ESTATISTICAApostila Maximi

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ESTATÍSTICA
Dsc. Maximiniano Gouveia
�
41. Introdução	�
41.1. Conceitos Iniciais	�
51.2. Classificação dos Dados	�
51.2.1. Dados Qualitativos	�
51.2.2. Dados Quantitativos	�
51.3. Representação Gráfica	�
51.3.1. Representação Gráfica dos Dados Discretos	�
71.3.2. Representação Gráfica de Dados Contínuos	�
112. Medidas de Posição ou de Tendência Central	�
112.1. Somatório e Produtório	�
112.1.1. Somatório	�
122.1.2. Produtório	�
132.2. Média Aritmética	�
132.2.1. Média Aritmética Simples	�
132.2.2. Média Aritmética Ponderada	�
142.3. Média Geométrica	�
142.3.1. Média Geométrica Simples	�
152.3.2. Média Geométrica Ponderada	�
162.4. Média Harmônica	�
162.4.1. Média Harmônica Simples	�
162.4.2. Média Harmônica Ponderada	�
172.5. Média Quadrática	�
172.5.1. Média Quadrática Simples	�
182.5.2. Média Quadrática Ponderada	�
182.6. Relação entre as Médias	�
192.7. Moda	�
192.7.1. Moda de Valores Não Tabulados	�
192.7.2. Moda de Valores Tabulados Individualmente	�
202.7.3. Valores Tabulados em Classes	�
212.8. Mediana	�
212.8.1. Mediana de Valores Não Tabulados	�
222.8.2. Mediana de Valores Tabulados Não Agrupados em Classes	�
242.8.3. Mediana de Valores Tabulados Agrupados em Classes	�
252.9. Relação entre Média, Moda e Mediana	�
252.10. Quartis, Decis e Centis	�
252.10.1. Quartis	�
262.10.2. Decis	�
272.10.3. Centis	�
�
313. Medidas de Dispersão	�
313.1. Medidas de Dispersão Absoluta	�
313.1.1. Amplitude Total	�
323.1.2. Desvio Quartil	�
333.1.3. Desvio Médio	�
333.1.4. Desvio Padrão	�
353.1.5. Variância	�
353.2. Medidas de Dispersão Relativa	�
353.2.1. Coeficiente de Variação de Pearson	�
374. Assimetria e Curtose	�
374.1. Assimetria	�
374.1.1. Tipos de Curvas Assimétricas	�
394.1.2. Medidas de Assimetria	�
404.2. Curtose	�
404.2.1. Tipos de Curvas em Curtose	�
414.2.2. Coeficiente de Curtose	�
435.	Correlação e Regressão	�
435.1. Correlação Linear Simples	�
435.1.1. Medida de Correlação	�
435.1.2. Tipos de Correlação	�
455.2. Regressão	�
455.2.1. Regressão Linear	�
475.2.2. Regressão Linear por Transformação	�
475.2.3. Regressão Polinomial – Ajuste por Parábola	�
486.	Estimação	�
486.1. Definições	�
486.2. Intervalos de Confiança	�
486.2.1. Intervalo de Confiança para a Média	�
496.3. Cálculo do Tamanho da Amostra	�
507. Introdução às Séries Temporais	�
507.1. Introdução - Algumas considerações	�
54Bibliografia	�
�
�
	
1. Introdução
	
1.1. Conceitos Iniciais
Estatística: É a ciência que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar um conjunto de dados.
População: Coleção de dados (que podem ser pessoas, valores, medidas) a serem estudados.
	
Observação: 
Nem sempre é possível estudar todos os elementos de uma população. 
Pois,
a população pode ser infinita;
Exemplo 1: os valores das pressões atmosféricas numa cidade.
a população pode ser destruída com o estudo;
Exemplo 2: a quantidade de fósforos com qualidade em uma caixa.
o estudo pode ser complicado;
Exemplo 3: pesquisa eleitoral.
	
Amostra: É uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população com o objetivo de tirar conclusões para a população.
	
Observação:
A escolha da amostra deve ser feita com extremo cuidado, pois se ela não representar a população corretamente, teremos conclusões errôneas.
	
Exemplo 4: Utilizar uma amostra de 10 vascaínos para prever o resultado de Vasco e Flamengo.
	
Censo: Estudo científico de um universo de dados com o objetivo de adquirir conhecimento sobre esse universo.
�	
1.2. Classificação dos Dados
	Podemos classificar os dados que constituem a amostra em 2 tipos:
	
1.2.1. Dados Qualitativos
	Representam a informação que identifica alguma característica não numérica.
	
Exemplo 5: Estado Civil de um indivíduo.
	
1.2.2. Dados Quantitativos
	Representam a informação de característica numérica.
	
Exemplo 6: Idade de um indivíduo.
	
Os dados quantitativos ainda podem ser sub-divididos em:
	
Dados Discretos
	Resultam de um conjunto finito de valores possíveis.
	Exemplo 7: Quantidade de filhos de uma família.
	
Dados Contínuos
	Resultam de um conjunto infinito de valores possíveis.
	Exemplo 8: Altura dos alunos em uma escola.
	
1.3. Representação Gráfica
1.3.1. Representação Gráfica dos Dados Discretos
	Os dados discretos são organizados em forma de uma tabela, chamada de tabela de freqüências.
	
Exemplo 9: Numa amostra com 20 alunos, foi questionado o número de irmãos. Obtivemos os seguintes valores:
	Nº de irmãos
	freqüência
	0
	4
	1
	8
	2
	4
	3
	3
	4
	1
Chamamos freqüência absoluta ao número de observações correspondentes a cada valor. Temos várias maneiras de representar graficamente as tabelas de freqüência absoluta de dados discretos. A mais usual é:
	
Diagrama de Barras	
Baseia-se em desenhar barras com alturas iguais as freqüências centradas nos valores correspondentes.Utilizando o exemplo acima, teríamos:
Também podemos representar a tabela utilizando as freqüências relativas, que representam a proporção de observações de um dado em relação ao total de observações. Ou seja,
 
A maneira mais usual de representar as freqüências relativas é:
	
Diagrama de Setores
Também conhecido como o gráfico da pizza. Consiste em dividir um círculo em partes proporcionais a freqüência relativa.
		No exemplo anterior as freqüências relativas são: 
	Nº de irmãos
	frelativa
	0
	
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
	
1.3.2. Representação Gráfica de Dados Contínuos
	Para os dados contínuos a organização dos dados é um pouco mais elaborada. Chamamos o gráfico para dados contínuos de Histograma. Sua elaboração deve seguir alguns passos. Para facilitar a compreensão vamos utilizar um exemplo.
	
Exemplo 10: Seja a seguinte amostra das notas obtidas por uma determinada turma:
	6,1
	2,9
	10,0
	2,2
	3,8
	9,1
	8,5
	7,4
	8,7
	1,5
	2,8
	6,4
	9,9
	9,2
	7,5
	8,6
	9,5
	6,5
	5,0
	4,5
		Devemos seguir os seguintes passos:
Determinar a amplitude (a) da amostra, isto é, a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dos dados.
a = 10,0 – 1,5 = 8,5
		
Dividir essa amplitude pelo número de classes (K) desejado, encontrando assim o intervalo de amplitude (h) entre as classes.
Se K = 5, então
h = 
Construir as classes.
C1 = [ 1,5 ; 3,2 [
C2 = [ 3,2; 4,9 [
C3 = [ 4,9 ; 6,6 [
C4 = [ 6,6 ; 8,3 [
C5 = [ 8,3 ; 10,0 ]
�
Montar a tabela de freqüências, contando o número de observações em cada classe.
	classe
	fi
	C1
	4
	C2
	2
	C3
	4
	C4
	2
	C5
	8
e) Por último, desenhamos o gráfico tomando uma sucessão de retângulos adjacentes, cujas alturas são as freqüências. 
�
	
�
Exercícios:
Foi feito um levantamento do número de filhos entre os empregados de uma empresa obtendo o seguinte quadro: 
	Número de filhos
	Número de empregados
	0
	82
	1
	28
	2
	45
	3
	15
	4
	5
Determine as freqüências relativas e construa o diagrama de barras.
	
	Número de filhos
	frelativa
	0
	
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
	
�
Numa turma foi questionada a altura dos 30 alunos. Segue abaixo os resultados: 
	1,72
	1,68
	1,82
	1,65
	1,70
	1,58
	1,60
	1,85
	1,90
	1,66
	1,74
	1,75
	1,81
	1,62
	1,79
	1,55
	1,78
	1,59
	1,61
	1,70
	1,72
	1,68
	1,87
	1,88
	1,79
	1,62
	1,75
	1,59
	1,80
	1,70
Desenhe o histograma.
		a = 1,90 – 1,55 = 0,35
		2K > 30 ( K = 5
		h = 
		C1 = [1,55; 1,62[
		C2 = [1,62; 1,69[
		C3 = [1,69; 1,76[
		C4 = [1,76; 1,83[
		C5 = [1,83 ; 190]
			
	Classe
	f
	C1
	6
	C2
	6
	C3
	8
	C4
	6
	C5
	4
�
2. Medidas de Posição ou de Tendência Central
	
Através das tabelas de freqüências, tambémchamadas de distribuições de freqüências, podemos tirar alguma conclusões sobre um determinado fenômeno estatístico. Porém em alguns casos pode ser difícil trabalhar com a distribuição de freqüência completa, dessa maneira calculamos algumas medidas que resumem as características dessa distribuição.
		Antes de estudarmos alguns tipos de medidas, vamos recordar uma noção da matemática que facilitará esse nosso estudo.
	
2.1. Somatório e Produtório
	
2.1.1. Somatório
		O operador somatório facilita a indicação da operação da adição. O símbolo do somatório é a letra grega sigma: (.
	
Exemplo 12: Seja o conjunto X = {3,6,9,12,15}.
	A soma desses elementos pode ser indicada por:
	
	
O sub-índice i indica a posição de cada elemento do conjunto:
�
	
Exemplo 13: Em um teste com 20 alunos, chegaram-se as seguintes notas:
	6
	10
	9
	2
	8
	3
	7
	4
	6
	8
	1
	9
	7
	10
	8
	0
	9
	6
	6
	9
Calcular:
a) 
	
b) 
	
	
c) 
d) 
	
e) 
	
f) 
	
	
2.1.2. Produtório
	Facilita a indicação dos produtos. O símbolo utilizado é a letra grega pi: (.
	
Exemplo 14: Seja Y ={1,2,4,5}.Calcular:
	a) 
	b) 
	
Agora já podemos iniciar o estudo das Medidas de Posição.
	
2.2. Média Aritmética
		Notação: 
 
Pode ser de dois tipos:
	
2.2.1. Média Aritmética Simples
		É igual ao quociente entre a soma dos valores de um conjunto e o número total de elementos desse conjunto: 
			
onde n é o número total de elementos.
	
Exemplo 15: Suponha que em um escritório há 5 contínuos que recebem os seguintes salários mensais: $800, $780, $820, $810 e $790. Qual é o salário médio mensal?
	
	
2.2.2. Média Aritmética Ponderada
		A média aritmética é dita ponderada quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes, no nosso caso quando tiverem freqüências relacionadas. É igual ao somatório do produto dos valores da variável e seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos: 
			
onde k é a soma dos pesos.
	
Exemplo 16: Um professor pode realizar 4 provas por ano em sua matéria atribuindo a cada uma os seguintes pesos: 1, 2, 3, 3. Se um aluno tiver recebido as notas: 8, 7, 9, 6, qual será sua média final?
	
	Provas
	Notas
	Pesos
	xi.fi
	1ª
	8
	1
	8
	2ª
	7
	2
	14
	3ª
	9
	3
	27
	4ª
	6
	3
	18
	soma
	
	9
	67
Uma maneira de tornar mais rápida as nossas contas é aproveitarmos a tabela e criarmos colunas extras, ou seja, nesse caso precisamos saber o valor de 
, para isso criamos a coluna xi.fi. E também calculamos os somatórios necessários. Assim,
	
Exemplo 17: Calcule a média aritmética da tabela abaixo:
	classes
	fi
	Ponto médio
	xi.fi
	[5, 10[
	3
	7,5
	22,5
	[10, 15[
	4
	12,5
	50
	[15, 20[
	5
	17,5
	87,5
	[20, 25]
	8
	22,5
	180
	soma
	20
	
	340
Quando precisamos calcular a média de uma tabela dividida em classes, uma questão aparece: quem será o valor xi? 
A reposta é: o ponto médio das classes.
	
		Utilizando a tabela mais uma vez teríamos:
		
	
2.3. Média Geométrica
		Notação: 
	
2.3.1. Média Geométrica Simples
	É a raiz n-ésima do produto dos valores do conjunto com n elementos. 
			
�
Exemplo 18: Calcular a média geométrica:
X = {10, 60, 360}
Y = {2, 2, 2, 2}
		
	
Z = {1, 3, 7, 9}
		
	
2.3.2. Média Geométrica Ponderada
		É a raiz k-ésima do produto dos valores do conjunto elevados aos seus repetitivos pesos:
		
	
onde k é a soma dos pesos, ou seja, o total de observações.
	
Exemplo 19: Calcular a média geométrica:
	xi
	fi
	1
	2
	3
	4
	9
	2
	27
	1
	soma
	9
Utilizando a tabela teremos:
	
�
	
2.4. Média Harmônica
		Notação: 
		É o inverso da média aritmética dos inversos dos valores do conjunto.
	
2.4.1. Média Harmônica Simples
			
	
Exemplo 20: Calcular a média geométrica:
X = {10, 60, 360}
Y = {2, 2, 2, 2}
		
Z = {1, 3, 7, 9}
2.4.2. Média Harmônica Ponderada
			
	
onde k é a soma das freqüências.
	
�
Exemplo 21: Calcule a média harmônica:
	xi
	fi
	
	
	2
	2
	
	1
	4
	4
	
	1
	6
	8
	
	
	8
	4
	
	
	10
	2
	
	
	soma
	20
	
	
		
	
	
2.5. Média Quadrática
		Notação: 
É a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores do conjunto.
	
2.5.1. Média Quadrática Simples
		
	
�
Exemplo 22: Calcular a média quadrática:
X = {2, 2, 2}
Y = {2, 3, 4, 5}
	
2.5.2. Média Quadrática Ponderada
		
onde k é a soma das freqüências.
	
Exemplo 23: Calcular a média quadrática:
	xi
	fi
	xi2
	xi2.fi
	3
	5
	9
	45
	5
	10
	25
	250
	7
	12
	49
	588
	9
	10
	81
	810
	11
	5
	121
	605
	soma
	42
	
	2298
	
	
	
2.6. Relação entre as Médias
		Quando os valores não forem muito diferentes verifica-se: 
		
	
Sempre teremos:
	
�
2.7. Moda
		Notação: Mo
		Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico. É definida como o valor de maior freqüência. 
	
2.7.1. Moda de Valores Não Tabulados
		Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante.
	
Exemplo 24: Calcular a moda:
X = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8}
Mo = 6
	
Y = {4, 4, 5, 5, 6, 6}
Nesse caso não há predominância de nenhum valor.
Esse conjunto é dito Amodal.
Z = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6}
Mo1 = 2 Mo2 = 5
Conjunto Bimodal.
W = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto Amodal.
	
2.7.2. Moda de Valores Tabulados Individualmente
		A moda é o elemento de maior freqüência.
	
Exemplo 25: Calcular a moda:	
	xi
	fi
	0
	2
	1
	4
	2
	6
	3
	8
	4
	4
	5
	2
	6
	1
		Mo = 3, pois é o elemento de maior freqüência (8). 
	
2.7.3. Valores Tabulados em Classes
		Quando os elementos estão divididos em classes o procedimento não é tão imediato. Veremos 3 métodos e para isso precisamos definir o conceito de classe modal: classe de maior freqüência.
	
Moda Bruta
		Consiste em tomar o ponto médio da classe modal.
	
Exemplo 26: Calcular a Moda Bruta
	
	classes
	fi
	[10, 20[
	3
	[20, 30[
	5
	[30, 40[
	7
	[40, 50]
	6
			Classe Modal: [ 30 , 40 [
			Moda Bruta: 
	
Método de King
Esse método baseia-se na influência das freqüências adjacentes sobre a classe modal.
	
onde l ( limite inferior da classe modal
a ( amplitude do intervalo
 fpost ( freqüência da classe posterior à classe modal
	fant ( freqüência da classe anterior à classe modal
	
Exemplo 27: Utilizando a tabela do exemplo anterior, calcular a moda pelo Método de King:
	
�
Método de Czuber
Leva em consideração as freqüências adjacentes e a freqüência da classe modal.
onde fmo ( freqüência da classe modal.
	
Exemplo 28: Utilizando a tabela anterior, calcular a moda pelo Método de Czuber:
		
2.8. Mediana
		Notação: Md
		Definida como o valor que divide uma série ordenada em duas partes, de forma que pelo menos metades dos itens sejam iguais ou menores do que ela e a outra metade sejam maiores do que ela.
		Antes de calcularmos o valor da mediana, precisamos saber a porsição em que ela se encontra. A esse valor damos o nome de elemento mediano cujo símbolo é EMd.
	
2.8.1. Mediana de Valores Não Tabulados
		Primeiro devemos por o conjunto em ordem e então calcular o elemento mediano. Temos 2 casos:
	
Número Ímpar de Observações
		
		
	
	Exemplo 29: 	Calcular a mediana:
X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30}
 A mediana está na quarta posição.
Y = {4, 6, 7, 8, 15}
		
	
Número Par de Observações
		
Exemplo 30: Calcular a mediana:
X = {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20}
			 Se seguirmos o mesmo raciocínio anterior teríamos Md = 12.Porém teríamos 3 valores menores e 4 maiores que 12 no conjunto, o que contradiz a definição de mediana. Assim quando tivermos um número par de observações, a mediana será igual a média aritmética dos 2 valores centrais.
	
	
Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
			
2.8.2. Mediana de Valores Tabulados Não Agrupados em Classes
		Antes precisamos falar de freqüência acumulada, que é a soma das freqüências absoluta a cada elemento.
	
Exemplo 31: Determinar as freqüências acumuladas:
	a) 
	xi
	fi
	Fi
	1
	12
	12
	3
	14
	26
	5
	8
	34
	7
	12
	46
	9
	7
	53
�
b) 
	xi
	fi
	Fi
	2
	5
	5
	3
	10
	15
	4
	15
	30
	5
	12
	42
	6
	5
	47
	7
	3
	50
		Para determinarmos o elemento mediano utilizamos as mesmas definições do caso anterior, o único diferencial é que em valores tabulados utilizamos o número da soma das freqüências.
	
Exemplo 32: Utilizando as tabelas do exemplo anterior determine a mediana:
	a) 
Devemos procurar o elemento que está na 27\ª posição. Olhando para a coluna das freqüências acumuladas, vemos que o elemento da 27ª posição é o 5 . Assim,
		Md = 5.
	b) 
Devemos fazer a média aritmética dos elementos que estão na 25ª e 26ª posições. Olhando para a coluna das freqüências acumuladas, vemos que o elemento da 25ª posição é 4 e da 26ª posição também é 4. Assim,
Md = 4
	
Exemplo 33: Determine a Mediana
	
	xi
	fi
	Fi
	3
	3
	3
	4
	6
	9
	5
	9
	18
	6
	8
	26
	7
	6
	32
	8
	3
	35
		
Exemplo 34: Determine a mediana
	
	xi
	fi
	Fi
	3
	3
	3
	4
	6
	9
	5
	9
	18
	6
	8
	26
	7
	6
	32
	8
	4
	36
		
2.8.3. Mediana de Valores Tabulados Agrupados em Classes
		Para calcular o elemento mediano seguimos o raciocínio anterior. Porém o cálculo do valor da mediana é um pouco mais complicado, sendo utilizada a seguinte fórmula:
		
onde l ( limite inferior da classe a que o elemento mediano (classe mediana).
a ( amplitude da classe mediana
	EMd ( elemento mediano
	Fant ( freqüência acumulada até a classe anterior a classe mediana
	fMd ( freqüência da classe mediana
	
Exemplo 35: Calcular a Mediana:
		classes
	fi
	Fi
	[10, 20[
	10 
	10
	[20, 30[
	20
	30
	[30, 40[
	35
	65
	[40 ,50[
	40
	105
	[50, 60[
	25
	130
	[60, 70[
	15
	145
	[70, 80]
	5
	150
		
 classe mediana: [40, 50[
	
Exemplo 36: Calcular a Mediana:	
	classes
	fi
	Fi
	[5, 25[
	10
	10
	[25, 45[
	20
	30
	[45, 65[
	35
	65
	[65, 85]
	40
	105
	
	
2.9. Relação entre Média, Moda e Mediana
		Existe uma relação entre essas 3 medidas, chamada de Relação Empírica de Pearson :
			
	
2.10. Quartis, Decis e Centis
		Essas medidas são chamadas de separatrizes, pois são elementos que dividem de alguma maneira os elementos de uma distribuição de freqüências.
		Os quartis dividem a distribuição em 4 partes iguais, os decis em 10 partes iguais e os centis em 100 partes iguais. 
		Para dividir uma série em 4 partes iguais, precisamos de 3 separatrizes; para dividi-la em 10 partes precisamos de 9 separatrizes e para dividi-la em 100 partes de 99 separatrizes.
		Da mesma forma que procedemos com a Mediana, nessas medidas também devemos calcular inicialmente a posição do elemento e depois então o seu valor numérico.
	
2.10.1. Quartis
1º Quartil: Q1
		Nesse caso 25% dos valores da distribuição são menores do que Q1 e a sua posição é:
		
	
2º Quartil: Q2​
		Nesse caso 50% dos valores da distribuição são menores do que Q2, por essa razão é igual a Mediana, e a sua posição é:
		
3º Quartil: Q3
		Nesse caso 75% dos valores da distribuição são menores do que Q3 e a sua posição é:
		
		Assim de forma geral, temos: 
			
onde n é o número de observações e i é o número do quartil que desejamos calcular.
	
Depois de calculada a posição do quartil, para calcularmos o seu valor utilizamos a seguinte fórmula:
			
onde l ( limite inferior da classe a que o elemento quartil pertence.
a ( amplitude da classe do quartil
	EQi ( elemento quartil
	Fant ( freqüência acumulada até a classe anterior à classe do quartil
	fQi ( freqüência da classe do quartil
	
2.10.2. Decis
		Podemos calcular o valor de 9 decis. E seguindo o raciocínio análogo, teremos de forma geral:
			
 	
onde n é o número de observações e i é o número do quartil que desejamos calcular.
		Depois de calculada a posição do quartil, para calcularmos o seu valor utilizamos a seguinte fórmula:
			
	
onde l ( limite inferior da classe a que o elemento decil pertence.
a ( amplitude da classe do decil
	EDi ( elemento decil
	Fant ( freqüência acumulada até a classe anterior à classe do decil
	fDi ( freqüência da classe do decil
2.10.3. Centis
		Da mesma forma para calcular os 99 centis possíveis, teremos de forma geral: 
			
 	
onde n é o número de observações e i é o número do quartil que desejamos calcular.
		Depois de calculada a posição do quartil, para calcularmos o seu valor utilizamos a seguinte fórmula:
			
	
onde l ( limite inferior da classe a que o elemento centil pertence.
a ( amplitude da classe do centil
	ECi ( elemento centil
	Fant ( freqüência acumulada até a classe anterior à classe do centil
	FCi ( freqüência da classe do centil
Exemplo 37: Dada a tabela abaixo, calcule:
	
	classes
	fi
	Fi
	[5, 25[
	4
	4
	[25, 45[
	6
	10
	[45, 65[
	14
	24
	[65, 85[
	26
	50
	[85, 105[
	14
	64
	[105, 125[
	8
	72
	[125, 145[
	6
	78
	[145, 165]
	2
	80
�
C30
		
	
C50
D9
		
	
Q3
	
	
�
Exercícios:
Dada a tabela abaixo, calcule:
�
Média aritmética
Média geométrica
Média Harmônica
Media quadrática
Mediana
Moda Bruta
Moda pelo método de King
Moda pelo método de Czuber
Q1
D5
C25
	
�
	
	
	classes
	fi
	Fi
	xi
	xi.fi
	1/xi
	fi/xi
	xi2
	[2, 5[
	3
	3
	3,5
	10,5
	2/7
	6/7
	12,25
	[5, 8[
	6
	9
	6,5
	39
	2/13
	12/13
	42,25
	[8, 11[
	5
	14
	9,5
	47,5
	2/19
	10/19
	90,25
	[11,14]
	2
	16
	12,5
	25
	2/25
	4/25
	156,25
	soma
	16
	
	
	112
	
	2,4665
	301
�
		a. 
		b. 
		c. 
		d. 
		e. 
		f. 
		g. 
		h. 
		i. 
		j. 
		l. 
	
�
3. Medidas de Dispersão
Já sabemos tirar conclusões estatísticas de dados através de gráficos e tabelas. Além disso também já sabemos calcular medidas que podem descrever um fenômeno estatístico.
Vejamos agora esse exemplo:
	
Exemplo 38: Suponhamos que se deseja comparar a performance de dois empregados com base na produção diária de determinada peça:
		Empregado A: 70, 71, 69, 70, 70
		Empregado B: 60, 80, 70, 62, 83
	
Se calcularmos a produção média de cada um, obteremos:
E assim concluímos que a performance de B é melhor do que de A.
Porém a produção de A varia de 69 a 71 peças, enquanto a de B, varia de 60 a 83. Num processo produtivo espera-se uma uniformidade. Assim precisamos de mais algumas medidas para um conhecimento mais completo do fenômeno estatístico estudado.
	
3.1. Medidas de Dispersão Absoluta
	
3.1.1. Amplitude Total
		Notação: AT
		É a diferença entre os valores extremos do conjunto. Já foi vista por nós na construção de histogramas.
		AT = limite superior do conjunto – limite inferior do conjunto
Exemplo 39: Calcular a amplitude total:
A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}
AT = 45 – 10 = 35
b) B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
AT = 23 – 17 = 6
c) C = {-4, -3, -2, 3, 5}
AT = 5 – (-4) = 5 + 4 = 9
	
Exemplo 40: Calcular a amplitude total:
	classes
	fi
	[ 10, 20 [
	4
	[ 20, 30 [
	12
	[ 30, 40 [
	20
	[ 40, 50 [
	12
	[ 50, 60 [
	9
	[ 60, 70 ]
	3AT = 70 – 10 = 60
	
Essa medida é pouco utilizada pois se os valores forem muito diferentes, não teremos nenhuma conclusão interessante:
	
Observação:
X = {10, 12, 13, 15, 20, 25, 45} 
AT = 45 – 10 = 35 
Porém o último número está muito distante do penúltimo.
	
3.1.2. Desvio Quartil
		Notação: DQ
É baseada nos quartis e definida por:
	
	
Exemplo 41: Calcular o desvio quartil:
	classes
	fi
	Fi
	[10, 20[
	4
	4
	[20, 30[
	12
	16
	[30, 40[
	20
	36
	[40, 50[
	12
	48
	[50, 60[
	9
	57
	[60, 70]
	3
	60
	
	
3.1.3. Desvio Médio
		Notação: DM
É igual a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de posição: média ou mediana.
 ou 
	
3.1.4. Desvio Padrão
		Notação: DP
É a medida de dispersão mais usada.
	
Desvio Padrão para Valores Não Tabulados
	
onde n é o número de elementos do conjunto.
	
Exemplo 42: Calcular o desvio padrão:
A = {2, 4, 5, 8, 9}	
B = {10, 12, 13}
	
	
	
Desvio Padrão para Valores Tabulados
	
onde k é a soma total das freqüências.
	
Existe uma maneira prática para calcular o desvio padrão fazendo uso da tabela. Construímos colunas extras, calculando os valores que necessitamos para substituir na fórmula.
	
Exemplo 43: Calcular o desvio padrão:
a) 
	classes
	fi
	xi
	xi.fi
	xi2
	xi2.fi
	[5, 25[
	4
	15
	60
	225
	900
	[25, 45[
	6
	35
	210
	1225
	7350
	[45, 65]
	14
	55
	770
	3025
	42350
	soma
	24
	
	1040
	
	50600
	
	
	
b) 
	classes
	fi
	xi
	xi.fi
	xi2
	xi2.fi
	[1, 3[
	3
	2
	6
	4
	12
	[3, 5[
	2
	4
	8
	16
	32
	[5, 7[
	4
	6
	24
	36
	144
	[7, 9]
	2
	8
	16
	64
	128
	soma
	11
	
	54
	
	316
�
3.1.5. Variância
		Notação: Var
É o quadrado do desvio padrão. 
Na prática calculamos o desvio padrão e o elevamos ao quadrado.Ou seja, a variância é o valor que está na última raiz.
	
Exemplo 44: Utilizando os exemplos acima, calcule a variância:
Var = 240,5797
Var = 5,9909	
	
3.2. Medidas de Dispersão Relativa
	
3.2.1. Coeficiente de Variação de Pearson
		Notação: CVP
É igual ao quociente entre o desvio padrão e a média aritmética. 
É indicado como uma porcentagem, dessa maneira 0 ( CVP ( 1.
	
Exemplo 45: Utilizando as tabelas do exemplo 43, calcule o coeficiente de variação de Pearson:
a)
 
	
b) 
	
�
	
Exercícios:
	
Dada a tabela abaixo, calcule:
Amplitude
Desvio quartil
Desvio padrão
Variância
Coeficiente de Variação de Pearson
	classes
	fi
	xi
	xi.fi
	xi2
	xi2.fi
	Fi
	[2, 4[
	3
	3
	9
	9
	27
	3
	[4, 6[
	6
	5
	30
	25
	150
	9
	[6, 8[
	5
	7
	35
	49
	245
	14
	[8, 10]
	2
	9
	18
	81
	162
	16
	soma
	16
	
	92
	
	584
	
AT = 10 – 2 = 8
	
c)
d)
Var = 3,6666
e)
	
4. Assimetria e Curtose
	
Vimos no capítulo 1, que podemos representar graficamente dados contínuos pelo histograma. Uma outra maneira de representarmos uma distribuição de freqüências é por meio de curvas. Uma dessas curvas é a Curva de Gauss que representa a distribuição Normal, distribuição de grande importância por possuir propriedades importantes, uma delas é possuir área igual a 1.
	
Com isso seria interessante estudar a curva da distribuição. Assim , juntamente com as medidas de posição e de dispersão, as medidas de assimetria e curtose completam a compreensão das distribuições de freqüências.
		As características mais importantes relacionadas a forma da curva são o grau de deformação e o grau de achatamento.
	
4.1. Assimetria
	
Significa desvio ou afastamento da simetria. Em outras palavras, é o grau de deformação de uma curva de freqüências comparada a uma curva de Gauss.
	
4.1.1. Tipos de Curvas Assimétricas
		Quanto ao grau de deformação temos 3 tipos de curvas.
	
Curva Simétrica
Uma curva simétrica apresenta como característica principal o fato de as três principais medidas de posição, (média, moda e mediana), serem iguais. Em termos gráficos a curva será bem parecida com a curva de Gauss:
	
Curva Assimétrica Positiva
Toda distribuição deformada é sempre assimétrica. Entretanto, a assimetria pode estar na direita ou na esquerda.
		Uma curva assimétrica positiva apresenta uma cauda mais alongada à direita. 
		Nesse caso temos,
				
	
Curva Assimétrica Negativa
Neste caso a curva apresenta uma cauda mais longa à esquerda. E temos:
 
4.1.2. Medidas de Assimetria
	
Método da Comparação
		Esse método permite saber qual é o tipo de assimetria da distribuição.
		A comparação é bem simples: 
Se 
 > Mo, então a curva é assimétrica positiva.
Se 
 = Mo, então a curva é simétrica.
Se 
 < Mo, então a curva é assimétrica negativa.
Exemplo 46: Verificar o tipo de assimetria.
	a) 
	classes
	fi
	xi
	xi.fi
	[10, 20[
	5
	15
	75
	[20, 30[
	10
	25
	250
	[30, 40[
	15
	35
	525
	[40, 50[
	20
	45
	900
	[50, 60]
	5
	55
	275
	soma
	55
	
	2025
		
Portando a curva é assimétrica negativa.
b) 
	classes
	fi
	xi
	xi.fi
	[10, 20[
	5
	15
	75
	[20, 30[
	10
	25
	250
	[30, 40[
	15
	35
	525
	[40, 50[
	10
	45
	450
	[50, 60]
	5
	55
	275
	soma
	45
	
	1575
	
 	Portando a curva é simétrica.
	
Coeficiente de Pearson
		Usada para calcular o grau de deformação.
		
	
4.2. Curtose
	Indica se a distribuição se apresenta mais alongada ou mais achatada do que uma curva padrão de Gauss.
	
4.2.1. Tipos de Curvas em Curtose
Curva Mesocúrtica
Se o achatamento for igual ao da curva de Gauss.
	
Curva Platicúrtica
		Alto grau de achatamento.
	
Curva Leptocúrtica
		Alto grau de alongamento.
4.2.2. Coeficiente de Curtose
		É definido pela expressão: 
		
Calculado o valor de C, utilizamos uma comparação já existente para determinar o tipo de curva:
Se C > 0,263, então a curva é platicúrtica.
Se C = 0,263, então a curva é mesocúrtica.
Se C < 0,263, então a curva é leptocúrtica.
	
Exemplo 47: Verifique o tipo de curtose:
a) 
	classes
	fi
	F
	[10, 20[
	5
	5
	[20, 30[
	10
	15
	[30, 40[
	15
	30
	[40, 50[
	20
	50
	[50, 60]
	10
	60
	soma
	60
	
b) 
	classes
	fi
	F
	[0, 2[
	3
	3
	[2, 4[
	4
	7
	[4, 6[
	3
	10
	[6, 8[
	5
	15
	[8, 10]
	5
	20
	soma
	20
	
�
Correlação e Regressão
Frequentemente é necessário verificar se existe relação entre duas ou mais variáveis. Por exemplo, o consumo das famílias pode estar relacionado com a sua renda; as vendas de um certo produto pode relacionar-se com a sua demanda. Este é o estudo da Correlação.
Uma vez determinada a existência de uma relação é necessário a estimação de uma função matemática que descreva essa relação. Este é o objetivo da Regressão. 
5.1. Correlação Linear Simples
		A Correlação Linear procura medir a relação entre as variáveis X e Y através da disposição dos pontos (X, Y) em torno de uma reta.
5.1.1. Medida de Correlação
		Sempre teremos: 
		
		Onde n é a quantidade de elementos.
5.1.2. Tipos de Correlação
A) Correlação Positiva: 0 < R(X,Y) < 1.
B) Correlação Positiva Perfeita: R(X,Y) = 1.
C) Correlação Negativa: -1 < R(X,Y) < 0.
D) Correlação Negativa Perfeita: R(X,Y) = -1. 
E) Correlação Nula: R(X,Y) = 0.
Exemplo 48:
Determine o tipo de correlação existente entre as variáveis X, que representa o gasto em milhões de reais na produção de um determinado produto, e Y, que representa a quantidade de unidades vendidas em milhares.
	Mês
	X
	Y
	X2
	Y2
	XY
	Jan
	2
	10
	4
	10020
	Fev
	4
	8
	16
	64
	32
	Mar
	6
	6
	36
	36
	36
	Abr
	8
	10
	64
	100
	80
	mai
	10
	12
	100
	144
	120
	
	30
	46
	220
	444
	288
Determine a correlação, sabendo que X representa o gasto em milhões de reais na manutenção de fazenda de gado leiteiro e Y representa a produção de leite em milhares de litros.
	X
	Y
	X2
	Y2
	XY
	2
	6
	4
	36
	12
	3
	9
	9
	81
	27
	6
	18
	36
	324
	108
	8
	24
	64
	576
	192
	19
	57
	113
	1017
	339
5.2. Regressão
		A análise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo matemático, a relação existente entre duas variáveis.
5.2.1. Regressão Linear
		Dado um conjunto de valores X e Y, construir um modelo de regressão linear de Y sobre X consiste em obter uma reta que melhor represente a relação entre as variáveis. A determinação dos parâmetros dessa reta é denominada Ajustamento. 
		A reta ajustada é representada por:
		
Onde
Exemplo 49: Utilizando as tabelas do exemplo 48, determine a equação de regressão:
a)
 
b)
Exemplo 50:
A tabela abaixo representa as vendas de um determinado produto em milhares de unidades (X) e os gastos com propaganda de TV em milhões de reais (Y). Determine:
a) o ajustamento dos dados;
b) a estimativa de gasto com propaganda se desejarmos que a venda seja de 5 milhares de unidades;
c) a estimativa de vendas para o mês de junho caso o gasto seja de 50 milhões.
	Mês
	X
	Y
	X2
	XY
	Jan
	2
	20
	4
	40
	Fev
	4
	28
	16
	112
	Mar
	6
	35
	36
	210
	Abr
	8
	48
	64
	384
	Mai
	10
	54
	100
	540
	
	30
	185
	220
	1286
a)
 
b)Y = 4,4.5 + 10,6 = 22 + 10,6 = 32,6
50 = 4,4X + 10,6 ( 4,4X = 39,4 ( X = 8,9545
5.2.2. Regressão Linear por Transformação
		Em muitos casos a relação entre X e Y não é linear. Nesses casos, o ajustamento é feito por outras funções como, por exemplo, pela função exponencial. Teríamos assim:
		
5.2.3. Regressão Polinomial – Ajuste por Parábola
		Entre as funções não lineares, as mais encontradas são as parábolas, teríamos:
		
�
Estimação
6.1. Definições
Estimador: Dada uma amostra de uma variável, um estimador é uma função desses dados.
Exemplo: a média 
 é um estimador da média populacional.
Estimativa: É o valor numérico assumido pelo estimador.
Exemplo: 
é uma estimativa da média populacional
Estimação por ponto ou por intervalo: Quando a estimativa de um parâmetro é dada por um único valor, tem-se uma estimativa pontual. Porém, as vezes, é mais interessante determinar um intervalo que apresente uma probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. Nesses casos, a média é determinada por uma distribuição normal.
Exemplo: Se tivermos uma amostra de 500 universitários e desejamos saber a altura média se tivermos 
 temos uma estimativa pontual. Se agora dissermos que 
 temos uma estimativa por intervalo.
6.2. Intervalos de Confiança
		Conhecendo a distribuição amostral de um estimador pode-se determinar um intervalo que apresente confiança com uma probabilidade (1 - () onde ( é o grau de confiança desejado.
6.2.1. Intervalo de Confiança para a Média
Onde 
 é a média da amostra
	DP é o desvio padrão da amostra
	n é o tamanho da amostra
	z é a variável da distribuição normal (valor esse sempre dado)
�
Exemplo 51: Uma máquina produz rolamentos com desvio padrão de 0,042cm em seu diâmetro. Desejando-se conhecer o diâmetro médio dos rolamentos produzidos por essa máquina, extraiu-se 100 rolamentos, observando-se uma média igual a 0,824cm. Obter o intervalo com 90% de confiança para o verdadeiro diâmetro médio.
Exemplo 52: Numa amostra de 106 temperaturas temos 
=36,7º e DP = 0,32º. Para um grau de confiança de 95%, determine o intervalo para a média.
6.3. Cálculo do Tamanho da Amostra
		Até aqui utilizamos dados já conhecidos para obter estimativas da média populacional. Suponha agora que ainda não tenhamos coletado os dados. 
Quantos elementos da população devem ser escolhidos para a amostra?
Onde E é a margem de Erro.
Observação: O tamanho da amostra deve ser um número inteiro.
Exemplo 52: Deseja-se estimar a renda média de uma família. Quantos valores devem ser tomados para termos 95% de confiança em que a média amostral esteja a menos de $500,00 da verdadeira média populacional? Suponhamos que sabemos que DP = 6250.
�
7. Introdução às Séries Temporais 
 
Neste capítulo faremos uma introdução às séries temporais. O nosso objetivo aqui é puramente informativo e estaremos mais preocupados com as definições básicas e alguns exemplos simples, já que o estudo de séries temporais é muito extenso.
 
 7.1. Introdução - Algumas considerações 
Definição de Série Temporal:
Uma Série Temporal é um conjunto de observações ordenadas no tempo (não necessariamente igualmente espaçadas), e que apresentam dependência serial (isto é, dependência entre instantes de tempo). A notação usada aqui para denotar uma Série Temporal é Z1, Z2, Z3..., ZT , que indica uma série de tamanho T. O instante T geralmente indica o último instante disponível. 
 
De uma maneira um pouco mais formal, dizemos que uma série temporal é uma realização de um processo estocástico. 
 
Definição de Processo Ergódico: 
Um processo estocástico é dito ergódico se uma única realização do processo é o suficiente para caracterizá-lo. Na análise de séries temporais existe apenas uma realização do processo disponível e, portanto precisamos supor que o processo subjacente é ergódico, pois iremos usar apenas uma de suas realizações para caracteriza - lo. 
 
 
Em geral, ao estudarmos uma Série Temporal estaremos interessados em dois aspectos: 
a) Análise e Modelagem da Série Temporal - descrever a série, verificar suas características mais relevantes e suas possíveis relações com outras séries; 
b) Previsão da Série Temporal - a partir de valores passados da série (e talvez de outras séries também) encontrar boas previsões (de curto prazo) de valores futuros da série. A previsão da série no instante T + k será denotada por . O número de instantes à frente para o qual é feita a previsão (neste caso, k) é chamado de horizonte de previsão. Por exemplo, a previsão de ZT+1 é denotada por 
 
 
A dependência serial entre os valores da série é um aspecto essencial, pois nos permite gerar previsões de valores futuros da série. Estas previsões seriam puro “chute” se não houvesse dependência serial. Também, diferentes séries possuem diferentes “graus” de previsibilidade; por exemplo, é freqüentemente mais fácil prever uma série de temperaturas médias mensais do que a taxa mensal de inflação. Logo, não se pode garantir que a previsão encontrada por este ou aquele método será sempre “boa”, tudo depende das características da série que está sendo estudada. No entanto, um aspecto deve ser levado em conta ao fazermos previsões de séries temporais: o nível de incerteza aumenta com o horizonte de previsão – quanto mais longe no futuro, maior é a incerteza associada à previsão. Isto é intuitivamente razoável, é sempre mais difícil prever o futuro distante, e a nossa previsão estará cercada de incertezas! 
 
Uma medida do “acerto” das nossas previsões é o erro de previsão k-passos à frente, definido a seguir. 
 
 
Definição do Erro de Previsão k passos à frente: 
O erro de previsão k passos à frente no instante t (onde k é um inteiro maior ou igual a um) é definido como a diferença entre o valor real da série no instante t e a previsão deste valor feita k instantes antes, isto é: 
 
 
Um caso particular importante é o erro de previsão um passo à frente, dado por: 
 
 
Um “bom” modelo de previsão produz previsões com erro pequeno, e assim é interessante acompanhar quantidades como a soma dos quadrados dos erros de previsão,ou a soma dos valores absolutos dos erros de previsão. 
 
 
E como funcionam estas ferramentas quantitativas que nos permitem prever o futuro de uma série temporal? 
 
• Vamos utilizar o passado (dados históricos) para descrever a trajetória mais provável da série no futuro. 
• Na maioria dos problemas o passado traz informações relevantes sobre o que irá ocorrer no futuro, pois existe “correlação” entre as variáveis em diversos instantes. 
• É claro que o conhecimento do passado não nos diz exatamente como será o futuro, e então sempre existe incerteza associada às nossas previsões. 
• Mas, podemos ter uma boa idéia de quais serão os valores mais prováveis no futuro.
• Ou seja, podemos especificar previsões futuras e limites de confiança. 
 
Afinal, o que queremos ao modelar uma série temporal? 
 
• Capturar “toda” a estrutura de dependência existente na série; 
• Logo, nos resíduos não deve “sobrar” estrutura, pois ela já foi captada pelo modelo. Nota: o resíduo é apenas a diferença entre o valor real e o ajustado por um modelo qualquer. Por exemplo, seja Zt o valor real da série no instante t, e seu valor ajustado pelo modelo. 
• Em particular, se o modelo é bom, os resíduos não devem apresentar correlação serial (isto é, correlação entre os resíduos em diferentes instantes de tempo); 
• Explicar o comportamento da série com o menor número de parâmetros (parcimônia). 
 
Dica Prática.... Por onde começar 
Em geral, a primeira coisa que fazemos ao estudar uma série temporal é construir um gráfico para mostrar a sua evolução ao longo do tempo. Este procedimento simples costuma ser bastante esclarecedor, e nos permite identificar como evolui a tendência da série. 
Séries temporais ocorrem com enorme freqüência na prática. No quadro a seguir exibimos os gráficos de algumas séries temporais reais. 
		
Podemos fazer uma distinção básica entre duas grandes classes de modelos: 
• Modelos Univariados: a série temporal é explicada (prevista) apenas pelos seus valores passados; 
• Modelos Multivariados ou Causais: a série temporal é explicada (prevista) pelos seus valores passados e também pelos valores passados de outras variáveis. 
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Quadro 7.1.1. - algumas séries temporais 
 
	Preços Mensais Internacionais de Celulose em US$ fixos 
	Vendas Mensais de Refrigerantes em embalagens de 290 ml 
	 
	
	Temperatura Máxima Mensal no Rio de Janeiro (média das máximas diárias) 
	Preços de Títulos da Dívida Externa do Brasil, Argentina e México 
	 
	
	Consumo Médio de Energia Elétrica 
	Inflação Mensal do Rio de Janeiro 
	
	
 
 
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Bibliografia
Triola, M. – Introdução à Estatística. Editora LTC.
Soares, J. F.; Farias, A. A. e César C. C. – Introdução à estatística. Editora Guanabara.
Tanaka, O. K. e Pereira, W. – Estatística: conceitos básicos. Editora Makron Books.
www.mbarros.com – Download do capítulo de séries temporais.
CURIOSIDADE:
Áreas de Aplicação da Estatística:
Estudos de Mercado: lançamento de novos produtos.
Medicina: efeito de um novo medicamento.
Controle de Qualidade: verificação da porcentagem de peças defeituosas.
Pedagogia: nova técnica de ensino.
QUESTÃO:
Qual é o melhor número K de intervalos?
Devemos tomar o menor inteiro K de modo que 2K > n, onde n é o tamanho da amostra.
No exemplo 10, n = 20. Assim o menor inteiro que satisfaz a 2K > 20 é K = 5.
Exemplo 11: Qual deve ser o valo de K para uma amostra com 50 elementos?
	2K > 50 ( K = 6
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