P1 - Função de uma variável complexa - UNESP

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1768SFM - Funções de Uma Variável Complexa - Prova 1
Questão 1. Sendo
w =
1 + i√
2
uma das ráızes quartas de um número complexo z, determine as ráızes cúbidas de z.
(a) −1, 1
2
, i
√
3
2
.
(b) 1,
1
2
+ i
√
3
2
,
1
2
− i
√
3
2
.
(c) −1, 1
2
+ i
√
3
2
,
1
2
− i
√
3
2
.
(d) 1,
1
2
, i
√
3
2
.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Questão 2. Determine todas as ráızes da equação
e2z + 4ez + 4 = 0.
(a) z = log(−2) = log(2) + (2k + 1)πi, k ∈ Z.
(b) z = log(2)
(c) z = (2k + 1)πi, k ∈ Z.
(d) z = πi.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Questão 3. Assinale a alternativa correta sobre a função f(z) = iz2 + ez, em que u representa sua
parte real e v sua parte imaginária.
(a) u(x, y) = ey cos(x)− 2xy, v = ey sen(x) + x2 − y2 e f é anaĺıtica em todo C.
(b) u(x, y) = ey cos(x)− 2xy, v = ey sen(x) + x2 − y2 e f não é anaĺıtica em todo C.
(c) u(x, y) = ey cos(x), v = ey sen(x) e f é anaĺıtica em todo C.
(d) u(x, y) = ex cos(y)− 2xy, v = ex sen(y) + x2 − y2 e f é anaĺıtica em todo C.
(e) u(x, y) = ex cos(y)− 2xy, v = ex sen(y) + x2 − y2 e f não é anaĺıtica em todo C.
1
Questão 4. Considere a função
f(x+ iy) = exy − e−xy + ixy
e as seguintes afirmações
(I) f é anaĺıtica em todo C.
(II) f é anaĺıtica somente em (0, 0).
(III) f não é anaĺıtica em ponto algum.
Pode-se dizer que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras, mas (III) é falsa.
(b) (II) e (III) são verdadeiras, mas (I) é falsa.
(c) Apenas (I) é verdadeira.
(d) São todas verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
2