Questão aberta Concreto I

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Questão aberta: 
Calcule a área de aço das lajes abaixo, utilizando as tabelas da Apostila do Professor Libânio M. Pinheiro, 
sabe-se que d’= 3cm, concreto C-25 e aço CA-50. 
Sabe-se que a regularização do piso foi feito de concreto simples com espessura de 65mm; e o reboco do 
teto foi feito com argamassa de cal cimento e areia com espessura de 50mm; a espessura da laje consta no 
projeto acima; o tipo de piso consta no projeto acima e a espessura é de 30mm. 
 
Seguem abaixo resultados dos cálculos dos Momentos Fletores, Compatibilização e Área de Aço, 
representados na Laje solicitada. Os cálculos estão devidamente demonstrados nas folhas posteriores. 
 
 
 
Memoria de cálculo 
Cálculo das cargas: 
Dados: 
d'=3 cm 
Laje apoiada em vigas; 
Regularização do piso em concreto simples 65 mm = 6,5 cm; 
Reboco do teto em argamassa de cal, cimento e areia 50 mm = 5 cm 
Espessura 30 mm = 3 cm. 
Usei como referencia as tabelas 1 e 2 da NBR 6120-1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de 
edificações. 
LAJE 01: 
Carga permanente (P): 
Piso/Cerâmica: 0,03 x 18 KN.m³ = 0,54 KN/m² 
Regularização/Concreto simples: 0,065 x 24 KN.m³ = 1,56 KN/m² 
Laje/Concreto armado: 0,13 x 25 KN.m³ = 3,25 KN/m² 
R. Teto/Cal, cimento e areia: 0,05 x 19 KN.m³ = 0,95 KN/m² 
P = 0,54+1,56+3,25+0,95 P = 6,30 KN/m² 
Carga Váriavel (Q): 
Q = 2,00 KN/m² 
Carga total (g): 
g = 6,30+2,00 = 8,3 KN/m² 
LAJE 02: 
Carga permanente (P): 
Piso/Cerâmica: 0,03 x 18 KN.m³ = 0,54 KN/m² 
Regularização/Concreto simples: 0,065 x 24 KN.m³ = 1,56 KN/m² 
Laje/Concreto armado: 0,12 x 25 KN.m³ = 3,00 KN/m² 
R. Teto/Cal, cimento e areia: 0,05 x 19 KN.m³ = 0,95 KN/m² 
P = 0,54+1,56+3,00+0,95 P = 6,05 KN/m² 
Carga Váriavel (Q): 
Q = 1,50 KN/m² 
Carga total (g): 
g = 6,05+1,50 = 7,55 KN/m² 
LAJE 03: 
Carga permanente (P): 
Piso/Ipê: 0,03 x 10 KN.m³ = 0,30 KN/m² 
Regularização/Concreto simples: 0,065 x 24 KN.m³ = 1,56 KN/m² 
Laje/Concreto armado: 0,13 x 25 KN.m³ = 3,25 KN/m² 
R. Teto/Cal, cimento e areia: 0,05 x 19 KN.m³ = 0,95 KN/m² 
P = 0,30+1,56+3,25+0,95 P = 6,06 KN/m² 
Carga Váriavel (Q): 
Q = 1,50 KN/m² 
Carga total (g): 
g = 6,06+1,50 = 7,56 KN/m² 
 
 
LAJE 04: 
Carga permanente (P): 
Piso/Granito: 0,03 x 28 KN.m³ = 0,84 KN/m² 
Regularização/Concreto simples: 0,065 x 24 KN.m³ = 1,56 KN/m² 
Laje/Concreto armado: 0,12 x 25 KN.m³ = 3,00 KN/m² 
R. Teto/Cal, cimento e areia: 0,05 x 19 KN.m³ = 0,95 KN/m² 
P = 0,84+1,56+3,00+0,95 P = 6,35 KN/m² 
Carga Váriavel (Q): 
Q = 1,50 KN/m² 
Carga total (g): 
g = 6,35+1,50 = 7,85 KN/m² 
Tipos de lajes: 
Laje 1: tipo 3. 
Laje 2: tipo 3, foi preciso fazer o cálculo de verificação, pois a laje possui em um dos lados 2,62 m 
engastado e 2 m apoiado: 
Comprimento total = 4,62 m 
Comprimento engastado: 2,62 m 
 
4,62/3 = 1,54 m; 
1,54 < 2,62 ; portanto, devemos considerar como engastada. 
Laje 3: tipo 2, foi preciso fazer o cálculo de verificação, pois a laje possui em um dos lados 1,12 m 
engastado e 3 m apoiado: 
Comprimento total = 4,12 m 
Comprimento engastado: 1,12 m 
 
4,12/3 = 1,37 m; 
1,37 > 1,12 ; portanto, devemos considerar como apoiada. 
Laje 4: tipo 3. 
Cálculo dos Momentos Fletores: 
Laje 1: Tipo 3. 
𝑙𝑥 = 4,12𝑚 𝜆 =
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
4,32
4,12
= 1,05 
𝑙𝑦 = 4,32 𝑚 
De acordo com a Tabela de Marcus, temos: 
𝒎𝒙 = 𝟑𝟑, 𝟖𝟏 𝒏𝒙 = 𝟏𝟒, 𝟓𝟖 𝒎𝒚 = 𝟑𝟕, 𝟐𝟕 𝒏𝒚 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟖 
𝑀𝑥 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
8,3×4,122
33,81
= 4,17 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
=
−8,3×4,122
14,58
= −9,66 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
8,3×4,122
37,27
= 3,78 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑦
=
−8,3×4,122
16,08
= −8,76 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 2: Tipo 3. 
𝑙𝑥 = 4,32𝑚 𝜆 =
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
4,62
4,32
= 1,07 
𝑙𝑦 = 4,62 𝑚 
De acordo com a Tabela de Marcus, temos: 
𝒎𝒙 = 𝟑𝟐, 𝟔𝟓 𝒏𝒙 = 𝟏𝟒, 𝟏𝟎 𝒎𝒚 = 𝟑𝟕, 𝟑𝟖 𝒏𝒚 = 𝟏𝟔, 𝟏𝟓 
𝑀𝑥 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
7,55×4,322
32,65
= 4,31 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
=
−7,55×4,322
14,10
= −10,00 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
7,55×4,322
37,38
= 7,77 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑦
=
−7,55×4,322
16,15
= −8,72 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 3: Tipo 2. 
𝑙𝑥 = 4,12𝑚 𝜆 =
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
4,42
4,12
= 1,07 
𝑙𝑦 = 4,42 𝑚 
De acordo com a Tabela de Marcus, temos: 
𝒎𝒙 = 𝟐𝟔, 𝟔𝟗 𝒏𝒙 = 𝟏𝟎, 𝟑𝟓 𝒎𝒚 = 𝟑𝟖, 𝟕𝟒 
𝑀𝑥 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
7,56×4,122
26,69
= 4,81 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
=
−7,56×4,122
10,35
= −12,40 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
7,56×4,122
38,74
= 3,31 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 = 0 
Laje 4: Tipo 3. 
𝑙𝑥 = 4,42𝑚 𝜆 =
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
5,62
4,42
= 1,27 
𝑙𝑦 = 5,62 𝑚 
De acordo com a Tabela de Marcus, temos: 
𝒎𝒙 = 𝟐𝟒, 𝟗𝟐 𝒏𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟕 𝒎𝒚 = 𝟒𝟎, 𝟏𝟗 𝒏𝒚 = 𝟏𝟕, 𝟖𝟔 
𝑀𝑥 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑥
=
7,85×4,422
24,92
= 6,15 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑥 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑥
=
−7,85×4,422
11,07
= −13,85 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑀𝑦 =
𝑔×𝑙𝑥
2
𝑚𝑦
=
7,85×4,422
40,19
= 3,81 𝐾𝑁. 𝑚 
𝑋𝑦 =
−𝑔×𝑙𝑥
2
𝑛𝑦
=
−7,85×4,422
17,86
= −8,59 𝐾𝑁. 𝑚 
Compatibilização dos Momentos Fletores: 
Laje 1 e Laje 2: 
Calculando a média entre os momentos: 
9,66+8,72
2
=9,19 KN.m 
Redistribuindo: 
L1: 4,17 +
(9,19−8,72)
2
= 4,405 𝐾𝑁. 𝑚 
L2: 7,77 +
(9,19−8,72)
2
= 8,005 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 3 e Laje 4: 
Calculando a média entre os momentos: 
12,40+8,59
2
= 10,495 KN.m 
Redistribuindo: 
L3: 4,81 +
(10,495−5,59)
2
= 5,7625 𝐾𝑁. 𝑚 
L4: 3,81 +
(10,495−5,59)
2
= 4,7625 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 3 e Laje 1: 
Calculando a média entre os momentos: 
0+8,76
2
= 4,38 KN.m 
Redistribuindo: 
L3: 3,31 +
(4,38−0)
2
= 5,50 𝐾𝑁. 𝑚 
L1: 3,78 +
(4,38−0)
2
= 5,97 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 4 e Laje 1: 
Calculando a média entre os momentos: 
8,76+13,85
2
= 11,305 KN.m 
Redistribuindo: 
L4: 6,15 +
(11,305−8,76)
2
= 7,4225 𝐾𝑁. 𝑚 
L1: 3,78 +
(11,305−8,76)
2
= 5,0525 𝐾𝑁. 𝑚 
Laje 4 e Laje 3: 
Calculando a média entre os momentos: 
10,00+13,85
2
= 11,925 KN.m 
Redistribuindo: 
L4: 6,15 +
(11,925−10,00)
2
= 7,1125 𝐾𝑁. 𝑚 
L3: 4,31 +
(11,925−10,00)
2
= 5,2725 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
Cálculo da área de aço: 
Dados: d’= 3 cm Concreto C-25 Aço CA-50 bw= 100 cm 
Laje 1: 
Armadura Positiva – Vertical 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ = 13 − 3 = 10 𝑐𝑚 
𝑀𝑘 = 5,97 𝐾𝑁. 𝑚 = 597 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 597 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 835,80 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
835,80
= 11,96 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
835,80
10
= 2,00 𝑐𝑚²/𝑚 
Armadura Positiva – Horizontal 
 𝑀𝑘 = 4,405 𝐾𝑁. 𝑚 = 440,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 440,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 616,70 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
616,70
= 16,21 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,023 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,023 ×
616,70
10
= 1,42 𝑐𝑚²/𝑚 
Entres a Laje 1 e Laje 2: 
Armadura Negativa 
𝑀𝑘 = 9,19 𝐾𝑁. 𝑚 = 919,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 919,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 1.286,60 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
1.286,60
= 7,77 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
1.286,60
10
= 3,08 𝑐𝑚²/𝑚 
Laje 2: 
Armadura Positiva – Vertical 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ = 12 − 3 = 9 𝑐𝑚 
𝑀𝑘 = 5,2725 𝐾𝑁. 𝑚 = 527,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 527,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 738,15𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×92
738,15
= 10,97 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
738,15
9
= 1,97 𝑐𝑚²/𝑚 
Armadura Positiva – Horizontal 
 𝑀𝑘 = 8,00 𝐾𝑁. 𝑚 = 800,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 800,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 1.120,00 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×92
1.120,00
= 7,23 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
1.120,00
9
= 2,98 𝑐𝑚²/𝑚 
Laje 3: 
Armadura Positiva – Vertical 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ = 13 − 3 = 10 𝑐𝑚 
𝑀𝑘 = 5,50 𝐾𝑁. 𝑚 = 550,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 550,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 770,00 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
770,00
= 12,99 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
770,00
10
= 1,848 𝑐𝑚²/𝑚 
Armadura Positiva – Horizontal 
 𝑀𝑘 = 5,7625 𝐾𝑁. 𝑚 = 576,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 576,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 806,75 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
806,75
= 12,39 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
806,75
10
= 1,935 𝑐𝑚²/𝑚 
Entres a Laje 3 e Laje 1: 
Armadura Negativa 
𝑀𝑘 = 4,38 𝐾𝑁. 𝑚 = 438,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 438,00 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 613,20 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
613,20
= 16,30 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
613,20
10
= 1,47 𝑐𝑚²/𝑚 
Laje 4: 
Armadura Positiva – Vertical 
𝑑 = ℎ − 𝑑′ = 12 − 3 = 9 𝑐𝑚 
𝑀𝑘 = 7,4225 𝐾𝑁. 𝑚 = 742,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 742,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 1.039,15 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×92
1.039,15
= 7,79 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
1.039,15
9
= 2,77 𝑐𝑚²/𝑚 
Armadura Positiva – Horizontal 
 𝑀𝑘 = 4,7625 𝐾𝑁. 𝑚 = 476,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 746,25 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 666,75 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×92
666,75
= 12,15 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
666,75
9
= 1,78 𝑐𝑚²/𝑚 
Entres a Laje 4 e Laje 1: 
Armadura Negativa 
𝑀𝑘 = 11,305 𝐾𝑁. 𝑚 = 1.130,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 1.130,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 1.528,70 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×102
1.528,70
= 6,32 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,024 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
1.528,70
10
= 3,80 𝑐𝑚²/𝑚 
Entres a Laje 4 e Laje 2: 
Armadura Negativa 
𝑀𝑘 = 11,925 𝐾𝑁. 𝑚 = 1.192,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 1,40 × 1.192,50 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 = 1.666,50 𝐾𝑁. 𝑚 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤×𝑑
2
𝑀𝑑
=
100×92
1.666,50
= 4,86 𝑐𝑚²/𝑚 → 𝐾𝑠 = 0,025 
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠 ×
𝑀𝑑
𝑑
= 0,024 ×
1.666,50
9
= 4,63 𝑐𝑚²/𝑚 
Referências: 
Tabela de Marcus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila do Libânio: