lista complementar 5

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia - UnB - Campus Gama
Ca´lculo I - 01/2010
Lista 03 - Integrais
Questa˜o 01:
Um modelo real e simples acerca dos fenoˆmenos da transfereˆncia de calor
entre um corpo e o meio ambiente no qual ele esta´ inserido e´ conhecido como
Lei do Resfriamento de Newton. Esta teoria leva em conta alguns fatores
importantes:
1) A temperatura do corpo θ = θ(t) e´ uma fun¸ca˜o do tempo, ja´ a do meio
ambiente e´ considerada constante.
2) A taxa de varia¸ca˜o da temperatura do corpo com rela¸ca˜o ao tempo e´
proporcional a` diferen¸ca entre a temperatura do corpo e a temperatura do
meio ambiente. Escrevendo este modelo atrave´s de uma equa¸ca˜o diferencial
teremos
dθ
dt
= −k(θ − θ0)
em que t e´ o tempo em minutos decorrido desde o in´ıcio da exposi¸ca˜o do
corpo, k e´ uma constante de proporcionalidade que depende do material que
constitui o corpo e o sinal negativo indica que a temperatura do corpo esta´
diminuindo ao longo do tempo.
Com base na Lei do Resfriamento de Newton, fa¸ca o que se pede em cada
item:
a) Separe as inco´gnitas que envolvem fatores diferenciais e encontre, por
integra¸ca˜o, uma fun¸ca˜o que descreve a temperatura do corpo ao longo do
tempo.
b) Considere um corpo que esteja inicialmente a 100◦C seja colocado em
um meio cuja temperatura e´ de 20◦C. Sabendo que meia hora depois a
temperatura do corpo caiu pela metede, determine a equa¸ca˜o de decaimento
exponencial que expressa a temperatura do corpo ao longo do tempo.
1
c) Para o exemplo considerado no item acima, determine a temperatura
do corpo muito tempo depois do in´ıcio da experieˆncia. Enta˜o esbo¸ce o gra´fico
de θ(t).
Questa˜o 02:
Para um ga´s ideal, considera-se que a velocidade me´dia de suas mole´culas
e´ dada por:
v =
4√
pi
(
M
2RT
) 3
2 ∫ ∞
0
v3e−Mv
2/2RTdv
em que M e´ a massa molar do ga´s, R a constante universal dos gases, T a
temperatura absoluta do ga´s e v a velocidade molecular.
Mostre que a velocidade me´dia das mole´culas de um ga´s ideal pode ser
expressa como
v =
√
8RT
piM
e determine a velocidade me´dia, em unidades do SI, para mole´culas de ni-
trogeˆnio a 27◦C. Considere R = 8, 3 J/mol ·K e a massa molar do nitrognˆeio
M(N) = 14 g/mol.
Questa˜o 03:
a) Prove que, se f : R→ R for uma fun¸ca˜o cont´ınua em [0, a], enta˜o∫ a
0
f(x)dx =
∫ a
0
f(a− x)dx
Sugesta˜o: Utilize uma substitui¸ca˜o na integral do lado direito da igualdade.
b) Use o resultado do item anterior (fazendo a = pi
2
) para mostrar que
∫ pi
2
0
senn(x)
senn(x) + cosn(x)
dx =
pi
4
Questa˜o 04:
Calcule:
lim
x→3
(
x
x− 3
∫ x
3
sen t
t
dt
)
2