Estruturas de Concreto - Fusco

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donde 
A,, = A, - A, = 9,45 - 1,60 = 735 cm4 
Dcsse modo, pade ser calculada a parcentagem de amadurn 
loop, = 
As, = 100 x 7.85 = ,,4m 
bd 12 X 46 
resultando 
2.' Tenfarivn. Camo no cntorno de 100 p, = 1.26 o valor procurado de k, t pouco 
sensivel a variaqbes e a! = 1 ,MI. wba-se kc = 2.4 resultando 
t I 
tern-SG para Mb o valor miximo achkdvel tic 
M,- M d . r + A M d = I Q M + 2920= 13500kN.cm 
resultando o vulor 
b. Ex~mplo 5, 
Determimr o momeom u&mo gue pode ser aplicado a sgAo do Exernplo 3 
(caw c dos excmplos de dimemionamtnto), usando-se Aqo CA-SOB, 
Dados: 
AGO CA-SOB 
A: = 2 12.5 - 2,5Q cm' 
Tenraliva. Adisando a tabtla referenre ao AGO CA-SOB, verifica-se que nas 
proximidadcs de fil, t?m-se 
IH -0.1w 1 MPa = 1 MNtrnl - 10 kpflcrnr 
1kN -I(IDLgP-O.ld I kWm = 1M Wrn 0-1 t€/m 
1 k W . m - J M l ~ . m = O , I t b r n IkNlm'-100Wrnt-0,Itllm' 
t k N . c m = J 0 O ~ . c m - O . l d . c m I k N 1 3 = I W ~ m ' = O , 1 i f l m ' 
e. para 6 ' = d'ld = 4146 = 0.09 3 0.10. 
0 023 
lg = 0.90 logo k; = -L- = 0.026 
0 - 9 
Desse rnodo, sendo 
obtim-sc 
0 valor 100 p , = 1.3 1% correspnde a 
para o qua1 a = 0.90, concluindu-se que h i a necessidadc de uma segunda tentatit 
pois nesta primein tentativa foi adotado o valor a! 2 1.0. 
dunde 
A,, = A, - A: = 9.45 - 2.50 = 6,90 cm4 
l o o p , = 100 A,, = lm x 6.90 = j .2j% 
bd 12 X 46 
corwspond~ate a 
k, = 2,6 
u = 0,w 
f l = 0.91 (6' = 0,lO) 
Ntssas condkks. dm-se 
logo 
O b s ~ w 6 o Stria espontheo que a condi~go A, = A; tivesse sido adotada logo na 
I Tentativa- Essa hip6tese foi intenciondmente evitada apenaspara st: 
mostrar que o problem e sempre resolvido no rniximo corn duas tenta- 
- h a s - 
1.2 -9 SEC AO SUBMETI DA A Dad;l a w$io da Fig. 2.2 .P 1. calcular. os mementos l imi te~ que podem ser aplicados. 
MOMENTOS DESENTIDOS 
. . 
ese sucessivamen te cada uma das armduras como sendo a de tragh. 
CONTRARIOS. EXEMPLO 
resultando 
A,, = A, - Ap = 18,W - 9.45 = 9.45 cml 
Ualcutlindo o valor de 
pcia l'abcla 6 (CA-SOA). para fCk = 13,5 MPa c 8' = 0, ]0 . obtim-sc 
ficando confirmda a validade da hipbtese de que arnbas as arrnaduras estejarn em 
escoamento, 
Desse modo. resulta 
bd2 M,, = M,. p + AM, = - + -4: (d - d') 
k, k; 
Neste caso. tzm-se 
d = 45 cm* 
d - d 1 = 4 5 - 4 , 5 = 4 0 J c m 
6' = 4-5/45 = 0.10 
Sendo A; > A,, i evidente que deveri ser /3 < 1.0. pois este coeficiente mede a 
reis lo aufd. 
Neste exemplo particular, sendo A: = 2A.. necessariamente dcvera ser @ < 0.5. 
Consultando a Tabela 6, verifka-se que, para 8' = 0.10, o valor de P cai rapida- 
mertte, para valores de 6 rro entornu de 4 = 0.16. 
I .* Ienfutiva. Admire-se o valor = 0,34 correspondenre a 
resul tando ent20 
& * A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6.21 
A soluf50 seri verdadeira se for satisfeita a condir;iio 
Cum os valares admitidos, 1Cm-se 
estando portanto satisfeita a c a n d i ~ b de validade do valor f l escolhido. 
Jksse m d o . de 
bd' M, = M,/. . + AM, = - + A: (d - d') 
kc k; 
obttrn-se. corn k', = 0.2310,34, 
logo 
C' 
M, = 5 841 + 11 315 = r 1 156 kN.cm 
2.3 FLEXAO SIMPLES Fl~xciusimples iaflexiio n50 acompanhada de f o p normal. 
E FLEXAOCOMPOSTA Flemio composra comgrandeexcentr i c idadeea f l ex~aco~anhadadt f~pw- 
COM GRANDE mal, havendo na pega urn banzo comprirnidoe outro tracionado. 
EXCENTRICI DADE 
( D O M ~ N I O S 2-3-4-4a) 
2 -3. f CON D I C ~ E S DE Redu~go a urn caso Msico linico. I M e N em valores absolutes.) 
E Q U I L ~ B R I O 
FLEXO-TRACA o 
F, = R, - R, - R; 
F, e, = R,(d - t 'x) + R;(d - d') 
FLESAO SIMPLES 
F,= R,- K , - R ; = O 
N, e, = M, = R,(d - fx) + R;(d - dr) ' 
FLEXO- COMPHES s A u 
F , = R, + R; - R, 
F, e, = R,(d - f'x) + R;(d - d') 
- Comparand+se as equgiks de quilibrio da flexo-trqEo, da flexgo simptes e da 
flexo-compress80, verifica-se que elas podem tomar-se identicas desde que na flexo- 
seja feita F < 0. ri 
Desse modo, os tres problemas ficam reduzidos a urn finico, tomandwe o caso 
da flexecompressio como caso bkico. 
As e q u a ~ h s de equilibria. tanto na flexo-compresdo quanto na flex30 simpla e 
na flexo-tra~so. podem pois ser escritas sob a farma 
corn F, > O de compresslo e F, < 0 de tra@o, sendo 
No caso de fledo simples, tern-se N, = 0, sendo 
Observe-= que a equa~5o de cquilibrio de momentos seri sempre referida ao 
rpnlrn dc gravid~de da "armuduru de 1raci0" (armadura mais tmcionada ou menus 
comprirnjda). 
2.3.2 PROPRIE DADES Cnnsidm-se a seguir as propriedades bisicaj das seees rcmngulares. tendo em 
BASIC AS D A S S E ~ ~ E S vista a form do diagrma dt tens6es de compscssio e a posi~ao da linha neulra, nos 
HETA N G ULARES Cbmilli0~ 2, 3, 4 c h. 
Os elemcntos basicos de no&g50 estho indicados na Fig. 2.3.2- 1. 
Conforme ji foi visto anteriormente. o dominio 2 pode ser dividido em dois 
subdominim, indicadas respctivamente par Za e 2b. A diferenqa essential enrre essee t 1 
subdominirrs reside no fato de we. embora em ambos nio se possafalarem ruptura do 'i 
4 
concrete, no stlbdominio 2b jP h i umafanca pseudoplarrtificaqSo por rnicmfissura~o 
Jr, concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenbmeno pmticamente ainda nio se 
iniciou. 
Conforme 6 mostrado na Fig. 2.3.2-2. no dominio b existe urn encuttamento 
maxima do concreto erld ': 2%. chegando-se, portanto. ae estado limite dlfirno corn 
crcld < u r d = 0.85 fd. ou wja. chega-se ao estado limite liltimo corn a hipotese de que o 
ooncreto aiada niio se tenha rompido, Observe-se que no dominio 2a nio existe 8 
possibilidade dc emprego eficiente de armaduras de compressio. pois E: = 0. 
No dominie 2b, a encurtamento mixirno E , , ~ do concreto jb supera o valor de 2%. 
que 4 o Iimite para 0 qua1 se admite o inicia da pseudoplastific~~odo cuncreto. Desse 
I 
I 
modo. no trechu em que 2 % ~ gCId s 3.3%., a t ensHo no concrcto& constante e igual a 
o,,~ = = 0.85 fd 
Conforme fai visto em 8 1.3, t2m-se 
rtn, 1tm = 01 1667 
C 
a 
%d = -fed 
.-L 1 a$$* 
- - - 4 / 
P 
1. =.kq$y -- 
I 
---------- 
3,s Y.. 
Fig. 2.3.22 SgsO rctanglar - Dorninio 2. 
De rnwfo geral, a resultante das tensks de cornpresGo no concreto pode ser 
escrita 
R , = a b x u d 
ou en- 
R, = 0,85 at bx fd 
o d e o cmficiente de Moco a d5 o vdor da tendto m a de wmpres& u&,, 
I'or 
dm = a ud 
ou seja 
vrpl= 0.85 u fd 
CMLf~fme~mtB mW M Y& 2.3.2-3 a do- 2 e Fig, 23.24 ptlra w 
domini063.404a. 
A Fi. 23 2-3 m t r a 0s #'&ti dm d c k n t e s a e an fun* da pos* da 
lmhamtradadaporE,sedo 
idade x da Linha neutm possa ser uma 
o dhgmma de tens& de compress50 
I... 
1 -- J 35 
fi 
#1 x 
l 'U* 
I 
Rg. 2.324 Dominius W a - Resultante dc comprtssAo. 
De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual 
6 9 [r, r r a = 072593 
4 
a resultante das t t n e s de compresdo pode scr escrita I 
3 2 4 R,=0 ,85 fd . b - x + - - 8 S f d - b - x 1 
7 3 7 
logo 
3 2 R, = 0,85 fd (- + - - 7 . b ~ 
7 3 
.. *- - - 
h s s c modo, para os doalnios 3 . 4 e 4s. obtdm-sqp vdm copswte : 
L I 
u = R, = 0,8095 
0,85 fd bx 
De mantira adqga, cp&cendo-se a p o w do centro de gravida& de 
PARA BOiA segment0 de pariibola do 2.O grw, Fig. 2.3.2-5, tern-se 
00 P~ GRAY 
p i = $ [ o ~ s & . - n . - n + 0 , 8 5 h - - 3 3 2 . 4 - x & n + g - b ] 3 
Rg. 2.3-25 Pas* & centm dc gra- 
7 14 3 7 7 4 0 7 
vidadt. donde resulta,com.&= ga8q5.085>f bx,o 3alorconstante .. . , ~ . , . r . , f ~ r ~ - n ~ ~ r ~ t . 
- - 
I , , - 
-..0;41'6 
L L -A 
2.3.3 EQUAC~ES ~c&~oquc fo iv i s to t23 . l , tdoso tasosde fkx iocom~nd cex 
ADIMENSIOWAIS DE dade W&.m ser tratados ghbahcnte, tomandew as e x p m s k s (2.3.1-1) e 
EQUIL~BRIO carno:bqU- v - s d~&piI&rio, as quais, wgundo a Fig. 2.3.1-1, -#& 
escritas 
- d 
F u x R , + K - R , (2-33-11 
- ' ! I , 
F.e. = % d - i t x ) + Wd--d3 &%%a 
0 em d&d&i 2b.3 edj ~ i . m w . m 
- =Fig. 2.34-1, ttm-se as srguinks~mdi@md. 
m a r k a rum-itaa ns Q I B ~ frrrmn dimmainhal. 
e8TSmlmsm E w m , w A m - 
I * ' 
42.-3 
- - - - 
, a . l j 
d conhecido o domini# 
cormgondente e C jB .A' esb% ..--.. determinados os valares das outm m v e i s que corn* 
mgl nas whdigp$c-patibilidadc expressas por (2.3.431, bem coma as tendcs 
que agem no C O C I C ~ ~ ~ O e n a s d u m . Esses resultados estga apresentsdos de forma 
sintitica na tawla seguiate. 
a = d . m h 
8~ = 3 , s 
w 0 f 6' = 0,416 - 
0 wd -c 0 (compress&) 
' I 
2.4 FLEXAO 
1MPOSTA COM 
GRANDE 
NTRICIDADE. 
ULO PRATICO 
2.4.1 VARIAVEIS 
~DMEN21ONAIS. 
GO DE TABELAS 
UNIVERSAIS 
A consid+, nos problem de fix50 c o m p t a , do momento Md & d o O > @ 
centro de hvidade da armadura de t@io em ]up do 'momento & ref- a 
centro de ghvidade:da @o transversal da -'I=& a-6'hge.m principal de perm& 
a resolu* desses pmblemsts como se fqssem problemas de flexgo simpha 
empregandwse as mesmas tabelas j B antelio&mente analisadas. 
A Fig, 2.4.1-1 ilusm a *So dm prqbjemas de flex& composta a proble 
trarados como se fossem de fiexiio simples. 
A.demonstrafiio formal da vdidde dm raciod~os ilustdos pela Fig. Z4rdnf 
pxfe serfdta a partir dm B Q C I ~ ~ & S de equilibrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do ) 2.3.1 
partir: dag ~ i k ~ ~ n s i o n a i s de equitIbrip,(2,3.3=~1) e (2.3.3-12) do O 233- 
Qtizllquer que seja o d n h o escolhido, .quado sc admite annadura s h p b , @ 
e q e c r de equilibrio de mementos, a qual determina a posim da Iinha neutmij& 
fato dearre de se admitir o momento MM e ~o o momento &. 
'I 
aatamente a rnesma, quer w trate de flcx5orsimpIes quer de fltxSo cornposh. Baz 
Atnda considcrando armadura utiiiateral , a armadura de tm$o A, i deter@&@ 
pela equMo de quilibrio de foryas, a qud exige que a resultante R, das ten&& 
wrnadura d+ liwk equWre aresdtanze % ctas tens& de compre-o no cx- A 
- Wendo 6l, wartockbda forga nsmnal PI, qumdo de trqao, ou subtd&&&" 
norm4 N, qua& da oompmsb. 
hsse,m&, Qamya@mde moment- resultaeposi@o d a b neutrae, @@i 
7h 
JJS En,. mde ser e r n n d a a armadura simdes. sendo 
= m B E - * - e m 
ARMADU RA 31 MPLES 
ARMADURA W PLA 
. ' i 
onde, tanto & tmgh quanta para a eomprtssh, 6 F@o N > 0. 
Por mmo I&, 4- a armarkrra simples lev= tr rr supramadas, o 
problema C novamaw w i d 0 pla ad-Q de amdurn &@la. 
Fwnda-se novmemk, coma no caso da fl- simples, 
My = M , c + A& (2.4.1-3) - 
onde Md. , t a -la rssistiaa por uma s q h eom armd3fa &@es e AM& a parcela 
resiatida por urna'G50 metiihca, tern-se 
$ & & p I W , * < . 4 & ) : , 3 ,.I 
y r n : , , . '.; u d - d' 
, - . rn'l b ' 2 - 
NOS caws usuais, a decampoii& d: yornqrq 
d*@iand?se o,yalor , , -- . . 
rP/ . I .. I J 
Md, d, = Md. lm = M M ~ (6 = 6114 
'rgd fl ,.! ::.' . , : I * .: -. 
resultando entio 
( M ~ . . . I , +A%, N&:,.: &=- A -. 
- 
Considere-= o d i r n e n s i ~ h h ' &'&a iudicada na Fig. 2.4.2 
dos 0s seguintes dadoz; 
F, = 500 kN 
e - 80cm 
n - 114 
Y C = 1,4 
f,, = 25 MPa 
e, = I I0 crn 
pk' =30*.3; gq.J!*' -19 
. 5 21, ..;* q ? n i ~i .~ .L . ,~ f l J - ,+:*A . 
~~~~&dPL6t,~'@qadum dupla, a fim 'de ser evitada a ma 
:r,l?-:. ? 
2l::'tl 4, g r . ' ,~')I,L.I. ' . . 
1 AM& - 1 &=- l7 830 - 6,82 c d (4 0 16) 
rL d - d ' 4 3 3 6 5 - 5 
Resolver o rnesmo problema anterior, empregando o AGO C A-5OB. 
De acordo corn os resultados obtidos no exercicio 1, tern-se 
; Para o Aso CA-5OB, pd, ldm = 0,255, logo para pd = pd, llrn = 0,255 
. , 
x - a ' - 6; = act- = 0,(@33 = < s , = 4 , a 
x 2?47 
2.4.3 V A R I A V E ~ I% && e, qualquer problema de flexh com- 
DZMENSLONAIS. W W d i kma de flexk simples, Fig. 2.4.3- 1 . 
EMPREGO DE TABELAS 
 TIP^ k 
'4" ARMADURA SIMPLES 
Flg. 2.4.3-1 R c d u q b a6'c~%k4co d t flab simples. 
Mca &=BE,-& krsNd 
d ri i ua l r 
corn o sinal (+) para N de twiio e o sinal r- j para N de cornprcssao. 
No caw de &ura dupla, adota-se k, = k, detemhnd+se n vator &. 
ser usadas para o c~lculo das se&s retangulares submetidas h-flem m&pm& 
Essas tabelas empmgam as unidades kN e crn e furam cdculadas para y, = l,4 c 
y, = 1 ,IS. Para valorcs de y, # 1.4, deve-sc emprew a largura ficticia 
donde 
2.4.5 DIAGRAMA 
RETANGULAR DE 
T E N S ~ E S 
.I 
Conforme ja foi visto, as e q u ~ b e s adimensronais do equilibria para os c a m de 
flex50 simples e de flexgo composta corn grande excentricidade 60 +. 
. ' - - r , ,I 
h=- Md -d,~~&i-tn+d -(I-v 
"k IIPPY) I $ d \ > - I ,'.L f$ 
.gtaqgular de tens&% Fig. 2A.5-I, 
(2.4.3-1) 
Caniderado a noWCo indicada na Fig. 25.1- 1 e tratando todos os elemcatos 
em valor W u t o , obt&rn-se 
PIIARFS E PAREDES USUAIS üCF4 EDFICTOS 
quando o respectivo poato,represénra~vo A, esti situado deniroda zona de squrawa 
delineada pelo diwiprrama de interação ( M R d , NRd). 
Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do 
ponío correspondente H traçao simples, verifica-se que geralmente a preseqa de um 
eveniuai momento flelor parasiráno não afeta significativarrilente o valor da f q a 
normal resistente NRd. 
I 
1 
O mesmo fato não carne, porem, nas proximidades do p n t o ctrms'gondentt a 
compressão simples. Neste caso, a presença de um momentn fletor parasita usual- 
mente acarreta uma perda significativa no vaior da força normal resistente H,,. 
Em princípio, as peças submeiidas à flexào composta com força nomal de 
cornpressáo serão verificadas com a seguinte combinação de solicitaçbes atuantes: 
onde 
Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto 
Mid = momento fletor devido 5s a ç k s inicialmente consideradas no projeto. 
1 
1 
F,.e, = momento fleior devido i excentricidade adicional e, I 
1 
I.'d'es = rnomenrti. Oeior dc 2.a ordem i 
1 
N a s peças submetidas h flexo-compressão, é admitida uma cena incerteza 
quanto ao ponto de aplicação da resultante das fogas externas. Consideram-se por 
isso as excentricidades adicionais e,. cujos valores são os rnesrnos admitidos para 
as excentricidades rninimas da5 m a s teoricamente submetidas h cornpress2o sim- 
i 
ples, ou seja, 
onde h 6 a maior dimensão da seç6o transversal da peça, na dircsão em que se 
considera a cxccntricidsde. 
As expressóes acima indicadas ser50 posteriormente reconsideradas, tendo-se 
em rrsta o dimensi~namertto pratico das seçóes transversais dos pilares. 
7.2 COMPRESSAO 
SIMPLES DE PILARES 
5.2.1 PILARES O dirnensionamento de seçóes submetidas A çornpreçs6o simples é feito da forna a 
N AO-CINTADOS seguir analisada. 
Admitindo que sejam conhecidos os valores de 
Nd = valor de cálculo da Torça normal atuante 
fcd = valor de calcuIo da resistência do concreto 
E, = valor de dIculoda resistência do aço comprimido (obedecida a restrição 
s 2,o O k ) 
e sendo, Fig. 7.2.1-1. 
N96 = F d 
e 
+ _ _ + _3 
Mk,= Ma -t Fd ' e* + r;; ' e, 
onde 
Nd = força mrmai devida hs qões conside+as no prqjeto 
Mui = momento fletor devido h , @ k s inídairnente considerada no projeto. 
Fs.e, = momento fletor devido B excentricidde ad ic id e, 
Fd- e, - momento fietor de 2.a ordem 
Nas peças submetidas a flexwmpressão. G admitida uma certa in- - 
quanto ao pnto de apii- da resultante das fms extenias. Consideram+se p r 
isso as sxceatrkid.des adicionais e,, cujog dores são òs mesmos admi- pma 
as eiccca%iddades mínimas das t e m h m d e submetidas h compres& kiIh; 
ples, '& +, 
onde h 6 a maior -&r w@o m~wrsal da w, na dueçh em que se 
cunsidera a C X C C ~ . 
As expressika $e140 pstcriomiente reconsideradas, tendo-se 
em vista Q dimensionameit$a prWo das s q & s rreinsversais dos pilares. 
. , ( I 
7.2 COMPRESSÃO 
SIMPLES DE PILARES 
7.2.1 PILARES O dirmnsbnmento de s@es subrnetkdas à compressãosimples C feito da forma a 
I 
I 
NÃOCINTA DOS seguir analisada, 
Admitindo que sejam corihecMoq os vdorcs de 
I 
J I 
N, - valor de cáiculo da força nomal atuante 
fd = valor de cáiculo da resistência do concreto 
fd = valor de diculo da resistência do aço comprimido (obedecida a restrição 
e* s 2,o 96o] 
t sendo, Fig. 7.2.1-1. 
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