FS4420 P3 1s2017 gabarito

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FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
 
FS4420 P3 – VERDE 23 / 06 / 2017 N
o Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Permitido o uso de 1 calculadora não alfa numérica. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
 
NOTA 
 
 
𝑐 =  𝑓 =
𝜔
𝑘
= 3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
 
𝜇𝑜 = 4 𝜋 𝑥 10
−7 
𝐻
𝑚
 
 
𝜀𝑜 = 8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
 
 
𝑒 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐶 
 
𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10
−31 𝑘𝑔 
 
𝑚𝑝 = 𝑚𝑛 = 1,67 𝑥 10
−27 𝑘𝑔 
 
𝑘 = 1,38 𝑥 10−23 𝐽/𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎. 𝐾 
 
1 𝑒𝑉 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐽 
 
ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
ℎ = 4,14 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 1,06 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 0,659 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 𝑥 10−25 𝐽 ∙ 𝑚 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉 ∙ 𝑚 
 
 
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = (𝑚 +
1
2
) ∙ 𝜆 
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑎
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
𝑦  (𝑚 +
1
2
) ∙ 
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 
 
𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
 (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) 
 
𝑘 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥  
 
 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 =
ℎ

 
 
𝐿 = 𝑛 

2
; (𝑥) = √
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ; 𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 𝐿2
; 𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
= 
ℎ2
2 𝑚 2
; 𝐸𝑛 = − 
13,6 𝑒𝑉
𝑛2
; ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 
𝜃
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
 
 
𝐸 = 𝑛 ℎ 𝑓; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ 𝑓 − ϕ; ϕ = ℎ 𝑓𝑐; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉𝑜 =
1
2
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 
 
 
�⃗� (𝑟 , 𝑡) = �⃗� 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(�⃗� ∙ 𝑟 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; �⃗� (𝑟 , 𝑡) = �⃗� 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(�⃗� ∙ 𝑟 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; 
𝐸
𝐵
=
𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐵𝑚𝑎𝑥
= 𝑐 =
1
√𝜇𝑜 ∙ 𝜀𝑜
 
 
 
𝑆 =
1
𝜇𝑜
�⃗� × �⃗� ; 𝐼 =
𝑃
Á𝑟𝑒𝑎
= 𝑆𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1
2 𝜇𝑜 ∙ 𝑐
𝐸𝑚𝑎𝑥
2 ; 𝑃 =
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∆𝑡
; 𝑝𝑟 =
𝐼
𝑐
; 𝑝𝑟 =
2 𝐼
𝑐
 
 
 
𝑢 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑚é𝑑𝑖𝑎
= 𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 + 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 ; 𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 𝜀𝑜 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥
2 
 
O espaço abaixo é reservado para rascunhos. Cálculos e anotações feitas neste local não serão considerados na correção; 
 
 
Nº 
 Nº sequencial 
 
Faça as contas com todos os algarismos; 
Apresente as respostas finais com 3 algarismos significativos. 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
1) Fulerenos formam uma vasta família de nano-moléculas com estruturas altamente simétricas. O representante mais 
comum desta família é o C60, uma molécula com 60 átomos de carbono que tem a forma de uma bola de futebol, tem 
massa de 1,20 ∙ 10−25 𝑘𝑔 e diâmetro 1,00 𝑛𝑚. Um feixe de fulerenos pode ser criado aquecendo-se essas nano-
moléculas a uma temperatura de 600 𝐾 e, neste caso, a energia cinética delas é dada por 𝐸 =
3
2
 𝑘 ∙ 𝑇, onde 𝑘 é a 
constante de Boltzmann. 
(a) (1,0 ponto). Quando este feixe de fulerenos incide sobre uma barreira de potencial de 85,0 𝑚𝑒𝑉, observa-se que o 
coeficiente de transmissão é 2,15 𝑥 10−3. Calcule a largura da barreira. 
 
 Energia das partículas: 𝐸 =
3
2
 𝑘 ∙ 𝑇 =
3
2
∙ 1,38 𝑥 10−23
𝐽
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎∙𝐾
∙ 600 𝐾 = 1,242 𝑥 10−23 
𝐽
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
= 77,6 
𝑚𝑒𝑉
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
 
 
 
 𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
∙ (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) = 16 ∙
77,6 𝑚𝑒𝑉
85,0 𝑚𝑒𝑉
∙ (1 −
77,6 𝑚𝑒𝑉
85,0 𝑚𝑒𝑉
) = 1,272 
 
 
 𝑘 = 
√2 𝑚∙(𝑈𝑜−𝐸) 

= 
√2∙1,20 𝑥 10−25 𝑘𝑔∙(85,0 − 77,6) 𝑥 10−3 𝑒𝑉∙1,6 𝑥 10−19 
1,06 𝑥 10−34 𝐽.𝑠
= 1,59 𝑥 1011 𝑚−1 
 
 
 𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒− 2∙𝑘∙𝐿 → 𝐿 = −
1
2∙𝑘
∙ ln (
𝑇
𝐺
) = −
1
2 ∙ 1,59 𝑥 1011 𝑚−1
∙ ln (
2,15 𝑥 10−3
1,272
) → 𝑳 = 𝟐, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎 
 
(b) (1,5 ponto). Considere que um elétron preso no interior de uma dessas “bolas de futebol” se comporta como uma 
partícula presa em um poço de potencial infinito, de largura igual ao diâmetro das nano-moléculas. Observa-se que, no 
decaimento de um estado caracterizado pelo número quântico 𝑛𝑖 para outro estado caracterizado pelo número 
quântico 𝑛𝑓, a nano-molécula emite um fóton com energia 3,0157 𝑒𝑉. Determine os números quânticos 𝑛𝑖 e 𝑛𝑓. 
 
 
 
 Energia do estado fundamental: 𝐸1 = 
ℎ2
8 𝑚∙𝐿2
= 
(6,63 𝑥 10−34 𝐽.𝑠)2
8 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ (1,00 𝑥 10−9 𝑚)2
= 6,03 𝑥 10−20 𝐽 = 0,377 𝑒𝑉 
 
 
 
 
 Energia do fóton emitido: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = ∆𝐸 = |𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| ∙ 𝐸1 = 3,0157 𝑒𝑉 → |𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| = 
3,0157 𝑒𝑉
0,377 𝑒𝑉
 
 
 
|𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| = 8 
 
 
𝒏𝒊 = 𝟑 𝒆 𝒏𝒇 = 𝟏 
 
 
(c) (1,0 ponto). Considere agora, que o fóton emitido no item anterior incide sobre a superfície de um metal de função 
trabalho . Como resultado do efeito fotoelétrico, o elétron arrancado do metal tem comprimento de onda 1,5649 𝑛𝑚. 
Calcule . 
 
 Energia do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 3,0157 𝑒𝑉 
 
 
 Energia do elétron: 𝐾𝑚á𝑥 =
ℎ2
2 𝑚 ∙2
= 
(6,63 𝑥 10−34 𝐽.𝑠)
2
2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ (1,5649 𝑥 10−9 𝑚)2
= 9,852 𝑥 10−20 𝐽 = 0,6157 𝑒𝑉 
 
 
 Função trabalho: 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 −  = 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 −  →  = 3,0157 𝑒𝑉 − 0,6157 𝑒𝑉 →  = 𝟐, 𝟒𝟎 𝒆𝑽 
 
 
 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
Continuação da questão 1) 
(d) (1,0 ponto). Considere ainda, um feixe de elétrons com comprimento de onda igual ao do item anterior incidindo 
sobre a superfície de um sólido, onde a distância entre os átomos é 3,47 𝑛𝑚. Qual a ordem do maior máximo de 
difração que pode ser observado e em qual ângulo (em graus) este máximo ocorre? 
 
 Calculando o maior valor permitido para 𝑚: 𝑚 ∙  = 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙

𝑑
= 𝑚 ∙
1,5649 𝑛𝑚
3,47 𝑛𝑚
= 𝑚 ∙ 0,451 
 
Para 𝑠𝑒𝑛(𝜃) < 1, 𝑚 deve ser, no máximo, igual a: 𝒎 = 𝟐. 
 
 
 Calculando a posição do máximo de ordem 2: 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 2 ∙ 0,451 = 0,902 → 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1(0,902) 
 
 
𝜽 = 𝟔𝟒, 𝟒𝒐 = 𝟏, 𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅 
 
(e) (0,5 ponto). Analise as afirmações abaixo sobre esta questão e assinale a alternativa correta (não é necessário 
justificar). 
1.- A função de onda (𝑥) = 4,47 𝑥 103𝑠𝑒𝑛(2,00 𝑥 109 ∙ 𝜋 ∙ 𝑥)[𝑆. 𝐼. ] representa o elétron preso no primeiro estado 
excitado da nano-molécula de fulereno; 
2.- Se a incerteza na medida da energia do primeiro estado excitado da nano-molécula é de 10% do valor da energia 
daquele estado, a incerteza no tempo em que o elétron ocupa aquele estado é de 4,374 𝑓𝑠, e 
3.- Com relação ao item (d), a interferência medida no detector é consequência dos elétrons se comportarem como 
ondas ao atingirem a superfície do sólido. 
( ) Todas as afirmações estão corretas 
( ) Todas as afirmações estão erradas 
( ) Somentea afirmação 1 é correta 
( ) Somente a afirmação 2 é correta 
( ) Somente a afirmação 3 é correta 
( ) São corretas as afirmações 1 e 2 
( ) São corretas as afirmações 1 e 3 
( X ) São corretas as afirmações 2 e 3 
 
2) (1,5 ponto). Luz vermelha de comprimento de onda 670 𝑛𝑚 passa através de um dispositivo de duas fendas. 
Simultaneamente, outro feixe de luz monocromático – e também dentro da região do visível do espectro eletromagnético 
– também passa através do mesmo dispositivo. Em consequência, a maior parte da figura de interferência que se forma 
na tela é dada pela mistura de duas cores; contudo, o centro da terceira franja brilhante da luz vermelha é puramente 
vermelho, sem nenhuma tonalidade de outra cor. Quais os dois possíveis comprimentos de onda do segundo feixe de luz? 
Obs.: considere a radiação visível dentro do intervalo de comprimento de onda: 370 𝑛𝑚 < 𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 < 700 𝑛𝑚 
 
 
Posição do 3º máximo vermelho = Posição mínimo de ordem 𝑚 da outra cor 
 
 
𝑚𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 ∙ 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 ∙ 𝑥
𝑑
= 
(𝑚 +
1
2)𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟
∙ 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟 = 
3 ∙ 670 𝑛𝑚
(𝑚 +
1
2)𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟
 
 
 
𝒎 = 𝟑 → 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒓 = 𝟓𝟕𝟒, 𝟑 𝒏𝒎 
 
 
𝒎 = 𝟒 → 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒓 = 𝟒𝟔𝟔, 𝟕 𝒏𝒎 
 
 
 
1.- A afirmação é falsa porque 
 
√ 
2
𝐿
 = √
2
1,00 𝑥 10−9 𝑚
 = 4,47 𝑥 104 𝑚−1/2 
 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
3) (1,5 ponto). Em uma série de experiências com um átomo hipotético de um elétron –semelhante, mas não igual ao 
átomo de hidrogênio–, você mede os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições que terminam no estado 
fundamental. Você observa que são necessários 16,5 𝑒𝑉 para ionizar esse átomo quando o elétron está no estado 
fundamental. Se o elétron fizer uma transição do quarto estado excitado para o segundo estado excitado, qual é o valor 
do comprimento de onda do fóton emitido? 
 
 Energia do estado fundamental do átomo: 𝐸1 = − 16,5 𝑒𝑉 
 
 
 Energia de um estado “𝑛” qualquer: 𝐸𝑛 = − 
16,5 𝑒𝑉
𝑛2
 → 𝑛 = 5: 𝐸5 = − 0,640 𝑒𝑉 (quarto estado excitado) 
 
 𝑛 = 3: 𝐸3 = − 1,83 𝑒𝑉 (segundo estado excitado) 
 
 
 Comprimento de onda do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = ∆𝐸 = |𝐸5 − 𝐸3| = 
ℎ∙𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
 → 𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ∙𝑐
|𝐸5−𝐸3|
 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉.𝑚
|−0,640 − (−1,83)| 𝑒𝑉
 → 𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟏, 𝟎𝟒 𝒙 𝟏𝟎
−𝟔 𝒎 
 
4) Uma antena parabólica com diâmetro de 25,0 𝑚 recebe um sinal de rádio de uma fonte distante. Este sinal de rádio é 
uma onda senoidal contínua com amplitude 𝐵𝑚á𝑥 = 2,75 𝑓𝑇. Suponha que a antena absorve toda a radiação que incide 
sobre o disco. 
(a) (1,0 ponto). Qual força é exercida sobre a antena pelas ondas de rádio? 
 
 Calculando a intensidade da onda: 𝐼 = 
𝑐∙𝐵𝑚𝑎𝑥
2
2 𝜇𝑜
= 
3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 ∙ (2,75 𝑥 10−15 𝑇)2
2 ∙ 4 𝜋 𝑥 10−7 
𝐻
𝑚
= 9,03 𝑥 10−16 
𝑊
𝑚2
 
 
 
 Calculando a pressão exercida pela radiação: 𝑝𝑟 = 
𝐼
𝑐
=
𝐵𝑚𝑎𝑥
2
2 𝜇𝑜
= 
9,03 𝑥 10−16 
𝑊
𝑚2
3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
= 3,01 𝑥 10−24 𝑃𝑎 
 
 
 Calculando a força exercida pela radiação: 𝑝𝑟 = 
𝐹
Á𝑟𝑒𝑎
 → 𝐹 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑝𝑟 
 
 
𝐹 = 𝜋 ∙ (12,5 𝑚)2 ∙ 3,01 𝑥 10−24 𝑃𝑎 
 
 
𝑭 = 𝟏, 𝟒𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟐𝟏 𝑵 
 
(b) (1,0 ponto). Calcule a densidade média de energia associada ao campo elétrico e calcule também a densidade média 
de energia associada ao campo magnético da onda. 
 
𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 𝜀𝑜 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥
2 = 
1
4
 
𝐵𝑚𝑎𝑥
2
𝜇𝑜
 
 
 
𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 ∙ 
(2,75 𝑥 10−15 𝑇)2
4 𝜋 𝑥 10−7 
𝐻
𝑚
 
 
 
𝒖𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝒖𝑩𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟏, 𝟓𝟎 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐𝟒 
𝑱
𝒎𝟑
 
 
 
 
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FS4420 P3 – ROSA 23 / 06 / 2017 N
o Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Permitido o uso de 1 calculadora não alfa numérica. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
 
NOTA 
 
 
𝑐 =  𝑓 =
𝜔
𝑘
= 3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
 
𝜇𝑜 = 4 𝜋 𝑥 10
−7 
𝐻
𝑚
 
 
𝜀𝑜 = 8,85 𝑥 10
−12 
𝐹
𝑚
 
 
𝑒 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐶 
 
𝑚𝑒 = 9,11 𝑥 10
−31 𝑘𝑔 
 
𝑚𝑝 = 𝑚𝑛 = 1,67 𝑥 10
−27 𝑘𝑔 
 
𝑘 = 1,38 𝑥 10−23 𝐽/𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎. 𝐾 
 
1 𝑒𝑉 = 1,60 𝑥 10− 19 𝐽 
 
ℎ = 6,63 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
ℎ = 4,14 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 1,06 𝑥 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 
 
 = 
ℎ
2 𝜋
= 0,659 𝑥 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,989 𝑥 10−25 𝐽 ∙ 𝑚 
 
ℎ ∙ 𝑐 = 1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉 ∙ 𝑚 
 
 
𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙ 𝜆 
 
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = (𝑚 +
1
2
) ∙ 𝜆 
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑎
 
 
𝑦  𝑚 ∙
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
𝑦  (𝑚 +
1
2
) ∙ 
𝜆 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2∙𝑘∙𝐿 
 
𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
 (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) 
 
𝑘 = 
√2 𝑚 ∙ (𝑈𝑜 − 𝐸)

 
 
∆𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥  
 
 ∆𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥  
 
 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 =
ℎ

 
 
𝐿 = 𝑛 

2
; (𝑥) = √
2
𝐿
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛 𝜋 𝑥
𝐿
) ; 𝐸𝑛 = 
𝑛2 ∙ ℎ2
8 𝑚 𝐿2
; 𝐸 = 
𝑝2
2 𝑚
= 
ℎ2
2 𝑚 2
; 𝐸𝑛 = − 
13,6
𝑛2
; ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 ∙ 𝑑𝜃 = 
𝜃
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
 
 
𝐸 = 𝑛 ℎ 𝑓; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ 𝑓 − ϕ; ϕ = ℎ 𝑓𝑐; 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉𝑜 =
1
2
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 
 
 
�⃗� (𝑟 , 𝑡) = �⃗� 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(�⃗� ∙ 𝑟 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; �⃗� (𝑟 , 𝑡) = �⃗� 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(�⃗� ∙ 𝑟 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; 
𝐸
𝐵
=
𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐵𝑚𝑎𝑥
= 𝑐 =
1
√𝜇𝑜 ∙ 𝜀𝑜
 
 
 
𝑆 =
1
𝜇𝑜
�⃗� × �⃗� ; 𝐼 =
𝑃
Á𝑟𝑒𝑎
= 𝑆𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1
2 𝜇𝑜 ∙ 𝑐
𝐸𝑚𝑎𝑥
2 ; 𝑃 =
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∆𝑡
; 𝑝𝑟 =
𝐼
𝑐
; 𝑝𝑟 =
2 𝐼
𝑐
 
 
 
𝑢 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑚é𝑑𝑖𝑎
= 𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 + 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 ; 𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 𝜀𝑜 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥
2 
 
O espaço abaixo é reservado para rascunhos. Cálculos e anotações feitas neste local não serão considerados na correção; 
 
 
Nº 
 Nº sequencial 
 
Faça as contas com todos os algarismos; 
Apresente as respostas finais com 3 algarismos significativos. 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
1) Fulerenos formam uma vasta família de nano-moléculas com estruturas altamente simétricas. O representante mais 
comum desta família é o C60, uma molécula com 60 átomos de carbono que tem a forma de uma bola de futebol, tem 
massa de 1,20 ∙ 10−25 𝑘𝑔 e diâmetro 1,00 𝑛𝑚. Um feixe de fulerenos pode ser criado aquecendo-se essas nano-
moléculas a uma temperatura de600 𝐾 e, neste caso, a energia cinética delas é dada por 𝐸 =
3
2
 𝑘 ∙ 𝑇, onde 𝑘 é a 
constante de Boltzmann. 
(a) (1,0 ponto). Quando este feixe de fulerenos incide sobre uma barreira de potencial de 80,0 𝑚𝑒𝑉, observa-se que o 
coeficiente de transmissão é 7,54 𝑥 10−2. Calcule a largura da barreira. 
 
 Energia das partículas: 𝐸 =
3
2
 𝑘 ∙ 𝑇 =
3
2
∙ 1,38 𝑥 10−23
𝐽
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎∙𝐾
∙ 600 𝐾 = 1,242 𝑥 10−23 
𝐽
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
= 77,6 
𝑚𝑒𝑉
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
 
 
 
 𝐺 = 16 ∙
𝐸
𝑈𝑜
∙ (1 −
𝐸
𝑈𝑜
) = 16 ∙
77,6 𝑚𝑒𝑉
80,0 𝑚𝑒𝑉
∙ (1 −
77,6 𝑚𝑒𝑉
80,0 𝑚𝑒𝑉
) = 0,4656 
 
 
 𝑘 = 
√2 𝑚∙(𝑈𝑜−𝐸) 

= 
√2∙1,20 𝑥 10−25 𝑘𝑔∙(80,0 − 77,6) 𝑥 10−3 𝑒𝑉∙1,6 𝑥 10−19 
1,06 𝑥 10−34 𝐽.𝑠
= 9,06 𝑥 1010 𝑚−1 
 
 
 𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒− 2∙𝑘∙𝐿 → 𝐿 = −
1
2∙𝑘
∙ ln (
𝑇
𝐺
) = −
1
2 ∙ 9,06 𝑥 1010 𝑚−1
∙ ln (
7,54 𝑥 10−2
0,4656
) → 𝑳 = 𝟏, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎 
 
(b) (1,5 ponto). Considere que um elétron preso no interior de uma dessas “bolas de futebol” se comporta como uma 
partícula presa em um poço de potencial infinito, de largura igual ao diâmetro das nano-moléculas. Observa-se que, no 
decaimento de um estado caracterizado pelo número quântico 𝑛𝑖 para outro estado caracterizado pelo número 
quântico 𝑛𝑓, a nano-molécula emite um fóton com energia 1,8848 𝑒𝑉. Determine os números quânticos 𝑛𝑖 e 𝑛𝑓. 
 
 
 
 Energia do estado fundamental: 𝐸1 = 
ℎ2
8 𝑚∙𝐿2
= 
(6,63 𝑥 10−34 𝐽.𝑠)2
8 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ (1,00 𝑥 10−9 𝑚)2
= 6,03 𝑥 10−20 𝐽 = 0,377 𝑒𝑉 
 
 
 
 
 Energia do fóton emitido: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = ∆𝐸 = |𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| ∙ 𝐸1 = 1,8848 𝑒𝑉 → |𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| = 
1,8848 𝑒𝑉
0,377 𝑒𝑉
 
 
 
|𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| = 5 
 
 
𝒏𝒊 = 𝟑 𝒆 𝒏𝒇 = 𝟐 
 
 
(c) (1,0 ponto). Considere agora, que o fóton emitido no item anterior incide sobre a superfície de um metal de função 
trabalho . Como resultado do efeito fotoelétrico, o elétron arrancado do metal tem comprimento de onda 1,1790 𝑛𝑚. 
Calcule . 
 
 Energia do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 1,8848 𝑒𝑉 
 
 
 Energia do elétron: 𝐾𝑚á𝑥 =
ℎ2
2 𝑚 ∙ 2
= 
(6,63 𝑥 10−34 𝐽.𝑠)
2
2 ∙ 9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔 ∙ (1,1790 𝑥 10−9 𝑚)2
= 1,736 𝑥 10−19 𝐽 = 1,0848 𝑒𝑉 
 
 
 Função trabalho: 𝐾𝑚𝑎𝑥 = ℎ ∙ 𝑓 −  = 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 −  →  = 1,8848 𝑒𝑉 − 1,0848 𝑒𝑉 →  = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒆𝑽 
 
 
 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
Continuação da questão 1) 
(d) (1,0 ponto). Considere ainda, um feixe de elétrons com comprimento de onda igual ao do item anterior incidindo 
sobre a superfície de um sólido, onde a distância entre os átomos é 4,47 𝑛𝑚. Qual a ordem do maior máximo de 
difração que pode ser observado e em qual ângulo (em graus) este máximo ocorre? 
 
 Calculando o maior valor permitido para 𝑚: 𝑚 ∙  = 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) → 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑚 ∙

𝑑
= 𝑚 ∙
1,1790 𝑛𝑚
4,47 𝑛𝑚
= 𝑚 ∙ 0,2638 
 
Para 𝑠𝑒𝑛(𝜃) < 1, 𝑚 deve ser, no máximo, igual a: 𝒎 = 𝟑. 
 
 
 Calculando a posição do máximo de ordem 2: 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 3 ∙ 0,2638 = 0,7913 → 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1(0,7913) 
 
 
𝜽 = 𝟓𝟐, 𝟑𝒐 = 𝟎, 𝟗𝟏𝟑 𝒓𝒂𝒅 
 
(e) (0,5 ponto). Analise as afirmações abaixo sobre esta questão e assinale a alternativa correta (não é necessário 
justificar). 
1.- A função de onda (𝑥) = 4,47 𝑥 103𝑠𝑒𝑛(2,00 𝑥 109 ∙ 𝜋 ∙ 𝑥)[𝑆. 𝐼. ] representa o elétron preso no primeiro estado 
excitado da nano-molécula de fulereno; 
2.- Se a incerteza na medida da energia do primeiro estado excitado da nano-molécula é de 10% do valor da energia 
daquele estado, a incerteza no tempo em que o elétron ocupa aquele estado é de 4,374 𝑓𝑠, e 
3.- Com relação ao item (d), a interferência medida no detector é consequência dos elétrons se comportarem como 
ondas ao atingirem a superfície do sólido. 
( ) Somente a afirmação 1 é correta 
( ) Somente a afirmação 2 é correta 
( ) Somente a afirmação 3 é correta 
( ) São corretas as afirmações 1 e 2 
( ) São corretas as afirmações 1 e 3 
( X ) São corretas as afirmações 2 e 3 
( ) Todas as afirmações estão corretas 
( ) Todas as afirmações estão erradas 
2) (1,5 ponto). Luz vermelha de comprimento de onda 690 𝑛𝑚 passa através de um dispositivo de duas fendas. 
Simultaneamente, outro feixe de luz monocromático – e também dentro da região do visível do espectro eletromagnético 
– também passa através do mesmo dispositivo. Em consequência, a maior parte da figura de interferência que se forma 
na tela é dada pela mistura de duas cores; contudo, o centro da terceira franja brilhante da luz vermelha é puramente 
vermelho, sem nenhuma tonalidade de outra cor. Quais os dois possíveis comprimentos de onda do segundo feixe de luz? 
Obs.: considere a radiação visível dentro do intervalo de comprimento de onda: 370 𝑛𝑚 < 𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑙 < 700 𝑛𝑚 
 
 
Posição do 3º máximo vermelho = Posição mínimo de ordem 𝑚 da outra cor 
 
 
𝑚𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 ∙ 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 ∙ 𝑥
𝑑
= 
(𝑚 +
1
2)𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟
∙ 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 
𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟 = 
3 ∙ 690 𝑛𝑚
(𝑚 +
1
2)𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟
 
 
 
𝒎 = 𝟑 → 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒓 = 𝟓𝟗𝟏, 𝟒 𝒏𝒎 
 
𝒎 = 𝟒 → 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒓 = 𝟒𝟔𝟎, 𝟎 𝒏𝒎 
 
𝒎 = 𝟓 → 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒓 = 𝟑𝟕𝟔, 𝟒 𝒏𝒎 
 
 
 
1.- A afirmação é falsa porque 
 
√ 
2
𝐿
 = √
2
1,00 𝑥 10−9 𝑚
 = 4,47 𝑥 104 𝑚−1/2 
 
FS4420 / NF5420 – Princípios de Física Moderna Prova P3 1º Sem./2017 
3) (1,5 ponto). Em uma série de experiências com um átomo hipotético de um elétron –semelhante, mas não igual ao 
átomo de hidrogênio–, você mede os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições que terminam no estado 
fundamental. Você observa que são necessários 18,5 𝑒𝑉 para ionizar esse átomo quando o elétron está no estado 
fundamental. Se o elétron fizer uma transição do quarto estado excitado para o segundo estado excitado, qual é o valor 
do comprimento de onda do fóton emitido? 
 
 Energia do estado fundamental do átomo: 𝐸1 = −18,5 𝑒𝑉 
 
 
 Energia de um estado “𝑛” qualquer: 𝐸𝑛 = − 
18,5 𝑒𝑉
𝑛2
 → 𝑛 = 5: 𝐸5 = − 0,740 𝑒𝑉 (quarto estado excitado) 
 
 𝑛 = 3: 𝐸3 = − 2,06 𝑒𝑉 (segundo estado excitado) 
 
 
 Comprimento de onda do fóton: 𝐸𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = ∆𝐸 = |𝐸5 − 𝐸3| = 
ℎ∙𝑐
𝑓ó𝑡𝑜𝑛
 → 𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
ℎ∙𝑐
|𝐸5−𝐸3|
 
 
 
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 = 
1,242 𝑥 10−6 𝑒𝑉.𝑚
|−0,740 − (−2,06)| 𝑒𝑉
 → 𝒇ó𝒕𝒐𝒏 = 𝟗, 𝟐𝟏 𝒙 𝟏𝟎
−𝟕 𝒎 
 
4) Uma antena parabólica com diâmetro de 20,0 𝑚 recebe um sinal de rádio de uma fonte distante. Este sinal de rádio é 
uma onda senoidal contínua com amplitude 𝐵𝑚á𝑥 = 5,75 𝑓𝑇. Suponha que a antena absorve toda a radiação que incide 
sobre o disco. 
(a) (1,0 ponto). Qual força é exercida sobre a antena pelas ondas de rádio? 
(a) (1,0 ponto). Qual força é exercida sobre a antena pelas ondas de rádio? 
 
 Calculando a intensidade da onda: 𝐼 = 
𝑐∙𝐵𝑚𝑎𝑥
2
2 𝜇𝑜
= 
3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 ∙ (5,75 𝑥 10−15 𝑇)2
2 ∙ 4 𝜋 𝑥 10−7 
𝐻
𝑚
= 3,95 𝑥 10−15 
𝑊
𝑚2
 
 
 
 Calculando a pressão exercida pela radiação: 𝑝𝑟 = 
𝐼
𝑐
=
𝐵𝑚𝑎𝑥
2
2 𝜇𝑜
= 
3,95 𝑥 10−15 
𝑊
𝑚2
3 𝑥 108 
𝑚
𝑠
 
= 1,32 𝑥 10−23 𝑃𝑎 
 
 
 Calculando a força exercida pela radiação:𝑝𝑟 = 
𝐹
Á𝑟𝑒𝑎
 → 𝐹 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ 𝑝𝑟 
 
 
𝐹 = 𝜋 ∙ (10,0 𝑚)2 ∙ 1,32 𝑥 10−23 𝑃𝑎 
 
 
𝑭 = 𝟒, 𝟏𝟑 𝒙 𝟏𝟎−𝟐𝟏 𝑵 
 
(b) (1,0 ponto). Calcule a densidade média de energia associada ao campo elétrico e calcule também a densidade média 
de energia associada ao campo magnético da onda. 
 
𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 𝜀𝑜 ∙ 𝐸𝑚𝑎𝑥
2 = 
1
4
 
𝐵𝑚𝑎𝑥
2
𝜇𝑜
 
 
 
𝑢𝐸𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 𝑢𝐵𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 
1
4
 ∙ 
(5,75 𝑥 10−15 𝑇)2
4 𝜋 𝑥 10−7 
𝐻
𝑚
 
 
 
𝒖𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝒖𝑩𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟔, 𝟓𝟖 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐𝟒 
𝑱
𝒎𝟑