Corrente Elétrica e Circuitos de Corrente Contínua

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Corrente Elétrica e Circuitos 
de Corrente Contínua
Corrente e Movimento de Cargas Elétricas
A corrente elétrica é definida como o fluxo de carga
elétrica através da seção transversal de um condutor. A Fig. 1
mostra o seguimento de um fio condutor por onde passa uma
corrente. Se ΔQ é a carga que flui através da área de seção
transversal A durante o intervalo de tempo Δt, a corrente será
definida como
)1(
t
QI
∆
∆
=
Fig. 1: Segmento de um fio condutor conduzindo uma corrente.
A unidade de corrente elétrica no S.I. é o Ampère (A): 1A = 1C/s.
Por convenção, a orientação da corrente é considerada
como sendo a do fluxo da carga positiva (corrente convencional).
Assim, os elétrons se movem no sentido oposto à orientação
convencionada para a corrente (corrente real).
O movimento dos elétrons livres em um metal é similar ao
movimento das moléculas de um gás, como o ar. Seja n o número
de partículas com carga livre por unidade de volume em um fio
condutor com área de seção transversal A. Esse número é a
densidade numérica dos portadores de carga. Admita que cada
partícula possua uma carga q e se mova com uma velocidade de
migração υd. Em um intervalo de tempo Δt, todas as partículas no
volume AυdΔt, mostrado na Fig. 2 como uma região sombreada,
passam pelo elemento de área. O número de partículas nesse
volume é nAυdΔt, e a carga livre total é
ΔQ = qnAυdΔt
Assim, a corrente será
)2(dqnAt
QI υ=
∆
∆
=
A equação 2 pode ser utilizada na determinação da corrente
devido ao fluxo de qualquer tipo de partícula carregada pela
simples substituição da velocidade de migração υd da partícula em
particular pela velocidade média.
A densidade numérica dos portadores de carga em um
condutor pode ser medida pelo efeito Hall (capítulo 26).
Fig. 2
Exemplo 25-1
Um fio condutor típico utilizado em experimentos de laboratório é
de cobre e tem um raio de 0,815mm. Calcule a velocidade de
migração dos elétrons nesse fio quando nele passa uma corrente
de 1A, admita um elétrons livre por átomo.
Exemplo 25-2
Em um determinado acelerador de partículas, uma corrente de
0,5mA é devida ao movimento de um feixe de prótons de 5MeV,
cujo raio é de 1,5mm. (a) Determine a densidade numérica de
prótons no feixe. (b) Se o feixe atinge um alvo, quantos prótons
colidirão com esse alvo em um intervalo de 1s?
Resistência e Lei de Ohm
A corrente em um condutor é impelida por um campo
elétrico E em seu interior, que exerce uma força qE sobre as
cargas livres. Uma vez que a orientação da força em uma
carga positiva coincide com a do campo elétrico, o vetor
campo elétrico E apresenta a mesma orientação da corrente.
A fig. 3 mostra uma corrente I percorrendo um
seguimento de fio condutor com comprimento ΔL e área de
seção transversal A. Como o campo elétrico é orientado no
sentido da diminuição do potencial elétrico, o potencial no
ponto a é maior que no ponto b. Imaginando–se a corrente
como um fluxo de cargas positivas, essas cargas se movem
no sentido da diminuição do potencial.
Considerando que o campo elétrico E seja uniforme ao longo
do seguimento, a queda de potencial V entre os pontos a e b é
V = Va – Vb = EΔL (6)
Fig. 5: Um seguimento
de fio por onde passa
uma corrente I. A queda
de potencial Va – Vb está
relacionada ao campo por
V = Va – Vb = EΔL.
A razão entre a queda de potencial no sentido da corrente e a
própria corrente é chamada de resistência do seguimento,
onde o sentido da corrente se refere ao sentido do vetor
densidade de corrente. A unidade de resistência no SI, volt
por ampère, é chamada de ohm (Ω):
1Ω = 1V/A (8)
Para muitos materiais, a resistência de uma amostra do
material não depende da queda de potencial nem da corrente.
Tais materiais, que incluem a maioria dos metais, são
chamados demateriais ôhmicos.
)7(IVR =
Para muitos materiais ôhmicos, a resistência permanece
essencialmente constante para uma ampla gama de condições.
Nesses casos a queda de potencial em um seguimento do
material é proporcional à corrente no material. A Eq. (7) é
tipicamente escrita como:
V = IR (9)
Esta relação é usualmente chamada de Lei de Ohm, mesmo
quando a resistência R varia com a corrente I.
A figura 6 mostra a diferença de potencial V versus a
corrente I para dois condutores. Para um deles (Fig. 6a), a
relação é linear, mas, para o outro (Fig. 6b), a relação não é
linear.
Fig. 6: Gráfico V versus I. (a) A queda de potencial é proporcional à
corrente de acordo com a lei de ohm. A resistência R é igual à
inclinação da reta. (b) a queda de potencial não é proporcional à
corrente. A resistência R é igual à inclinação da curva conectando a
origem ao ponto (I, V), aumenta com o aumento de I.
Observa–se que a resistência de um fio condutor é
proporcional ao comprimento L do fio e inversamente
proporcional à área de sua seção transversal A:
R = ρL/A (10)
onde a constante de proporcionalidade ρ é chamada de
resistividade do material condutor. A unidade de
resistividade é o ohm–metro (Ω·m). Observe que a Eq. 9 e a
Eq. 10 para a condução e resistência elétrica, são
semelhantes às equações [ΔT = IR] e [R = Δǀxǀ/(kA)] para a
condução e resistência térmica. Para as Eqs. que descrevem a
corrente, a diferença de potencial V substitui a diferença de
temperaturaΔT, e 1/ρ substitui a condutividade térmica k.
Para um segmento de fio de comprimento L, seção
transversal com área A, corrente I e resistência R, a queda e
tensão V ao longo do comprimento do segmento está
relacionada à corrente I no segmento por
V = IR = IρL/A
A queda de tensão V e a magnitude do campo E estão
relacionadas por V = EL. Substituindo V por EL e I/A por J
obtemos
EL = ρJL
Dividindo ambos os lados por L e expressando E e J como
vetores, obtemos
E = ρJ (11)
A Eq. (11) diz que o vetor densidade de corrente
elétrica J em um ponto de um condutor conduzindo corrente
é igual ao recíproco da resistividade multiplicado pelo vetor
campo elétrico E no mesmo ponto.
A resistividade de qualquer metal depende da
temperatura. A Fig. 7 mostra esta dependência para o cobre.
Fig. 7: Gráfico da resistividade ρ
versus a temperatura para o cobre.
Como as temperaturas em graus
Celsius e absoluta diferem apenas
na escolha do zero, a resistividade
tem a mesma inclinação para o
gráfico feito em função de tc ou T.
Exemplo 25-3
Em um fio de Nichrome (ρ = 10–6Ω∙m) possui um raio de
0,65mm. Que comprimento desse fio é preciso para que se
obtenha uma resistência de 2,0Ω?
Exemplo 25-4
Calcule a resistência por unidade de comprimento para um
fio de cobre calibre 14.
Exemplo 25-5
Determine a intensidade do campo elétrico no fio de cobre
calibre 14 do exemplo anterior quando fio tem uma corrente
igual a 1,3A.
Exercícios
1) Um fio metálico é percorrido por uma corrente elétrica 
contínua e constante. Sabe–se que uma carga de 32C
atravessa uma seção transversal do fio em 4,0s.
Sendo e = 1,6∙10–19C a carga elétrica elementar, determine:
a) a intensidade da corrente elétrica;
b) o número de elétrons que atravessa uma seção do 
condutor no referido intervalo de tempo.
2) Um resistor tem resistência igual a 50Ω, sob a ddp de
60V. Calcule a intensidade de corrente que o atravessa.
3) Um fio de cobre tem comprimento de 120m e a área de 
sua seção transversal é 0,50mm2. Sabendo–se que a 
resistividade do cobre é 1,7∙10–8Ω∙m, determine a resistência 
do fio.
4) Um resistor ôhmico, quando submetido a uma ddp de
20V, é atravessado por uma corrente de intensidade 4,0A.
Qual a ddp nos terminais do resistor quando percorrido por
uma corrente elétrica de 1,2A?
Energia em Circuitos Elétricos
Quando há um campo elétrico em um condutor, os elétrons
livres ganham energia cinética devido ao trabalho realizado
sobre eles pelo campo. Entretanto, o estadoestacionário é
rapidamente atingido enquanto o ganho de energia térmica
no condutor por interações entre elétrons livres e os íons da
rede do material. Este mecanismo para o aumento da energia
térmica de um condutor é chamado de aquecimento/efeito
Joule.
Considere o segmento de fio de comprimento L e
seção transversal com área A mostrado na Fig. 10. Considere
a carga livre Q inicialmente no segmento e que sofra um
pequeno deslocamento para a direita após um intervalo Δt
(fig. 10b).
Fig. 10: durante o tempo Δt, uma
quantidade de carga ΔQ passa pela
ponto a, onde o potencial é Va.
Durante o mesmo intervalo de
tempo, uma quantidade de carga
deixa o segmento, passando pelo
ponto b, onde a diferença de
potencial é Vb. O efeito resultante
durante o intervalo de tempo Δt é
que a carga Q inicialmente no
segmento perde uma quantidade de
energia potencial igual a ΔQVa e
ganha uma quantidade igual a
ΔQVb. Esta variação resulta em
uma diminuição da energia
potencial, pois Va > Vb.
Esse deslocamento é equivalente a uma quantidade de carga
ΔQ (Fig. 10c) sendo movida da esquerda, onde ela tinha uma
energia potencial ΔQVa, para a direita, onde ela tem uma
energia potencial ΔQVb. A variação resultante da energia
potencial de Q é,
ΔU =ΔQ(Vb – Va)
Como Vb < Va, isto representa uma perda líquida na energia
potencial. A perda em energia potencial é
–ΔU =ΔQV
onde V = Va – Vb é a queda de potencial no segmento na
direção e sentido da corrente. A taxa de perda de energia
potencial é,
–ΔU/Δt = (ΔQ/Δt)V
Tomando limite quandoΔt tende a zero, obtemos
–dU/dt = dQ/dt V = IV
onde I = dQ/dt é a corrente. A taxa de perda de energia
potencial é a potência P entregue ao seguimento condutor e é
igual à taxa de dissipação de energia potencial elétrica no
seguimento:
P = IV (12)
Se V está em volts e I está em ampères, a potência estará em
watts. A eq. (12) se aplica a qualquer dispositivo em um
circuito. A taxa na qual a energia potencial é entregue ao
dispositivo é o produto da queda de potencial no dispositivo
no sentido da corrente e pela corrente através do dispositivo.
Em um condutor (um resistor é um condutor), a energia
potencial é dissipada como energia térmica. Usando V = IR,
ou I = V/R, podemos escrever a Eq. (12) como
)13(
2
2
R
VRIIVP ===
Que é a potência entregue a um resistor.
Exemplo 25-5
Um resistor de 12,0Ω tem uma corrente igual a 3,00A.
Determine a potência entregue a este resistor.
FEM e Baterias
Para manter uma corrente estacionária num condutor,
precisamos de um fornecimento constante de energia
elétrica. Tal dispositivo é chamado de fonte de fem.
Exemplos de fonte de fem são uma bateria, um gerador, e
etc. O trabalho por unidade de carga é chamado fem ε da
fonte e a unidade é o volt. Uma bateria ideal é uma fonte de
fem que mantém uma diferença de potencial constante entre
seus dois terminais.
A diferença de potencial entre os terminais de uma
bateria ideal é igual à magnitude da fem.
A Figura 11 mostra um circuito simples, formado por uma
resistência R conectada a uma bateria ideal.
Fig. 11: Um circuito simples construído por uma bateria ideal de fem ε,
uma resistência R e fios conectados que têm resistência desprezível.
Observe que no interior da fonte de fem, a carga flui
da região onde sua energia potencial é baixa para uma região
onde seu potencial é alto, ganhando energia potencial,
conforme esquema da Figura 12. Quando uma carga ΔQ flui
através de uma fonte ideal de fem ε sua energia potencial
aumenta pela quantidade ΔQε. A carga, então, flui através do
resistor, onde sua energia potencial é dissipada como energia
térmica. A taxa na qual a energia é fornecida pela fonte de
fem é a potência da fonte:
( ) )14(εε I
t
QP =
∆
∆
=
No circuito simples da (Fig. 11), a potência da fonte ideal de
fem é igual à potência entregue ao resistor.
Figura 12: Analogia mecânica de um circuito consistindo em uma resistência e
uma fonte de fem. (a) As bolas de gude partem de uma altura h, acima da
parte inferior, e são aceleradas entre as colisões com os pregos pelo efeito do
campo gravitacional. Os pregos análogos às redes de íons no resistor.
(b) Quando as bolas de gude atingem a parte inferior, uma pessoa as pega e
as eleva até a altura h, iniciando o processo novamente. Ao serem elevadas
elas realizam um trabalho mgh sobre cada esfera, que é análoga a fonte de
fem.
No caso de uma bateria real, a ddp entre seus
terminais, denominada tensão da bateria, não é exatamente
igual à fem da bateria. Consideremos um esquema de um
circuito conforme mostrado na figura 13.
Figura 13: Diagrama esquemático de um
circuito. Uma bateria real pode ser
representada por uma fonte de fem ε e
uma pequena resistência interna r.
Se a corrente no circuito é I, a potência dissipada
internamente pela resistência interna r e a potência lançada
para o circuito externo, serão dadas respectivamente por
)15(2rIP = )16(IVP =
Logo, a potência total gerada por um gerador
corresponde à soma da potência lançada no circuito externo
com a potência dissipada pela resistência interna da bateria.
)17(ldg PPP +=
Que expressa em termos da corrente, fica:
)18(2 rIVIVrII −=+= εε
A equação (18) é denominada equação do gerador.
Para o circuito simples da Figura 13 a ddp nos terminais
do gerador é a mesma nos terminais do resistor R. Assim
temos,
)19(
rR
I
RIrI
VV
+
=
=−
′=
ε
ε
Observe que I é a corrente que atravessa o gerador e o
resistor, e R é a resistência externa do circuito. Essa resistência
poderá ser a resistência equivalente de uma associação
qualquer de resistores.
Exemplo 25-7
Um resistor de 11,0Ω é conectado a uma bateria de fem 6,00V
e resistência interna 1,00Ω. Determine (a) a corrente, (b) a
tensão dos terminais da bateria, (c) a potência fornecida pela
fonte de fem, (d) a potência entregue ao resistor externo e (e) a
potência dissipada pela resistência interna da bateria. (f) Se a
bateria é classificada como 150A·h, quanta energia ela
armazena?
Exemplo 25-8
Para uma bateria com fem igual a ε e resistência igual a r, que
valor de resistência externa R deve ser colocado nos terminais
para obter a potência máxima fornecida ao resistor?
Combinação de Resistores
Resistores em série
Quando dois ou mais resistores estiverem
conectados como R1 e R2 na Figura 14, a corrente em
cada resistor é a mesma, dizemos que eles estão
conectado em série.
Figura 14: (a) Associação de resistores em série. (b) Resistência 
equivalente
A queda de potencial nos dois resistores é a soma da
queda de potencial nos resistores individuais:
A resistência equivalente Req que corresponde a queda de
potencial total V quando conduz a mesma corrente I é
determinada igualando V a IReq (Figura 25–16b). Então,
para um número qualquer de resistores, Req é dada por
( ) ( )202121 RRIIRIRV +=+=
( )21321 L+++= RRRReq
Resistores em Paralelo
Dois resistores conectados como na Figura 15a,
têm a mesma diferença de potencial, estão conectado em
paralelo.
Devido a maneira com o circuito está ligado, um terminal
de cada resistor está no potencial do ponto a e outro
terminal de cada resistor está no potencial b.
Seja I a corrente no fio que chega ao ponto a. No
ponto a, o circuito se divide em dois ramos e
consequentemente a corrente I se divide em duas partes –
I1 no ramo superior e I2 no ramo inferior, que passam
respectivamente pelos resistores R1 e R2.
Figura 15
(a) Dois Resistores associados 
em paralelo.
(b) O resistor equivalente à 
associação.
A soma das correntes em cada ramo é igual à corrente
total I no fio
No ponto b, as correntes se combinam.
A queda de potencial V em cada resistor está
relacionada às correntes nos ramos por
A resistência equivalente para a associaçãoem paralelo é
Req para a qual a corrente total I requer a mesma queda de
potencial V e resolvendo para I, I1 e I2 temos
( )2221 III +=
( )232211 RIVeRIV ==
Dividindo ambos os membros por V, obtemos
que poder ser resolvida de uma forma geral para
combinações de dois ou mais resistores conectados em
paralelo
( )2411
2121






+=+=
RR
V
R
V
R
V
R
V
eq
( )25111
21 RRReq
+=
)26(1111
321
L+++=
RRRReq
Exemplo 25-9
Uma bateria ideal aplica uma diferença de potencial de 12V na
combinação em paralelo dos resistores de 4,0Ω e 6,0Ω
mostrados na figura. Determine (a) a resistência equivalente,
(b) a corrente total, (c) a corrente em cada resistor, (d) a
potência entregue a cada resistor e (e) a potência fornecida pela
bateria.
Exemplo 25-10
Dois resistores, um de 4,0Ω e um de 6,0Ω estão conectados em
série a uma bateria de fem igual a 12V e resistência interna
desprezível. Determine (a) a resistência equivalente dos dois
resistores, (b) a corrente no circuito, (c) a queda de potencial
em cada resistor, (d) a potência dissipada em cada resistor e (e)
a potência total dissipada.
Exemplo 25-12
Determine a resistência equivalente da combinação de
resistores mostrada na Figura 25-24.