Machado 
Descrição Lagrangiana 
Lagrangiana: semelhante a descrição feita por Newton que analisa cada 
partícula independente , identificando o vetor posição e velocidade de uma 
partícula num dado instante t. xa, xb e va e vb 
 
 
 Dificuldades dessa descrição: Fluido como contínuo, interações entre as 
partículas não são fáceis de descrever e o fluido se deforma continuamente. 
Visão geral das descrições: 
Euleriana: baseia-se num volume finito denominado de domínio de 
escoamento ou volume de controle, onde existe um movimento de entrada e 
saída de partículas, facilitando a analise do escoamento 
Vantagens: não é preciso acompanhar a posição e velocidade de uma massa 
de fluido e sim defini-se variáveis de campo, Ex: campo de pressão e campo 
escalar 
Descrição Euleriana 
Campos de pressão: 
Campos de aceleração: 
Campos de velocidade: 
Descrição Euleriana 
Combinando as variáveis de campo, tem-se o campo de escoamento. Para o campo de 
velocidade a equação pode ser expandida através de coordenadas cartesianas por: 
Todas as variáveis de campos são definidas no 
volume de controle e em qualquer instante de 
tempo “t”. 
Modo simplista de distinguir as duas descrições: 
Exemplo do observador as margens de um rio 
medindo suas propriedades. 
Campos de aceleração 
Considerando a 2° lei de Newton aplicada a descrição de uma única 
partícula: 
Por definição a aceleração é dada por: 
 
Entretanto a velocidade da partícula é igual ao valor local do campo de velocidade da 
partícula, uma vez que a partícula acompanha o movimento do fluido. 
Campos de aceleração 
Para obter a equação da aceleração da para um determinado campo de 
escoamento devemos usar a regra da cadeia, uma vez que a variável dependente 
V é função de outras quatros variáveis independentes: 
Onde: “∂” é o operador da derivada parcial e “d” é o operador da 
derivada total 
Campos de aceleração 
Até agora estamos definindo a equação da aceleração baseada na descrição da 
partícula ( Lagrange). Porém, sabemos que: 
dx/dt = u 
 
dy/dt = v 
 
dz/dt = w 
 
Onde u, v e w são os componentes do vetor velocidade definidos pela 
equação: 
Campos de aceleração 
Também sabemos que em qualquer instante de tempo considerado, o vetor 
posição da partícula de um fluido é igual ao vetor posição na descrição Euleriana, 
portanto : 
Finalmente, para transformar do sistema Lagrangiano para o sistema Euleriano, o 
campo de aceleração em qualquer tempo t deve ser igual a aceleração da partícula 
do fluido, que por sua vez, está acelerando juntamente com o fluido. 
Onde: é o operador vetorial gradiente e quando representado em 
coordenadas cartesianas fica: 
Campos de aceleração 
Em coordenadas cartesianas, as componentes do vetor aceleração são: 
Aceleração local ≠ 0 
para regime não 
permanente 
Aceleração advectiva ou 
convectiva 
Exemplo de Campos de aceleração por Euler e Lagrange 
Escoamento em regime permanente, segundo um observador 
fixo adotando o sistema de referência Euleriano 
 
 
Escoamento em regime não permanente segundo sistema de 
referência Lagrangiana. 
Derivada material 
O operador diferencial “d/dt” equação da aceleração recebe um nome especial de 
derivada material ( derivada total, de partícula, lagrangiana, euleriana e 
substancial). 
Essa derivada é obtida a partir do acompanhamento da particula de 
fluido à medida que ela se movimenta através do campo de 
escoamento 
Onde a aceleração dada por essa derivada é chamada de aceleração material: 
Pode ser aplicada a outras 
propriedades dos fluidos 
Exercício 
Um campo de velocidade é dado pelas seguintes componentes do plano xy 
: u= 1,1 + 2,8x + 0,65y e v= 0,98 – 2,1x – 2,8y . Calcule o campo de aceleração 
e encontre expressões para componentes da aceleração ax e ay e as 
acelerações no ponto (x,y)=(-2,3) 
Sistemas e volumes de controles 
Superfícies de controles 
Propriedades extensivas 
Leis Básicas para um Sistema 
Conservação de Massa 
» De acordo com a definição de sistema, quantidade fixa de matéria e 
constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes “t”, 
temos: 
Onde : 
 Quantidade de movimento linear 
» Segunda lei de Newton 
•Estabelece que a soma de todas as forças externas agindo 
sobre um sistema é igual à taxa de variação da quantidade de 
movimento linear do sistema 
Onde P: 
 Conservação de energia 
» Primeira lei da termodinâmica 
Que pode ser escrita na forma de taxa de variação como: 
Portanto a energia total do sistema é 
dado por: 
e 
Obs: 
Q é + quando Q é add ao sist. 
W é + quando W é realizado 
sobre o sist. e sua vizinhança. 
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação 
para volume de controle 
 Na definição das equações para as propriedades extensivas dos sistemas, 
chegou-se em equações que relacionam uma taxa da propriedade em relação 
ao tempo. 
• massa 
•Quantidade de movimento linear 
•Energia 
Equações para 
o sistema 
Converter em 
equações equivalentes 
para volume de 
controle 
Para isso, usaremos N como 
uma propriedade extensiva 
genérica. 
Dedução de uma descrição para um volume de controle a partir da 
descrição de um sistema 
•Selecionar uma porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum instante “t0”. 
•Volume de controle fixo referente às coordenadas xyz. 
•Após um Δt, o sistema terá se movimentado. 
• Aplica-se a essa porção de fluido as leis discutidas anteriormente, ex: m=cte 
•Examinar a geometria do sistema/volume de controle em t=to e em t= to +Δt. 
 
 
Dedução de uma descrição para um volume de controle a partir da 
descrição de um sistema 
 Derivação 
Identificação das três regiões distintas I, II, III, ou seja, em t0 e t+Δt 
Relacionar a taxa de variação de uma propriedade extensiva qualquer N do 
sistema associada com o volume de controle. 
Definição de derivada 
Ns) to+Δt = (NII + NIII)t0+ Δt = (Nvc – NI +NIII)t0+ Δt e Ns)t0 = 
(Nvc)to 
Da geometria da Fig. : 
Substituindo na equação de derivada, temos: 
Sabendo que o limite da soma é igual a soma dos limites a equação fica: 
1 3 2 
Avaliação dos 3 termos da equação: 
Termo 1: 
Termo 2: 
Para analisar o termo 2, teremos que desenvolver uma expressão avaliando a 
sub-região III para NIII)to +Δt 
dNIII)to +Δt = (n dm)= (n ρ dV) to +Δt 
Sabendo que o volume de um cilindro é seu comprimento pela área superficial, 
temos: dV=Δl dA cosα, onde α=0 e portanto cos α = 1. Com isso, dV= 
Termo 2: 
•Agora podemos integrar a equação sobre a região III e obter o 
termo 2 da equação geral : 
Termo 3: O mesmo procedimento é realizado para a sub-região I 
Substituindo os termos 1, 2 e 3 na equação, temos 
1 3 2 
Substituindo os termos 1, 2 e 3 na equação, temos 
Onde as integrais referentes as superfícies de controle podem ser 
combinadas, pois constituem a superfície de controle inteira: 
Teorema de 
Transporte de 
Reynolds (TTR) 
 Conservação de massa 
 O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as 
formulações de sistema e volume de controle é o princípio da 
conservação de massa. 
 A massa de um sistema permanece constante. 
 Em linguagem matemática: 
 Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds: 
 
 
 
 
 Para deduzir a formulação para volume de controle da 
conservação de massa, fazemos: 
    


SCVC
Sistema dAVd
tdt
dN 
1
m
m
m
N
mmassaN  
1
mN



 Conservação de massa 
 Significadodos termos da equação: 
 
 
 
 
    


SCVC
Sistema dAVd
tdt
dN 
 Conservação de massa 
•É a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva do sistema 
•É a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva dentro do 
VC 
• n é a propriedade intensiva correspondente a N , n=N/m por unidade 
de massa 
•É o elemento de massa contido no volume de controle 
•É a quantidade total da propriedade extensiva N contida no VC 
•É a taxa liquida de fluxo da propriedade extensiva através da SC 
•É o fluxo de massa através do elemento de area dA 
  
VC
d
d
  

VC
d
t

dt
dNSistema
AdV
  
SC
dAV


 Que substituídos na equação genérica do TTR fornece: 
 
 
 
 
 Da conservação da massa do sistema: 
0
dt
dNSistema
 


SCVC
Sistema dAVd
tdt
dm 
 Conservação de massa 
para a 
propriedade 
extensiva 
massa, m : 
 


SCVC
Sistema dAVd
tdt
dN 
0ˆ 



SCVC
dAnVd
t


Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle 
Ou 
Equação da continuidade 
Taxa de aumento 
de massa no V.C. 
Fluxos de entrada e 
saída na S.C. 
 Conservação de massa 
Cuidado ao Avaliar o 
produto escalar 
!!!! 
cosVdAAdV 
Positivo α<π/2 
Negativo α>π/2 
Zero α=π/2 
 Caso especiais 
Escoamento de fluido incompressível onde a massa especifica “ρ” permanece 
constante 
0



SCVC
dAVd
t


A integral de dV sobre todo o volume de controle é o próprio 
volume de controle. 
0



SC
dAV
t

E para um volume de controle não deformável, de forma e tamanho fixos, 
V= cte. 
0
SC
dAV

unidade
L3/t  
A
dAVQ
 = 
 
A
dAV
AA
Q
V
1
 Caso especiais 
Regime permanente 
0



SCVC
dAVd
t


0 
0
SC
dAV


Ou seja, lembrando que esse termo da equação é a combinação de 
dois termos (entrada e saída do volume de controle) a equação para 
escoamento em regime permanente fica: 
AVdAV
SC
 

Exemplos de exercícios... 
• Equação da quantidade de movimento para um volume de controle 
Para a equação básica referente a um sistema movendo de 
acordo com coordenadas inerciais e aplicando a segunda lei de 
Newton, temos: 
Onde P é a quantidade de movimento 
linear e é dado por : 
E a resultante da força , inclui todas as forças de campo ( velocidade, 
aceleração, momento, etc...) e de superfície ( Pressão). De modo matemático: 
bs FFF 
F
Dedução da equação de Bernoulli 
Equação da quantidade de movimento para um volume de 
controle 
Aplicando a equação que combina a descrição de sistema e volume de 
controle de maneira geral: 
 


SCVC
Sistema dAnVdn
tdt
dN
ˆˆ

Porém , a propriedade extensiva 
nesse caso é (momento Linear). 
P
 


SCVC
Sistema
dAVVdV
tdt
Pd 
sistema
Sistema
F
dt
Pd

Onde: 
Rearranjando os termos 
:  


SCVC
BS dAVVdV
t
FFF

Equação da quantidade de movimento para um volume de 
controle 
•O sinal é determinado de acordo com o escoamento para fora e 
para dentro do volume de controle 
•O sinal dos componentes de velocidade u, v, e w deve ser cuidadosamente 
avaliado com base no esquema de VC e na escolha das coordenadas. 
AdV 
Exemplos de aplicação da equação da 
quantidade de movimento a partir da descrição 
de volume de controle 
Dedução de uma das formas da equação de Bernoulli 
Considerações: 
•Escoamento permanente 
•Não há escoamento através das linhas de corrente 
•Escoamento incompressivel 
 
Expandindo e simplificando os termos: 
Desprezando dA dVs, temos: 
•Partindo da equação da continuidade 
Balanço de 
massa 
•Componente da equação da quantidade de movimento na 
direção da linha de corrente 
•Equação básica 
Consideração: 
 
•Não existe atrito, portanto FSb é 
devido somente as forças de pressão. 
•Determinação de FSs 
1 3 2 
São as forças de pressão 
atuando sobre as faces das 
extremidades da S.C. 
É a força FSb atuando na direção de s sobre a 
superfície do tubo de corrente 
Determinação da componente FBs 
onde: sen θ ds = dz 
O fluxo de quantidade de 
movimento é dado por: 
Pelo balanço de massa, verifica que não há 
fluxo de massa na superf. do tudo de 
corrente, portanto: 
Fluxo de movimento 
Equação da quantidade de movimento na direção da linha de corrente 
Substituir as parcelas definidas anteriormente: 
Dividindo por ρA e notando que os termos com produtos diferenciais são 
desprezíveis em relação aos demais 
Equação de 
Bernoulli 
Balanço de energia mecânica 
•Primeira lei da Termodinâmica 
Onde a energia total do sistema é dado por: 
Conservação de energia 
e 
    


SCVC
Sistema dAVd
tdt
dN 
Usando o TTR 
  


SCVC
Sistema dAVede
tdt
dE 
Balanço de energia mecânica 
 










SCVC
dAVgz
V
pvudgz
V
pvu
t
WQ
 )
2
()
2
(
22
Onde W é o somatório do trabalho de eixo (Ws) + trabalho da pressão (Wp) + 
trabalho viscoso (Wv) + trabalhos de outras fontes ( Woutros) 
 
 E “u + ρv ” é a energia interna do fluido mais o que é comumente chamado de 
trabalho de fluxo e pode ser substituído pela entalpia “h” 
Definição dos tipos de trabalho: 
Ws: é o trabalho transferido para fora da SC, como exemplos pode-se citar o 
trabalho produzido por uma turbina a vapor ou o requerido para acionar 
um compressor. 
Balanço de energia mecânica 
Wp: é o trabalho realizado pelas forças normais atuando no fluido, neste 
caso o trabalho será resultante de uma força atuando perpendicularmente 
num elemento de área “da” da superfície de controle 
 
 
Wv: é o trabalho proveniente da tensão de cisalhamento aplicada 
tangencialmente a superfície de controle quando o fluido está se 
deslocando . 
 
 
Woutros: Energia elétrica pode ser adicionada ao volume de controle, 
assim como energia eletromagnética. 
 
 
 Obs: de forma geral, em muitos processos apenas o 
trabalho de eixo é significativo durante o balanço de 
energia mecânica, desprezando os outros trabalhos, 
porém depende do caso em questão. 
Medidores de vazões 
 A taxa de fluxo mássico no escoamento de líquidos (dM/dt = 0) é 
praticamente determinada pela velocidade do fluído. 
 
 
 
 
 A velocidade do fluído depende do diferencial de pressão que se 
aplica para forçá-lo a escoar por um tubo. 
 
Equação da continuidade: 
2211 AVAV  
Equação de Bernoulli: 
Como a velocidade do fluido é afetada??? 
 
 pela viscosidade 
 
 pela densidade 
 
 pelo atrito com a parede 
Medidores de vazões 
o desempenho dos medidores 
de vazão é influenciado pelo 
número de Reynolds. 

vD
Re
Classificação dos medidores de vazões de acordo acordo 
com o método de medição: 
Métodos diretos: 
• Está é a maneira mais obvia de medir a vazão 
Procedimento
: 
Simplesmente medir a quantidade de fluido que se acumula num 
recipiente durante um intervalo de tempo fixo. 
Cuidado!!! Para medições de gases o fator de compressibilidade deve 
ser considerado, pois os gases possuem massa especifica com valores 
pequenos. 
Aplicações especializadas para uso ou registro remoto de vazão 
Medidores de deslocamento positivo 
 Diferença da pressão (perda de carga) 
 É o modelo mais usado. Vantagens: baixo custo e 
simplicidadePrincípio de operação: 
Os medidores de vazão baseados na perda de carga são descritos 
pela equação de Bernoulli (derivada do balanço de energia 
mecânica; BEM), aplicada ao escoamento de um fluido passando 
por um estreitamento em um tubo (tubo de Pitot, placa de orifício 
e Venturi). 
Tipos 
de Pitot 
Equacionamento para o tubo de Pitot: 
Partindo da equação de Bernoulli: Onde: 
1 
2 
•Condição de estagnação: V1= 0 V=V2 
Fórmula 
de Pitot 
A sonda estática é um dispositivo simples, acessível e 
altamente confiável, uma vez que não tem partes móveis. 
Obs: 
• Alinhamento ao escoamento deve ser adequado, 
• A velocidade de escoamento em gases deve ser suficientemente alta para que 
os erros não sejam significativos. 
Medidores de vazão de restrição para escoamento internos 
Placas de orifício 
Medidor 
de bocal 
Medidor 
de Venturi 
Equacionamento para os medidores de vazão por restrição 
•Considere um escoamento em regime permanente 
•Aplicações das equações de balanço de massa e 
Bernoulli 
Massa: 
Bernoulli: Seguindo uma linha de corrente , z1=z2 
Combinando as equações: Onde: É a razão entre 
os diâmetros 
Portanto a vazão pode ser determinada por: 
2
2
22 )4/( VdVAQ 
Medidores de vazões por restrição 
•Uma análise simples mostra que a vazão pode ser calculada por uma restrição 
do escoamento; 
 
•A queda de pressão pode ser facilmente quantificada através de um medidor 
de pressão (transdutor diferencial ou manômetro); 
 
•São amplamente usados para medir vazões na industria; 
 
 
 
•Equação baseada na velocidade máxima, portanto Vreal <Vmax 
 
•Sem perda de carga; 
 
•O fluido continua se contraindo após a obstrução 
 
 
 
 
 
 
 
Correção da equação 
Surge então um fator de correção chamado de 
coeficiente de descarga, cujo valor é menor do que 1 
Medidores de vazões por restrição 
Medidor de vazão por restrição: Onde A0 = A2 
Lembrando que o Cd depende da relação entre os diâmetros (β ) e 
do numero de Re = ρvD/μ. 
 
Vale lembrar também que existem correlações entre os diagramas 
e os ajustes de curvas para o Cd para diferentes tipos de medidores. 
 
Os mais usados são os três citados anteriormente, orifício, bocal e 
Venturi. 
Medidores por restrição