Primeira avaliacao Variaveis Complexas

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Campus Nova Iguac¸u
Instituto Multidisciplinar - IM
Departamento de Tecnologias e Linguagens - DTL
10 Semestre de 2018
Curso: Licenciatura em Matema´tica
Professor: Ronaldo Malheiros Grego´rio
Aluno:
Matrı´cula:
1a Avaliac¸a˜o de IM442 - Varia´veis Complexas (T01)
1a Questa˜o (1,0 ponto). Dados z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C. Mostre que z1 ·z2 = 0 se e somente
se z1 = (0, 0) ou z2 = (0, 0).
2a Questa˜o (1,0 ponto). Dado z ∈ C, mostre que:
a) |z| = | − z|.
b) |Re(z)| ≤ |z|.
c) |Im(z)| ≤ |z|.
d) |z1 · z2| = |z1||z2|.
3a Questa˜o (1,0 pontos) Denominamos por espac¸o me´trico (X, d) qualquer conjunto na˜o-vazio
X munido de uma func¸a˜o d : X × X → R que satisfaz: (i) d(x1, x2) ≥ 0 e d(x1, x2) = 0 se e
somente se x1 = x2; (ii) d(x1, x2) = d(x2, x1); (iii) d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3), para quaisquer
x1, x2, x3 ∈ X. Mostre que (C, d) e´ um espac¸o me´trico,
a) onde d : C × C → R e´ definida por d(z1, z2) = |x1 − x2| + |y1 − y2|, com z1 = x1 + y1i e
z2 = x2 + y2i.
b) onde d : C × C→ R e´ definida por d(z1, z2) = max{|x1 − x2|, |y1 − y2|}, com z1 = x1 + y1i e
z2 = x2 + y2i.
4a Questa˜o (1,0 pontos). Dado um nu´mero complexo na forma polar z = ρ(cos θ + i · sen θ):
a) determine r e α, para os quais z = reiα.
b) represente graficamente o conjunto S = {z ∈ C : z ≤ z0 + reiα}, onde z0 e´ um nu´mero
complexo dado.
5a Questa˜o (1,0 ponto). Dados z0, z1 ∈ C, com z0 , z1:
a) represente graficamente o conjunto S = {z ∈ C : z = tz1 + (1 − t)z0; t ∈ R}. Em particular,
evidencie o subconjunto S[0,1] de S, dado por S[0,1] = {z ∈ C : z = tz1 + (1 − t)z0; t ∈ [0, 1]}.
b) Um subconjunto S ⊆ C e´ dito convexo se, para quaisquer z1, z2 ∈ S, S[0,1] ⊂ S. Mostre que
S = {z ∈ C : z ≤ z0 + reiα}, onde z0 ∈ C, e´ convexo.
6a Questa˜o (1,0 pontos). Classifique os seguintes subconjuntos deC como abertos ou fechados.
Apresente argumentac¸a˜o favora´vel e contra´ria em cada caso, isto e´, se o conjunto for aberto ou
fechado enta˜o mostre que e´, caso contra´rio, deˆ um contra-exemplo.
a) {z ∈ C : |z| < 1}.
b) Re(C) e Im(C).
c) {z ∈ C : zn = 1, para algun inteiro n ≥ 1}.
d) {z ∈ C : z ∈ Re(C) e 0 ≤ z < 1}.
e) {z ∈ C : z ∈ Re(C) e 0 ≤ z ≥ 1}.
7a Questa˜o (1,0 pontos). Seja A ⊂ C. Define-se por interior de A, e denota-se por int(A), o
conjunto
int(A) = ∪ A˜,
onde A˜ ⊂ A e´ aberto. Por outro lado, define-se por fecho de A e, e denota-se por A, o conjunto
A = ∩ A′,
onde A′ ⊂ A e´ fechado.
Sejam A,B ⊂ C. Mostre que:
a) A e´ aberto se e somente se int(A) = A.
b) A e´ fechado se e somente se A = A.
c) int(A) = C − (C − A); A = C − int(C − A).
d) A ∪ B = A ∪ B.
8a Questa˜o (1,0 pontos). Seja A ⊂ C. Um ponto z˜ ∈ C e´ dito aderente a` A se B�(z˜) ∩ A , ∅,
para todo � > 0. Mostre que z˜ ∈ C e´ um ponto aderente a` A se e somente existe uma sequeˆncia
{zk} ⊂ A tal que limk→+∞ zk = z˜. Utilize o resultado demonstrado anteriormente para justificar
a afirmac¸a˜o: A e´ o conjunto de todos os pontos aderentes a` A.
9a Questa˜o (1,0 pontos). Seja A ⊂ C. Define-se por fronteira de A, e denota-se por ∂A, o
conjunto ∂A = {z0 ∈ C : B�(z0) ∩ A , ∅ e B�(z0) ∩ (C − A) , ∅, ∀� > 0}. Mostre que ∂A ⊂ A mas
∂A , A.
10a Questa˜o (1,0 pontos). Mostre que w : C → C, definida por w(z) = |z|, na˜o e´ analı´tica.
Evidencie o(s) ponto(s) onde w e´ deriva´vel.
Boa Sorte!
Observac¸a˜o: Todos teˆm direito a ter um (1) ponto somado a nota obtida nessa avaliac¸a˜o desde
que a soma na˜o ultrapasse dez (10,0) pontos.
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