Transformadores- Conversão e energia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE 
CONVERSÃO DE ENERGIA 
 
 
 
 
PARTE III 
 
TRANSFORMADORES 
 
 
 
 
Prof. Rubem Cesar Rodrigues Souza 
 
 
 
MANAUS/AM
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 1 
3. TRANSFORMADORES 
 
3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 Os transformadores são “máquinas” inteiramente estáticas que transformam uma 
tensão e uma corrente “alternada” em uma outra tensão e uma outra corrente alternada (de 
mesma frequência), de valores mais apropriados ao transporte ou a distribuição de energia 
elétrica. 
 Estas máquinas podem também ser utilizada para isolar eletricamente dois circuitos 
ou, ainda, ajustar a impedância de um estágio seguinte à impedência do estágio anterior 
(casamento de impedâncias). 
 Alguns autores classificam os transformadores em: 
 
 Transformadores de Potência (Figura 1): Força (elevador de tensão) e 
Distribuição (rebaixador de tensão). 
 
 
 
 
 
(a) Transformador de força (b) Transformador de Distribuição 
Figura 1. Transformadores de Potência. (a) Força e (b) Distribuição 
 
 Tranformador de instrumentação: Medição (Transformador de Potencial 
– TP e Transformador de Corrente – TC) e Proteção (TP e TC). Na figura 2 
tem-se alguns TP e na Figura 3 alguns TC, usados tanto para medição 
quanto para proteção. 
 
 
 
Figura 2. Transformadores de potencial. 
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Figura 3. Transformadores de corrente. 
 
 Transformadores de Baixa Potência (Figura 4): Eletrônica e Comando. 
 
 
 
Figura 4. Transformadores de baixa potência. 
 
 
3.2 DESCRIÇÃO 
 
 Os transformadores são constituídos essencialmente de duas bobinas com fio de 
cobre (ou de alumínio), um dito “primário” e outro dito “secundário”, enrolados sobre um 
“núcleo” de carcaça ferromagnética, constituída de um empilhamento de lâminas finas em 
aço. No final da apostila consta um desenho explodido com a indicação de todas as partes 
que compõe um transformador trifásico de distribuição. 
 Um transformador pode ser utilizado indiferentemente dos dois lados. Se a fonte 
está conectada do lado da baixa tensão e a carga do lado da alta tensão, o transformador é 
dito “elevador”. No caso contrário, ele é dito “abaixador”. 
 A figura 5 mostra os elementos principais constitutivos de um transformador 
“monofásico”. 
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Figura 5. Transformador monofásico. 
 
 Pode-se observar que a bobina de baixa tensão é a mais próxima do núcleo, o qual 
tem na sua parte central uma espessura 2D (dobro das outras partes). Isto permite obter um 
valor uniforme da indução na carcaça (de fato, o fluxo se divide simetricamente a direita e à 
esquerda, e por consequência é o dobro na parte central do núcleo). 
 A figura 6 mostra um outro tipo de transformador monofásico chamado “a dois 
núcleos” (o circuito magnético comporta somente uma malha). Nele se pode observar que 
as bobinas de alta e baixa tensão não estão uma de lado e outra do outro lado, mas ao 
contrário, constituída de duas semi bobinas sobrepostas sobre cada um dos núcleos. Esta 
disposição permite obter um melhor aproveitamento do fluxo mútuo. 
 Chama-se “relação de transformação” de um transformador a razão entre o número 
de espiras do primário e do secundário. Designando-se por índice 1 o primário e o índice 2 
o secundário, tem-se: 
 
2
1
n
n
a 
 [3-1] 
 
 
 
Figura 6. Transformador monofásico “a dois núcleos”. 
 
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3.3 EQUACIONAMENTO NO CASO LINEAR 
 
3.3.1 Hipótese 
 
 Para fazer o equacionamento de um transformador consideramos primeiramente que 
ele é linear, isto quer dizer que os fluxos criados no núcleo são proporcionais as correntes 
que atravessam as bobinas, ou ainda que a curva de magnetização do núcleo é semelhante a 
uma reta (transformador não saturado e perdas no ferro nula). 
 Nestas condições consideremos duas bobinas, tal como na figura 7, e adotamos 
como sentido positivo da corrente secundária i2 um sentido tal que a tensão vA – vB seja 
positiva quando a tensão v1 nos bornes da fonte primária é positiva. Esta convenção 
apresenta a vantagem de representar um transformador em um circuito como um simples 
transferidor de fontes de mesma polaridade, do primário em direção ao secundário. 
 
i2 
i1 
Z
A
B
v1 
øf2 
2m
øf1 
1m
+
-
 
 
Figura 7. Convenções para a mesma equação. 
 
De outra forma, ela corresponde, de acordo com as convenções de sinais para o 
fluxo ou as f.m.m. a suprimir (e não adicioná-las) (ver parágrafo 1.2.3 equação [1-15] e 
parágrafo 1.5, figura 17). 
 Cada bobina produz um fluxo próprio ø1 e ø2, cujo uma parte, øf1 e øf2, representa o 
“fluxo de fuga” (ver figura 7). 






222
111
mf
mf

 
 Com as convenções da figura 7 o fluxo mútuo (comum aos dois circuitos) é igual a 
diferença entre os fluxos de magnetização: 
21 mmm  
 
 
 E os fluxos totais que atravessam a cada instante os circuitos são: 
1m2m2ft2
2m1m1ft1

 [3-2] 
 De acordo com a lei de Faraday sobre as f.e.m. induzidas e designando por R1 e R2 
as resistências das bobinas, as tensões elétricas nos bornes são definidas por: 
 
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dt
td
niRv
dt
td
niRv
2
2222
1
1111




 [3-3] 
 Se tomarmos as relações das indutâncias estabelecidas no parágrafo 2.10.2, onde 
estas aparecem em função da corrente e do fluxo, e substituirmos nas relações [3-3] é 
possível obter várias formas de equação para tensão. Isto será visto a seguir. 
 
3.3.2 Equação da tensão com as indutâncias próprias e mútuas 
 
 Utilizando a 2ª. expressão dos fluxos ø1t e ø2t definidos pelas equações [3-2] e 
substituindo pelas correntes das relações de definição das indutâncias próprias e mútuas [2-
43] e [2-44], obtêm-se: 
 
dt
di
M
dt
di
LiRv
dt
di
M
dt
di
LiRv
12
2222
21
1111

 [3-4] 
 
 Esta primeira forma das equações de tensão é bastante utilizada na teoria dos 
circuitos, onde se representa um transformador por um circuito equivalente em T tal como 
mostra a figura 8. 
+
_
+
_
R1 R2 
i2 i1 
i1 i2 
_
M
L1 - M L2 - M 
v1 v2 
 
Figura 8. Circuito equivalente de um transformador com indutâncias próprias e mútua. 
 
 Podemos verificar que as equações de malha de Kirchoff do circuito são idênticas à 
[3-4]: 
   
    2222221
21
1
1111
viR
dt
di
MLii
dt
d
M
ii
dt
d
M
dt
di
MLiRv

 
 Não obstante, esta forma é pouco usada em eletrotécnica (principalmente quando se 
trata de transformador de potência) uma vez que não contempla as perdas de forma precisa. 
 
3.3.3 Equação da tensão com as indutâncias de fuga 
 
 Utilizando a 1ª. expressão dos fluxos totais ø1t e ø2t das equações [3-2] e 
introduzindo as “indutâncias de fuga” l1 e l2 definidas pelas relações [2-41], obtêm-se: 
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







dt
d
n
dt
di
liRv
dt
d
n
dt
di
liRvm
m


2
2
2222
1
1
1111
 [3-5] 
 
 As quantidades 
dt
d
ne m

11 
e 
dt
d
ne m

22 
 que aparecem no segundo membro são 
denominadas de “f.e.m. de transformação devido ao fluxo mútuo”, e são tais que a razão 
entre estas é igual a “relação de transformação”: 
a
n
n
e
e

2
1
2
1
 [3-6] 
 Para o cálculo em função das correntes i1 e i2, introduzimos as “indutâncias de 
magnetização” T1 e T2 definidas pelas relações [2-37]: 
 
 
  













a
i
i
dt
d
a
T
dt
di
a
T
dt
di
T
dt
d
ne
a
i
i
dt
d
T
dt
di
aT
dt
di
T
dt
d
ne
mm
mm
2
1
1112
21222
2
11
2
2
1
12111


 [3-7] 
 
onde aparece uma corrente, 
a
i
i 21 
, que possui uma interpretação muito simples. Se 
aplicarmos o teorema de Ampère ao núcleo (equação das f.m.m.) de comprimento l, obtêm-
se: 
 
Hlinin  2211
 [3-8] 
 
 Se admitirmos não nula a relutância do núcleo, existirá um campo H não nulo, tal 
que 
mHl 
. Esta quantidade é igual a n1im, permitindo que a relação [3-8] possa ser 
expressa da seguinte forma: 
mininin 12211 
 
se dividirmos por n1, obtêm-se: 
 
mi
a
i
i  21
 [3-9] 
 
 Esta relação significa que parte da corrente i1 é utilizada para a magnetização do 
núcleo. Esta parte im é chamada de “corrente de magnetização” (ver parágrafo 2.8.2). 
 
 Assim, podemos escrever as equações [3-5] da seguinte forma: 
 
2
2
2222
1
1
1111
e
dt
di
liRv
e
dt
di
liRv


 [3-10] 
onde as “f.e.m. de transformação” são definidas pelas seguintes relações: 
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a
e
dt
d
ne
dt
di
T
a
i
i
dt
d
T
dt
d
ne
m
mm
1
22
1
2
1111










 [3-11] 
 Estas equações permitem representar um transformador por um circuito elétrico, tal 
como desenhado na figura 9, onde introduzimos um ramo paralelo T1 no primário, 
percorrido pela “corrente de magnetização” im, e tensão nos bornes igual à e1, “f.e.m. 
primária”. Este ramo é chamado de “ramo de magnetização”. 
 
+
_
R1
i1
v1
+
_
R2
i2
v2
im T1 
l 2l 1
e1 
a
e
e 12 
 
Figura 9. Circuito elétrico representando as equações [3-10] e [3-11]. 
 
3.4 TRANSFORMADOR PERFEITO 
 
 Chamamos de transformador “perfeito” um transformador ideal que representa 
aproximadamente um transformador real no qual está inserida as três simplificações 
seguintes: 
 
a) Relutância do núcleo nula: 
.0
 
 
 Isto significa que estamos considerando a corrente de magnetização im nula, e que a 
curva de magnetização B(H) do núcleo é tal como desenhada na figura 10 (o campo é nulo 
no núcleo). 
00  Him
 
 
B
H
maxB
0
 
Figura 10 – Curva de magnetização de um transformador “perfeito”. 
 
b) Resistência das bobinas nulas: R1 = R2 = 0. 
 
 Isto significa que as perdas por efeito Joule nas bobinas são nulas. 
 
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c) Não há fuga de fluxo magnético: l1 = l2 = 0. 
 
 As indutâncias de fuga são supostas nulas, e o fluxo comum é por consequência 
igual a diferença (como nas convenções) entre os fluxos ø1 e ø2 produzidos pelos dois 
circuitos: 
øf1 = øf2 = 0 → øm = ø1 - ø2 
 
 Com estas três condições, as equações gerais [3-9] e [3-10], se reduzem à: 
 












dt
d
nev
dt
d
nev
inin
m
m


222
111
2211 0
 
ou seja, 
a
i
i
v
v

1
2
2
1
 [3-12] 
 Assim, um transformador “perfeito” funciona com um rendimento de 100%, de tal 
sorte que a tensão secundária seja divisível pela relação de transformação, que a corrente 
secundária seja multiplicada por esta relação e que os fatores de potência cos φ1 e cos φ2 
sejam iguais. O diagrama de fasores, supondo que o secundário alimenta uma impedância 
Z2 de fator de potência cos φ2, está desenhado na figura 11. A equação de fasores no 
secundário é: 
222 IZV 
 
ou seja, a partir de [3-12]: 
21
2
1 ZIaV 
 [3-13] 
 
m
21  
1V
1I
2I
2V
 
 
Figura 11. Diagrama de um transformador “perfeito”. 
 
 Esta última relação mostra que, vista do primário, o transformador se comporta 
como uma simples impedância a2Z2. 
 Isto significa que podemos suprimir um transformador perfeito de um circuito, 
multiplicando a impedância secundária pelo quadrado da relação de transformação. Os dois 
circuitos da figura 12(a) e (b) são idênticos. 
 
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1v
1i
2
2Za
2i
2Z1v
1i
(a) (b)
 
Figura 12. (a) Transformador “perfeito”. (b) circuito equivalente. 
 
3.5 CIRCUITO EQUIVALENTE “REFERIDO AO PRIMÁRIO” 
 
 É muito útil, no estudo de um transformador, substituí-lo por um circuito elétrico 
equivalente onde diversas impedâncias representem separadamente as diversas perdas de 
funcionamento. Tal circuito é dito “referido” a um lado do transformador, por que as 
tensões em seus bornes não representam mais as tensões nos bornes do transformador 
(como no caso do circuito da figura 8). 
 Para obter tal circuito, escolhemos, por exemplo, a referência do transformador a 
seu primário (índice 1) e consideremos a figura 9. As tensões e correntes nos quatro bornes 
da caixa (desenhada ao centro) são tais que: 
 











2
1
2
1
1
iundáriosecnocorrente
a
e
undáriosecdobornesnostensão
a
i
)i(primárionocorrente
eprimáriodobornesnostensão
 
 
 Esta caixa representa, portanto, o circuito de um transformador “perfeito”, porque as 
equações [3-12] são satisfeitas. Para suprimir esse transformador do circuito é necessário 
multiplicar a impedância do secundário por a2, ou, o que é o mesmo, multiplicamos a 
tensão secundária por a (obtemos a tensão av2 nos bornes do circuito), e dividimos a 
corrente por a (obtemos a corrente 
a
i2
 que circula no primário). 
 Obtemos assim, o circuito representado na figura 13, que coloca em evidência as 
diferentes perdas que intervêm no interior de um transformador: 
 
a) As resistências R1 e a
2R2 correspondem as perdas Joule R1i1
2 + R2i2
2 nas bobinas. Elas 
introduzem uma queda de tensão “ativa” entre a tensão primária, V1, e a “tensão 
secundária referida ao primário”, aV2. 
 
b) A indutância de magnetização T1 corresponde à circulação da “corrente de 
magnetização”, im, isto é, a fração da corrente que é destinada à magnetização do 
núcleo. 
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c) As indutâncias de fuga l1 e a
2l2 correspondem as fugas de fluxo no ar. Elas introduzem as 
quedas de tensão “reativas” entre a tensão primária V1 e a “tensão secundária referida ao 
primário” aV2. 
+
_
+
_
R1
i1
Im
l 1
V1 1
T
2
2Ra2
2la
a
i2
2aV
 
Figura 13. Circuito equivalente “referido ao primário”. 
 
 Na prática os valores das quedas de tensão “ativa”e “reativa” e da corrente de 
magnetização são fracas e dependem muito da potência nominal do transformador. 
Habitualmente, exprimimos as quedas de tensão como porcentagem da potência da tensão 
nominal, e a corrente de magnetização como uma porcentagem da corrente nominal. A 
tabela seguinte fornece uma ordem de grandeza numérica. 
 
 Grandes transformadores 
(S > 1 MVA) 
Pequenos transformadores 
(1 kVA < S < 50 kVA) 
vR% 0,5% 2% 
vX% 8% 4% 
Im% 4% 12% 
 
 
3.6 TRANSFORMADOR EM CIRCUITO ABERTO: REPRESENTAÇÃO DAS 
PERDAS NO FERRO POR UMA RESISTÊNCIA PARALELA NO CIRCUITO 
EQUIVALENTE 
 
 Quando um transformador tem seu secundário em circuito aberto, ele funciona da 
mesma forma que um simples indutor sem entreferro, segundo o princípio já estudado no 
parágrafo 2.8. 
 Fixando a resistência R1 e a indutância de fuga l1 do circuito primário, as equações 
gerais [3-10] e [3-11] se reduzem, com i2 = 0 (circuito do secundário aberto), à: 
 








dt
di
T
dt
d
ne
e
dt
di
liRv
m
1
1
11
1
1
1111

 [3-14] 
 A corrente primária i1 se reduz à corrente de magnetização Im, e a tensão que 
aparece no secundário se reduz à f.e.m. e2. 
 
a) Se desprezarmos o fenômeno de histerese, isto é, se supormos que a curva B(H) em 
regime alternada é uma reta passando pela origem (transformador “linear”) é possível 
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representar o transformador em circuito aberto como na figura 14 (onde R1 e l1 são 
representações pontuais visto que de fato estão distribuídas em toda a bobina). 
+
-
0I 2 1E
+
-
1V
1R 1l
m1 II 
m
 
 
Figura 14. Transformador em circuito aberto. 
 
A corrente I1 está em fase com o fluxo ø1, e o diagrama de fasores é então, como 
representado na figura 15. E1 está defasada de 90
o adiantada de I1 (ou de ø1), e V1 se deduz 
de E1 ao adicionar-lhe as quedas R1I1 (fasor paralelo à I1) e jωl1I1 (fasor perpendicular à I1). 
 
1 m
1
1E
11Il
11IR
a
E
E 12 
1IIm 
0
1V
 
Figura 15. Diagrama de um transformador em circuito aberto 
(desprezando as perdas no ferro). 
 
 A potência ativa absorvida é somente aquela que é perdida por efeito Joule no 
primário (não se gasta nenhuma potência ativa para magnetizar o ferro do núcleo, porque 
admitimos a área do ciclo de histerese nula)1: 
 
2
11111 cos IRIVP  
 [3-15] 
 
b) Quando queremos introduzir os fenômenos de histerese (ver parágrafo 2.8), se deve 
defasar a corrente I1 com relação ao fluxo ø1 de um ângulo γ chamado de “ângulo de 
avanço histerético”. O diagrama do transformador em circuito aberto deve ser como 
representado na figura 16. E1 está defasado de I1 de um ângulo: 
 
  901
 
e a potência ativa total absorvida vale: 
 
    111111111111 coscos IIRsenEIIREIVP   
 
1 Desprezamos assim, as perdas por correntes de FOUCAULT. 
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 A quantidade 
senIE 11
que aparece no segundo membro representa as perdas ativas 
devido à histerese, PH, e a potência ativa total absorvida pode ser escrita como: 
2
1 1
IRPP F 
 [3-16] 
 
RI 1E a
E
E 12 
1V
11IR
11Il
1m II 
1m  
TI
 1

1
 
 
Figura 16. Diagrama de um transformador em circuito aberto 
(considerando as perdas no ferro). 
 
 Para representar as perdas no ferro em um circuito equivalente, podemos da mesma 
forma que no parágrafo 2.8.2, introduzir uma resistência RF em paralelo com a indutância 
de magnetização Tm, com a condição de que a tensão comum a esses dois elementos seja 
igual à E1 (figura 17). Com efeito, se designarmos por IR e IT as componentes ativa e reativa 
da corrente (projeções de I1 sobre E1 e ø1, figura 16), tem-se: 
 
RF IEsenIEP 111  
 
 
e, se escrevermos PF = RFI
2
R, onde a resistência RF é definida por: 
 
 
R
F
I
E
R 1
 [3-17] 
 A indutância em paralelo Tm não é mais exatamente igual à T1, ela é definida por: 
 
T
m
I
E
T 1
 [3-18] 
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+
_
R1
V1 IR 
l 1
Tm 
IT 
RF 
mII 1
E1 
 
Figura 17. Circuito equivalente ao primário considerando 
as perdas no ferro (resistência RF). 
 
 Na prática, os ângulos ψ1 e φ1 podem ser confundidos (E1 está mais próximo de V1) 
e cos φ1 representa o fator de potência do transformador em circuito aberto. As relações [3-
17] e [3-18] se escreve como: 
11
1
cosI
E
RF 
 [3-19] 
11
1


senI
E
Tm 
 [3-20] 
 
3.7 ESTUDO GERAL DE UM TRANSFORMADOR EM CARGA 
 
 Quando um transformador está em carga, isto é, quando o secundário possui uma 
carga de impedância Z2, de fator de potência cos φ2, as f.e.m. de transformação E1 e E2 
devido ao fluxo comum ø1 são sempre proporcionais, o que significa em termos de fasores: 
 
211 EanjE m  
 [3-21] 
 
 As tensões nos bornes, V1 e V2, são sempre definidas pelas equações [3-10], com as 
convenções de sinais: 
 
 
  2222222
11111
EIljRIZV
EIljRV



 [3-22] 
 
e as correntes de primário e secundário que satisfazem a relação [3-9]: 
a
i
II m
2
1 
 [3-23] 
 Podemos representar o circuito equivalente do transformador como na figura 18, 
onde todos os parâmetros são “referidos ao primário”, isto é, com a corrente secundária 
dividida por a, a tensão secundária multiplicada por a e as impedâncias secundárias 
multiplicadas por a2. Com efeito, podemos escrever essas quantidades tomando a segunda 
das equações [3-22], e a multiplicando por a, sob a forma que corresponde a equação de 
malha de Kirchoff do circuito da figura 18: 
  22222221 aV
a
I
.lajRaaEE  
 
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 A introdução da resistência RF no circuito, para representar as perdas no ferro no 
núcleo, significa na prática que a “corrente de magnetização” Im está defasada com relação 
ao fluxo comum øm, ou com relação as f.e.m. E1 e E2, de um certo ângulo (que dependerá 
da impedância do ramo de magnetização em paralelo). 
 
+
_
R1
V1 IR
l 1
Tm
IT
I1
E1
FR
2
2Ra 2
2la
2
2Za
2aV
a
I2
mI
 
Figura 18. Circuito equivalente completo “referido ao primário”. 
 
O diagrama geral de fasores, para uma carga qualquer, está representado na figura 
19, ao adotar o fluxo comum øm como origem; as f.e.m. E1 e E2 estão desafadas de 90
o com 
relação à øm, e as correntes I1 e I2 satisfazem a relação [3-23], verificando que Im está 
defasado do ângulo γ de avanço histerético, com relação à øm. 
 
1
V
1E
11Il
a
E
E 12 
22IR
2V
11IR
1I
mI
a
2I
22Il
m

2
1

0
 
 
Figura 19. Diagrama geral de um transformador em carga. 
 
 Na prática, conhecemos o valor da tensão primária V1, e a impedância posta no 
secundário (módulo Z2, defasagem φ2). Para construir o diagrama, supomos conhecer os 
elementos do transformador(relação a, resistências R1 e R2 dos enrolamentos, indutâncias 
de fuga l1 e l2, relutância 

e ângulo de avanço histerético γ do núcleo) e procedemos então 
da seguinte forma: 
a) Medimos V2 a priori. (como a escala não é conhecida, atribuímos à V2 um valor 
qualquer). 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 15 
b) Calculamos l2, conhecendo Z2 e φ2, e determinamos 
a
I2
 
c) Calculamos E2, a partir de R2, l2 e l2. 
d) Calculamos E1 = a E2, e øm (conhecendo ω e n1). 
e) Calculamos Im, conhecendo γ e 

.
1





 

n
I mm
 
f) Calculamos I1 a partir da relação vetorial 
.21
a
I
II m 
 
g) Calculamos V1 a partir de E1, conhecendo R1, l1 e I1; ou φ1. 
h) Conhecendo o valor de V1 (tensão primária aplicada), deduzimos a escala, ou o 
valor de V2 (a posteriori). 
 
3.8 ESTUDO SIMPLIFICADO, DESPREZANDO A CORRENTE DE 
MAGNETIZAÇÃO. DIAGRAMA DE KAPP. 
 
 Na prática, os núcleos dos transformadores são constituídos de placas de aço de 
silício com domínios orientados, onde a relutância é mais fraca (μ é muito grande). Isto 
significa que a corrente de magnetização Im é igualmente mais fraca 





 

1n
I mm
 
 Podemos então, fazer um estudo aproximado, desprezando Im, porém, sem desprezar 
as perdas internas devido as próprias bobinas (resistência e indutância de fuga). 
 
3.8.1 Circuito simplificado e diagrama de Kapp 
 
 Desprezando o ramo de magnetização, onde circula a corrente Im nos circuitos das 
figuras 13 ou 18, obtemos um circuito simplificado representado na figura 20, constituído 
de uma simples impedância em série entre o primário V1 e o “secundário referido ao 
primário” aV2. No circuito, Rp e Xp, designam as “resistências e reatância equivalente 
referida ao primário”, isto é incluem o secundário multiplicado por a2. 
 221
2
2
1
lalX
RaRR
p
p



 [3-24] 
 
+
_
aV21V
P R PX
1I
 
Figura 20. Circuito equivalente simplificado “referido ao primário”. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 16 
 Para o fluxo do transformador sobre uma carga de fator de potência cos φ2 qualquer, 
o diagrama correspondente está representado na figura 21, onde vemos que a presença do 
transformador se traduz simplesmente por uma queda de tensão entre o primário V1 e o 
“secundário referido ao primário” aV2, e assim por uma pequena modificação do fator de 
potência (φ1 ≠ φ2). 
 
 
 
Figura 21. Diagrama de KAPP “referido ao primário”. 
 
 Tal diagrama é denominado “diagrama de KAPP”, sendo mais prático por permitir 
uma comparação direta de fasores de mesma grandeza: V1 e aV2 (com efeito, se a relação de 
transformação a é bastante elevada, um diagrama representando diretamente V1 e V2 não 
será mais uma escala adequada). 
 
3.8.2 Queda de tensão “de resistência” e queda de tensão de “reatância” 
 
 Com a representação da figura 21 (isto é, referindo um transformador a seu 
primário), vemos que um transformador introduz na rede uma queda de tensão de 
resistência e uma queda de tensão de reatância, definidas respectivamente por: 
1
1
1
1
IXV
IRV
PX
pR

 [3-25] 
 Como os valores dependem do lado ao qual está “referido” o transformador, 
preferimos definir em % do valor nominal da tensão correspondente (eles serão agora 
iguais aos dois lados, ver parágrafo 3.7.4): 
1
1
1
1
100%
100%
V
IX
V
V
IR
V
P
X
p
R


 [3-26] 
 
 
 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 17 
3.8.3 Regulação de tensão 
 
 A queda de tensão total introduzida pelo transformador é igual a diferença entre o 
módulo da tensão primária, 
1V
, e o módulo da tensão secundária referida ao primário, 
2aV
: 
211 aVVV 
 [3-27] 
 
 Sobre o diagrama (figura 17), esta quantidade aparece em CD = CH + HD, se 
seguirmos os círculos de centro O passando pelos extremos dos fasores V1 e RPI1. Assim: 
 
 21211 90coscos   IXIRHDCHCDV PP 
 
221 11
cos  senVVV XR 
 [3-28] 
 
 Da mesma forma que para as quedas de tensão resistiva e reativa, é preferível 
definir esta queda de tensão total de forma relativa, em % da tensão correspondente 
denominada de “regulação de tensão”2: 
 
1
21100.%.
V
aVV
TR


 [3-29] 
 
 As relações [3-26] e [3-28] mostram que podemos exprimir a regulação de tensão 
em função das quedas resistiva e reativa em % pelas relações seguintes (aproximada): 
 
 
22cos.%.  senVVTR XR  [3-30] 
 
 A relação exata decorre do fato dos círculos desenhados na figura 17 serem 
conforme as perpendiculares saídas dos extremos de V1 e RPI1 sobre a reta OC, ou seja: 
 22R2X2X2R senVcosV
200
1
senVcosV.%T.R   [3-31] 
 
3.8.4 NOTA 
 
 Nós escolhemos o procedimento de trazer o transformador a seu primário (índice 1). 
No entanto, há como se referir ao secundário (índice 2) e os resultados obtidos serem 
similares, expresso em %. Para precisar este ponto, desenhamos o circuito equivalente 
“referido ao secundário” (figura 22) com seu diagrama correspondente (figura 23). As 
resistências e reatâncias equivalentes referidas ao secundário valem: 
 
2 A expressão [3-29] é de acordo com a norma francesa. Na norma americana é 
2
21
aV
aVV
100.%T.R


 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 18 
 
222
1
222
1
a
X
l
a
l
X
a
R
R
a
R
R
P
S
P
S









 
+
_
V 2
S
RSX
2I
a
V1
 
Figura 22. Circuito equivalente simplificado “referente ao secundário”. 
 
 
 
Figura 23. Diagrama de KAPP “referido ao secundário”. 
 
 As quedas de tensões de resistência e de reatância valem: 
 
a
V
IXV
a
V
IRV
X
SX
R
SR
1
2
1
2
2
2


 
E a queda de tensão total vale: 
 
2
1
2 V
a
V
V 
 
 
 Não obstante, em valor relativo em %, as quedas são imutáveis. Com efeito: 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 19 
 
















1
21
1
21
1
1pI
1
2S
X
1
1pI
1
21
R
V
aVV
100
a/V
Va/V
100.%T.R
V
X
100
a/V
IX
100%V
V
R
100
a/V
IR
100%V
 
3.8.5 EXEMPLO 
 
 Um transformador de potência nominal aparente S = 50 kVA, utiliza uma rede de 
frequência 60 Hz com relação de tensão 2300/230 V possuindo as seguintes características: 
 
 Enrolamento de alta tensão: resistência = 0,65 Ω 
 indutância de fuga = 1,85 mH. 
 Enrolamento de baixa tensão: resistência = 0,0065 Ω 
 indutância de fuga = 0,0185 mH. 
a) Suponha que o transformador possui potência nominal de 50 kVA entregue a uma carga 
de fator de potência positivo cos φ = 0,8 em atraso (corrente em atraso com relação à 
tensão), com uma tensão efetiva igual à 230 V. Qual é o valor exato da alta tensão de 
alimentação? 
 
b) Qual é a regulação de tensão, em %? 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Escolhe-se como primário a alta tensão (índice1) e como secundário a baixa tensão 
(índice 2), e os dados fornecidos são: 
A7,21
a
I
I
6,0sen378,0cos
A217
230
50000
V
S
I
V230V
10
v
v
n
n
a
2
1
222
2
2
2
2
1
2
1





 
Como procuramos a tensão V1, devemos referir o transformador ao primário, isto é, à 
alta tensão. Construímos então, o diagrama de KAPP correspondente, figura 20, e 
calculamos sucessivamente: 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 20 
1IX P
1IRP
2aV
2
1I
1V
 
 
Figura 24. Exemplo de cálculo. 
 
 





 4,110*)0185,0*1085,1(*60*2
3,10065,0*1065,0
32
2
2
1
2
2
2
1
 lalX
RaRR
P
p
 
 





VIX
VIR
P
p
4,307,21*4,1
2,287,21*3,1
1
1
 
No triângulo retângulo construído sobre V1, tem-se: 
   2221 4,306,0*23002,288,0*2300V 
 
VV 341.21 
 
 
b) Por definição, a “regulação de tensão” vale, em %: 
 
2341
23002341
*100100.%.
1
21 


V
aVV
TR
 
%75,1.. TR
 
 
As quedas de tensão de resistência e reatância, expressas em %, valem: 
 
%3,1
2341
4,30*100
%2,1
2341
2,28*100


X
R
V
V
 
Podemos verificar estes resultados pela fórmula [3-30]: 
 
%74,178,096,06,0*3,18,0*2,1.%. TR
 
 
 
3.9 DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS POR DOIS ENSAIOS 
 
 Quando não dispomos de dados de fabricante, podemos determinar os parâmetros e 
as diferentes perdas que intervêm em um transformador por meio de ensaios. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 21 
 Podemos medir diretamente as resistências de cada um de seus enrolamentos 
fazendo circular uma corrente contínua que podemos medir, bem como a tensão em seus 
bornes, assim 
I
V
R 
(as diversas indutâncias são nulas em corrente contínua). Este ensaio é 
bastante delicado (é necessário uma tensão muito baixa, uma vez que os valores de 
resistência são muito baixos). 
 Os dois ensaios correntemente efetuados são feitos por meio de uma montagem tal 
como na figura 25, quais sejam: 
- Ensaio em circuito aberto, que determina essencialmente as perdas no ferro no interior 
do núcleo, PF, e a corrente de magnetização; 
- Ensaio em curto-circuito, que determina essencialmente as resistências e reatâncias de 
fuga (isto é, as quedas de tensão de resistência e de reatância), bem como a regulação da 
tensão e as perdas Joule. 
 
Varivolt
(Fonte de
tensão variável)
A W
V Transformador
Amperímetro
Voltímetro
Wattímetro
 
 
Figura 25. Circuito de ensaio de um transformador monofásico. 
 
3.9.1 Ensaio em circuito aberto 
 
 Neste ensaio, o secundário deverá estar com circuito aberto e a alimentação do 
primário sob tensão nominal. Se lê nos três instrumentos: 
 





o
o
o
ICorrente
VTensão
PPotência
:
:
:
 
 O transformador não alimenta nenhuma carga, a corrente Io que circula em seu 
primário se reduz a corrente de magnetização Im. Esta, por consequência é muito pequena 
(se o transformador é bem construído). Nestas condições, podemos admitir que a resistência 
R1 e a indutância de fuga l1 do primário não introduzem perdas apreciáveis. Desprezando-
as, se deduz que as perdas medidas pelo wattímetro, são as perdas por histerese e correntes 
de Foucault no ferro: 
fero PP 
 [3-32] 
 Podemos igualmente obter este resultado considerando o circuito equivalente 
referido ao primário tal como desenhado na figura 26 (ligeiramente modificado com relação 
ao da figura 18, movendo para a esquerda o ramo central de magnetização). 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 22 
+
_
Xm
pR p
X
a
i 2
mI
V1
FR
2aV
i1
+
_
 
Figura 26. Circuito equivalente modificado. 
 
 O secundário está em circuito aberto, portanto: 







medidaIII
a
I
m
a
01
0 
 O fator de potência se deduz dos valores medidos: 
oo
o
o
IV
P
cos
 
e podemos calcular os parâmetros RF e Xm do circuito por: 
o
o
F
P
V
R
2

 [3-33] 
oo
o
m
senI
V
X


 [3-34] 
 
3.9.2 Ensaio em curto-circuito 
 
 Neste ensaio, colocamos o secundário em curto-circuito, e alimentamos o primário 
com uma tensão muito pequena (da ordem de 5 à 10% da tensão nominal)3. Se lê nos três 
instrumentos: 





cc
cc
cc
ICorrente
VTensão
PPotência
:
:
:
 
 
 A tensão de alimentação é muito pequena, portanto, podemos desprezar as perdas 
no ferro, ou ainda o ramo de magnetização no circuito da figura 26. 
 De fato, as expressões [2-27] e [2-28], permitem verificar que as perdas no ferro são 
proporcionais ao quadrado da indutância máxima no núcleo, e, a através da relação [2-20] 
se verifica que a indutância máxima é diretamente proporcional à tensão de alimentação. Se 
reduzirmos a tensão de um fator 10, por exemplo, as perdas no ferro serão reduzidas de um 
fator 100 aproximadamente. 
 Supondo que (figura 26): 
 
3 Escolhemos geralmente a tensão de tal sorte que a corrente de curto-circuito seja igual a corrente nominal. O 
wattímetro indica diretamente as perdas Joule do regime nominal. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 23 






)(0
0
2
1
circuitocurtoV
a
I
II am
 
obtemos os valores RP e XP da “resistência equivalente referida ao primário” e da “reatância 
equivalente referida ao primário” (o primário designa o lado onde estão instalados os 
instrumentos). O fator de potência se deduz dos valores medidos: 
 
cccc
cc
cc
IV
P
cos
 
 
e podemos calcular RP e XP por: 
22
2
1
cc
cc
P
I
P
RaRR 
 [3-35] 
cc
cccc
P
I
senV
XaXX

 2
2
1
 [3-36] 
 Para calcular os valores de resistência e indutâncias de fuga individuais do primário 
e do secundário, supomos que as relações apresentadas daqui por diante sejam satisfeitas, 
uma vez que estas significam que o transformador foi construído para ter uma indução 
uniforme no núcleo e um peso de cobre mínimo (ver parágrafo 3.9.2): 
 









]383[
]373[
2
2
1
2
2
1
a
X
X
a
R
R
 
 
3.9.3 EXEMPLO 
 
 Um transformador de características nominais 5 kVA – 60 Hz – 110/220 V forneceu 
os seguintes resultados dos ensaios: 
Circuito aberto (instrumentos instalados na baixa tensão e alta tensão em circuito aberto): 
 








AI
VV
WP
o
o
o
28,2
90
70
 
 
Curto-circuito (instrumentos instalados na baixa tensão e alta tensão em curto-circuito): 








AI
VV
WP
cc
cc
cc
60
10
252
 
 
a) Calcular os parâmetros RF e Xm do ramo de magnetização do circuito equivalente. 
b) Calcular os parâmetros RP e XP do ramo série do circuito equivalente. 
c) Calcular as indutâncias de fuga l1 e l2 de baixa e alta tensão em mH. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 24 
d) Utilizamos esse transformador para fornecer sua potência nominal a uma carga 
puramente resistiva (fatorde potência unitário). Calcular as perdas no ferro e as perdas 
Joule para esse regime. 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) A partir do ensaio de circuito aberto: 
 



7115
70
90
94070
3420
28290
70
22
,
P
V
R
,sen
,
,*IV
P
cos
o
o
F
oo
oo
o
o
 
H,
*
T
,*,senI
V
X
m
oo
m
110
602
42
42
940282
900





 
 
 Lembrando que, o ensaio em circuito aberto é conduzido com uma tensão de 90 V 
diferente da tensão de baixa tensão nominal 110 V, as perdas medidas de 70 W não 
representam as perdas no ferro do regime nominal [ver d]. 
 
b) Do ensaio de curto-circuito, obtemos os valores equivalentes referidos ao lado onde 
estão os instrumentos, isto é, a baixa tensão: 
mHl
I
senP
X
sen
IV
P
I
P
R
P
cc
cccc
P
cccc
cccc
cc
cc
cc
cc
P
4,0
60*2
151,0
151,0
60
907,0*10
907,02,65
42,0
60*10
252
cos
07,0
60
252
22









 
 
O circuito equivalente está desenhado na figura 27. 
 
 
Figura 27. Exemplo de cálculo. 
Alta tensão Baixa tensão 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 25 
 
c) Supondo que as relações [3-38] sejam satisfeitas, obtêm-se: 
 
mHlal
mH
m
a
l
llal
assimlalmaslall
tensãoalta
tensãobaixa
a
p
p
p
2,08,0.)5,0(
8,0
)5,0(2
4,0
2
).(2
:,:
5,0
2
2
2
1
2222
2
2
2
12
2
1




 
 
 
d) Perdas no ferro ou regime nominal 
 
 As perdas no ferro são proporcionais ao quadrado de tensão de alimentação, com 
110 V no primário, elas valem: 
WPF 10542,1*70
90
110
*70
2







 
 
Podemos ver este resultado por meio do circuito (figura 27): 
 
Com 110 V em baixa tensão a corrente ativa na resistência será multiplicada pela 
relação de tensões: 
 
  95,0342,0*
90
110
*28,2cos
min

alnooo
I 
 
 
As perdas ativas na resistência RF são dadas por: 
 
  WIRP ooFF 10595,0*7,115cos*
22   
 
Perdas Joule em regime nominal: 
 
 Desprezando Im, podemos admitir que a corrente nominal de baixa tensão vale: 
AI 5,45
110
5000
1 
 
ou, 
 
WIRP Pjoule 1455,45*07,0
22
1

 
 
Devemos observar que o ensaio de curto-circuito é efetuado de tal sorte que a 
corrente de curto-circuito é igual a corrente nominal (não sendo este o caso do exemplo), 
podendo se ler diretamente do wattímetro as perdas Joule de regime nominal. 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 26 
 
3.10 RENDIMENTO DE UM TRANSFORMADOR 
 
Por definição o rendimento de um transformador é igual a relação entre a potência 
ativa que é fornecida a carga: 
222 cosIVPout 
 
 
e a potência ativa que a rede de alimentação fornece, isto é, a potência precedente 
aumentada das perdas no ferro PF e as perdas Joule: 
 
FSent
SPJ
PIRIVP
IRIRIRIRP


2
2222
2
2
2
1
2
22
2
11
cos
 
Assim, 
 
FSentrada
saída
PIRIV
IV
P
P


2
2222
222
cos
cos


 [3-39] 
 
 Os transformadores são aparelhos de excelente rendimento (normalmente da ordem 
de 96% para os pequenos transformadores e 99% para os grandes), em parte porque são 
estáticos e em parte porque possuem perdas Joule reduzidas se forem escolhidos condutores 
de seções adequadas e também porque as perdas no ferro são muito pequenas nos materiais 
modernos. 
 Existem dois resultados teóricos que permitem otimizar o rendimento e o preço de 
revenda de um transformador. 
 
3.10.1 Teorema número 1 
 
“O rendimento é máximo quando as perdas no ferro são iguais as perdas Joule” 
 
 Em geral, um transformador é utilizado sob uma tensão e frequência constantes. Do 
mesmo modo, o tipo de carga (iluminação, usinas e etc) fixa o cos φ da rede. Considerando 
agora que a corrente solicitada I2 é a única variável, podemos escrever a expressão do 
rendimento, dividindo o numerador e denominador de [3-39] por I2: 
 
2
222
22
cos
cos
I
P
IRV
V
F
S 




 
 A soma dos dois termos variáveis do denominador, RSI2 e 
2I
PF
, onde o produto é 
constante (igual à RSPF), será mínima quando os dois termos forem iguais: nestas 
condições, o rendimento será máximo (denominador mínimo e numerador constante). 
Assim: 
2
2
I
P
IRporquemáximoé FS 
 
ou seja, quando 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 27 
JF PP 
 [3-40] 
 
 Se colocarmos sobre um mesmo gráfico (figura 28) o rendimento e as perdas em 
função da corrente fornecida, vemos que as perdas no ferro são constantes (elas não 
dependem da tensão), e que as perdas Joule variam com o quadrado da corrente. A relação 
[3-40] significa que o rendimento será máximo para o valor de I2 correspondente a 
interseção das duas curvas de perdas (ponto a). 
rendimento
perda Joule
a
Pe
rd
a s
 (W
)
%
2I
max
perda no ferro
 
Figura 28. Rendimento em função da corrente fornecida. 
 
 Os transformadores funcionando em seu regime nominal são geralmente construídos 
de forma que esta condição seja satisfeita. Se fixarmos a potência obtemos o valor do 
rendimento, isto é obtido se fixarmos as perdas Joule e as perdas no ferro. 
 Para uma forma de núcleo conhecida (seção S e comprimento L), as perdas no ferro 
fixam o valor da indução máxima no núcleo 
 
 2
max
BLSfP HH 
 
e, para uma tensão primária dada, a indução máxima fixa o número de enrolamentos do 
primário: 
max
1
1
44,4 BSf
V
n 
 
 
 Para determinar as seções dos fios de cobre das bobinas, utilizamos o segundo 
teorema. 
 
3.10.2 Teorema número 2 
 
 “O volume de cobre utilizado é mínimo quando os volumes de cobre do 
primário e do secundário são iguais”. 
 
 Seja l o comprimento médio das espiras supostas todas iguais, e σ1 e σ2 as seções 
dos condutores procurados. As resistências valem: 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 28 









2
2
2
1
1
1




nl
R
nl
R
 
 
 O volume total de cobre é igual a: 
 2211  nnlv 
 [3-41] 
 
e, por adição, as perdas Joule valem: 






 22
2
22
1
1
1 I
n
I
n
lPJ 

 [3-42] 
Nas duas expressões [3-41] e [3-42], podemos considerar que as variáveis são σ1 e σ2, 
todas as outras quantidades são conhecidas e constantes, exceto v que desejamos seja 
mínimo. Expressando a derivada total de v nula (v mínimo), e que a derivada total de PJ é 
nula (não as variações de perdas Joule em valor absoluto), obtemos: 








0d
In
d
In
0dndn
22
2
2
22
12
1
2
11
2211





 
onde deduzimos que: 
2
2
1
1

II

 
 Esta relação indica que as densidades de correntes no primário e secundário 
obrigatoriamente são iguais. Onde deduzimos, considerando que 
1
2
2
1
n
n
I
I

: 
2211  nn 
 [3-43] 
 
isto é, que os volumes de cobre do primário e do secundário devem ser iguais. 
 
 Uma consequência direta desta condição é que as resistênciasR1 e R2 dos 
enrolamentos devem satisfazer a relação [3-37]. De fato: 
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1 * a
n
n
n
n
R
R









 
 Na prática, este cálculo jamais é diretamente aplicado (tipos de condutores 
disponíveis, geometria particular do núcleo, presença de pontos de passagem de ar, e etc.). 
Podemos agora colocar em jogo o número de espiras, ao manter sua relação 
2
1
n
n
a 
constante. 
 De fato, ao diminuí-los, por exemplo, aumentamos as perdas no ferro (porque 
aumentamos a indução Bmax que é inversamente proporcional ao número de espiras), e 
diminuímos as perdas no cobre (porque diminuímos o comprimento do cobre mantendo a 
seção constante). Pode-se também fazer de sorte que o rendimento seja máximo para a 
carga nominal, ou para a carga média se a potência útil variar muito. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 29 
 
 
3.11 TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 
 
Para alimentar uma rede trifásica, podemos utilizar três transformadores 
monofásicos independentes, onde as conexões externas dependem do tipo de montagem 
“estrela” ou “triângulo”, e neste caso ele deverá dispor de um circuito magnético comum as 
três fases. 
Por razões de economia, podemos usar igualmente um segundo circuito magnético 
e, neste caso, o primário e o secundário de cada fase são bobinas enroladas em volta da 
mesma “coluna” (figura 29). 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 29. Transformador trifásico com 1 carcaça magnética 
(a) com 3 colunas (b) com 5 colunas. 
 
 Normalmente, os fluxos ø1, ø2 e ø3 que circulam em cada coluna constituem um 
sistema equilibrado, de tal sorte que ø1 + ø2 + ø3 = 0 a cada instante. Podemos, dessa forma, 
utilizar uma carcaça desenhada como em (a), à três “colunas” somente. 
 Para permitir que o fluxo circule em caso de desequilíbrio, utilizamos igualmente 
uma carcaça à quatro ou cinco “colunas”, do tipo desenhada em (b). 
 
3.11.1 Generalidades sobre os sistemas “estrela” e “triângulo” 
 
 As redes de distribuição trifásicas são conectadas em “estrela”, ou então em 
“triângulo”, conforme o tipo de carga e a potência fornecida. Resumiremos as propriedades 
importantes desses tipos de conexões para os sistemas supostos equilibrados. 
 Um sistema “estrela” consiste em uma união de três tensões representadas 
esquematicamente e conectadas com na figura 30a. Na prática, estas são as f.e.m. de 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 30 
transformação no secundário do transformador (ver figura 30), ou as f.e.m. de velocidade 
nos enrolamentos do alternador. 
 
Figura 30. Sistema estrela (a) representação convencional. 
(b) diagrama de fasores das tensões. 
 
 Se designarmos por Vø o valor eficaz das tensões de fase (entre O e A, entre O e B e 
entre O e C), estas serão representadas por grandezas variáveis tal como: 
 
























3
2
cos2
3
2
cos2
cos2








tVV
tVV
tVV
OC
OB
OA
 
 
 Se designarmos por VL o valor eficaz das tensões “entre linhas” ou “de linha” (entre 
A e B, entre B e C e entre C e A), aplicando a lei de Kirchoff vemos que valem as seguintes 
relações: 


























3
*
3
*22
3
2
coscos2




tsensenV
ttVVVV OCOACA
 
 






























2
cos3*2
6
5
cos3*2
6
cos3*2









tVV
tVV
tVV
OC
AB
CA
 
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 31 
 O diagrama desses seis fasores consta da figura 30 b. Na prática, vemos que as 
tensões de linha são iguais a 
3
 vezes as tensões de fase defasadas de – 30o com relação a 
estas. De outra forma, é evidente que as correntes de linha e as correntes de fase são iguais: 
 








II
VV
L
L 3
 [3-46] 
 
 Utilizamos as vezes o sistema trifásico “estrela” com um fio neutro (distribuição a 
quatro fios), para que este possa escoar corrente quando houver algum desequilíbrio da 
rede. Se este fio existe, ele não é percorrido por nenhuma corrente quando o sistema está 
equilibrado. 
 Um sistema “triângulo” é constituído por uma junção de três conexões como 
indicado esquematicamente na figura 31a. É evidente, neste modo de conexão, que as 
tensões de “linha” (entre A’ e B’, entre B’ e C’ e entre C’ e A’) são iguais as tensões de 
“fase” (entre A e B, entre B e C e entre C e A). Quanto as correntes, estas passam a ser 
definidas pelas mesmas regras da tensão na configuração estrela. Assim: 
























3
2
cos2
3
2
cos2
cos2








tII
tII
tII
CA
BC
AB
 
de onde deduzimos as expressões das correntes de “linha”: 
 






























6
5
cos3*2
2
cos3*2
6
cos3*2
'
'
'









tII
tII
tII
CC
BB
AA
 
 
 
Figura 31. Sistema “triângulo” (a) representação convencional 
(c) diagrama de fasores das correntes. 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 32 
 
O diagrama dos seis fasores correspondentes está desenhado na figura 31b. Na 
prática, vemos que as correntes de linha são iguais à 
3
vezes a corrente de fase, e 
defasadas de + 30o com relação a estas: 








II
VV
L
L
3
 [3-47] 
 
 No que diz respeito a potência, podemos demonstrar que em uma rede trifásica 
equilibrada este se comporta como uma superposição de três redes monofásicas (redes “em 
fase”). Se designarmos por Iø e Vø as correntes e tensões de fase, e φ sua defasagem (que 
depende da carga), tem-se: 
 cos3 IVP 
 [3-48] 
podemos escrever esta expressão sob a forma equivalente, que é válida seja para montagem 
em estrela ou em triângulo: 
cos3 LLIVP 
 [3-49] 
 
 Nesta expressão [3-49] chama-se a atenção para o fato de φ designar a defasagem 
não entre IL e VL, mas entre Iø e Vø. 
 
 
3.12 SISTEMA POR UNIDADE 
 
 É comum encontrarmos equipamentos de potência com suas grandezas 
características expressas, não em valores reais, mais em valores normalizados ou 
percentuais do nominal correspondente. 
 
O sistema por unidade, ou simplesmente sistema p.u., consiste na definição de 
valores de base para as grandezas (tensão, corrente, potência e etc), seguida da substituição 
dos valores das variáveis e constantes (expressas no Sistema Internacional de unidades) 
pelas suas relações com os valores de base pré-definidos. Os cálculos são realizados em 
p.u. e os resultados convertidos para o Sistema Internacional de unidades. 
 
Dadas as relações existentes entre as unidades, só poderão definir-se duas bases 
independentes, a partir das quais se calculam todas as outras. Num sistema de energia, é 
comum definir como bases independentes a potência aparente total (Sb) e a tensão nominal 
(Vb). A partir desses valores, todas as demais grandezas ficam ligadas a estas pelas leisdos 
circuitos elétricos. 
No sistema trifásico aplicamos o sistema pu por fase. Assim podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
base
base,
base
base,
base,
base
base,
base
base,
base
base,
S
V
Z
S
V
Z
V
S
I
S
S
2
2
3
3
3










Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 33 
 
 
 
 
Exercício: Um sistema de potência simples é apresentado na figura 32. Este sistema 
contêm um gerador de 480 V conectado a um transformador elevador 1:10, uma linha de 
transmissão, um transformador ideal rebaixador 20:1 e uma carga. A impedância da linha 
de transmissão é 20 + j 60 Ω, e a impedância da carga é 
3010
. Os valores de base 
desse sistema são 480 V e 10 kVA no gerador. 
(a) Encontre a base da tensão, corrente, impedância e potência aparente para cada região 
do sistema de potência. 
(b) Converter esse sistema para seu equivalente em pu. 
(c) Encontrar a potência fornecida para a carga neste sistema. 
(d) Encontre a perda de potência na linha de transmissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32. Sistema de potência. 
 
Solução: 
(a) Na região do gerador, V
base
 = 480 V e S
base
 = 10 kVA, assim 
 
 
 
 
 
 
 
A relação de transformação do transformador T1 é a = 1/10 = 0,1, assim a tensão base na 
região da linha de transmissão (região 2) é 
 
 
 
 
e as outras quantidades são 
 
 
 
 
 


04,23
83,20
480
83,20
480
000.10
1
1
1
1
1
A
V
I
V
Z
A
V
VA
V
S
I
base
base
base
base
base
base
V.
,
V
a
V
V
base
base 8004
10
4801
2 



304.2
083.2
800.4
083.2
800.4
000.10
10
2
2
2
A
V
Z
A
V
VA
I
kVAS
base
base
base
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 34 
 
 
 
A relação de transformação do transformador T2 é a = 20/1 = 20, assim a tensão base na 
região de carga (região 3) é 
 
 
e as outras quantidades são 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Para converter o sistema de potência para um sistema pu, cada componente deve ser 
dividido por seus valores de base nas diferentes regiões do sistema. 
 
A tensão por unidade do gerador é seu valor atual dividido por seu valor de base: 
 
 
 
A impedância da linha de transmissão em pu é seu valor atual dividido por seu valor de 
base: 
 
 
 
A impedância de carga em pu é seu valor atual dividido por seu valor de base: 
 
 
 
 
O circuito equivalente em pu do sistema de potência é mostrado na figura 33. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
V
a
V
V
base
base 240
20
48002
3 



76,5
67,41
240
67,41
240
000.10
10
3
3
3
A
V
Z
A
V
VA
I
kVAS
base
base
base
pu
V
V
V puG 0,1
480
0480
, 


puj
j
Z pulinha 0260,00087,0
304.2
6020
, 



puZ puac 


 30736,1
76,5
3010
,arg
Ilinha Icarga 
 
puZ ac  30736,1arg
I
G,pu
=I
linha,pu
=I
carga,pu
=I
pu
 
Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 35 
 
 
Figura 33 
(c) A corrente que circula no circuito equivalente em pu é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a potência da carga em p.u. é 
 
 
 
e a potência fornecida à carga é 
 
 
 
 
 
(d) A perda de potência por unidade na linha de transmissão é 
 
 
 
e a potência atual perdida na linha de transmissão é 
 
 
 
   
   
 
pu
j
jj
j
Z
V
I
putot
pu
pu














6,30569,0
6,30757,1
01
894,0512,1
01
868,0503,10260,00087,0
01
30736,10260,00087,0
01
,
    487,0503,1569,0 22,arg  pupuac RIP pu
  
W
VASPP basepuacac
870.4
000.10487,0,argarg


    00282,00087,0569,0 2,
2
,  pulinhapulinha RIP pu
  
W
VASPP basepulinhalinha
2,28
000.1000282,0,


Conversão de Energia – Parte III 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 36 
DESENHO EXPLODIDO DE UM TRANSFORMADOR TRIFÁSICO 
DE DISTRIBUIÇÃO