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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP 
Colegiado do Curso de Engenharia de Produção 
Campus João Monlevade 
 
 
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MODELAGEM DO SISTEMA DE PRODUÇÃO DE UMA 
EMPRESA DE VEÍCULOS AUTOMOTIVOS ADAPTADOS 
 
 
 
 
Marco Antônio Bonelli Júnior 
 
 
Orientador: Prof. Me. Thiago Augusto de Oliveira Silva 
 
 
 
João Monlevade, 2014 
 
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Marco Antônio Bonelli Júnior 
 
MODELAGEM DO SISTEMA DE PRODUÇÃO DE UMA 
EMPRESA DE VEÍCULOS AUTOMOTIVOS ADAPTADOS 
 
 
 
 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 
ao curso de Engenharia de Produção da 
Universidade Federal de Ouro Preto como 
parte dos requisitos para a obtenção do título 
de Bacharel em Engenharia de Produção. 
 
 
 
Orientador: Prof. Me. Thiago Augusto de Oliveira Silva 
 
 
 
João Monlevade, 2014 
 
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TERMO DE RESPONSABILIDADE 
 
 
O texto do trabalho de conclusão de curso intitulado “MODELAGEM DO SISTEMA DE PRODUÇÃO 
DE UMA EMPRESA DE VEÍCULOS AUTOMOTIVOS ADAPTADOS, é de minha inteira 
responsabilidade. Declaro que não há utilização indevida de texto, material fotográfico, código 
fonte de programa ou qualquer outro material pertencente a terceiros sem as devidas referências 
ou consentimento dos referidos autores. 
 
 
 
João Monlevade, 23 de Julho de 2014. 
 
 
 
 
____________________________________ 
Marco Antônio Bonelli Júnior 
 
 
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AGRADECIMENTOS 
Em primeiro lugar, agradeço a Universidade Federal de Ouro Preto, instituição de ensino que 
tornou possível minha graduação em Engenharia de Produção. Agradeço também a todos os 
professores desta instituição, pois foram estes os grandes responsáveis pelos conhecimentos que 
obtive durante toda minha estadia dentro da universidade. 
Ao Prof. Me. Thiago Augusto de Oliveira Silva e à Prof.ª Dr.ª Mônica do Amaral pela confiança na 
realização de projetos durante a graduação e principalmente pela orientação durante o 
desenvolvimento deste trabalho. 
Aos grandes amigos e colegas, pois estes me fizeram companhia nos momentos de concentração 
ou brincadeiras infantis, de tentativas de estudos ou estudos verdadeiros, de tristezas ou alegrias 
e em todos os demais momentos pelos quais passei durante a minha graduação. 
À República Domínio & Cana, por ter me dado abrigo nesses pouco mais de quatro anos, e que 
nesse tempo foi sinônimo de companheirismo. 
Reservo também agradecimentos aos senhores Sebastião Nunes e Domingos P. Nunes, 
proprietários da empresa utilizada para a confecção da presente pesquisa, que me abriram as 
portas para a realização de meu estágio curricular e posteriormente o desenvolvimento deste 
trabalho. 
Por fim, porém não menos importante, agradeço à minha Família, pois estes são os grandes 
responsáveis pela pessoa que sou e sempre foram a base que me possibilitou todo e qualquer 
feito que alcancei em minha vida. 
A todos estes, meus sinceros agradecimentos. 
 
 
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RESUMO 
Obter maiores índices de produtividade se torna a cada momento mais importante para a 
sobrevivência das empresas, porém aumentar a produtividade de um sistema produtivo pode se 
tornar uma atividade de extremo risco à empresa se for buscado pelo método da tentativa e erro. 
Nesse âmbito, muitos autores realizam estudos criando formas e modelos de se alcançar esses 
altos índices de produtividade para um dado sistema produtivo, utilizando de modelagens 
matemáticas e técnicas de pesquisa operacional. Utilizando desse pensamento, o presente 
trabalho visa o entendimento do processo de produção de uma empresa de veículos automotivos 
adaptados, de modo a criar modelos matemáticos que busquem a melhoria do processo produtivo, 
possibilitando a empresa alcançar maiores índices de produção. Para a criação dos modelos 
matemáticos, foram utilizados de conceitos de lot-sizing and scheduling e assembly line balancing, 
no qual posteriormente utilizaram-se de tecnologias da pesquisa operacional para a resolução 
destes modelos. Para o teste dos modelos propostos foram criados problemas reduzidos que 
seguem a lógica do processo real da empresa pesquisada de modo a observar os resultados e, 
principalmente, se as execuções dos modelos retornavam resultados pertinentes ao problema 
tratado. Também foram criadas heurísticas baseadas no método Relax and Fix em busca de 
ganhos consideráveis em relação ao tempo de execução. Por fim, pontuou-se sobre os resultados 
dos modelos com a execução dos sub problemas criados, comparando-se os resultados de tempo 
e solução objetivo das execuções dos modelos inteiros com os resultados obtidos pelas heurísticas. 
 
Palavras-chave: balanceamento de linha; sequenciamento de linha; dimensionamento de lotes; 
pesquisa operacional; modelagem de sistemas produtivos; relax and fix. 
 
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ABSTRACT 
Obtaining higher indexes of productivity becomes at every moment more important to the 
survival of the companies, however increasing the productivity of a productive system can become 
an activity of extreme risk to the company if it’s searched by the trial and error method. In this 
ambit, many authors make studies by creating ways and models to reach these high indexes of 
productivity to a productive system given, using mathematical models and techniques of 
operational research. Using this thought, this current work aims at the understanding of the 
process of production of a company of adapted automobiles, in order to create mathematical 
models that will reach the improvement of the productive process, enabling the company to reach 
higher indexes of production. To create mathematical models, the concepts used were the “lot-
sizing and scheduling” and “assembly line balancing”, where posteriorly the technologies of 
operational research were used to the resolution of these models. To test the suggested models, 
reduced problems were created that follow the logic of the real process of the researched 
company in order to observe the results and, mainly, if the executions of the models returned 
relevant results to the treated problem. Also heuristics were created, based on the Relax and Fix 
method in search of considerable gains related to the time of execution. Lastly, the results of the 
models with the execution of the subproblems were pointed out, compared to the results of time 
and objective solution of the executions of the entire models with the obtained results through 
the heuristics. 
 
Keywords: assembly line balancing; assembly line scheduling; lot-sizing; operational research; 
production systems modeling; relax and fix. 
 
 
 
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INDÍCE DE FIGURAS 
Figura 1 - Modelo de pesquisa para modelagem e simulação Fonte: Adaptado de TURRIONI & 
MELLO (2012) ..................................................................................................................................... 16 
Figura 2 - Linhas de Montagem Simples e Mista ............................................................................... 18 
Figura 3 – Veículo Automotivo Adaptado Modelo Furgão Térmico para Transporte de Cargas ...... 27 
Figura 4 - Atividades para produção do subproduto 50 .................................................................... 29 
Figura 5 - Atividades para produção do subproduto 82 .................................................................... 29 
Figura 6 - Modelagem do banco de dados no MySQL Workbench ................................................... 30 
Figura 7 - Capacidade produtiva dos funcionários ............................................................................ 31 
Figura 8 - Capacidade produtiva dos equipamentos ......................................................................... 31 
Figura 9 - Tempo de processamento de atividades para o funcionário Soldador 01 ........................ 32 
Figura 10 - Relação de procedência do problema reduzido nº1 ....................................................... 41 
Figura 11 - Comparação dos tempos de execução, em porcentagem, na execução do primeiro 
modelo matemático ........................................................................................................................... 45 
Figura 12 - Comparação dos tempos de execução, em porcentagem, na execução do segundo 
modelo matemático ........................................................................................................................... 46 
Figura 13 - Comparação dos valores da função objetivo, em porcentagem, na execução do 
primeiro modelo matemático ............................................................................................................ 47 
Figura 14 - Comparação dos valores da função objetivo, em porcentagem, na execução do 
segundo modelo matemático ............................................................................................................ 47 
Figura 15 - Comparação do valor objetivo dos modelos propostos para as instâncias criadas ........ 48 
 
 
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INDÍCE DE TABELAS 
Tabela 1 - Parâmetros utilizados no problema. ................................................................................. 33 
Tabela 2 - Variáveis de decisão utilizadas no problema. ................................................................... 34 
Tabela 3 - Conjuntos de índices utilizados no problema. .................................................................. 34 
Tabela 4 - Utilização de Equipamentos Para Cada Atividade ............................................................ 41 
Tabela 5 - Utilização de Funcionários Para Cada Atividade ............................................................... 42 
Tabela 6 - Tempos de execução dos problemas resumidos para o primeiro modelo matemático. . 45 
Tabela 7 - Tempos de execução dos problemas resumidos para o segundo modelo matemático. . 45 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 12 
1.1. Objetivos ................................................................................................................................. 13 
1.1.1. Objetivo Geral .............................................................................................................. 13 
1.1.2. Objetivo Específico ...................................................................................................... 14 
1.2. Metodologia ........................................................................................................................... 14 
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................................................. 18 
2.1. Linha de Montagem ................................................................................................................ 18 
2.2. Planejamento e Controle da Produção ................................................................................... 19 
2.3. Mapeamento de Processos ..................................................................................................... 20 
2.4. Balanceamento de uma Linha de Montagem ......................................................................... 21 
2.4.1. Balanceamento de uma Linha de Montagem Simples (SALBP) ....................................... 22 
2.4.2. Balanceamento de uma Linha de Montagem Orientada por Custos ............................... 23 
2.5. Sequenciamento de uma Linha de Montagem ....................................................................... 23 
2.6. Dimensionamento de Lotes – Lot-Sizing ................................................................................. 24 
3. DESENVOLVIMENTO ........................................................................................................................ 4 
3.1. Apresentação da Empresa ...................................................................................................... 27 
3.1.1. Caracterização da Empresa .............................................................................................. 27 
3.1.2. O Processo Produtivo da Empresa ................................................................................... 27 
3.1.3. Os Equipamentos do Setor de Produção .......................................................................... 27 
3.1.4. Os Recursos de Mão de Obra do Setor de Produção ....................................................... 28 
3.2. Mapeamento dos Processos da Empresa ............................................................................... 28 
3.3. Capacidade Produtiva Atual dos Recursos da Empresa ......................................................... 28 
 
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3.4. Os Modelos Propostos ............................................................................................................ 33 
3.5. As Heurísticas Propostas ........................................................................................................ 38 
4. RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................................................. 40 
4.1. Informações Detalhadas Sobre o Problema Reduzido nº 1 .................................................... 40 
4.2. Informações Gerais Sobre os Problemas Reduzidos nº 2, nº3 e nº4 ...................................... 43 
4.2.1. Problema Reduzido nº 2 .................................................................................................. 43 
4.2.2. Problema Reduzido nº 3 .................................................................................................. 43 
4.2.2. Problema Reduzido nº 4 .................................................................................................. 44 
4.3. Resultados Obtidos e Comparações ........................................................................................44 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................................ 49 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... 50 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
Em um contexto em que as decisões estratégicas tomadas pelas empresas podem significar sua 
sobrevivência, dados os grandes níveis de incertezas que o mercado apresenta, a criação de 
ferramentas de auxílio a decisão torna-se algo de suma importância já que ajudam ao empresário 
a escolher dentre as diversas opções existentes uma que melhor satisfaça ao contexto atual de sua 
empresa. 
Quando se tratam de empresas que contenham um setor produtivo, tomar boas decisões em 
relação aos processos de produção torna-se uma atividade crítica, já que estas influenciam 
diretamente no preço pelo qual o produto vai ao mercado, no nível de oferta de produtos e no 
tempo de atendimento a demanda. 
Tendo esse problema em mente e sabendo de sua importância em situações reais do mercado, 
diversos autores descrevem diferentes modos de se obter um bom planejamento de produção de 
modo a aumentar a eficiência do processo produtivo e, com isso, obter maior competitividade no 
mercado. 
Utilizando destas visões, primeiramente o presente trabalho visa a utilização de Modelagem 
Matemática e posteriormente a aplicação de ferramentas da Pesquisa Operacional, como a 
programação inteira mista e heurísticas, para a resolução de um caso particular do setor produtivo 
de uma empresa de veículos automotivos adaptados. As modelagens desenvolvidas neste trabalho 
visam gerar ao setor produtivo da empresa um melhor balanceamento dos recursos do setor, a 
sequência no qual os itens devem entrar na linha para serem produzidos, seus respectivos tempos 
e os tamanhos dos lotes de produção de cada item. 
Em um segundo momento, procurou-se o desenvolvimento e aplicação de heurísticas aos modelos 
criados de modo a diminuir o tempo de resposta do modelo, tornando-o viável para a aplicação 
rotineira na empresa. Para isto, utilizou-se da heurística Relax and Fix para buscar essa redução do 
tempo de execução dos modelos criados, sem que se perdesse grandes parcelas da otimalidade 
das soluções geradas. 
 
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Como resultados deste trabalho, são apresentados dois tipos de informações: 
 Do detalhamento do processo produtivo da empresa pesquisada 
 Do desenvolvimento dos modelos matemáticos e de seus métodos de resolução 
No que diz respeito ao modelo atual de produção da empresa, são apresentados os níveis de 
ocupação dos recursos e suas respectivas capacidades. Já sobre o desenvolvimento dos modelos 
matemáticos e de seus métodos de resolução, são apresentados os modelos criados, a lógica 
utilizada para a criação das heurísticas e, posteriormente, são feitas as comparações dentre todos 
os resultados obtidos. Por fim, são descritas as conclusões retiradas das análises dos resultados 
obtidos, bem como a apresentação de sugestões de melhoria aos métodos criados neste trabalho. 
Para o desenvolvimento desta pesquisa e geração dos resultados descritos acima, este trabalho 
utiliza a seguinte estrutura para apresentação das informações: na seção 1.1, serão descritos os 
objetivos deste trabalho. Na seção 1.2 apresenta-se a metodologia utilizada para o 
desenvolvimento das atividades e ações desta pesquisa. Na seção 2 faz-se uma revisão 
bibliográfica sobre os temas que serão abordados durante o desenvolver deste trabalho. A seção 3 
se inicia com a caraterização da empresa e de seu setor de produção, e posteriormente mostra-se 
os modelos matemáticos propostos para o setor produtivo da empresa no qual se realizou este 
trabalho, além da descrição da lógica utilizada para as heurísticas que foram implementadas. Na 
seção 4 apresentam-se os resultados obtidos, bem como a análise e comparação dos mesmos. Por 
fim, fazem-se as considerações finais sobre o trabalho na seção 5. 
1.1. Objetivos 
1.1.1. Objetivo Geral 
Esta pesquisa tem como objetivo a aplicação de conhecimentos da Engenharia de Produção para a 
construção de um modelo matemático que busca aumentar a produtividade de uma linha de 
montagem e manufatura de uma empresa de pequeno porte, aplicando ferramentas de 
Planejamento e Controle de Produção e Pesquisa Operacional. 
 
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Com isso, pretende-se conhecer as capacidades dos recursos, de modo a balanceá-los por meio de 
modelos computacionais. 
1.1.2. Objetivo Específico 
No decorrer desta pesquisa, almejam-se dos seguintes objetivos específicos: 
 Acompanhar e mapear o processo real da empresa analisada. 
 Definir o modelo conceitual adequado à realidade da empresa analisada. 
 Construir os modelos matemáticos e computacionais para balanceamento e 
sequenciamento do processo produtivo analisado. 
1.2. Metodologia 
“Os métodos de pesquisa assim como os instrumentos utilizados para a coleta de dados devem ser 
escolhidos de acordo com o propósito de cada investigação” (BERTO & NAKANO, 1998). 
Podemos dizer que determinar qual o propósito que se busca é o primeiro passo a ser tomado 
para a confecção de uma boa pesquisa. Para isso, BERTO & NAKANO (1998), dizem que a literatura 
contém quatro propósitos básicos de pesquisa científica, sendo eles: 
 Exploratória: envolve a tentativa de determinar se um fenômeno é ou não real; 
 Descritiva: envolve a procura pela definição ou diferenciação de um fenômeno, buscando 
conhecer sua essência; 
 Explanatória: envolve o ato de examinar a relação de causa e efeito entre dois ou mais 
fenômenos; 
 Preditiva: envolve a identificação de relações que permitam a especulação sobre um 
determinado fenômeno, onde utiliza-se como ferramenta apenas conhecimentos já 
existentes na literatura. 
 
 
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O segundo passo é definir a abordagem que mais se adequa aos propósitos que se buscam com a 
pesquisa. Para isto, MARTINS (2010) diz que a literatura apresenta abordagens de metodologias 
para desenvolvimento de pesquisas de características qualitativas e quantitativas, em que a 
abordagem qualitativa requer certa subjetividade dos indivíduos envolvidos, o que não ocorre na 
abordagem quantitativa, uma vez que para esta abordagem qualquer interferência dos envolvidos 
podem causar variações nos resultados das análises. 
Segundo MARTINS (2010), para uma abordagem quantitativa é necessário que as variáveis sejam 
possíveis de se mensurar e que possam ser replicadas por outro pesquisador que venha a realizar 
pesquisas na mesma linha. 
Com isso, esta pesquisa define-se como uma pesquisa descritiva de caráter quantitativo, já que 
esta visa o estudo de um processo produtivo para a captação de dados reais do processo com o 
intuito de conhecê-lo, afim de criar modelagem matemática que possa melhorar os seus 
resultados. 
TURRIONI & MELLO (2012) definem o experimento, a pesquisa levantamento (survey) e a 
modelagem e simulação como os métodos de pesquisa mais importantes dentre os métodos 
quantitativos. 
BERTRAND & FRANZOO (2002) citado em TURRIONI &MELLO (2012), definem o seguinte modelo 
de pesquisa para os métodos quantitativos de modelagem e simulação: 
 
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Figura 1 - Modelo de pesquisa para modelagem e simulação 
Fonte: Adaptado de TURRIONI & MELLO (2012) 
 
Na fase de conceitualização, cria-se o modelo conceitual do problema levando em consideração as 
variáveis necessárias para o modelo e o escopo no qual o modelo será aplicado. Na fase de 
modelagem, é construído o modelo quantitativo, onde se define a relação de causa e efeito entre 
as variáveis definidas e os resultados almejados. Na fase de solução pelo modelo, gera-se os 
resultados da modelagem matemática ou simulação. Por fim, tem-se a fase de implementação, em 
que os resultados gerados são implementados e então, o ciclo pode ser recomeçado. 
Seguindo a linha de pensamento já existente na literatura, este trabalho seguiu a seguinte 
sequência de ações: 
 Conceitualização: definição dos problemas do processo analisado, levando-se em 
consideração as análises dos dados coletados in loco, de modo a definir o objetivo do 
modelo matemático a ser construído. 
 
Modelo 
Conceitual
Modelo 
Científico
Solução
Situação do 
Problema Real
VALIDAÇÃO 
 
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 Modelagem: busca de referências na literatura sobre o tema definido, buscado conhecer as 
variáveis necessárias ao modelo para que se pudesse gerar os resultados que eram 
objetivados e, posteriormente, realização da modelagem matemática. 
 Solução pelo modelo: criação de problemas reduzidos para que se pudesse testar os 
modelos construídos, de modo a tornar possível a análise das soluções geradas. 
 Implementação: não aplicou-se a esta pesquisa. 
Dentre as etapas citadas, pode-se apontar as etapas existentes na fase de conceitualização como 
as mais críticas deste trabalho, pois estas eram fundamentais para que se fosse feita uma 
definição verdadeira sobre os problemas existentes no processo produtivo estudado e, com isso, 
se tomassem decisões corretas nas etapas seguintes. 
 
 
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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1. Linha de Montagem 
Segundo COELHO (2007), linhas e montagem “são sistemas de produção orientados por fluxo 
presentes especialmente em indústrias de alto volume de bens padronizados”. Essas linhas podem 
ser constituídas por sistemas de produção manuais ou automatizadas. 
COELHO (2007) também diz que, as linhas de montagem contêm dois princípios básicos, que são a 
intercambialidade e a divisão de trabalho. 
SMIDERLE et al (1997) divide as linhas de montagem em dois tipos, que são mostrados na Figura 2. 
 
Figura 2 - Linhas de Montagem Simples e Mista 
Uma linha de montagem simples, é aquela cuja qual gera somente um único tipo de produto 
padronizado. Já uma linha de montagem mista, é aquela que gera mais de um tipo de produto 
padronizado. 
Linhas de montagem são comumente utilizadas em situações em que se demanda um alto volume 
de produtos, pois estas têm como vantagem perdas de produtividade reduzidas devido a tempos 
de setup e preparação de materiais, pois as atividades em uma linha de montagem contêm alta 
repetitividade de tarefas nas estações de trabalho. COELHO (2007) diz que, em uma linha de 
montagem “[...] não há necessidade de grandes filas de materiais em processo, proporcionando, 
além da economia de espaço, redução dos custos de manutenção de estoques e aumento da taxa 
de saída do processo”. 
Uma linha de montagem pode ser formulada de três maneiras: uma linha única, na qual cada 
 
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trabalhador executa uma função única; ou várias linhas paralelas com uma estação apenas, onde o 
trabalhador executa todas as atividades existentes na confecção do produto; ou então um misto 
das duas opções anteriores. 
Em uma linha de montagem única onde os trabalhadores executam mais de uma tarefa deve-se 
tomar cuidado quanto ao tempo de operação das estações, pois neste caso o tempo de ciclo da 
linha é ditado pela estação mais lenta (conhecido na literatura como recurso gargalo). Logo, 
devem-se dividir as tarefas entre as estações de modo a tornar a linha mais cadenciada possível. 
Quando estabelecer a cadência da linha não é possível, utilizam-se de buffers. Estes são estoques 
intermediários internos, inseridos na linha de modo a minimizar a diferença entre as estações e 
variabilidades da linha. 
2.2. Planejamento e Controle da Produção 
O Planejamento e Controle da Produção (PCP) é responsável pelo desenvolvimento de técnicas e 
tecnologias que auxiliam na gestão do processo produtivo da empresa, de modo a contribuir para 
uma maior utilização de recursos disponíveis, gerando rendimento e produtividade. 
Segundo MARTINS (2011) “a produção é a função central das organizações já que é aquela que vai 
se incumbir de alcançar o objetivo principal da empresa, ou seja, sua razão de existir”. Com isso, 
nota-se a importância de se definir de maneira objetiva e cautelosa o PCP dentro da empresa, pois 
este, além de ter um elevado grau de importância, pode influir em diversos aspectos na empresa 
tais como: arranjos da produção, sistemas de produção, controle de processos, etc. 
Um sistema de PCP robusto aplicado dentro de uma empresa traz à ela uma melhoria contínua 
dentro de seu processo produtivo, e este, como consequência, tende a influenciar positivamente 
na parte financeira da empresa, além de garantir a estas, devido a sua melhor utilização de 
recursos, uma maior chance de sobrevivência no mercado. 
“As empresas que não adaptarem sua forma de agir e não buscar melhorias contínuas terão cada 
vez menos espaço de mercado” (MARTINS, 2011). 
 
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Contudo, não podemos ver o PCP com dimensões que estejam somente dentro da empresa, deve-
se também ter em mente sua interface com o consumidor final. Pode-se pensar no PCP também 
como um sistema que visa “garantir que os processos da produção ocorram eficaz e 
eficientemente e que produzam produtos e serviços conforme requeridos pelos consumidores.” 
SLACK et al (2002) citado em CASELLI & ALMEIDA (2012). 
De modo a incluir o consumidor final dentro do PCP, tecnologias foram criadas, sendo elas 
tecnologias de gestão – ex: Just in Time – e tecnologias de informação – ex: sistemas ERP. 
De acordo com GONÇALVES (2010) 
O sistema ERP tem como objetivo permitir que as empresas possuam uma maior 
integração entre os processos da organização, pois quanto mais preciso e ágil o fluxo das 
informações, maior vai ser a velocidade com que esta informação será processada, o que é 
essencial para atender a velocidade do mercado. 
Outras tecnologias de PCP também são encontradas na literatura, porém tanto as aqui 
explicitadas como as demais existentes, se analisadas, possuem um fundamento que converge a 
um mesmo ponto: atender de modo eficaz a demanda do mercado ao mesmo tempo em que não 
desperdice os recursos envolvidos no processo. 
2.3. Mapeamento de Processos 
Antes de realizar qualquer ação dentro de um sistema produtivo, estudá-lo de modo aprofundadoé algo crucial para o alcance do objetivo desejado. Neste âmbito, conhecer os processos que são 
realizados e em quais recursos eles tem influência pode ser considerado um ponto crítico neste 
estudo. 
Mapear os processos possibilita a visualização do processo tanto como um sistema, como de 
forma fracionada, podendo então ser identificadas as atividades agregadoras e não agregadoras 
de valor. 
 
 
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Para CUNHA (2012) 
[…] a escolha do mapeamento como ferramenta de melhoria se baseia em seus conceitos e 
técnicas que quando empregadas de forma correta, permite documentar todos os 
elementos que compõem um processo e corrigir qualquer um desses elementos que esteja 
com problemas sendo uma ferramenta que auxilia na detecção das atividades não 
agregadoras de valor. 
O mapeamento de processos é constituído de diversas técnicas, podendo ser aplicados de 
diferentes modos na empresa de forma a levar à tona diferentes enfoques desejados. Tais técnicas 
podem ser implementadas em conjunto ou individualmente, tendo como base o objetivo desejado 
pelo pesquisador. 
2.4. Balanceamento de uma Linha de Montagem 
O balanceamento de uma linha produtiva pode ser dito como o ajuste das estações de trabalho, 
tendo como parâmetro a demanda requerida pelo processo produtivo, de modo a maximizar a 
utilização das estações e cadenciar o tempo unitário de execução do produto em suas operações 
(FESTUGATTO et al, 2006). 
Logo, de forma simplificada podemos dizer que o balanceamento é a distribuição da carga das 
diversas operações existentes no processo de produção de forma a tornar o tempo de operação 
das múltiplas estações de trabalho o mais uniforme possível. 
Um bom nível de balanceamento das estações de trabalho afeta diretamente na minimização do 
tempo de ciclo do produto e na redução, ou eliminação, dos gargalos produtivos. 
Para CARRAVILLA (1998), o balanceamento de uma linha de montagem pode ter dois objetivos 
distintos: 
 Dado um tempo de ciclo, minimizar o número de estações de trabalho. 
 Dado um número de estações de trabalho, minimizar o tempo de ciclo. 
 
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22 
 
Para que estes objetivos possam ser alcançados, CARRAVILLA (1998) diz que para a realização de 
um balanceamento algumas variáveis devem ser analisadas: 
 𝑁: número de estações da linha produtiva. 
 𝑐: tempo de ciclo. 
 𝑇𝑖: Tempo de operação da i-ésima operação realizada em sua respectiva estação. 
 𝑆𝑈𝑀(𝑇𝑖): tempo total de produção de uma unidade do produto final, não levando em 
consideração os tempos de parada. 
 𝑁𝑚𝑖𝑛: número mínimo de estações de trabalho necessárias para a confecção do produto 
dentro do tempo de ciclo especificado. 
 𝑁𝐶 : tempo total gasto com a produção da unidade de produto final, levando em 
consideração os tempos de parada. 
Em sistemas produtivos que contém diversas operações e estações, o balanceamento da mesma 
torna-se algo complexo para ser realizado manualmente. Para a resolução deste problema, 
diversos autores descrevem heurísticas e modelos matemáticos que visam a resolução de 
problemas de balanceamento tornando possível sua resolução de modo computacional. 
O problema de balanceamento de linha de montagem (Assembly Line Balancing Problem – ALBP) 
já se tornou difundido na literatura, podendo ser encontradas diversas proposições sobre funções 
objetivas para a solução deste problema. 
2.4.1. Balanceamento de uma Linha de Montagem Simples (SALBP) 
O balanceamento de uma linha de montagem simples é o modelo mais clássico para a solução de 
um ALBP. Esta tem como pressuposto que todas as estações de trabalho estão igualmente 
equipadas, ou seja, todas podem realizar as mesmas operações, que a linha de produção tem 
como final um único produto e que os tempos de operação 𝑡𝑗 são determinísticos. 
 
 
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23 
 
Com isso, SCHOLL & BECKER (2006) resumem este problema em maximizar a eficiência da linha de 
montagem, onde a eficiência E é dada por 𝐸 = 𝑡𝑠𝑢𝑚/(𝑁. 𝑐), sendo 𝑡𝑠𝑢𝑚 o somatório dos tempos 
de operação 𝑡𝑗. 
2.4.2. Balanceamento de uma Linha de Montagem Orientada por Custos 
Diferentemente dos demais modelos de balanceamento que visam o tempo, este tem como 
objetivo a minimização dos custos unitários dos produtos finais da linha. 
Para AMEN (2006), deve-se primeiramente analisar o custo do trabalho, pois, o pagamento de um 
trabalhador é relacionado ao valor do trabalho e deriva de meios conhecidos de sistemas de 
medição de trabalho. 
Posteriormente, também se analisa os custos dos equipamentos e os custos relacionados aos 
transportes de materiais. Este último é de grande importância, pois está diretamente ligado ao 
tamanho total da linha, ou seja, da quantidade de estações que esta possui. 
AMEN (2006) propõe para este problema a solução que diz que os custos por produto 𝑘 são 
definidos por 𝑘 = 𝑐. ∑ 𝑚𝑎𝑥{𝑘𝑖
𝑡|𝑖 ∈ 𝐼𝑚
𝑠 }𝑀𝑚=1 , onde: 
 c é o tempo de ciclo. 
 𝑘𝑖
𝑡 é o custo da atividade 𝑖. 
 𝐼𝑚
𝑠 é o conjunto de tarefas atribuídas a estação de trabalho 𝑚. 
(Legendas: s – atribuições às estações, t – atribuições às tarefas) 
2.5. Sequenciamento de uma Linha de Montagem 
Segundo SATHISH (2012), um problema de sequenciamento consiste em reduzir a sobrecarga de 
trabalho, aplicando sequências em que processos com maior e menor tempo de processamento se 
alternam em busca de uma sequência eficiente, sendo o foco maior do sequenciamento no chão 
de fábrica. 
 
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24 
 
SATHISH (2012) informa também que para se construir um modelo eficiente de sequenciamento, 
estes devem ser previstos em cada momento do ciclo, tendo como parâmetros o tempo de 
processamento, a ação dos trabalhadores, as estações de trabalhos e as características exclusivas 
da linha em questão. 
Logo, temos que um problema de sequenciamento visa estabelecer a ordem no qual os produtos 
irão entrar na linha de produção, utilizando de regras variadas para a definição desta ordem. 
Para a resolução de problemas de sequenciamento, várias heurísticas e formulações matemáticas 
foram criadas de modo a tornar este problema solucionável computacionalmente. Alguns autores 
vão mais além, buscando a integração de modelos de sequenciamento e modelos de 
balanceamento, como pode ser visto em TAKANO (2010). 
2.6. Dimensionamento de Lotes – Lot-Sizing 
O problema de lot-sizing consiste da decisão do tempo e da quantidade a ser produzida de cada 
produto, de modo a reduzir os custos envolvidos e atender a demanda necessária. 
STAGGEMEIER & CLARK (2001) fazem uma descrição dos diferentes aspectos dos modelos 
existentes para resolução de problemas de lot-sizing, em que primeiramente, mostra-se o modelo 
para a resolução de um problema simples, tendo somente um produto e sendo a capacidade de 
produção infinita. Este problema é definido por: 
𝑀𝑖𝑛 ∑ ℎ𝐼𝑡 (1)
𝑇
𝑡=1
 
𝑠. 𝑡. 
𝑥𝑡 + 𝐼𝑡−1 − 𝐼𝑡 = 𝑑𝑡 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇(2) 
𝐼𝑡, 𝑥𝑡 ≥ 0 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (3) 
onde ℎ é o custo de se manter o produto em estoque por uma unidade de tempo, 𝑑𝑡 representa a 
demanda do produto no tempo 𝑡 , 𝑥𝑡 representa a quantidade produzida no tempo 𝑡 e 𝐼𝑡 , 
representa o estoque do produto ao final do tempo 𝑡. 
 
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25 
 
A restrição (1) tem o objetivo de minimizar os custos de estoque, e a restrição (2) serve para 
garantir o balanceamento do estoque em relação à demanda existente, ambos no tempo 𝑡. 
Posteriormente, foram acrescentados outros dois aspectos ao problema – capacidade produtiva e 
custo de preparação – onde foram atribuídas ao modelo previamente proposto as seguintes 
alterações: 
𝑥𝑡 ≤ 𝐶𝑡 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (4) 
A restrição (4) foi acrescentada ao modelo garantindo que a quantidade produzida não excedesse 
o valor máximo possível de produção, para cada período 𝑡, onde 𝐶𝑡 é a capacidade de produção 
do item no período e 𝑥𝑡, a quantidade produzida. 
𝑥𝑡 ≤ 𝑀𝑦𝑡 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (5) 
𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑠𝑦𝑡 + ℎ𝐼𝑡
𝑇
𝑡=1
 (6) 
A restrição (5) foi acrescentada ao modelo de modo a garantir que só se possa produzir o item no 
período 𝑡 caso haja preparação para o item no respectivo período, no qual 𝑥𝑡 é a quantidade 
produzida no período, 𝑦𝑡 é uma variável binária que indica de houve preparação para a produção 
do item no período, e 𝑀 é um valor suficientemente grande. 
Por fim, a restrição (1) foi substituída pela restrição (6), onde esta procura minimizar os custos de 
estoque somado aos custos de preparação. 
Porém, grande parte das empresas possui um processo produtivo complexo, existindo a produção 
de mais de um item em sua linha, o que faz com que o modelo descrito não se aplique a este tipo 
de empresas. 
Para isso, o modelo simples foi adaptado de modo a levar em consideração a existência de 
diferentes produtos na linha produtiva, onde para cada período de tempo 𝑡 deve-se escolher quais 
produtos produzir e sua respectiva quantidade. Estes levam o nome de Problema de 
Dimensionamento de Lotes Capacitado (capacitated lot-sizing problem – CLSP). 
 
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26 
 
DREXL & KIMMS (1996) propõem um modelo para a resolução deste tipo de problema, onde este 
é definido por eles como: 
𝑀𝑖𝑛 ∑ ∑(𝑠𝑗𝑥𝑗𝑡 + ℎ𝑗𝐼𝑗𝑡)
𝑇
𝑡=1
𝐽
𝑗=1
 (7) 
𝑠. 𝑡. 
𝐼𝑗𝑡 = 𝐼𝑗(𝑡−1) + 𝑞𝑗𝑡 − 𝑑𝑗𝑡 ∀𝑗 = 1, … , 𝐽 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (8) 
𝑝𝑗𝑞𝑗𝑡 ≤ 𝐶𝑡𝑥𝑗𝑡 ∀𝑗 = 1, … , 𝐽 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (9) 
∑ 𝑝𝑗𝑞𝑗𝑡 ≤ 𝐶𝑡 
𝐽
𝑗=1
∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (10) 
𝑥𝑗𝑡 ∈ {0,1} ∀𝑗 = 1, … , 𝐽 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (11) 
𝐼𝑗𝑡 , 𝑞𝑗𝑡 ≥ 0 ∀𝑗 = 1, … , 𝐽 ∀𝑡 = 1, … , 𝑇 (12) 
onde 𝑆𝑗 é o custo de preparação do item 𝑗, 𝑥𝑗𝑡 indica se ocorreu preparação do item 𝑗 no período 𝑡, 
ℎ𝑗 é o custo de estoque do item 𝑗, 𝐼𝑗𝑡 indica o estoque do item 𝑗 ao final do período 𝑡, 𝑞𝑗𝑡 é a 
quantidade produzida do item 𝑗 no período t, 𝑑𝑗𝑡 é a demanda do item 𝑗 no período 𝑡, 𝑝𝑗 é o 
tempo necessário para que se produza uma unidade do item 𝑗, e 𝐶𝑡 é a capacidade do sistema no 
período 𝑡. 
 
 
 
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27 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
3.1. Apresentação da Empresa 
3.1.1. Caracterização da Empresa 
A empresa pesquisada está localizada em uma cidade do interior do estado de Minas Gerais, 
sendo responsável pela fabricação de grande parte dos componentes de seu produto foco, o 
Veículo Automotivo Adaptado. 
A empresa tem atuação desde 2006, e produz veículos automotivos adaptados para os seguintes 
fins: 
 Transporte de cargas simples; 
 Transporte de botijões de gás; 
 Transporte de galões de água; 
 Transporte de passageiros. 
 
Figura 3 – Veículo Automotivo Adaptado Modelo Furgão Térmico para Transporte de Cargas 
Fonte: <site da empresa> 
3.1.2. O Processo Produtivo da Empresa 
O processo produtivo da empresa se subdivide em dois grandes grupos: montagem e manufatura. 
A manufatura consiste em todos os funcionários da produção, já que todos eles realizam 
atividades relacionadas à fabricação de peças. A montagem consiste em somente um funcionário, 
 
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28 
 
que realiza a montagem dos kits e do próprio produto foco. 
3.1.3. Os Equipamentos do Setor de Produção 
Para possibilitar uma boa atividade dos colaboradores, a empresa contém os seguintes 
equipamentos na linha de produção: 
 Dois tornos convencionais; 
 Um torno CNC; 
 Três maquinas de solda, sendo elas MAG, MIG e TIG; 
 Uma furadeira vertical; 
 Uma fresadora; 
 Uma serra; 
 Uma máquina policorte; 
 Equipamentos comuns de produção: chaves, fendas, furadeiras comuns, esmerilhadoras, 
entre outras. 
3.1.4. Os Recursos de Mão de Obra do Setor de Produção 
A empresa em questão conta com seis funcionários no setor de produção, sendo estes divididos 
nas respectivas funções operacionais: 
 Um montador, que atua na montagem dos kits de produção e do próprio produto final. 
 Dois soldadores, que atuam nos segmentos de solda MIG, MAG e TIG. 
 Dois torneiros, sendo que um atua no torno CNC, e o outro em tornos convencionais. 
 Um pintor, responsável pelas pinturas que envolvem o veículo automotivo adaptado. 
3.2. Mapeamento dos Processos da Empresa 
De modo a captar os dados necessários para este trabalho, foi realizado um acompanhamento do 
processo produtivo da empresa. Esta tinha como alvo conhecer todos os subprodutos produzidos 
pela empresa e os processos realizados até a obtenção do produto final, bem como os recursos 
demandados por cada atividade. 
 
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29 
 
De modo a melhor visualizar os processos da empresa, foi criado um diagrama para cada processo. 
Um exemplo pode ser visto na Figura 4. 
 
Figura 4 - Atividades para produção do subproduto 50 
Analisando a Figura 4, vemos que para cada processo foi atribuído o tempo de preparação, o 
funcionário que executa a atividade, o equipamento utilizadoe o tempo demandado pela 
operação. Ao final, todos os subprodutos receberam um código, facilitando sua identificação 
quando este era requisitado em um determinado processo de outro subproduto. Exemplo deste 
caso pode ser visto na Figura 5. 
 
Figura 5 - Atividades para produção do subproduto 82 
 
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30 
 
Ao final, obteve-se 97 diagramas e 272 processos realizados durante todo o processo de produção. 
3.3. Capacidade Produtiva Atual dos Recursos da Empresa 
A partir dos dados captados (informados na seção 5.2), analisaram-se as capacidades dos 
diferentes recursos de empresa, mão-de-obra e equipamentos. Esta ação mostra-se necessária 
para a definição dos próximos passos deste trabalho. 
Para isto, primeiramente foi construído um banco de dados onde estas informações foram 
cadastradas para análises posteriores. O banco de dados foi criado usando o software MySQL 
Workbench. As tabelas e colunas criadas podem ser vistas na Figura 6. 
Para armazenar os dados e realização das consultas, foi escolhido como sistema de gerenciamento 
de banco de dados o software phpMyAdmin. Este software possibilita a criação de scripts em SQL 
dentro do próprio sistema de gerenciamento, sendo possível realizar todo o tipo de consulta aos 
dados. 
 
Figura 6 - Modelagem do banco de dados no MySQL Workbench 
 
 
 
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31 
 
Observando a Figura 7, vemos que cada funcionário tem uma capacidade distinta, onde os pontos 
máximo e mínimo diferem em cerca de 300 por cento, o que acentua a existência de um grande 
desbalanceamento entre as capacidades dos recursos de mão-de-obra da empresa pesquisada. 
 
Figura 7 - Capacidade produtiva dos funcionários 
 
 
Figura 8 - Capacidade produtiva dos equipamentos 
 
0
5
10
15
20
25
Soldador 02 Montador Torneiro 01 Torneiro 02 Auxiliar Soldador 01
C
ap
ac
id
ad
e
Funcionário
Quant.
78
17
104
85
297
31
32
292
88
140
0
50
100
150
200
250
300
350
C
ap
ac
id
ad
e
Equipamentos
Quant.
 
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32 
 
Para os recursos de equipamentos da empresa a mesma relação ocorre, existindo uma grande 
diferença entre as capacidades encontradas, mostrado na Figura 8. 
Outro ponto que merece atenção em relação ao processo produtivo da empresa analisada, é que 
alguns processos utilizam muito mais tempo de um funcionário e/ou equipamento que outros, 
tornando interessante o estudo destes processos em busca de melhorias, eliminando assim 
desperdícios de tempo que possam existir na execução destes processos. Esta afirmação é 
mostrada na Figura 9. 
 
Figura 9 - Tempo de processamento de atividades para o funcionário Soldador 01 
Como pode ser visto na Figura 9, dos vinte e quatro processos executados pelo funcionário, a 
execução de apenas seis destes utilizam oitenta e um por cento (81%) do tempo total necessário 
para a execução de todos os processos. Isto torna estes processos passíveis de análises em busca 
de possíveis reduções, ou até mesmo estudos sobre a terceirização destas atividades. 
Neste trabalho, serão somente realizadas análises no âmbito de buscar uma modelagem 
matemática para o problema produtivo da empresa em questão, de modo a se obter um melhor 
planejamento da produção, melhorar a divisão de atividades entre os recursos e definir a 
sequência produtiva que gere a otimalidade do sistema e seus respectivos tamanhos de lote. 
 
81%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
 
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33 
 
3.4. Os Modelos Propostos 
De modo a reduzir os problemas do sistema produtivo da empresa e aumentar a produtividade, 
construiu-se um modelo que tem como objetivo maximizar o valor de produtos finais produzidos 
por meio de um melhor balanceamento da linha de produção, a definição de um sequenciamento 
de atividade e definição dos respectivos lotes de produção levando em consideração os índices de 
estoques existentes. 
Os modelos propostos foram criados utilizando tempo contínuo ao invés da indexação discreta por 
tempo, que é a metodologia tradicional, pois o processo da empresa contém processos de 
grandeza de tempo muito pequenos em relação aos processos que requerem mais tempo e, 
principalmente, ao tempo total de decisão do problema. Isto faria com que fosse necessário um 
espaço entre ciclos muito pequeno, gerando uma alta quantidade de ciclos e, consequentemente, 
fazendo com que o modelo viesse a ter muitas variáveis. 
Os conjuntos de índices utilizadas na modelagem do problema são mostrados na Tabela 1, as 
variáveis de decisão na Tabela 2 e os parâmetros necessários na Tabela 3. 
Tabela 1 - Parâmetros utilizados no problema. 
Parâmetros 
𝑑𝑗 − Tempo de execução de uma unidade da atividade 𝑗. 
𝑠𝑗 − Tempo de setup necessário para processamento da atividade 𝑗. 
𝐼𝑗 − Quantidade em estoque do subproduto respectivo a atividade 𝑗. 
𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − Atividade auxiliar criada para indicar inicio do processo. 
𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − Atividade auxiliar criada para indicar final do processo. 
 
 
 
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34 
 
Tabela 2 - Variáveis de decisão utilizadas no problema. 
Variáveis de Decisão 
𝑓𝑗 − Tempo no qual a execução da atividade 𝑗 é finalizada. 
𝑥𝑗 − Tamanho do lote estipulado para a execução da atividade 𝑗. 
𝑝𝑖𝑗
1 − Variável auxiliar que indica se a primeira restrição de paralelismo entre as atividades 𝑖 e 𝑗 é 
verdadeira. 
𝑝𝑖𝑗
2 − Variável auxiliar que indica se a segunda restrição de paralelismo entre as atividades 𝑖 e 𝑗 é 
verdadeira. 
𝑃𝑖𝑗 − Indica se a atividade 𝑖 é paralela à atividade 𝑗. 
𝑊𝑟𝑗
𝐻 − Indica se a mão de obra 𝑟 é utilizada na atividade 𝑗. 
𝑊𝑟𝑗
𝑀 − Indica se o equipamento 𝑟 é utilizado na atividade 𝑗. 
𝐼𝑖𝑗 − Indica o valor em estoque do subproduto derivado da atividade 𝑗 ao inicio do ciclo. 
𝐼𝑓𝑗 − Indica o valor em estoque do subproduto derivado da atividade 𝑗 ao final do ciclo. 
Tabela 3 - Conjuntos de índices utilizados no problema. 
Conjuntos de Índices 
𝐽 − Conjunto de atividades a serem executadas no processo. 
𝑅𝐻 − Recursos de mão de obra disponíveis para utilização no processamento das atividades. 
𝑅𝑀 − Recursos de equipamentos disponíveis para utilização no processamento das atividades. 
𝑆𝑈𝐶𝑗 − Grupo de atividades obrigatoriamente sucessoras (direta e indiretamente) a atividade 𝑗. 
𝑃𝑅𝐸𝐷𝑗 − Grupo de atividade diretamente predecessoras a atividade 𝑗. 
 
 
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35 
 
O modelo proposto é baseado nos conceitos de lot-sizing and scheduling e assembly line balancing, 
procurando maximizar a quantidade de produto final produzida, utilizando como tempo disponível 
um 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 = 576.000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. Este modelo é definido como: 
𝑀𝑎𝑥 𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙(1) 
𝑠. 𝑡. 
𝑓𝑗 ≤ 𝑇𝑚𝑎𝑥 ∀𝑗∈ 𝐽 (2) 
𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 + 𝑥𝑗𝑑𝑗 + 𝑠𝑗 ≤ 𝑀. 𝑝𝑖𝑗
1 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 (3) 
𝑓𝑗 − 𝑓𝑖 + 𝑥𝑖𝑑𝑖 + 𝑠𝑖 ≤ 𝑀. 𝑝𝑖𝑗
2 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 (4) 
𝑝𝑖𝑗
1 + 𝑝𝑖𝑗
2 − 1 ≤ 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 (5) 
𝑝𝑖𝑗
1 + 𝑝𝑖𝑗
2 ≥ 2. 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 (6) 
𝑊𝑟𝑖
𝐻 + 𝑊𝑟𝑗
𝐻 ≤ 2 − 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 ∀𝑟 ∈ (𝑅𝑖
𝐻 ∩ 𝑅𝑗
𝐻) 𝑖 ≠ 𝑗 (7) 
𝑊𝑟𝑖
𝑀 + 𝑊𝑟𝑗
𝑀 ≤ 2 − 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∉ 𝑆𝑈𝐶𝑗 ∀𝑟 ∈ (𝑅𝑖
𝑀 ∩ 𝑅𝑗
𝑀) 𝑖 ≠ 𝑗 (8) 
𝑓𝑗 − 𝑥𝑗𝑑𝑗 − 𝑠𝑗 ≥ 𝑓𝑖 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙} ∀𝑖 ∈ 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑗 (9) 
∑ 𝑊𝑟𝑗
𝐻 = 1
𝑟 ∈ 𝑅𝑗
𝐻
 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} (10) 
∑ 𝑊𝑟𝑗
𝑀 = 1
𝑟 ∈ 𝑅𝑗
𝑀
 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} (11) 
𝐼𝑖 + 𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙} ∀𝑖 ∈ 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑗 (12) 
𝐼𝑗 + 𝑥𝑗 ≤ 𝐼𝑖 + 𝑥𝑖 + 1 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙} ∀𝑖 ∈ 𝑃𝑅𝐸𝐷𝑗 (13) 
𝑓𝑗 , 𝑥𝑗 ≥ 0 (14) 
𝑝𝑖𝑗
1 , 𝑝𝑖𝑗
2 , 𝑃𝑖𝑗 , 𝑊𝑟𝑗
𝐻, 𝑊𝑟𝑗
𝑀 ∈ {0,1} (15) 
 
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36 
 
Em que a restrição (2) garante que nenhuma atividade seja finalizada após o tempo limite. As 
restrições (3), (4), (5) 𝑒 (6) testam se as atividades estão sendo executadas em paralelo, 
atribuindo o valor 1 (𝑢𝑚) para a variável 𝑃𝑖𝑗 caso verdadeiro e 0 (𝑧𝑒𝑟𝑜), caso falso. Se duas 
atividades são executadas paralelamente, estas não podem compartilhar recursos. Este problema 
é sanado com as restrições (7) 𝑒 (8). A restrição (9) torna obrigatório que, caso uma atividade 𝑗 
seja dependente de uma atividade 𝑖, 𝑗 tem que começar após o término de 𝑖. As restrições 
(10) 𝑒 (11) garantem que, respectivamente, somente um recurso mão-de-obra e somente um 
recurso equipamento serão utilizados em cada atividade. A restrição (12) impossibilita que se o 
lote da atividade 𝑗 seja maior que o lote da atividade 𝑖 adicionado ao seu estoque, caso a 
produção de um 𝑗 requisite a utilização de um 𝑖 . Por fim, a restrição (13) garante o 
balanceamento dos tamanhos de lotes para todas as atividades. 
Como já dito, o modelo descrito busca calcular o tamanho do lote a ser feito para cada atividade, e 
o período no qual este deve ser realizado, de modo a produzir a maior quantidade possível do 
produto 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙, já que este utiliza de todos os demais, em certo ponto do processo, para sua 
confecção. 
Porém, ao final do período, tem-se um estoque que tende a zero, pois o modelo proposto busca 
aproveitar ao máximo o inventário inicial e as quantidades produzidas, o que torna a 
produtividade do setor flutuante, pois este sempre depende do inventário ao se iniciar o ciclo, 
tornando-o não tão viável para um planejamento produtivo em longo prazo. 
Perante este fato, desenvolveu-se um segundo modelo matemático que tem como propósito a 
obtenção de um ciclo produtivo onde este busca, além do planejamento dos tamanhos dos lotes a 
serem produzidos e o momento em que estes devem iniciar, também informar um determinado 
nível de estoque que torne máxima a produtividade e que, ao final do ciclo produtivo, garanta que 
o estoque seja igual, ou maior, do que ao início do ciclo. 
Este segundo modelo torna-se pertinente, pois a utilização de estoques iniciais dimensionados 
auxilia o alcance do máximo aproveitamento dos recursos, ao ponto em que este enfraquece a 
relação de precedência entre as atividades, dando maior flexibilidade ao sistema. 
 
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37 
 
O segundo modelo proposto é baseado, também, nos conceitos de lot-sizing and scheduling e 
assembly line balancing, porém acrescido do dimensionamento do estoque inicial, que visa o 
alcance de um máximo aproveitamento dos recursos para maximizar a produção dentro do tempo 
disponível, onde o tempo disponível é dado por 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 𝑢𝑚 𝑚ê𝑠 = 576.000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, e o 
modelo é definido como: 
𝑀𝑎𝑥 𝑥 (1) 
𝑠. 𝑡. 
𝑓𝑗 ≤ 𝑇𝑚𝑎𝑥 ∀𝑗∈ 𝐽 (2) 
𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 + 𝑥𝑑𝑗 + 𝑠𝑗 ≤ 𝑀. 𝑝𝑖𝑗
1 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∈ 𝐽 𝑖 ≠ 𝑗 (3) 
𝑓𝑗 − 𝑓𝑖 + 𝑥𝑑𝑖 + 𝑠𝑖 ≤ 𝑀. 𝑝𝑖𝑗
2 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∈ 𝐽 𝑖 ≠ 𝑗 (4) 
𝑝𝑖𝑗
1 + 𝑝𝑖𝑗
2 − 1 ≤ 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∈ 𝐽 𝑖 ≠ 𝑗 (5) 
𝑝𝑖𝑗
1 + 𝑝𝑖𝑗
2 ≥ 2. 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑖∈ 𝐽 𝑖 ≠ 𝑗 (6) 
𝑊𝑟𝑖
𝐻 + 𝑊𝑟𝑗
𝐻 ≤ 2 − 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗𝑖∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑟 ∈ (𝑅𝑖
𝐻 ∩ 𝑅𝑗
𝐻) 𝑖 ≠ 𝑗 (7) 
𝑊𝑟𝑖
𝑀 + 𝑊𝑟𝑗
𝑀 ≤ 2 − 𝑃𝑖𝑗 ∀𝑗𝑖∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} ∀𝑟 ∈ (𝑅𝑖
𝑀 ∩ 𝑅𝑗
𝑀) 𝑖 ≠ 𝑗 (8) 
∑ 𝑊𝑟𝑗
𝐻 = 1
𝑟 ∈ 𝑅𝑗
𝐻
 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} (9) 
∑ 𝑊𝑟𝑗
𝑀 = 1
𝑟 ∈ 𝑅𝑗
𝑀
 ∀𝑗∈ 𝐽 − {𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙} (10) 
𝐼𝑖𝑗 ≤ 𝐼𝑓𝑗 ∀𝑗∈ 𝐽 (11) 
𝑓𝑗 , 𝑥, 𝐼𝑗 , 𝐼𝑓𝑗 ≥ 0 (12) 
𝑝𝑖𝑗
1 , 𝑝𝑖𝑗
2 , 𝑃𝑖𝑗 , 𝑊𝑟𝑗
𝐻, 𝑊𝑟𝑗
𝑀 ∈ {0,1} (13) 
 
 
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38 
 
Em que a restrição (2) garante que nenhuma atividade seja finalizada após o tempo limite. As 
restrições (3), (4), (5) 𝑒 (6) testam se as atividades estão sendo executadas em paralelo, 
atribuindo o valor 1 (𝑢𝑚) para a variável 𝑃𝑖𝑗 caso verdadeiro e 0 (𝑧𝑒𝑟𝑜), caso falso. Se duas 
atividades são executadas paralelamente, estas não podem compartilhar recursos. Este problema 
é sanado com as restrições (7) 𝑒 (8). As restrições (9) 𝑒 (10) garantem que, respectivamente, 
somente um recurso mão-de-obra e somente um recurso equipamento serão utilizados em cada 
atividade. A restrição (11) garante que ao final do ciclo produtivo o estoque para cada subproduto 
contenha, no mínimo, valor igual ao que este possuía ao se iniciar o ciclo. Por fim, a restrição (12) 
determina o estoque final para cada produto, tendo como base o estoque inicial, a quantidade 
produzida e sua utilização nas próximas etapas do processo. 
3.5. As Heurísticas Propostas 
De modo a diminuir o tempo de execução dos modelos propostos, já que estes são modelos 
matemáticos exatos e tendem a requerer um elevado tempo para sua resolução computacional, 
foram desenvolvidas heurísticas com o propósito de garantir um tempo viável de execução. 
Para isto, utilizou-se da heurística Relax and Fix. Esta heurística tem como objetivo relaxar todas as 
variáveis que não tiverem relação a uma determinada variável, e então resolver o problema para 
cada variável do conjunto separadamente, e após cada execução fixa-se o valor resultados das 
variáveis que foram selecionadas para serem resolvidas integralizadas. 
De modo a buscar melhores resultados com este modelo de heurística, pode-se priorizar as 
variáveis do conjunto de modo a enviá-las para serem resolvidas seguindo uma determinada 
lógica. Outro ponto importante neste tipo de heurística é a escolha das variáveis que serão 
relaxadas e fixadas, já que esta escolha influencia diretamente nos resultados que serão gerados 
pelo modelo, e em alguns casos, na viabilidade do mesmo. 
Neste trabalho, a heurística seguiu a seguinte rotina: 
 
 
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39 
 
. function 𝐑𝐞𝐥𝐚𝐱 𝐚𝐧𝐝 𝐅𝐢𝐱( ) 
. begin 
. . escolher conjunto a ser utilizado como parâmetro( ) 
. . ordenar conjunto segundo critério escolhido( ) 
. . for (t in conjunto escolhido) 
. . . relaxar todas as variáveis que ainda não foram fixadas( ) 
. . . integralizar variáveis que envolvem t( ) 
. . . solve 
. . . fixar variáveis que envolvem t( ) 
. . end for 
. end function 
Para a aplicação neste trabalho, escolheu-se como parâmetros de fixação os conjuntos de recursos 
para a primeira heurística, e o conjunto de atividades para a segunda. 
Como critério de ordenação, escolheu para a primeira heurística ordenar de modo decrescente os 
recursos que tinham mais atividades relacionadas à eles, ou seja, quanto mais atividades o recurso 
executava, mais preferência este tinha para ser enviado para ser fixado. Para a segunda, ordenou-
se pelo tempo de execução da atividade, sendo priorizadas as atividades que tinha um maior 
tempo de processamento. 
Por fim, para serem integralizadas e posteriormente fixadas pelo método, escolheram-se as 
variáveis de paralelismo, representadas por 𝑝𝑖𝑗
1 , 𝑝𝑖𝑗
2 e 𝑃𝑖𝑗, e as variáveis de alocação de recursos 
para execução das atividades, representada por 𝑊ℎ𝑟𝑡 e 𝑊𝑚𝑟𝑡. 
 
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40 
 
4. RESULTADOS OBTIDOS 
De modo a validar os resultados do modelo proposto perante as restrições do processo produtivo 
da empresa onde se realizou a presente pesquisa, criou-se problemas reduzidos para que se possa 
verificar a solução do problema. Este fato se deu pois ao utilizar os modelos matemáticos 
propostos, estes demonstraram um tempo de execução muito elevado, sendo que após uma 
semana de execução ainda não se obteve uma solução viável pelo modelo. 
Os problemas reduzidos foram criados seguindo o padrão de comportamento do processo 
produtivo da empresa real. 
Foram modelados 4 problemas reduzidos no qual se aumentou a complexidade do problema 
gradativamente, aumentando a quantidade de atividades e as opções de escolhas do problema, 
buscando-se conhecer o crescimento exponencial das decisões tomadas pelo modelo e, com isso, 
o aumento do tempo de execução. 
De modo a exemplificar os problemas reduzidos confeccionados, apresenta-se o Problema 
Reduzido nº 1 detalhado a seguir. Posteriormente, serão citadas as características gerais dos 
demais problemas que serão utilizados para a realização dos testes dos modelos matemáticos 
propostos, bem como a eficiência das heurísticas aplicadas. Por fim, serão comparados os 
resultados obtidos. 
4.1. Informações Detalhadas Sobre o Problema Reduzido nº 1 
Para o primeiro problema reduzido, utilizou-se de 16 atividades. A relação de precedência entre as 
atividades é mostrada de forma completa na Figura 10. 
Para a execução destas atividades, foram alocados três funcionários e 4 equipamentos, em que 
cada funcionário e equipamento tem a capacidade de realizar somente determinadas atividades. 
A relação dos equipamentos e funcionários que podem realizar cada determinada atividade no 
Problema Reduzido nº1 pode ser vista na Tabela 4 e Tabela 5, respectivamente. 
 
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41 
 
 
Figura 10 - Relação de procedência do problema reduzido nº1 
 
Tabela 4 - Utilização de Equipamentos Para Cada Atividade 
Conjuntos de Equipamentos que Podem ser Utilizados 
Atividade 01 → Equip_01 - Equip_02 
Atividade 02 → Equip_02 
Atividade 02 → Equip_01 - Equip_02 - Equip_04 
Atividade 04 → Equip_01 - Equip_03 
Atividade 05 → Equip_03 - Equip_04 
Atividade 06 → Equip_03 
Atividade 07 → Equip_04 
Atividade 08 → Equip_02 
Atividade 09 → Equip_04 
 
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Atividade 10 → Equip_01 - Equip_02 
Atividade 11 → Equip_01 
Atividade 12 → Equip_01 
Atividade 13 → Equip_01 - Equip_03 
Atividade 14 → Equip_02 
Atividade 15 → Equip_03 
Atividade 16 → Equip_02 
 
Tabela 5 - Utilização de Funcionários Para Cada Atividade 
Conjuntos de Funcionários que Podem ser Utilizados 
Atividade 01 → Func_01 - Func_02 
Atividade 02 → Func_02 
Atividade 02 → Func_02 
Atividade 04 → Func_01 
Atividade 05 → Func_01 
Atividade 06 → Func_01 
Atividade 07 → Func_01 
Atividade 08 → Func_01 - Func_02 
Atividade 09 → Func_02 - Func_03 
Atividade 10 → Func_02 - Func_03 
Atividade 11 → Func_02 - Func_03 
 
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Atividade 12 → Func_01 
Atividade 13 → Func_01 - Func_02 - Func_03 
Atividade 14 → Func_03 
Atividade 15 → Func_03 
Atividade 16 → Func_03 
 
Como parâmetro do Problema Reduzido nº1, bem como para todos os demais problemas 
reduzidos, atribuiu-se zero para o estoque inicial de todas as atividades. 
4.2. Informações Gerais Sobre os Problemas Reduzidos nº 2, nº3e nº4 
Como informado anteriormente, para cada novo modelo sua complexidade era aumentada, 
buscando-se chegar cada vez mais próximo à complexidade do modelo real para o qual os 
modelos matemáticos propostos foram criados. 
As informações gerais dos demais problemas são descritos como segue: 
4.2.1. Problema Reduzido nº 2 
i. Quantidade de atividades: 27 
ii. Quantidade de equipamentos: 8 
iii. Quantidade de funcionários: 5 
4.2.2. Problema Reduzido nº 3 
i. Quantidade de atividades: 38 
ii. Quantidade de equipamentos: 7 
iii. Quantidade de funcionários: 5 
 
 
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4.2.3. Problema Reduzido nº 4 
i. Quantidade de atividades: 65 
ii. Quantidade de equipamentos: 10 
iii. Quantidade de funcionários: 6 
4.3. Resultados Obtidos e Comparações 
Após a criação dos problemas reduzidos, estes foram implementados para no formato de entrada 
de dados AMPL para que pudessem ser aplicados aos modelos propostos. 
Os resultados dos problemas foram comparados utilizando-se como parâmetros para esta 
comparação o tempo de execução e o resultado da função objetivo, ou seja, o valor do lote de 
produção. As comparações dos tempos de execução podem ser vistas nas Figuras 11 e 12, e os 
resultados da função objetivo nas Figuras 13 e 14. 
Algo a ser observado antes da apresentação dos resultados, é que o tempo de execução dos 
problemas foram limitados ao tempo máximo de seis horas (21.600 segundos) e, em 
determinados momentos, onde estourava-se o limite de memória do computador para o 
processamento do problema, estes eram limitados ao tempo limite de execução sem que se 
estourasse a memória disponível. Isto foi feito para que se pudesse captar o melhor valor da 
solução possível. 
Todos os tempos reais de processamento serão apresentados nas Tabela 6 e 7, de modo a tornar 
mais claro os resultados advindos das análises, que serão apresentadas a seguir. 
Para os momentos em que se aplicou limitações por estouro de memória disponível, esses campos 
serão apresentados nas tabelas em negrito. Todos os tempos informados nas tabelas 
mencionadas estarão na unidade de segundos. 
Outro ponto é que, como valor central para as comparações, utilizou-se dos valores das execuções 
do modelo integralizado, sem aplicação de heurísticas. 
 
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Tabela 6 - Tempos de execução dos problemas resumidos para o primeiro modelo matemático. 
 
Solução Inteira Relax and Fix por Rec. Relax and Fix por Ativ. 
Problema Resumido nº1 0,6250 0,9687 1,4843 
Problema Resumido nº2 3,4687 4,4531 7,7031 
Problema Resumido nº3 21.600,0000 14,8281 25,9531 
Problema Resumido nº4 15.882,9531 0,0000 205,9218 
Tabela 7 - Tempos de execução dos problemas resumidos para o segundo modelo matemático. 
 
Solução Inteira Relax and Fix por Rec. Relax and Fix por Ativ. 
Problema Resumido nº1 11.446,4375 5,7187 1,6875 
Problema Resumido nº2 6.855,9844 0,0000 8,5781 
Problema Resumido nº3 12.398,3281 0,0000 29,1718 
Problema Resumido nº4 6.505,7187 0,0000 222,1718 
 
 
Figura 11 - Comparação dos tempos de execução, em porcentagem, na execução do primeiro 
modelo matemático 
Como pode ser visto na Figura 11, ao aplicar-se heurísticas em modelos de pequeno porte, fazem 
com que o tempo de execução aumente em relação a solução do modelo inteiro. Isto faz com que 
a aplicação deste tipo de heurística se torne inviável para problemas deste porte, já que estas 
aumentam o tempo de resolução em relação ao modelo inteiro e este tem como resultado a 
solução ótima do problema. 
Em contrapartida, conforme aumenta-se a complexidade do problema, esta começa a se tornar 
viável ao ponto que o tempo de execução do modelo com a aplicação de heurísticas passam a se 
tornar bem menores do que os tempos das soluções inteiras. 
Problema
Resumido nº1
Problema
Resumido nº2
Problema
Resumido nº3
Problema
Resumido nº4
Solução Inteira 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%
Relax and Fix por Equip. 154,99% 128,38% 0,07% 0,00%
Relax and Fix por Ativ. 237,49% 222,07% 0,12% 1,30%
0,00%
50,00%
100,00%
150,00%
200,00%
250,00%
 
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46 
 
Um ponto importante a ser relatado, é que para o último problema teste desenvolvido, o modelo 
com aplicação da heurística Relax and Fix com priorização por recursos não conseguiu encontrar 
solução viável, enquanto a mesma heurística aplicada com priorização por atividades encontrou 
solução em todos os problemas propostos. Observa-se também que a priorização por atividades 
se mostrou menos eficiente em problemas menores, porém conforme aumentava-se a 
complexidade do problema, esta melhorava seus resultados em comparação a priorização por 
recursos, chegando a ter um menor tempo de execução no Modelo Reduzido nº3. 
 
Figura 12 - Comparação dos tempos de execução, em porcentagem, na execução do segundo 
modelo matemático 
Na Figura 12, podemos ver os resultados dos problemas aplicados ao segundo modelo matemático 
proposto. 
Para este modelo, primeiramente devemos observar que a priorização por recursos gerou solução 
apenas para o problema de menor complexidade, enquanto a aplicação da heurística com a 
priorização por atividades encontrou soluções em todos os problemas. Isto deve-se ao fato de que 
a heurística Relax and Fix resolve o problema com uma pequena parcela de variáveis 
integralizadas e o restante relaxadas, e ao fim de sua execução fixa o resultado da solução das 
variáveis que foram integralizadas para a próxima execução, até que todas as variáveis sejam 
solucionadas integradas e então fixadas. Com isso, a próxima execução do Relax and Fix pode 
receber variáveis com valores fixados que impossibilitem um resultado viável para a execução 
corrente, tornando então toda a resolução como inviável. 
Problema
Resumido nº1
Problema
Resumido nº2
Problema
Resumido nº3
Problema
Resumido nº4
Solução Inteira 100,00% 100,00% 100,00% 100,00%
Relax and Fix por Equip. 0,05% 0,00% 0,00% 0,00%
Relax and Fix por Ativ. 0,01% 0,13% 0,24% 3,42%
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
 
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47 
 
Ao analisarmos a Figura 12, podemos observar que o tempo de execução do modelo utilizando 
heurística, em relação ao tempo de execução do modelo integralizado, aumenta levemente 
conforme adiciona-se maior níveis de complexidade aos problemas, porém em nenhum momento 
a parcela do tempo de execução da heurística em relação ao tempo de execução do modelo 
integralizado supera a grandeza de cinco por cento (5%). 
 
Figura 13 - Comparação dos valores da função objetivo, em porcentagem, na execução do primeiro 
modelo matemático 
 
Figura 14 - Comparação dos valores da função objetivo, em porcentagem, na execução do segundo 
modelo matemático 
Fonte: O Autor 
Ao olharmos para as Figuras 13 e 14, observamos novamente que a heurística Relax and Fix com 
priorização por recursos não se mostrou eficaz para o segundo modelo matemático proposto, 
sendo que conforme a complexidade do problema crescia, o método não foi capaz de encontrar 
solução viável. Também podemos observar que, no geral, conforme aumentava-se a complexidade 
Problema
Resumido nº1
Problema