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– Página 8.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA CAPÍTUO 08 FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 8.1) No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a fmm para que o fluxo no entreferro g seja de 300 [µWb]. Desprezar o espraiamento de fluxo no entreferro. Resolução: � Circuito elétrico análogo: Dados: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = = == = ==⇒−== Wb 300 cm 6S cm 4SS cm 6 cm 951505016 1 2 3 2 21 3 2121 µφ � ���� ,, Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ2 ⇒ φ1 = φ2. Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: +=−≈ℜ+ℜ=ℜ− =⇒+= ggg ��� HHH 113311133 13213 NINI 2 φφφ φφφφφ (01) � Cálculo de 1H : [ ]T 750 104 10300 SS 14 6 1 1 1 1 1 ,BBBBBB ==⇒ ⋅ ⋅ ==⇒=== − − gg g g φφ – Página 8.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se: Para [ ] [ ] m Ae 15T 750 11 =⇒= H,B (02) � Cálculo de gH : [ ] m Ae 10975 104 750 5 7 o ⋅=⇒ ⋅ =⇒= − ,H , H B H gg g g piµ (03) � Cálculo de 3H : De (01): φ3 = 2φ1 ⇒ φ3 =600 [µ Wb] [ ]T 01 106 10600 S 34 6 3 3 3 3 ,BBB =⇒ ⋅ ⋅ =⇒= − −φ Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se: Para [ ] [ ] m Ae 50T 01 33 =⇒= H,B (04) Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: [ ]Ae 9303NI 52983923NI 10050109751095151510650NI 2522 ,,, ,,, =⇒++= ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅− −−− 8.2) Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira retangular de dimensões h e d. A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r+d deste. Determinar a expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos. Resolução: 1 122 12 I N M φ = (01) � Cálculo de φ12: Para o fio infinito de corrente, temos: φφ ρpi µµ piρ aBHBaH 2 I 2 I 1o1212o12 112 =⇒=⇒= – Página 8.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA ( )∫∫ + = • =⇒•= dr r h ρ φφ ρρpi µφφ aadSB d 2 I1o 12 S 1212 [ ] + ⋅= ⋅=⇒⋅= + = + = ∫ r drh hh dr r dr r 2 I 2 Id 2 I 1o 12 1o 12 1o 12 ln ln pi µφ ρ pi µφ ρ ρ pi µφ ρ ρ Substituindo (02) em (01), temos: + ⋅= + ⋅ ⋅ =⇒ + ⋅=⇒= r drh r drh r drh ln lnln pi µ pi µ pi µφ 2 M 2 1 M I 2 IN M I N M o 12 o 12 1 1o2 12 1 122 12 8.3) Um filamento infinito estende-se sobre o eixo z, no espaço livre, e uma bobina quadrada de N espiras é colocada na plano y = 0 com vértices em (b; 0; 0), (b+a; 0; 0), (b+a; 0; a) e (b; 0; a). Determinar a indutância mútua entre o filamento e a bobina em termos de a, b, N e µo. Resolução: 1 122 12 I N M φ = (01) � Cálculo de φ12: Para o filamento infinito de corrente, temos: ( ) [ ] [ ] + ⋅= ⋅⋅=⇒⋅= • =⇒•= =⇒=⇒= = + = + = = + = = ∫ ∫ ∫ ∫∫ b aba aab b ab b a ab b a 2 I zx 2 I x dxdz 2 I dxdz x 2 I x 2 I 2 I o 12 0zx o 12 x 0z o 12 x 0z yy o 12 S 12 y o o ln ln pi µφ pi µφ pi µφ pi µφφ pi µµ piρ φ aadSB aBHBaH (02) (02) – Página 8.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA Substituindo (02) em (01), temos: + ⋅=⇒ + ⋅=⇒= b aba b aba lnln pi µ pi µφ 2 N M I 2 IN M I N M o12 o 12 1 122 12 8.4) Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir [ ]T 60,B = através da seção reta da perna esquerda e determinar: a) A queda de potencial magnético no ar ( armV ); b) A queda de potencial magnético no aço-silício ( acomV ); c) A corrente que circula em uma bobina com 1250 espiras enroladas em volta da perna esquerda. Circuito elétrico análogo Resolução: Dados: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] == === = 2 2 2 1 21 1 cm 4S cm 6S cm 60 cm 15 cm 10 T 60 ; ,,; ,B g��� Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: ++= ℜ+ℜ+ℜ= gg g ��� HHH 2211 21 2NI ou 2NI φφφ (01) a) De (01): [ ]Ae 184297V 104104 106010660V S S V S VVV arm 74 24 arm o 11 arm o arm o armarm , ,,B B H = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ =⇒⋅= ⋅=⇒=⇒= −− −− piµ µ φ µ g g g g g g gg � � �� acomV armV (02) – Página 8.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA b) De (01): 2211acom 2V �� HH += (03) � Cálculo de 1H : Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se: Para [ ] [ ] m Ae 100T 60 11 =⇒= H,B (04) � Cálculo de 2H : [ ]T 90 104 10660 S S S 24 4 2 2 11 2 2 2 ,B , B B BB =⇒ ⋅ ⋅⋅ =⇒=⇒= − −φ Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se: Para [ ] [ ] m Ae 160T 90 22 =⇒= H,B (05) Substituindo (04) e (05) em (03), temos: [ ]Ae 58V 150160210100V acomacom =⇒⋅⋅+⋅= ,, (06) c) Substituindo (05) e (06) em (01), temos: [ ]A 483I 1250 184355I18429758NI ,,, =⇒=⇒+= 8.5) Uma espira filamentar quadrada de corrente tem vértices nos pontos (0; 1; 0), (0; 1; 1), (0; 2; 1) e (0; 2; 0). A corrente é de 10 [A] e flui no sentido horário quando a espira é vista do eixo +x. Calcule o torque na espira quando esta é submetida : a) a uma densidade de fluxo magnético y5aB = ; b) ao campo produzido por uma corrente filamentar de 10 [A] que flui ao longo do eixo z no sentido za+ . Resolução: a) ( ) zyx 50 5 10 I IaTaaTBSTBdSdT −=⇒×−=⇒×=⇒×= – Página 8.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA b) xdxdy onde I adSBdSdT −=×= ; (01) � Cálculo de B : ( ) xx 2 I2 I2 I aBaBaB piρpiρpiρ φ −=⇒−=⇒= (02) Substituindo (02) em (01), temos: ( ) 0 0 2 Idxdy I xx =⇒=⇒ − ×−= TdTaadT piρ 8.6) Suponha que o núcleo do material magnético da figura abaixo possui uma permeabilidade relativa de 5000. O fluxo 1φ do braço esquerdo circula de a para b com um comprimento médio de 1 m. O comprimento médio do braço direito é igual ao do braço esquerdo. O braço central possui um comprimento médio de 0,4 m. Adotar a área da seção reta de cada caminho igual a 0,01 m2 e o fluxo de dispersão desprezível. Calcular a indutância própria da bobina 01 e a indutância mútua entre as bobinas 01 e 02. Resolução: Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ3. � Circuito elétrico análogo: 1 11 1 I N L φ = (01) 1 22 1 122 12 I N I N M φφ == (02) Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: ℜ+ℜ=ℜ+ℜ= += 33112211 321 NI φφφφ φφφ (03) – Página 8.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA � Cálculo de ℜ1e de ℜ3: [ ]WbAe 15915 0101045000 1 S S 31 7313 3 1 1 31 =ℜ=ℜ ⋅⋅⋅ =ℜ=ℜ⇒==ℜ=ℜ − ,piµµ �� � Cálculo de ℜ2: [ ]WbAe 63660101045000 40S 272222 =ℜ⇒⋅⋅⋅=ℜ⇒=ℜ − ,,piµ � (05) De (03), conclui-se que: 3322 φφ ℜ=ℜ (06) Substituindo (04) e (05) em (06), temos: 3232 52159156366 φφφφ ,=⇒= (07) Substituindo (07) em (03), temos: 31331 5352 φφφφφ ,,` =⇒+= (08) Substituindo (07) e (08) em (03), temos: 1 3 331 3313311 I10792571617I200 159155755702I2005263665315915IN − ⋅=⇒= +=⇒⋅+⋅= ,, ,,, φφ φφφφ Substituindo (09) em (07) e em (08), temos: 1 3 1 I10779 −⋅= ,φ (10) e 1 3 2 I10986 −⋅= ,φ (11) Substituindo (10) em (01), temos: [ ]H 951L 10779200L I I10779N L 1 3 1 1 1 3 1 1 ,, , =⇒⋅⋅=⇒ ⋅⋅ = − − e Substituindo (11) em (02), temos: [ ]H 092M 10986300M I I10986N M 12 3 12 1 1 3 2 12 ,, , =⇒⋅⋅=⇒ ⋅⋅ = − − (04) (09) – Página 8.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 8.7) Determinar a densidade de fluxo magnético ( B ) em cada uma das três pernas do circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do núcleo, B é relacionado diretamente com H , através da expressão HB 200= . Resolução: � Circuito elétrico análogo: Dados: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = === === == == mm 1 cm 5 ; 10 ; 12 cm 10S ; 8S ; 6S espiras 1000N ; 500N mA 70II 321 2 321 21 21 g� ��� Se HBHB 200 e == µ , então, µ = 200. Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: +=−=− ℜ+ℜ=ℜ−=ℜ− += gg g ���� HHHH 3322221111 33322221111 213 ININ ou ININ φφφφ φφφ (01) � Cálculo de ℜ1: [ ]WbAe 01106200 1012S 14 2 1 1 1 1 ,=ℜ⇒ ⋅⋅ ⋅ =ℜ⇒=ℜ − − µ � (02) � Cálculo de ℜ2: [ ]WbAe 6250108200 1010S 24 2 2 2 2 2 ,=ℜ⇒ ⋅⋅ ⋅ =ℜ⇒=ℜ − − µ � (03) – Página 8.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA � Cálculo de ℜ3: [ ]WbAe 2501010200 105S 34 2 3 3 3 3 ,=ℜ⇒ ⋅⋅ ⋅ =ℜ⇒=ℜ − − µ � (04) � Cálculo de ℜg: [ ]WbAe 1095771010104 101S 547 3 ⋅=ℜ⇒ ⋅⋅⋅ ⋅ =ℜ⇒=ℜ −− − ,gg g g g piµ � (05) Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos: ( ) +⋅=− −= ⇒⋅=−=− ⋅+=−=− 21 5 2 21 3 5 21 3 5 3222111 109577625070 356250 10957762507035 1095772506250IN01IN φφφ φφ φφφ φφφφ ,, , ,, ,,,, Substituindo (07) em (06), temos: ( ) [ ]Wb 54211085271093512625070 6250109577625070 2 7 2 6 2 22 5 2 ,,,, ,,, =⇒⋅−⋅=− +⋅=− φφφ φφφ Substituindo (08) em (06), temos: [ ]Wb 54213554216250 11 ,,, −=⇒−⋅= φφ (09) Substituindo (08) e (09) em (01), temos: 054215421 33 =⇒+−= φφ ,, � Cálculo de 1B : [ ]Wb 10593 106 5421 4 1411 1 1 ⋅−=⇒ ⋅ − =⇒= − ,B , BB S φ � Cálculo de 2B : [ ]Wb 10692 108 5421 4 2422 2 2 ⋅=⇒ ⋅ =⇒= − ,B , BB S φ � Cálculo de 3B : 0 3 3 3 3 =⇒= BB S φ (06) (08) (07)
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