Lista resolvida de relatividade restrita

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Exerc´ıcios de Relatividade Restrita
Todos os exerc´ıcios foram retirados ou adaptados do livro “There once was
a classical theory...”de David Morin, Harvard, E.U.A., 2003.
1. Um combo´io de comprimento 15 cs (1 cs e´ um segundo-luz, ou seja,
3 × 108 m) anda com velocidade 3c/5. Quanto tempo leva o combo´io
a passar por uma pessoa que esteja parada na estac¸a˜o (medido por
essa pessoa)? Resolver o problema: i) no referencial da estac¸a˜o; ii) no
referencial do combo´io; iii) usando a transformac¸a˜o de Lorentz; iiii)
calcule ainda quanto tempo passa no combo´io, mas trabalhando no
referencial da estac¸a˜o (
··^
).
2. Um combo´io de comprimento L desloca-se com velocidade 4c/5 para
Este, enquanto outro de comprimento 3L se move com velocidade 3c/5
para Oeste. A que velocidade tem que correr uma pessoa para ver
o cruzamento tanto das partes da frente como das partes de tra´s dos
combo´ios? Resolver: i) no referencial da estac¸a˜o; ii) usando a trans-
formac¸a˜o de Lorentz.
3. Um combo´io e um tu´nel teˆm ambos comprimento pro´prio L. O combo´io
dirige-se para o tu´nel com velocidade v. Uma bomba esta´ colocada na
parte da frente do combo´io. Ha´ um sensor colocado a` sa´ıda do tu´nel,
que faz detonar a bomba quando a frente do combo´io chega a` sa´ıda
do tu´nel. No entanto, existe um outro sensor, colocado a` entrada do
tu´nel, que diz a` bomba para se desarmar assim que a parte de tra´s do
combo´io entra no tu´nel. Sera´ que a bomba explode?
4. Dois planetas, A e B, esta˜o em repouso um em relac¸a˜o ao outro, sepa-
rados uma distaˆncia L e com os seus relo´gio sincronizados. Uma nave
espacial passa por A com velocidade v em direcc¸a˜o a B, e sincroniza
o seu relo´gio com o de A (i.e., ambos po˜em os seus relo´gios a marcar
zero). Quando a nave chega a B, compara o seu relo´gio com o relo´gio
de B. Claro que o relo´gio B vai marcar simplesmente L/v. E o da nave
marcara´ L/(vγ), uma vez que o tempo na nave corre um factor γ mais
devagar do que nos relo´gios dos planetas.
Como e´ que algue´m na nave pode explicar, quantitativamente, porque
e´ que o relo´gio B marca L/v, e portanto mais do que o tempo L/(vγ)
que marca a nave, considerando que a nave veˆ o relo´gio B andar mais
devagar?
5. Um combo´io de comprimento pro´prio L anda com velocidade c/2 em
relac¸a˜o ao solo. Uma bola e´ lanc¸ada da parte de tra´s para a parte
da frente do combo´io, com uma velocidade c/3 em relac¸a˜o ao combo´io.
Quanto tempo leva a bola a atravessar o combo´io e qual a distaˆncia que
percorre: a) no referencial do combo´io; b1) no referencial da estac¸a˜o,
usando a adic¸a˜o de velocidades e b2) a transformac¸a˜o de Lorentz do
combo´io para o cha˜o; c) no referencial da bola. d) Verifique que o
intervalo de espac¸o-tempo e´ o mesmo nos treˆs referenciais. Confirme
que os tempos que a bola leva a atravessar o combo´io se relacionam
pelo factor γ relevante entre os referenciais e) da bola e do solo; f) da
bola e do combo´io. g) Mostre que isso na˜o e´ verdade entre o cha˜o e o
combo´io (porqueˆ?).
6. Considere treˆs naves que se deslocam em linha recta de acordo com a
figura. Sabendo que vA = 4c/5 e vB = 3c/5, a que velocidade deve
viajar C, de modo a que veja A e B se aproximarem dele com a mesma
velocidade?
A• vA−→ C• v=?−→ B• vB−→
7. Suponha que uma part´ıcula, inicialmente em repouso, e´ actuada por
uma forc¸a constante de mo´dulo F durante um per´ıodo de tempo muito
longo. Calcule a velocidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula em cada in-
stante.
8. Suponha que dois foto˜es, ambos com energia E, colidem fazendo um
aˆngulo ϑ. Se da colisa˜o resultar a criac¸a˜o de uma par´ıcula de massa
M , determine o valor de M .
9. Um corpo de massa M , deslocando-se com velocidade v, colide com
outro objecto de massa m, que se encontra inicialmente me repouso.
Se os dois corpos ficarem colados, qual a massa do objecto resultante?
10. Uma part´ıcula de massa m e energia E colide com uma part´ıcula
ideˆntica em repouso. Qual e´ o limiar de energia para um estado fi-
nal com N part´ıculas de massa m? (o limiar de energia e´ a energia
mı´nima para a qual o processo ocorre).