APOSTILA DE GMCC_2021

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APOSTILA DE GMCC 
 
 
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Prof. Dr. Edval Delbone 
 
APOSTILA DE GMCC 
Circuitos magnéticos; transformadores monofásicos 
 
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1. Introdução Teórica 
Materiais Magnéticos 
Os primeiros fenômenos magnéticos observados foram aqueles associados aos chamados “imãs 
naturais” (magnetos) que eram fragmentos grosseiros de ferro encontrados perto da antiga cidade de 
Magnésia (daí o termo “magneto”). Esses imãs tinham a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, 
sendo que esta propriedade era mais acentuada em certas regiões desse material denominada, depois, 
de pólos. Descobriu-se então que, quando uma barra de ferro era colocada perto de um imã natural 
ela adquiria e retinha essa propriedade do imã natural e que, quando suspensa livremente em torno 
de um eixo vertical, ela alinhava com a direção norte-sul. 
Conta uma lenda grega que o pastor Magnes se surpreendeu ao ver como a bola de ferro de seu bastão 
era atraída por uma pedra misteriosa, o âmbar (em grego, elektron). 
No final do século XVIII Charles-Augustin de Coulomb e Henry Cavendish haviam determinado as leis 
empíricas que regiam o comportamento das substâncias eletricamente carregadas e o dos ímãs, que 
indicava uma possível relação entre eles 
Primeira metade do século XIX um grupo de pesquisadores conseguiu unificar os dois campos de 
estudo ( ELETRICO E MAGNETICO). 
Em 1820 se obteve prova experimental dessa relação, quando o dinamarquês Hans Christian Oersted, 
ao aproximar uma bússola de um fio de arame que unia os dois pólos de uma pilha elétrica, descobriu 
que a agulha imantada da bússola deixava de apontar para o norte, orientando-se para uma direção 
perpendicular ao arame. 
Pouco depois, André-Marie Ampère demonstrou que duas correntes elétricas exerciam mútua influência 
quando circulavam através de fios próximos um do outro 
No decorrer do século XIX, as experiências de Örsted e Ampère demonstraram a influência que as 
correntes elétricas exercem sobre os materiais imantados, enquanto Faraday e Joseph Henry 
determinaram a natureza das correntes elétricas induzidas por campos magnéticos variáveis no espaço. 
Faraday introduziu a noção de campo, que teve logo grande aceitação e constituiu um marco no 
desenvolvimento da física moderna. Concebeu o espaço como cheio de linhas de 
força — correntes invisíveis de energia que governavam o movimento dos corpos e eram criadas pela 
própria presença dos objetos. Assim, uma carga elétrica móvel produz perturbações eletromagnéticas 
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a seu redor, de modo que qualquer outra carga próxima detecta sua presença por meio das linhas do 
campo. Esse conceito foi desenvolvido matematicamente pelo britânico James Clerk Maxwell, e a força 
de seus argumentos acabou com a da idéia de forças que agiam sob controle remoto, vigente em sua 
época. 
Os múltiplos trabalhos teóricos sobre o eletromagnetismo culminaram em 1897, quando Sir Joseph 
John Thomson descobriu o elétron, cuja existência foi deduzida do desvio dos raios catódicos na 
presença de um campo elétrico. A natureza do eletromagnetismo foi confirmada ao se determinar a 
origem das forças magnéticas no movimento orbital dos elétrons ao redor dos núcleos dos átomos. 
O conceito de ondas eletromagnéticas, apresentado por Maxwell em 1864 e confirmado 
experimentalmente por Heinrich Hertz em 1886, é utilizado para demonstrar a natureza 
eletromagnética da luz. 
Quando uma carga elétrica se desloca no espaço, a ela se associam um campo elétrico e outro 
magnético, interdependentes e com linhas de força perpendiculares entre si. O resultado desse 
conjunto é uma onda eletromagnética que emerge da partícula e, em condições ideais – isto é, sem a 
intervenção de qualquer fator de perturbação – se move a uma velocidade de 299.793km/s, em forma 
de radiação luminosa. A energia transportada pela onda é proporcional à intensidade dos campos 
elétrico e magnético da partícula emissora e fixa as diferentes freqüências do espectro eletromagnético 
 Surgiram, então, os instrumentos de navegação. 
Desde então os materiais magnéticos vêm sendo utilizados em grande volume aproveitando-se a 
característica desses materiais. Equipamentos como: transformadores, motores, geradores, auto-
falantes, eletroímãs, etc., contém ferro, ou ligas de ferro, em suas estruturas, com o duplo propósito 
de aumentar a fluxo magnético e restringi-lo a uma região desejada. 
A produção de campo magnético 
A capacidade de uma fonte magnética de magnetizar um meio qualquer é expressa pelo vetor de 
campo magnético H. Pode-se, então, dizer que campo H é função da corrente total do circuito e é o 
que estabelece a densidade de fluxo B. No vácuo B = µoH. H é definido como vetor intensidade de 
campo magnético, e B, vetor densidade de fluxo magnético. Quando circula uma corrente em uma 
bobina sem núcleo temos uma densidade de fluxo magnético de Bo = µoH. Ao inserir um material 
ferromagnético no interior dessa bobina, um novo valor de densidade de fluxo magnético é estabelecido 
e é determinado por 
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 B = µoH + µoM, onde M é o vetor intensidade de campo magnético causado pela orientação dos 
domínios magnéticos do material que, por causa do efeito que provoca, é geralmente denominado 
vetor de magnetização e sua unidade é A/m, sendo que o fenômeno de orientação dos domínios é 
ilustrado a seguir 
 
Domínios magnéticos de uma material podem ser vistos como regiões microscópicas nas quais os seus 
átomos estão polarizados em uma dada direção, formando assim pequenos imãs. Se o material não 
estiver submetido a um campo externo H, a distribuição da magnetização desses domínios no material 
é aleatória, resultando em uma densidade de fluxo magnético muito baixa, próxima de zero. As 
separações entre esses domínios são conhecidas por paredes dos domínios, como na figura acima por 
linhas tracejadas. 
Quando é fácil formar e mover paredes de domínios magnéticos do material pela aplicação de uma 
campo 
 
Hoje em dia, pesquisas são feitas para se desenvolver outros tipos de materiais que tenham essa 
propriedade ainda mais acentuada e que possam ser manipulados de maneira a permitir novas 
configurações e formatos de núcleos reduzindo-se assim as perdas desses núcleos, bem como seus 
tamanhos. 
Os materiais magnéticos podem ser classificados em ferromagnéticos (permeabilidade magnética 
relativa muito alta), diamagnéticos (permeabilidade magnética relativa aproximadamente menor que 
um) e paramagnéticos (permeabilidade magnética relativa aproximadamente maior que um). Duas 
das razões fundamentais para o aproveitamento das propriedades magnéticas dos materiais 
ferromagnéticos é a elevada permeabilidade e baixas perdas, que permite a realização de circuitos 
magnéticos de baixa relutância nos quais se pode estabelecer um fluxo apreciável à custa de uma força 
magneto motriz – FMM relativamente baixa. 
Em relação aos materiais ferromagnéticos, o ferro silício é o mais utilizado nas mais diversas aplicações 
que envolvam núcleos em circuitos magnéticos. 
O ferro silício é composto de ferro com dopagem de silício, que promove o aumento da resistividade 
do material, reduzindo as perdas de correntes de Foucault no núcleo. 
 
 
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As máquinas elétricas são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos acoplados entre si. É 
necessário prover de um circuito magnéticos com baixa relutância para proporcionar um caminho para 
o fluxo magnético, assim como um circuito elétrico, estabelece um caminho para a corrente elétrica. 
Nas máquinas elétricas, os condutores percorridos por correntes interagem com os campos 
magnéticos, resultando na conversão eletromecânica de energia. 
 
A lei que determina a relação entre corrente e o campo magnético é a lei de Ampere 
É imensa a variedade de dispositivos e equipamentos eletromagnéticos que operam no diaa dia. É 
pequeno os números de fenômenos físicos em que estão fundamentados esses dispositivos e 
equipamentos. Verifica-se que uns poucos princípios físicos norteiam a operação dos referidos. 
Todo equipamento obedece a três princípios básicos e imutáveis: 
• Princípio da Conservação da Energia 
• Princípio dos trabalhos Virtuais 
• Princípio da Reversibilidade 
A energia não é criada, e sim convertida através dos geradores nas usinas ou transferida de um local 
para outro através de transformadores elétricos. Nessas conversões há perdas, que define o 
rendimento, η = Psaída / Pentrada 
 
A Eletricidade possui três componentes fundamentais que pelas suas características e suas 
propriedades podem simular trabalho e armazenar energia, seja no campo elétrico, seja no campo 
magnético, exemplo: resistor, capacitor e indutor. 
Resistor Elétrico: Ao circular uma corrente elétrica pelo resistor, dissipa uma potencia e transforma 
em forma de calor, exemplo chuveiro elétrico. 
Simbolo R, unidade (Ohm) 
Capacitores Elétricos: É um elemento que tem a função de armazenar energia na forma de campo 
elétrico 
Simbolo: C, unidade F(Faraday) 
Indutor: É um elemento que tem a função de armazenar energia na forma de campo magnético 
Simbolo: L, unidade H(Henry) 
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Define-se INDUTÂNCIA como a habilidade de uma estrutura física em armazenar energia na forma 
de um campo magnético de "intensidade de campo magnético” H ou de “densidade de campo 
magnético” B. 
Denomina-se “fluxo concatenado” λ, o fluxo enlaçado por um enrolamento de material condutor 
elétrico, com N espiras. 
Como exemplo, um núcleo de material ferromagnético apresentado na figura 2.1, de forma toroidal, 
com N espiras distribuídas uniformemente ao logo do núcleo. Ao circular pelo enrolamento de N 
espiras, uma corrente elétrica I, estabele-se nesse enrolamento uma “força magnetomotriz” Fmm, a 
qual tem por expressão: 
Fmm(t) = N.i(t) 
 
 
FIGURA 1 – Indutor Toroidal com enrolamento uniformemente distribuído 
A força magnetomotriz, que pode ser entendida como uma diferença de potencial magético 
estabelecida no enrolamento de N espiras, é responsável pelo fluxo magnético ɸ(t) = Fmm(t) / RT 
Em que RT é a relutância magnética total oferecida ao fluxo magnético pelo núcleo do indutor. O 
fluxo magnético total concatenado pelo enrolamento de N espiras tem a expressão: 
λ(t) = N.ɸ(t) 
A indutância própria dessa estrutura magnética é definida por: 
L = λ(t) / i(t) 
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A energia magnética está sendo armazenada a partir de um fluxo magnético gerado pela corrente 
elétrica que circula pelo enrolamento do indutor, e é chamado de INDUTÂNCIA PRÓPRIA DO 
INDUTOR, unidade HENRY. 
A indutância de uma estrutura magnética depende dos elementos construtivos da estrutura e não do 
valor da corrente que cirucula pela bobina, logo: 
L = N2 / RT 
A relutância magnética depende do material utilizado na concepção do núcleo magnético. Para um 
núcleo magnético de material homogêneo, equivale: 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; 
Em que μmaterial é a permeabilidade magnética do material de que é feito o núcleo, lFe é o 
comprimento médio do percurso magnético e SFe, a seção reta do referido núcleo, trabalhando com 
as equações, resulta: 
 𝐿 = 
𝑁2
𝑙𝐹𝑒
. 𝑆𝐹𝑒 ; 
 
Que mostra a indutância própria do indutor ;e uma função de elementos construtivos da estrutura 
magnética desenvolvida. 
A intensidade de campo magnética, representada por H, a relação estabelecida entre a foça 
eletromotriz estabelecida no enrolamento e o comprimento médio do caminho percorrido pelo fluxo 
gerado por essa força eletromotriz. 
 𝐻(𝑡) =
𝑁.𝑡(𝑡)
𝑙𝐹𝑒
, 
 
Sendo que N.i(t) é a força magnétomotriz imposta pela corrente ao circular pelas N espiras do 
indutor. 
 
Podemos afirmar que: Fmm = N.i(t) = ɸ(t).RT = H.lFe 
E que a Densidade de campo magnético é: 
B(t) =
ɸ(𝑡)
𝑆𝐹𝑒
 , e consequentemente: 
 
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𝜇𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 = 
𝐵(𝑡)
𝐻(𝑡)
 
Que relaciona a densidade de campo magnético a intensidade de campo magnético. 
A figura abaixo mostra o comportamento de B = B(H) para material empregado na construção 
de núcleos magnéticos de pequenos transformadores elétricos. 
 
 
 FIGURA 2 – Curva B = B(H) – Núcleo Magnético de vários materiais 
 
Todas as equações apresentadas nesse capítulo, foi considerado que os núcleos são de material 
homogêneo. Por exemplo, se o núcleo possuir um entreferro de ar , como mostrado na figura 1.9 
A intensidade e a densidade de campo magnético devem ser analisados por trechos, considerando 
as características do meio magnético e as dimensões de cada trecho analisado. 
 
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Figura 3 – Núcleo Magnético com entreferro – Retiado – Figura extraída do livro Máquinas Elétricas 
Fittzgerald 
A permeabilidade magnética do Vácuo 
μo = 4.π . 10-7 H/m 
 
Permeabilidade magnética relativa de um material magnético é a relação entre a permeabilidade 
absoluta do material e a permeabilidade magnética absoluta do espaço livre, como: 
μr = μ/μo 
Segue a permeabilidade relativa de alguns materiais 
 
Prata 0,99999981 Diamagnético 
Alumínio 1,00000065 Paramgnético 
Ferro Fundido 60,00 Ferromagnético 
Aço Silicio 3000,00 Ferromagnético 
Superliga 100000,00 Ferromagnético 
 
 
 
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Exercicios resolvidos 1 
Um núcleo toroidal de seção reta circular, possui raio interno de 10 cm e raio externo de 20 cm. O 
núcleo possui uma bobina de 500 espiras e circula uma corrente continua de 0,5 A. Determine a 
densidade de campo magnético. O núcleoé feito de madeira e sua permeabilidade relativa é de 1,00. 
O comprimento médio para o fluxo magnético será dado por: 
lFe = 2.π . Rmédio 
Rmédio = (RE + Ri) / 2; Rmédio = (20 + 10) / 2 = 15 cm 
lFe = 2.π . 15; lFe = 94,25 cm 
 SFe = (π . d2) / 4; d = RE - Ri, d = 20 – 10, d = 10 cm 
SFe = (π . 102) / 4 ; SFe = 78,54 cm2 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; 
μR = μmaterial / μo ; 1 = μmaterial / 4.π . 10-7 
μmaterial = 12,57.10-7 H/m 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; RT = 95,5.106 Ae/wb 
É a relutância oferecida ao fluxo magnético pelo núvelo toroidal construído em madeira e 
uniformemente enrolado com 500 espiras de condutor de cobre 
Determinação da força magnetomotriz gerada: 
Fmm = N.IDC; Fmm = 500.0,5; Fmm = 250 Ae 
Representa a força magnetomotriz aplicada ao toróide pelo enrolamento de 500 espiras por onde 
circula corrente contínua de 0,5 A. 
ɸ = Fmm / RT, ɸ = 250 / 95,5.106, ɸ = 26,17.10-7 Wb 
Fluxo magnético que demanda o toróide de madeira. Para que o fluxo magnético fique confinado ao 
núcleo, o enrolamento deve ser distribuido uniformemente ao longo de todo o toróide, não devendo 
ser concentrado em uma ou outra região do núcleo. 
B = ɸ / SFe; B = 0,000002617 / 0,007854 
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B = 3,33.10-4 Tesla ou B = 3,33 Gauss 
Densidade de campo magnético no toróide. 
H = Fmm/lFe; H = 250/0,9425; H = 265,25 A/m 
Intensidade de campo magnético no toroide 
L = λ / I = (N.ɸ) / I; L = 500.0,000002617/0,5; L = 2,62.10-3 H, ou 
L = λ / I = (N.ɸ) / I; L = (N/I) x (N.I/RT); L = N2/RT; l = 5002/95,5.106; L = 2,62.10-3 H 
Exercicio Resolvido 2 
O núcleo toroidal de seção circular, raio interno de 10 cm, raio externo de 20 cm, possui um 
enrolamento uniformemente distribuido de 500 espiras, que está circulando uma corrente alternada 
senoidal i(t) = 0,707 cos(ωt) Amper. Determine a densidade de campo magnético do núcleo, sendo 
que o material utilizado no núcleo é de aluminio, que possui uma permeabilidade relativa de 1,0. 
lFe = 2.π . Rmédio 
Rmédio = (RE + Ri) / 2; Rmédio = (20 + 10) / 2 = 15 cm 
lFe = 2.π . 15; lFe = 94,25 cm 
 SFe = (π . d2) / 4; d= RE - Ri, d = 20 – 10, d = 10 cm 
SFe = (π . 102) / 4 ; SFe = 78,54 cm2 
SFe = (π . 102) / 4 ; SFe = 78,54 cm2 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; 
μR = μmaterial / μo ; 1 = μmaterial / 4.π . 10-7 
μmaterial = 12,57.10-7 H/m 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; RT = 95,5.106 Ae/wb 
 
Fmm = N.Imax.Cos(ωt); Fmm = 500.0.707.Cos(ωt); Fmm = 353,50.Cos(ωt) (Ae) 
ɸ = Fmm / R, ɸ =353,50.Cos(ωt) / 95,5.106, ɸ = 3,7.10-6.Cos(ωt) Wb 
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B = ɸ / SFe; B = 3,7.10-6/ 0,007854 
B = 4,71.10-4 Tesla ou B = 4,17 Gauss 
H = Fmm/lFe; H = 353,50.Cos(ωt) /0,9425; H = 375,13.Cos(ωt) (A/m) 
L = N2/RT; l = 5002/95,5.106; L = 2,62.10-3 H 
Como o indutor está operando com aliemntação alternada senoidal, pode-se calcular a dificuldade 
que esse indutor oferece a circulação da corrente, denominada reatancia indutiva, expressa por: 
XL = (2.π.f).L; XL = (2.π.60). 2,62.10-3; XL = 0,987 Ω 
 
Exercício resolvido 3 
Um núcleo toroidal de seção reta retangular é feito em chapas de acço silício, enrolados em caracol, 
com verniz entre as chapas, com um fator de empilhamento de 0,92. Sobre o núcleo, é efetuado um 
enrolamento de fios de cobre com N espiras para operar com uma corrente de 0,4 A. A densidade de 
campo magnético do material utilizado é de 9000 Gauss e μRELATIVO = 10200 Determinar o número de 
espiras do enrolamento. 
REXTERNO = 10 cm; RINTERNO = 8 cm; Profundiade b = 3 cm. 
μr = μ/μo; μchapa = μr.μo. μchapa = 10200.4.π. 10-7. μchapa = 12,82.10-3 Henry/m 
Rmédio = (RE + Ri) / 2; Rmédio = (10 + 8) / 2 = 9 cm 
lFe = 2.π . Rmédio; lFe = 2.π.9; lFe = 56,55 cm; 
S = (REXTERNO - RINTERNO) b; S = (10 – 8)3; S = 6 cm2 
S final = S.Fator de empilhamento; Sfinal = S.fe; S = 6x0,92 = S=5,52 cm2. 
Obs.Quando as chapas são empilhadas separadas por verniz isolante, a área útil há uma pequena 
diminuição proporcional ao Fe: Fator de Empilhamento. 
𝑅𝑇 = 
1 𝑥 𝐿𝐹𝑒
𝜇𝑚𝑎𝑡 𝑥 𝑆𝐹𝑒
 ; RT = 79600,35 Ae/Wb 
ɸMAX = BMAX . SFe; ɸMAX = 9.000.10-4 . 5,52.10-4; ɸMAX = 4,968.10-4 Wb 
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Fmm = R.ɸMAX = 79,6.103 . 4,968.10-4; Fmm = 39,5455 Ae 
IMAX = IEF . √2; IMAX = 0,4 . √2; IMAX = 0,5657 A 
FmmEFICAZ = N.I; Fmmmax = N.IMAX; 39,5455 = N.0,5657; N = 70 espiras 
L = N2/R; l = 702/79600,35; L = 61,6.10-3 H 
Vx = (2.π.f).L.I ( Tensão aplicada aos terminais do indutor) 
Vx = (2.π.60).0,0616.0,4; Vx = 9,30 Volts 
XL = Vx/I = (2.π.f).L; XL = (2.π.60).0.0616; XL = 23,223Ω; 
FORÇAS ELETROMOTRIZES VARIACIONAIS 
Força Eletromotriz Variacional é aquela obtida pela variação de um fluxo magnético no tempo 
As leis de Faraday e Lenz estabelecem que a variação no campo magnético em um circuito 
magnético fechado, induz uma força eletromotriz em uma bobina, cujo o sentido de polarização é tal 
que a corrente elétrica produzida por ela procura criar um campo magnético que se opões à variação 
do campo magnético que produziu a referida força eletromotriz induzida. 
A forma de atuar da fem induzida, foi descoberta por Faraday, interpretada por Lenz e 
matematicalizada por Maxwell. 
e = -N.dɸ/dt 
Uma forma de entender melhor como funciona a descoberta por Faraday, é verificar o funcionamento 
de um transformador monofásico, com apena um núcleo magnético fechado com uma bobina de 
cada lado do núcleo. Quando circula uma corrente por um dos enrolamentos, cria-se um fluxo 
magnético concatenado com a outra bobina, λ = N.ɸ, ou seja, a quantidade de fluxo que entrelaça 
com uma quantidade de espiras de uma bobina. 
INDUTÂNCIA MÚTUA EM ESTRUTURAS MAGNÉTICAS 
A indutância própria é uma propriedade da estrutura magnética existente sempre que um 
determinado enrolamento de N espiras, tenha condições de armazenar energia na forma de um 
campo magnético. Dessa forma, uma bobina possui um undutância própria da estrutura magnética. 
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Indutância mútua se faz presente quando existem interações de enrolamentos, ou seja, quando dois 
ou mais enrolamentos se comunicam entre si magneticamente. 
 
 
FOTO 2.3 – Duas bobinas – indutância mútua 
Uma estrutura magnética possui dois enrolamentos dotados N1 e N2 espiras, que podem se 
comunicar magneticamente, ou seja, eles estão magneticamente acoplados, pode existir entre eles 
indutâncias mútuas. 
A força magnetomotriz total é descrita a seguir: 
FmmT(t) = Fmm1(t) + Fmm2(t) 
O fluxo mutuo e descrito como: 
ɸmútuo = ɸ12 + ɸ21 
FmmT(t) = Rmag.ɸmútuo; FmmT(t) = N1.i1(t) + N2.i2(t). 
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e1(t) = -N1.dɸmútuo(t)/dt; v1(t) = (-).e1(t); v1(t) = -N1.dɸmútuo(t)/dt; v1(t) = -N1.d(ɸ12(t)+ ɸ21(t))/dt 
v1(t) = N1.d(ɸ12(t))dt + N1.ɸ21(t))/dt 
v1(t) = N1.dɸ12(i1t))/di1(t).di1(t)/dt+ N1.ɸ21(i2(t))/di2.di2(t)/dt 
ɸ12(i1(t)) = N1.i1(t)/Rmag; ɸ21(i2(t)) = N2.i2(t)/Rmag 
v1(t) = N1.d/di1(t)[ N1.i1(t)/Rmag]. di1(t)/dt + N1.d/di2(t)[ N2.i2(t)/Rmag]. di2(t)/dt 
v1(t) = [N21/Rmag]. di1(t)/dt + [N1.N2/Rmag]. di2(t)/dt 
Indutâncias própria e mutua 
L1 = [N21/Rmag]; M = [N1.N2/Rmag] 
v1(t) = L1 . di1(t)/dt + M . di2(t)/dt 
Como as indutâncias são constantes em relacao ao tempo, pode se dizer que: 
v1(t) = d/dt [L1.i1(t) + M . i2(t)] 
pode-se dizer também que: 
[L1.i1(t) + M . i2(t)] = λ1(t); v1(t) = d/dt [λ1] 
Exercicio Proposto 
1) O circuito magnético mostrado na figura 1.2 tem as dimensões Ac = Ag = 9cm2, g=0,050cm, lc=30cm e 
N = 500 espiras. Suponha o valor μr = 70.000 para o material do núcleo. A) encontre as relutâncias Rc e 
Rg. Dada a condição de que o circuito mangético esteja operando com Bc = 1,0 T, encontre b) o fluxo ϕ 
e c) a corrente i. 
Resposta a) Rc = 3,79x103 A.e/Wb, Rg = 4,41x105 A.e/Wb, b) 9.10-4Wb, c) i 0,80 A 
d) Encontre o fluxo ϕ e a corrente se a) o número de espiras for duplicado para N=1000 espiras, 
mantendo-se as mesmas dimensões, e e) se o número de espiras for N=500 e o entreferro for reduzido a 
0,040 cm. 
2) A estrutura magnética de uma máquina síncrona está mostrada esquematicamente a figura 
abaixo. Supondo que o ferro do rotor e do estator tenham permeabilidade infinita( μ:∞), encontre o 
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fluxo ϕ do entreferro e a densidade de fluxo Bg. Neste exemplo, I = 10 A, N = 1000 espiras, g = 1 cm 
e Ag = 2000 cm2. 
Resposta: ϕ = 0,13 Wb; Bg = 0,65 T. 
Obs. Neste exercício, se a densidade do fluxo do entreferro for Bg = 0,9 T, encontre o fluxo de 
entreferro ϕ e, para uma bobina de N = 500 espiras, a corrente necessária para produzir esse valor 
de fluxo no entreferro 
Resposta: ϕ = 0,18 Wb; i = 28,6 A 
 
3) um circuito magnético continuo ( sem entreferro) de dimensões área = 9cm2, comprimento 30 cm e 
500 espiras. Tem-se um μr = 70.000 e uma densidade magnética de 1 tesla.. determine 
a) A relutância total 
b) O fluxo magnético 
c) A corrente que circula na bobina. 
Resposta: 3789,4 A.esp/wb; 9.10-4 wb; 6,82 mA. 
 
4) UMA BOBINA 1 DE 0,1X0,2 m DE 200 ESPIRAS É PERCORRIDA POR CORRENTE DE 
i=10.cos (wt-t) A SENDO 10 O VALOR MAX DE I. 
QUAL O VALOR DA FMM?QUAL A FORMA 
5) O CIRCUITO MAGNÉTICO É UM TOROIDE COM SECÇÃO RETANGULAR DE 0,1X0,2 
COM 1,0 m DE DIÂMETRO. A PERMEABILIDADE MAGNÉTICA É 5000 
CALCULE O FLUXO NO NÚCLEO F=2000 cos (wt-t) /99999=0,020 cos (wt-t) weber 
qual fluxo concatenado 
qual o valor de B 
INTRODUZA UM ENTREFERRO DE 1mm . RECALCULE O FLUXO E A INDUÇÃO 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
17 
CALCULE A INDUTÂNCIA DA BOBINA 1. CALCULE A INDUTÂNCIA MÚTUA E A IND DE 
DISPERSÃO 
CALCULE A REATÂNCIA MÚTUA E DE DISPERSÃO PARA FREQUÊNCIA DE 60 HZ 
CALCULE ''E'' 
 
COLOQUE AO LADO UMA BOBINA 2 DE 100 ESPIRAS PERCORRIDA COM A MESMA 
CORRENTE 
O CIRCUITO MAGNÉTICO É UM TOROIDE COM SECÇÃO RETANGULAR DE 0,1X0,2 COM 01 m 
DE DIÂMETRO. A PERMEABILIDADE MAGNÉTICA É 4000.m0 
CALCULE O FLUXO NO NÚCLEO 
CALCULE ''E'' 
CALCULE A INDUTÂNCIA DA BOBINA 2 
 
CALCULE A INDUTÂNCIA MÚTUA ENTRE BOBIN1 E 2 QUANDO O ÂNGULO ENTRE AS 
MESMAS É 0(ZERO) 
REPITA 3 QUANDO O ÂNGULO FOR 60, 90, 120 
 
 
6) A bobina docircuito magnético abaixo são conectadas em série de modo que o fluxo tenha o mesmo 
sentido. 
O numero de espiras daS bobinaS são iguais, ou seja N1 e N2 = 1000 espiras. O núcleo do material 
tem área Ac = 8 cm2 e o entreferro também Ag = 8 cm2 
O comprimento médio do núcleo é Lc = 30 cm, e o comprimento do entreferro Lg = 0,5 cm. A 
densidade de campo magnético é B = 1,0 Tesla. 
A permeabilidade relativa do material magnético é µr = 5000 H/m, e µo = 4pi.10-7 H/m 
Pede-se para calcular: 
 
a) A Relutância Total 
b) Fluxo magnético 
c) Força magnetomotriz total 
d) As indutâncias da bobina 1 e da bobina 2 e a indutância mutua 
e) A energia armazeda na Bobina 1 e na Bobina 2 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
18 
 
 
 
 
 
a) 
Rc = 1.lc / µ.Ac = 1.0,30 / 5000.4pi.10-7. 0,0008 = 59682 Aesp/wb 
Rg = 1.lg / µo.Ag = 1.0,005 / 4pi.10-7. 0,0008 = 4973580 Aesp/wb 
Rt = 59682 + 4973580 = 5033262 Aesp/wb 
 
b) B = Ø/Ag, Ø = B.Ag = 1,0x0,0008 = 0,0008 wb 
c) FMM = Ø.Rt = 0.0008.5033262 = 4026 Aesp 
d) L1 = N12/ R, 10002/5033262 = 0,19 H, L2 = L1 
e) L12 = N1xN2/Rt = 0,19 H 
 f) FMM = 1000(I1 + I2) , como I1=I2, 4026 = 1000 x 2I1 , I1 = 2A, I2 = 2 A. 
W1 = ½ L1.I12 = 0,38 J , W2 = 0,38 J 
 
 
7) Um núcleo magnético de aço silício, utilizado em geradores síncronos, conforme desenho a seguir, possui duas bobinas 
de cobre, as quais são conectadas em série de modo que o fluxo tenha o mesmo sentido e correntes iguais. O número de 
espiras da bobina 1 é de 800 espiras e da bobina 2 é de 1000 espiras. A área do núcleo e a área do dois entreferros são 9 
cm2.O comprimento médio do núcleo é de 14 cm, e o comprimento de cada entreferro é de 0,5 cm. A densidade do fluxo 
magnético em qualquer segmento do circuito magnético é de 1,0 Tesla. A permeabilidade relativa do aço silício é de 
6000, e a permeabilidade do entreferro é igual a do vácuo, que é igual 4pi.10-7 H/m 
 
Pede-se para calcular: 
 
a) A Relutância Total 
b) Fluxo magnético 
c) Força magnetomotriz total 
d) As indutâncias da bobina 1 e da bobina 2 e a indutância mutua 
e) Fluxo concatenado na bobina 1 e na bobina 2 
f) A energia consumida na Bobina 1 e na Bobina 2 
 
 
 
 
8) Em uma experiência de laboratório, foi inserida em um núcleo magnético de ferro uma bobina de 250 
espiras e aplicado uma tensão de 100 volts nessa bobina. A corrente medida foi de 0,5 A. Um aluno 
retirou a parte superior do entreferro e a bobina queimou. Explique qual foi o motivo da queima da 
bobina.(2 pontos) 
 
Com a retirada de uma parte do entreferro, mantendo a tensão constante, o fluxo tenta se manter 
constante, divido a equação: V = 4,44 f n ɸ . Para o fluxo manter constante com uma relutância 
maior, a corrente sobe e queima a bobina 
 
 
 
 
9) Uma estrutura magnética de uma maquina síncrona, conforme a figura abaixo, suponha que o ferro 
do rotor e do estator tenha uma permeabilidade infinita. Encontre o fluxo do entreferro e a densidade 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
19 
de fluxo magnético (Bg). Neste exemplo a corrente da bobina do rotor vale I = 12 A e tem 100 
espiras, o gap que na figura se chama Xd é igual a 2 cm e a area do gap vale 2000 cm2. 
 
Obs. O rotor e a parte interna da máquina, ou seja, a parte que gira. 
 O estator e a parte externa da máquina, ou seja, a parte fixa. 
 
 
 
 
 
 
FMM = Ø R = HxL = NI 
FMM = NI = 100x12 = 1200 Aesp. 
R do ferro = 0, pois o µr dp material é infinito. 
Rg = 1.Lg / µo .Ag = 1.0,02 / 4pi.10-7 0,2 = 79577 Aesp/Wb 
Como tem 2 entreferros, e a relutância do ferro vale zero, logo a relutância total é 2Rg 
Ø R = NI, Ø = NI/2R = 1200/2x79577, Ø = 0,075 Wb 
Bg = Ø/Ag = 0,075/ 0,2, Bg = 0,377 T 
 
 
10) O circuito magnético da figura abaixo é composto por 3 materiais magnéticos distintos. O material A 
tem uma permeabilidade relativa de µo = 4000 H/m, o material B de µo = 5000 H/m, O material C de 
µo = 6000 H/m. O comprimento total dos materiais A e C são iguais, ou seja, 31 cm, o comprimento 
de cada lado do material B, conforme figura é 9 cm. A área do núcleo magnético ( S ou A ) é igual a 
9 cm2. Determinar: 
a) A relutância total do núcleo 
b) O Fluxo magnético instantâneo sabendo que a bobina tem 100 espiras com uma corrente de 2 A. 
c) Determinar a indutância da bobina 
d) Determinar o Fluxo concatenado da bobina. 
e) Determina a energia armazenada na bobina 
 
 
 
 
a) RA = 0,31/4000 x 4pi10(-7) x 0,0009 = 68524 Aesp/Wb 
RB = 0,18/5000 x 4pi10(-7) x 0,0009 = 31830 Aesp/Wb 
RC = 0,31/6000 x 4pi10(-7) x 0,0009 = 45683 Aesp/Wb 
 
RT = 68524+ 31830 + 45683 = 146037 Aesp/Wb 
 
b) Ø = NI/Rt = 100x2/146037 = 1,36mWb 
c) L1 = N1(2)/Rt = 100(2)/146037 = 68,4 mH 
L2 = N2(2)/Rt = 100(2)/146037 = 68,4 mH 
L12 = N1.N2/RT = 100.100/146037 = 68,4 mH 
 
d) Ʌ1 = L1x i1 + L12 i2 = 68,4 m x 2 + 68,4 m x 2 = 0,273 esp.wb 
Ʌ2 = L2x i2 + L21 i1 = 68,4 m x 2 + 68,4 m x 2 = 0,273 esp.wb 
 
e) W1 = ½ L1 i1(2) = 0,5 x 68,4 m . 2(2) = 0.1368 J 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
20 
W2 = ½ L2 i2(2) = 0,5 x 68,4 m . 2(2) = 0.1368 J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Para um circuito magnético composto de um gap de dimensões área = 9cm2, lg=0,04(cm) 
comprimento 30 cm e 500 espiras. Despresa-se o espraiamento no entreferro. Tem se um μr = 
70.000. determine 
 
 
 
 
 
 
 
a) Para N=1000 espiras qual o valor de corrente necessária para se obter uma densidade de 1 tesla 
b) Para n=500 espiras, qual a corrente necessária para se obter uma densidade de 1 tesla 
 I=400 mA; I=643mA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) O circutto magnético a seguir é constituído por 100 espiras enrolados em 1 núcleo magnético de 
permeabilidade infinita com dois entreferros(gaps) lg1=0,05 cm e lg2 = 0,04 cm com áreas distitas sendo: Ac = 
12cm2, Ag1=10cm2, Ag2 = 14 cm2. Qual a densidade magnética do gap1 e gap2 quanto tem-se uma corrente 
de 0,8A na bobina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 2,01 e 2,51 [T] 
 
13) Um circuito magnético com 500 espiras é percorrida por uma corrrente de 0,8 A, tem dimensões Ac=Ag=9 
cm2, lc=30cm, g=0,05cm. Permeabilidade relativa 70.000. Sabe-se que a tensão do circuito é invariável no 
tempo. Determine 
a) a indutância L 
b) A energia armazenada 
 
Resposta:0,56 H; 0,18 J 
 
14) A estrutura magnética de uma maquina assíncrona e composta por 1000 espiras por onde circulam 15A, essa 
estrutura tem um material magnético de comprimento de 50 cm, permeabilidade infinita, Ag=2000cm2 e 
LG=1cm 
Determine 
a) A densidade de fluxo no gap 
b) A energia magnética total armazenada neste circuito. Adotar oermeabilidade do material infinita 
 
 
Resposta 0,94 T; 1411,87 J 
 
 
 
15) Um circuito magnético tem dimensões: 
Sn = 9 cm
2; Sg = 9 cm
2; ln = 30 cm; lg = 0,05 cm; N = 500 espiras e µr = 5000 
 
 
Calcular: 
a) Corrente (I) para indução magnética no núcleo igual à Bn = 1 Wb/m
2 
b) O fluxo magnético (φ) e o fluxo concatenado com o enrolamento (λ = Nφ) 
 
 
9) Seja o circuito magnético abaixo, calcular: 
N = 500; Sn = Sg = 9 cm
2; ln = 30 cm; lg = 0,05 cm e µr = 5000 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
22 
 
a) Força Eletromotriz Induzida (f.em.i.) quando Bn = sen 377t (Wb/m
2) 
b) Relutâncias no ferro (Rn) e no entreferro (Rg) 
c) Indutância (L) 
d) Energia Magnética Armazenada para Bn = 1 Wb/m
2 
 
 
 
 
16) O numero de espiras das bobinas são iguais, ou seja N1 e N2 = 1000 espiras. O núcleo do material tem área Ac 
= 8 cm2 e o entreferro também Ag = 8 cm2 
O comprimento médio do núcleo é Lc = 30 cm, e o comprimento do entreferro Lg = 0,5 cm. A 
densidade de campo magnético é B = 1,0 Tesla. 
A permeabilidade relativa do material magnético é µr = 5000 H/m, e µo = 4pi.10-7 H/m 
 
 
Rc = 1.lc / µ.Ac = 1.0,30 / 5000.4pi.10-7. 0,0008 = 59682 Aesp/wb 
Rg = 1.lg / µo.Ag = 1.0,005 / 4pi.10-7. 0,0008 = 4973580 Aesp/wb 
Rt = 59682 + 4973580 = 5033262 Aesp/wb 
 
B = Ø/Ag, Ø = B.Ag = 1,0x0,0008 = 0,0008 wb 
FMM = Ø.Rt = 0.0008.5033262 = 4026 Aesp 
L1 = N12/ R, 10002/5033262 = 0,19H, L2 = L1 
L12 = N1xN2/Rt = 0,19 H 
 f) FMM = 1000(I1 + I2) , como I1=I2, 4026 = 1000 x 2I1 , I1 = 2A, I2 = 2 A. 
W1 = ½ L1.I12 = 0,38 J , W2 = 0,38 J 
 
 
 
17) Em uma experiência de laboratório, foi inserida em um núcleo magnético de ferro uma bobina de 250 espiras e 
aplicado uma tensão de 100 volts nessa bobina. A corrente medida foi de 0,5 A. Um aluno retirou a parte 
superior do entreferro e a bobina queimou. Explique qual foi o motivo da queima da bobina. 
 
Resposta: 
Com a retirada de uma parte do entreferro, mantendo a tensão constante, o fluxo tenta se manter 
constante, divido a equação: V = 4,44 f n ɸ . Para o fluxo manter constante com uma relutância 
maior, a corrente sobe e queima a bobina 
 
18) Um transformador monofásico de 40 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, foi submetido a um ensaio de curto circuito 
e em vazio com os instrumentos de medição conectados no lado de alta tensão e obteve os seguintes 
resultados: 
Vcc = 45 V; Icc = 18 A, Pcc = 600 W 
Vo = 220 V; Io= 5,0 A; Po = 180 W 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
23 
Sabe-se que R2 = 0,3 R1 e X2 = 0,2 X1 
 
 Com base nesses valores, pede-se: 
a) Determinar os parâmetros do transformador, Rc, Xm, R1, X1, R2, X2; [2 pontos] 
b) Desenhar o circuito equivalente do transformador indicando o valor de cada parâmetro calculado ; [2 ponto] 
a) 
Rcc = Req = Pcc/Icc2 = 600/182; Req = 1,851 ohm 
Zcc = Zeq = Vcc/Icc = 45/18; Zeq = 2,5 ohm 
Xcc = Xeq = √Zcc – Rcc = √2,52 – 1.8512 = Xeq = j1,68 
Xeq = X1+ a2X2 = X1 + 100.(0,2X1) = 21X1 = 1.68; X1 = 0,0799 ohm 
X2 = 0,0160 ohm 
Req = R1+ a2R2 = R1 + 100.(0,3R1) = 31R1 = 1.851; R1 = 0,0597 ohm 
R2 = 0,01791 ohm 
Rc = Vo2/Po = 2202/180; Rc = 268,88 ohm; Rc = 26888 ohm 
ZΨ = Vo/Io = 220 / 5; ZΨ = 44 ohm 
Xm = √(1/ ZΨ)2 - (1/ Rc)2 = √1/[(1/ 44)2 - (1/ 269)2]=44,60; xm = 4460 ohm 
 
b) 
R1 = 0,0597 ohm; 
R2p = 1,791 ohm; 
X1 = 0,0799 ohm; 
X2p = 1,60 ohm; 
 Rc = 26888 ohm; 
 
 Xm = 4460 ohm. 
 
 
19) Um transformador 2400/240 [V], tem um impedância de dispersão no circuito primário de 0,7 + j0,90 
ohm e no circuito secundário de 0,007 + j0,009 ohm e tem uma impedância de magnetização onde Rc e 
Xm estão em paralelo e tem valores de 600 e j 4300 ohm respectivamente 
 
a) Determine o circuito referido ao primário e ao secundário deste transformador[1 pontos] 
b) Determine a tensão do secundário referido ao primário[1 ponto] 
c) Determine as correntes Ic, Im e Io [ 1 ponto] 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
24 
d) Pondo uma carga de 60 kVA no secundário com fator de potência de 0,9 capacitivo, determine o 
novo V2P [2 ponto] 
 
a) Referido ao primário 
R1 = 0,7; R2P = 0,007.a2 = 0,007.102 ; R2P = 0,7 ohm, Reqp = 1,4 ohm 
X1 = j0,90; X2P = 0,009.a2 = 0,009.102; X2P = j0,9 ohm, Xeqp = j1,8 ohm 
Rc = 600 ohm 
Xm = j4300 ohm 
Referido ao secundário 
R1S = 0,7/a2 = 0,7/102; R1S = 0,007 ohm; R2 = 0,007 ohm; Reqs = 0,014 ohm 
X1S = 0,90/a2 = 0,90/102; X1S = 0,009 ohm; X2 = j0,009 ohm; Xeqs= j0,018 ohm 
Rc = 600/a2 = 600/102 = 6 ohm 
Xm = j4300/a2 = j4300/102 = 43 ohm 
b) 
V2P = V1/[Req + Xeq + ZΨ] =[2400(600+j4300)/(1,4 + j1,8 + 600 + j4300)]x = 2399, ângulo 0 
V2P = 2399, ângulo 0 (V) 
 
OBS. ADOTANDO O RAMO DE MAGNETIZACAO COMO CIRCUITO PARALELO, O V2P = 2393, 
E CONSIDERADO CORRETO, POIS A DIFERENÇA É MUITO PEQUENA. 
 
c) Ic = 2.399/600; Ic = 3,998 A 
Im = 2.393/j4300; Im = 0,558L-90 A 
Io = Ic + Im = 3,998 + 0,558L-90; Io = 3,89-j0,558 ou 4 L-8º A; Io = IΨ 
 
d) I = 60kva/2400 = Icarga = 25 L26º (A) 
 
I1 = Io + Icarga = 4 L(-8º) + 25 L26º = I1 = 28,4L21º A 
 V2P + Zeq.I1 – V1 = 0; V2p = V1 - Zeq.I1 = 2400 – (1,4 + j1,8). 28,4L21º; 
 V2P = 2382 V 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
25 
20) Um transformador de 30 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V, possui uma impedancia de dispersão 
no primário de 0,01 + j0,1 e no secundário 0,002+ j0,02Ω. A impedancia de excitação vale 200 + j400 
Ω. 
a) Desenhar o circuito equivalente tipo “L”com todas a impedâncias referidas ao primário e posteriormente com 
todas as impedâncias referidas ao secundário. 
Ref. Ao primário 
Z1 = 0,01 + j0,1 (Ω) 
Z2p = 22.(0,002+j0,02) = 0,008 + j0,08 (Ω) 
ZΨ = 200 + j400 Ω 
 
Ref. Ao secundário 
Z1s = 0,01 + j0,1 (Ω) / 22 = 0,0025 + j 0,025 
Z2 = (0,002+j0,02) (Ω) 
ZΨs = 200 + j400 / 22 = 50 + j 100 ( Ω) 
 
 
 
 
21) Um transformador de 5 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V, possui uma impedancia de dispersão 
no primário de 0,01 + j0,1 e no secundário 0,002+ j0,02Ω. A impedancia de excitação vale 200 + j400 
Ω. 
a) Calcular a tensão no secundário a vazio referido ao primário 
 
220 / [(0,01 + j0,1)+( 0,008 + j0,08) + (200xj400)/ (200+j400)] *[ (200xj400)/ (200+j400)] = 219, angulo 0 
graus 
 
b) Conectando uma carga que tem a potencia e tensão nominal do transformador com um fator de potencia igual 1, 
qual é a nova corrente do secundário referido ao primário. 
 
I = 5.000/220 = 22,72, ângulo 0 
 
IΨ = Io = 219/[ (200xj400)/ (200+j400)] = 1,095,ÂNGULO (-0,5) 
I1 = Icarga + iΨ = 22,72, ângulo 0 + 1,095,ÂNGULO (-0,5) = 23,8, ângulo –(0,5) 
 
V2p = 220, Ângulo 0 - [(0,01 + j0,1)+( 0,008 + j0,08)x23,8, ângulo –(0,5)] 
V2p = 219,5, ângulo -1,11 
 
 
 
22) Deseja-se conhecer as impedâncias de dispersão primário e secundário e a impedância de excitação de um 
transformador de 5 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V. Sabe-se que a reatância de dispersão do secundário 
é 0,3 vezes a reatância do primário. A resistência de secundário é 0,3 vezes a resistência do primario.Para ser 
possível efetuar esses cálculos foi feito dois ensaios, um a vazio com o s instrumentos ligado no secundário e o 
outro em curto-circuito com os instrumentos ligado no primário, conforme resultados a seguir. 
 
Vo = 110 V 
Io = 5 A 
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26 
Po = 50 W 
 
Pcc = 30 V 
Icc = 22,7 A 
Pcc = 50 W 
 
Zcc = 30/22,7= 0,1321 Ω ; Zcc = Zeq 
Rcc = Pcc/Icc2 = 50/22,72 = 0,0970; Rcc = Req. 
Xeq = √Zeq2 – Req2 = √0,13212 – 0,09702 = 0,0896 
Req = R1 + R2.a2 = R1 + 0,3.R1.a2 = R1 + 0,3.R1.22 = 2,2R1; 0,0970 = 2,2R1; R1 = 0,0440 Ω; 
R2 = 0,3x0,0440 = 0,0132Ω; 
Xeq = X1 + 0,3X1.a2 = X1 + 0,3X1.22 = 2,2X1; 0,0896 = 2,2X1; X1 = 0,0407; X2 = 0,3. 0,0407; X2 
=0,01221 
R1 = 0,0440 Ω ; R2= 0,0132Ω; X1= 0,0407; X2 =0,01221 
Vo = 110 V 
Io = 5 A 
Po = 50 W 
Zo = Vo / Io; 110/5; Zo = 22 Ω; Zo = ZΨ 
Ro = Vo2/Po = 1102/50 = 242, Ro = Rc 
Xm = 1 / √[(1/zΨ)2 – (1/Rc)2] = 22,09 
Rc = 242 Ω; Xm = 22,09 Ω 
23) Um transformador monofásico de 40 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, foi submetido a um ensaio de curto circuito e em 
vazio e obteve os seguintes resultados: 
Vcc = 45 V; Icc = 18 A, Pcc = 600 W ( instrumentos colocados no lado de alta tensão) 
Vo = 2200 V; Io= 5,0 A; Po = 180 W (instrumentos colocado no lado de alta tensão) 
Sabe-se que R2 = 0,3 R1 e X2 = 0,2 X1 
 
 Com base nesses valores, pede-se: 
Determinar os parâmetros do transformador, Rc, Xm, R1, X1, R2, X2; [2 pontos] 
Desenhar o circuito equivalente do transformador indicando o valor de cada parâmetro calculado ; [2 ponto] 
 
24) Um transformador 240/2400 [V], tem um impedância de dispersão no circuito primário de 0,007 + 
j0,009 ohm e no circuito secundário de 0,7 + j0,9 ohm e tem uma impedância de magnetização onde Rc 
e Xm estão em paralelo e tem valores de 6 e j 43 ohm respectivamente 
 
e) Determine o circuito referido ao primário e ao secundário deste transformador[1 pontos] 
f) Determine a tensão do secundário referido ao primário[1 ponto] 
g) Determine as correntes Ic, Im e Io [ 2 ponto] 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
27 
Pondo uma carga de 60 kVA no secundário com fator de potência de 0,9 capacitivo, determine 
 
Exercício1 - Um transformador monofásico de 40 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, foi submetido a um ensaio de 
curto circuito e em vazio com os instrumentos de medição conectados no lado de alta tensão e obteve os 
seguintes resultados: 
Vcc = 45 V; Icc =18 A, Pcc = 600 W 
Vo = 220 V; Io= 5,0 A; Po = 180 W 
Sabe-se que R2 = 0,3 R1 e X2 = 0,2 X1 
 
 Com base nesses valores, pede-se: 
Determinar os parâmetros do transformador, Rc, Xm, R1, X1, R2, X2; [2 pontos] 
Desenhar o circuito equivalente do transformador indicando o valor de cada parâmetro calculado ; [2 ponto] 
 
 
Rcc = Req = Pcc/Icc2 = 600/182; Req = 1,851 ohm 
Zcc = Zeq = Vcc/Icc = 45/18; Zeq = 2,5 ohm 
Xcc = Xeq = √Zcc – Rcc = √2,52 – 1.8512 = Xeq = j1,68 
Xeq = X1+ a2X2 = X1 + 100.(0,2X1) = 21X1 = 1.68; X1 = 0,0799 ohm 
X2 = 0,0160 ohm 
Req = R1+ a2R2 = R1 + 100.(0,3R1) = 31R1 = 1.851; R1 = 0,0597 ohm 
R2 = 0,01791 ohm 
Rc = Vo2/Po = 2202/180; Rc = 268,88 ohm; Rc = 26888 ohm 
ZΨ = Vo/Io = 220 / 5; ZΨ = 44 ohm 
Xm = √(1/ ZΨ)2 - (1/ Rc)2 = √1/[(1/ 44)2 - (1/ 269)2]=44,60; xm = 4460 ohm 
 
 
 
R1 = 0,0597 ohm; 
R2p = 1,791 ohm; 
X1 = 0,0799 ohm; 
X2p = 1,60 ohm; 
 Rc = 26888 ohm; 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
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 Xm = 4460 ohm. 
 
 
25) Um transformador 2400/240 [V], tem um impedância de dispersão no circuito primário de 0,7 + j0,90 
ohm e no circuito secundário de 0,007 + j0,009 ohm e tem uma impedância de magnetização onde Rc e 
Xm estão em paralelo e tem valores de 600 e j 4300 ohm respectivamente 
 
Determine o circuito referido ao primário e ao secundário deste transformador[1 pontos] 
Determine a tensão do secundário referido ao primário[1 ponto] 
Determine as correntes Ic, Im e Io [ 1 ponto] 
Pondo uma carga de 60 kVA no secundário com fator de potência de 0,9 capacitivo, determine o 
novo V2P [2 ponto] 
 
Referido ao primário 
R1 = 0,7; R2P = 0,007.a2 = 0,007.102 ; R2P = 0,7 ohm, Reqp = 1,4 ohm 
X1 = j0,90; X2P = 0,009.a2 = 0,009.102; X2P = j0,9 ohm, Xeqp = j1,8 ohm 
Rc = 600 ohm 
Xm = j4300 ohm 
Referido ao secundário 
R1S = 0,7/a2 = 0,7/102; R1S = 0,007 ohm; R2 = 0,007 ohm; Reqs = 0,014 ohm 
X1S = 0,90/a2 = 0,90/102; X1S = 0,009 ohm; X2 = j0,009 ohm; Xeqs= j0,018 ohm 
Rc = 600/a2 = 600/102 = 6 ohm 
Xm = j4300/a2 = j4300/102 = 43 ohm 
 
V2P = V1/[Req + Xeq + ZΨ] =[2400(600+j4300)/(1,4 + j1,8 + 600 + j4300)]x = 2399, ângulo 0 
V2P = 2399, ângulo 0 (V) 
 
OBS. ADOTANDO O RAMO DE MAGNETIZACAO COMO CIRCUITO PARALELO, O V2P = 2393, 
E CONSIDERADO CORRETO, POIS A DIFERENÇA É MUITO PEQUENA. 
 
Ic = 2.399/600; Ic = 3,998 A 
Im = 2.393/j4300; Im = 0,558L-90 A 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
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Io = Ic + Im = 3,998 + 0,558L-90; Io = 3,89-j0,558 ou 4 L-8º A; Io = IΨ 
 
I = 60kva/2400 = Icarga = 25 L26º (A) 
 
I1 = Io + Icarga = 4 L(-8º) + 25 L26º = I1 = 28,4L21º A 
 V2P + Zeq.I1 – V1 = 0; V2p = V1 - Zeq.I1 = 2400 – (1,4 + j1,8). 28,4L21º; 
 V2P = 2382 V 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
1) Um transformador de 20 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V, possui uma impedancia de dispersão no 
primário de 0,02 + j0,2 e no secundário 0,003+ j0,03Ω. A impedancia de excitação vale 300 + j500 Ω. 
A) Desenhar o circuito equivalente tipo “L”com todas a impedâncias referidas ao primário e posteriormente com 
todas as impedâncias referidas ao secundário. 
 
2) Um transformador de 4 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V, possui uma impedancia de dispersão no 
primário de 0,015 + j0,15 e no secundário 0,0022+ j0,022Ω. A impedancia de excitação vale 300 + j350 Ω. 
A) Calcular a tensão no secundário a vazio referido ao primário 
 
B) Conectando uma carga que tem a potencia e tensão nominal do transformador com um fator de potencia igual 1, 
qual é a nova corrente do secundário referido ao primário. 
 
 
3) Deseja-se conhecer as impedâncias de dispersão primário e secundário e a impedância de excitação de um 
transformador de 5 kVA, abaixador, monofásico, 220/110V. Sabe-se que a reatância de dispersão do secundário 
é 0,3 vezes a reatância do primário. A resistência de secundário é 0,3 vezes a resistência do primario.Para ser 
possível efetuar esses cálculos foi feito dois ensaios, um a vazio com o s instrumentos ligado no secundário e o 
outro em curto-circuito com os instrumentos ligado no primário, conforme resultados a seguir. 
 
Vo = 110 V 
Io = 4 A 
Po = 40 W 
 
Pcc = 30 V 
Icc = 22,7 A 
Pcc = 40 W 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
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LISTA DE EXERCICIOS DE GMCC 
 
1- Para o circuito magnético da figura-1, sabendo-se os valores: 
. da corrente, I= 2A; 
. do número de espiras,N= 1000 espiras; 
. da área da seção do núcleo, S= 36cm2; 
. do comprimento médio do núcleo ln= 80 cm; 
. da permeabilidade relativa do material do núcleo, µr= 8000. 
Calcular: 
a) A relutância; 
b) A força magnetomotriz; 
c) O fluxo magnético; 
d) A densidade do fluxo magnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Para o circuito da figura-1 qual deve ser a corrente fornecida ao circuito para gerar o mesmo 
fluxo magnético, Φ, se o material do núcleo possuir agora uma permeabilidade relativa, µr, igual 
a 4000? 
 
 
Figura-1 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
31 
3- Com os valores obtidos nos exercícios 1 e 2 calcular os valores das intensidades do campo 
magnético, H, e o valores da densidade de campo magnético, B. compará-las. 
 
4- Quais os valores das indutâncias, L, e dos fluxos concatenados, λ, nas duas situações 
anteriores? 
 
5- Para o circuito magnético da figura-2, sabendo-se os valores: 
. da corrente, I= 5A; 
. do número de espiras,N= 200 espiras; 
. da área da seção do núcleo, S= 40cm2; 
. do comprimento médio do núcleo ln= 100 cm; 
. do comprimento do entreferro(gap) lg= 5 cm; 
. da permeabilidade relativa do material do núcleo, µr= 2000. 
Calcular: 
a) A relutância total; 
b) A força magnetomotriz; 
c) O fluxo magnético; 
d) A densidade do fluxo magnético. 
e) O fluxo concatenado; 
f) A indutância; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6- Considerando-se o valor da permeabilidade do material do núcleo da figura-2, muito elevada, 
isto é, infinita. Repetir os cálculos do exercício 5. 
 Figura-2 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
32 
 
7- O circuito magnético da figura-3, é composto por duas bobinas de fios de cobre enroladas num 
núcleo, formado por chapas de material magnético cuja permeabilidade pode ser considerada 
infinita, sabendo-se os valores: 
. da corrente, I1= 2A; 
. da corrente, I2= 1A; 
. do número de espiras da bobina 1, N1= 100 espiras; 
. do número de espiras da bobina 2, N2= 200 espiras; 
. da área da seção do núcleo, S= 40cm2; 
. do comprimento médio do núcleo ln= 100 cm; 
. do comprimento do entreferro(gap) lg= 5 cm; 
. da permeabilidade relativa do material do núcleo, µr= ∞. 
 
Calcular: 
A 
 relutância total; 
A força magnetomotriz total; 
O fluxo magnético total; 
As indutâncias próprias L1 e L2 e a indutância mútua M; 
Os fluxo concatenados λ1 e λ2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura-3 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
33 
8- Suponha que o material no núcleo magnético da figura anterior foi alterado, tendo em 
conseqüência uma nova relutância de valor igual a 15000 A.esp./Wb. Calcule o novo valor do 
fluxo magnético total, Φ, e da densidade de fluxo magnético total, B. 
 
 
 
 
 
 
9) Um transformador 2400/240 [V], tem um impedância de dispersão no circuito primário de 0,72 + 
j0,92 ohm e no circuito secundário de 0,007 + j0,009 ohm e tem uma impedância de magnetização 
onde Rc e Xm stão em paralelo e tem valores de 632 e j 43,70 ohm respectivamente 
Determine o circuito referido ao primário e ao secundário deste transformador 
 
 
10) Um transformador foi submetido a ensaios de curto circuito e em vazio. A potencia do Trafo é 50 
kVA e sua tensão 2400/240. Determine os parâmetros deste Trafo? 
Ensaio a vazio: Ensaio em curto: 
Vo = 240 [V] Vcc = 48 [V] 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
34 
Io = 5,41 [A] Icc = 20,8 [A] 
Po = 186 [W] Pcc =627 [W] 
 
11) - Um transformador monofásico de 40 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, foi submetido a um ensaio decurto 
circuito com os instrumentos colocado no lado de alta e no ensaio a vazio com os instrumentos de medição 
conectados no lado de baixa tensão e obteve os seguintes resultados: 
Vcc = 45 V; Icc = 18 A, Pcc = 600 W 
Vo = 220 V; Io= 5,0 A; Po = 180 W 
 Com base nesses valores, pede-se: 
Determinar os parâmetros do transformador, Rc, Xm, Req, Xeq [2 pontos] 
Desenhar o circuito equivalente do transformador indicando o valor de cada parâmetro calculado ; [2 ponto] 
 
Vcc/Icc = Zcc = Zeq = 45/18 = 2,5 ohm 
Req = Pcc/Rcc2 = 600/182 = 1,85 
Xeq = Raiz Zeq2 – Req.2 = raiz 2,52 – 1,852 = 1,68 
 
Po = vo2/Rc; Rc = 2202/180 = 268,8 ohm 
Zo = Vo/Io = 220/5 = 44; Zo= 44 ohm 
 
Xm = raiz 1/(1/zo)2 – (1/Rc)2 = Raiz 1/ (1/44)2 – (1/268,8)2 = 44,60 
 
Rcp = 268,8 a 2 = 268,8x102 = 26880 
Xm = 44,60ª2 = 44,60x102 = 4460 ohm 
 
12) Um transformador monofásico de 20 kVA, 1100/110 V, 60 Hz, foi submetido a um ensaio de curto circuito 
e em vazio com os instrumentos de medição conectados no lado de baixa tensão e obteve os seguintes 
resultados: 
Vcc = 45 V; Icc = 18 A, Pcc = 600 W 
Vo = 110 V; Io= 5 A; Po = 100 W 
Sabe-se que R2 = 0,3 R1 e X2 = 0,2 X1 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
35 
 Com base nesses valores, pede-se: 
Determinar os parâmetros do transformador, Rc, Xm, R1, X1, R2, X2; [2 pontos] 
Desenhar o circuito equivalente do transformador indicando o valor de cada parâmetro calculado ; [2 ponto] 
 
13) Um transformador 2500/250 [V], tem um impedância de dispersão no circuito primário de 0,7 + 
j0,90 ohm e no circuito secundário de 0,007 + j0,009 ohm e tem uma impedância de magnetização 
onde Rc e Xm estão em paralelo e tem valores de 500 e j 4000 ohm respectivamente 
 
Determine o circuito referido ao primário e ao secundário deste transformador[1 pontos] 
Determine a tensão do secundário referido ao primário[1 ponto] 
Determine as correntes Ic, Im e Io 
Pondo uma carga de 60 kVA no secundário com fator de potência de 0,9 capacitivo, determine o 
novo V2P 
 
 
 
2) Exercicio 2.1- página 112 - Fitzgerald 7 edição. 
Um transformador é constituido por uma bobina primáriode 1150 espiras e uma bobina secundária 
em aberto de 80 espiras enroladas em torno de um núcleo fechado de seção reta de 56 cm2. O 
material do núcleo pode ser considerado saturado quando a densidade de fluxo eficaz atinge 1,45 T. 
Qual é a tensão máxima eficaz de 60hZ no primário que é possível sem que esse nível de saturação 
seja atingido? Qual é a tensão correspondente no secundário? De que forma essesvalores serão 
modificados se a frequência for reduzida para 50Hz? 
 
 
3) Exercicio 2.2- página 112 - Fitzgerald 7 edição. 
Um circuito magnético com um seção reta de 20cm2 deve operar a 60Hz a partir de uma fonte de 
115V eficazes. Calcule o número necessário de espiras para atingir uma densidade de fluxo 
magnético de pico de 1,6 T no núcleo. 
 
 
4) Exercicio 2.3- página 112 - Fitzgerald 7 edição. 
Um transformador deve ser usado para transformar a impedância de um resistor de 75 Ω 
em uma impedância de 300 Ω. Clacule a relação de espiras necessária, supondo que o 
transformador seja ideal. 
5) Exercicio 2.4 página 112 - Fitzgerald 7 edição. 
Um resistor de ..... 
 
2) Calcular todas as Tensões e Correntes de linha e de fase da carga, do transformador (B.T. e A.T.) e 
do Gerador. Desprezar as perdas e as correntes de Excitação 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
36 
 
CAPITULO 3 - TRANSFORMADOR TRIFASICO 
 
3 transformadores monofásicos podem ser conectados para formar um banco trifásico de 
transformadores. Isso pode ser feito usando qualquer uma das quatro maneiras (estrela - triangulo; 
triangula-estrela; triangulo-triangulo; estrela-estrela). Em todas as quatro maneiras, os enrolamentos 
da esquerda são os primários e os da direita, os secundários. Alem disso qualquer enrolamento 
primário em um transformador corresponde ao enrolamento secundário respectivo desenhado em 
paralelo. Também estão mostrados as tensões e correntes que resultam da aplicação equilibrada ao 
primário de tensões V e correntes I. Supõe–se que a relação de espiras entre primário e secundário 
seja dado por N1/N2 = a e que o transformador seja ideal. Observe que as tensões e correntes 
nominais do primário e do secundário do banco trifásico de transformadores depende da conexão 
usada, mas que a potencia nominal em kVA do banco trifásico e três vezes a dos transformadores 
monofásicos individuais, independente do tipo de conexão. A conexão ou ligação Y-∆ é usada 
comumente no abaixamento de uma tensão elevada para um tensão media ou baixa. Uma razão para 
tal e que assim pode se dispor de um neutro para aterramento no lado de alta tensão, um procedimento 
que pode se mostrar desejável em muitos casos. Ao contrario, a ligação ∆-Y é usada comumente na 
elevação para uma tensão alta. A ligação ∆-∆ tem a vantagem de que um transformador pode ser 
removido para conserto ou manutenção enquanto os dois restantes continuam a funcionar como um 
banco trifásico, com o valor nominal reduzido a 58% do valor do banco original. E conhecida como 
ligação V ou delta aberto. A ligação Y-Y é raramente usada devido a dificuldades oriundas de 
fenômenos associados a corrente de excitação. 
 
Gerador 
10 kV 
Transformador 
10 kV – 20 kV 
Carga 
20 kV 
Trifásica 
30 MVA 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
37 
 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
38 
 
Em vez de 3 transformadores monofásicos, um banco trifásico pode consistir em um 
transformador trifásico tendo todos os seis enrolamentos em um núcleo comum de pernas múltiplas e 
contido em um único tanque. As vantagens dos transformadores trifásicos sobre as conexões com 3 
transformadores monofásicos vem de que eles custam menos, pesam menos, requerem menos 
espaço e tem um rendimento um pouco maior. Os cálculos de circuitos que envolvem bancos trifásicos 
de transformadores em condições equilibrados podem ser feitos lidando com apenas um dos 
transformadores ou fases e verificando que as condições são as mesmas nas duas outras fases, 
exceto as defasagens presentes em um sistema trifásico. Usualmente e conveniente realizar os 
cálculos com base em uma única fase ( Y por fase, tensão de fase), porque então as impedâncias dos 
transformadores podem ser somadas diretamente em serie com as impedâncias da linha de 
transmissão. As impedâncias de linhas de transmissão podem ser referidas de um lado a outro do 
banco de transformadores, usando o quadrado da relação ideal de tensões de linha do banco. Ao lidar 
com bancos Y-∆ ou ∆-Y, todas as grandezas podem ser referidas ao lado conectado em Y. Ao lidar 
com bancos ∆-∆ em serie com linhas de transmissão, é conveniente substituir as impedâncias 
conectas em ∆ do transformador por impedâncias equivalentes conectadas em Y. Pode-se mostrar 
que um circuito equilibrado ligado em ∆ com Z∆ Ω/fase equivalente a um circuito equilibrado ligado em 
Y com Zy Ω/fases se Zy = 1/3 Z∆. 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
39 
 
 
1) Os Terminais de alta tensão de um banco trifásico de 3 transformadores monofásicos são 
abastecidos a partir de um sistema de 3 fios e 3 fases de 6600 V ( tensão de linha). Os 
terminais de baixa tensão devem ser conectados a uma carga(subestação) de 3 fios e 3 
fases, puxando até 6000 kVA em 1000 V ( tensão de linha). Obtenha as especificações 
nominais necessárias de tensão, corrente e potencia aparente(em kVA) de cada 
transformador (ambos os enrolamentos de alta e baixa tensão) para as seguintes ligações: 
Enrolamento AT 
 
Enrolamento BT 
 
Estrela Delta 
Delta Estrela 
Estrela Estrela 
Delta Delta 
 
 
 
 
APOSTILA DE GMCC 
 
 
40 
RESPOSTA: 
ESTRELA - DELTA 
VF_P = 3,81 kV, IF_P = 524,86 A 
VF_S = 1 kV, IF_S = 2000 A 
S1Ø = 2000 kVA 
DELTA – ESTRELA : 
 
VF_P = 6,6 kV, IF_P = 303 A 
VF_S = 577,35 kV, IF_S = 3464 A 
S1Ø = 2000 kVA 
 
ESTRELA – ESTRELA 
VF_P = 3,81 kV, IF_P= 524,86 A 
VF_S = 577,35 kV, IF_S = 3464 A 
S1Ø = 2000 KVA 
DELTA – DELTA 
VF_P = 6,6 kV, IF_P = 303 A 
VF_S = 1 kV, IF_S = 2000 A 
S1Ø = 2000 kVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex) um transformador trif. Delta – Delta , impedância serie 0,72 + j0,92 ohms. No secundário é ligado 
uma carga de 208 A, fator de potencia 0,9(indutivo) . 
Determinar a tensão de fase da cargas, adimitindo a tensão de entrada do transformador como 
nominmal . 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
MÁQUINAS ELÉTRICAS – FITZGERALD, UMANS, 
MAQUINAS ELÉTRICAS E ACIONAMENTO – EDSON BIN – 3° Edição