Aula 6. ZAB0262

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1 
Probabilidade condicional e 
independência; Teorema de Bayes 
2 
Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório com o qual 
trabalhamos pode ser separado em etapas; 
A informação que ocorreu em uma determinada etapa pode 
influenciar nas probabilidades das etapas seguintes; 
Neste caso, dizemos que ganhamos informação e podemos 
“recalcular” as probabilidades de interesse; 
Essas probabilidades “recalculadas” recebem o nome de 
probabilidade condicional, cuja definição é apresentada a seguir: 
Probabilidade Condicional e Independência 
3 
Definição de Probabilidade Condicional: 
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado 
que B ocorreu é representada por P(A|B), e dada por: 
, com P(B) > 0 
Caso P(B) = 0, a P(A|B) = P(A). 
Probabilidade Condicional e Independência 
 
 
)(BP
BAP
BAP


4 
Prob. Condicional e Diagrama de Venn 
5 
Probabilidade 
Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado 
produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. 
Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são 
misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar 
peças defeituosas em cada uma das fábricas seja 
respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça 
ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
– ser da fábrica A; 
– ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica 
A; 
– ser defeituosa; e 
– ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa. 6 
Probabilidade 
 Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto 
em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada 
fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a 
probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das 
fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
 
a) ser da fábrica A; 
( )P A  100 1
600 6

b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A; 
 
( / )P D A  1
10
2 
7 
Probabilidade 
 Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto 
em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada 
fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a 
probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das 
fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma 
peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
 
c) ser defeituosa (probabilidade total); 
( )P D  10 10 3 23
600 600
 

8 
conjuntos disjuntos 
eventos mutuamente exclusivos 
Probabilidade Total 
A
1 
A
2 
A
3 
A
4 
A
5 
1 2 3 4 5
A A A A A S    
1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P A P A    
11
( ) 1i i
ii
A S P A
 

 
,
i j
A A i j i j   
9 
Probabilidade Total 
1 2 5
( ) ( ) ( )B A B A B A B      
5
1
( ) ( )i
i
P B P A B

 
A
1 
A
2 
A
3 
A
4 
A
5 
B 
5
1
( ). ( / )i i
i
P A P B A


Probabilidade 
 Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 
100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas 
em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se 
uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
 
c) ser defeituosa; 
( ) ( ) ( )D A D B D C D     
( ) ( ) ( ) ( )P D P A D P B D P C D     
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )P D P A P D A P B P D B P C P D C  
600
23
600
31010
300
3
.
600
300
200
10
.
600
200
100
10
.
600
100


P(D)
11 
Probabilidade 
 Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 
100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças 
defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. 
Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
 
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa; 
Probabilidade Condicional 
( / )P A D  10
23
12 
Probabilidade Condicional 
• A ocorrência de um evento altera a probabilidade 
de ocorrência de outro evento. 
– Não estabelece relação de causa-efeito entre os 
eventos, simplesmente relaciona as probabilidades de 
os eventos ocorrerem. 
3 
13 
Probabilidade Condicional 
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
i i i i
P A B P A P B A P B P A B  
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B

A
1 
A
2 
A
3 
A
4 
A
5 
B 
   
   


5
1
/.
/.
)(
i
ii
ii
i
ABPAP
ABPAP
BAP
14 
Probabilidade 
 Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 
100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as 
peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças 
defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. 
Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades: 
 
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa; 
( ). ( / )
( / )
( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
P A P D A
P A D
P A P D A P B P D B P C P D C

 
1 1 1
1 600 106 10 60( / )
1 1 2 1 3 1 23 60 23 23
6 10 6 20 6 100 600
P A D    
 
15 
Considere a seguinte Distribuição Conjunta - Informação das 
duas variáveis ao mesmo tempo: 
Exemplo 
 Homem Mulher Total 
Marca A 288 
(0.24) 
36 
(0.03) 
324 
 (0.27) 
Marca B 672 
(0.56) 
204 
(0.17) 
876 
(0.73) 
Total 960 
(0.80) 
240 
(0.20) 
1200 
(1.00) 
 
16 
 Prob( H) = P(HA) + P(HB) = 0,24 + 0,56 = 0,80 
 Prob(M) = P(MA) + P(MB) = 0,03 + 0,17 = 0,20 
 Prob(A) = P(AH) + P(AM) = 0,24 + 0,03 = 0,27 
 Prob(B) = P(BH) + P(BM) = 0,56 + 0,17 = 0,73 
Distribuição Marginal – 
Informação de uma e somente uma Variável 
 Homem Mulher Total 
Marca A 288 
(0.24) 
36 
(0.03) 
324 
 (0.27) 
Marca B 672 
(0.56) 
204 
(0.17) 
876 
(0.73) 
Total 960 
(0.80) 
240 
(0.20) 
1200 
(1.00) 
 
17 
Queremos calcular probabilidades, mas restrito ao fato de ser 
homem. 
Isto é, dado que é homem, qual a probabilidade de preferir a 
Marca A? E de preferir a Marca B? 
Observe que agora o universo é 960 homens e temos 288 que 
preferem a Marca A e 672 que preferem a Marca B. 
 Prob(A|H ) = P(AH) / P(H) = 0,24 / 0,8 = 0,30 
 Prob(B|H) = P(BH) / P(H) = 0,56 / 0,8 = 0,70 
Probabilidade Condicional – 
Informação de uma e parte da outra 
18 
Observe que P(A|H)  P(A) => P(A|H) = 0,30  P(A) = 0,27 
 Homem Mulher Total 
Marca A 288 
(0.24) 
36 
(0.03) 
324 
 (0.27) 
Marca B 672 
(0.56) 
204 
(0.17) 
876 
(0.73) 
Total 960 
(0.80) 
240 
(0.20) 
1200 
(1.00) 
 
Saber que é Homem muda a probabilidade de preferência da Marca A. 
Os dois eventos Sexo e Preferência de Marca estão relacionadas  
os eventos são dependentes. 
Eventos Dependentes 
4 
19 
Se P(A|H) = P(A) controlar ou não controlar Sexo e Preferência 
de Marca daria no mesmo  as variáveis são independentes. 
Dois eventos A e B são independentes se a informação da 
ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência 
de A, ou seja: 
 P(A|B) = P(A), com P(B)>0; 
 Caso contrário são dependentes. 
Eventos Independentes 
20 
Então, 
 P(AB) = P(B) . P(A|B) 
 P(AB) = P(A) . P(B|A) 
Se eventos independentes P(AB) = P(A) . P(B) 
Aplicaçãodireta da Probabilidade Condicional: 
Se P(A|B) = P(AB) / P(B) e 
 P(B|A) = P(AB) / P(A) 
Lei Multiplicativa 
21 
Probabilidade 
 Em épocas distintas a opinião sobre uma situação foi coletada como: 
Favorável, Contra e Indeciso. A fim de comparar a mudança de opinião 
entre as épocas, fez-se a tabulação cruzada, obtendo-se a seguinte 
matriz (pessoas). 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
Calcule a probabilidade de uma pessoa: 
a) ter sido favorável na época 1; 
b) ser favorável em ambas as épocas; 
c) ser contra em qualquer época; 
d) não ter mudado de opinião entre as épocas analisadas; 
e) ser contra na época 2, tendo sido indeciso na época 1; e 
f) ser contra na época 2, não tendo sido indeciso na época 1. 
22 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
a) ser favorável na época 1 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
100 
200 
150 
120 180 150 
1
( )P F  120
450
23 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
b) ser favorável em ambas as épocas 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
1 2
( )P F F  100
450
24 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
c) ser contra em qualquer época 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
1 2
( )P C C  180 200 150 230
450 450
 

5 
25 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
d) não ter mudado de classe entre as épocas analisadas 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
100 150 100 350
450 450
 
  ))()()(( 212121 IICCFFP
26 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
e) ser contra na época 2, tendo sido indeciso na época 1 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
50
150
)/( 12 ICP
27 
Probabilidade 
É p o c a 1 
F C I 
É
p
o
c
a 
2 
F 100 0 0 
C 0 150 50 
I 20 30 100 
f) ser contra na época 2, não tendo sido indeciso na época 1 
100 
200 
150 
120 180 150 450 
0 150 150
120 180 300



 12 / ICP )/(1 12 ICP
Exemplo 
Num estudo de educação, alunos do 
primeiro e segundo graus foram 
questionados sobre atividades de sua 
preferência dentro de sala de aula. 
Grau 
Atividade 
Artística Leitura Total 
1º (B) 27 3 30 
2º (C) 5 15 20 
TOTAL 32 18 50 
Um aluno é selecionado aleatoriamente 
deste grupo: 
Qual a probabilidade de ele ser do 1º grau? 
 
 
 
Qual a probabilidade de ele preferir 
atividades artísticas? 
 
 
Se o aluno selecionado for do 1º grau, qual a 
probabilidade de ele preferir atividades 
artísticas? 
 
 
Se o aluno preferir atividades artísticas, qual 
a probabilidade de ele ser do 1º grau? 
 
 
50
30
)( BP
50
32
)( AP
32
27
)( ABP
30
27
)( BAP
29 
Visão Bayesiana 
 Probabilidade a priori - estimativa inicial da probabilidade de 
um certo evento; 
 Informação adicional - através dos dados obtém-se 
informação adicional sobre o evento; 
 Probabilidade a posteriori - dada a informação adicional 
revisamos a probabilidade a priori para obter a probabilidade 
a posteriori. 
Teorema de Bayes 
30 
 Fabricante de sorvete recebe 20% do leite da Fazenda 1, 30% 
da Fazenda 2 e 50% da Fazenda F3. 
 Fiscalização observou que 20% do leite de F1 está contaminado 
enquanto que para F2 e F3 a proporção foi de 5% e 2%. 
 O Fabricante armazena o leite em galões sem identificação da 
Fazenda. 
 Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está 
contaminado, qual a probabilidade de ter vindo de F1? 
Exemplo 
6 
31 
Escolha da Fazenda: 
 P(F1) = 0,20 
 P(F2) = 0,30 
 P(F3) = 0,50 
Probabilidade a priori 
32 
Sabendo que uma fazenda foi escolhida a probabilidade do 
leite estar contaminado - informação adicional: 
 P(C|F1) = 0,20 
 P(C|F2) = 0,05 
 P(C|F3 ) = 0,02 
Informação Adicional 
33 
Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está contaminado, 
qual a probabilidade de ter vindo de F1? 
P(F1|C ) = ? 
 Em termos de probabilidade condicional, o que estamos 
interessados? 
Temos: 
 P(F1) = 0,20 
 P(F2) = 0,30 
 P(F3) = 0,50 
Probabilidades a priori: Informações adicionais: 
 P(C|F1) = 0,20 
 P(C|F2) = 0,05 
 P(C|F3 ) = 0,02 
 Ser da F1 dado que está contaminado: 
Probabilidade a posteriori 
34 
Então, (F1|C) = P(CF1) / P(C) 
Em termos de probabilidade condicional: 
Em termos de Lei Multiplicativa: 
Então, P(CF1) = P(C) . (F1|C) e 
 P(CF1) = P(F1) . (C|F1) 
Agora fica mais fácil ver o que queremos: 
P(F1|C) = ? 
P(AB) = P(B) . P(A|B) P(AB) = P(A) . P(B|A) e 
P(A|B) = P(AB) / P(B) P(B|A) = P(AB) / P(A) e 
Probabilidade a posteriori 
Um galão é escolhido ao acaso e sabemos que está contaminado, 
qual a probabilidade de ter vindo de F1? 
)(
)1(
)|1(
CP
CFP
CFP


Probabilidade a posteriori 
  )3().3/()2().2/()1().1/(
)3().3/()3(
)2().2/()2(
)1().1/()1(
)3()2()1()(
FPFCPFPFCPFPFCPCP
FPFCPCFP
FPFCPCFP
FPFCPCFP
CFPCFPCFPCP





)3().3/()2().2/()1().1/(
)1().1/(
)/1(
FPFCPFPFCPFPFCP
FPFCP
CFP


36 
P(C|F1) = 0,20 
P(C|F2) = 0,05 
F1 P(F1) = 0,20 
F2 P(F2) = 0,30 
F3 P(F3) = 0,50 P(C|F3) = 0,02 
P(CF1) = 0,04 
P(CF2) = 0,015 
P(CF3) = 0,010 
Eventos 
Priori 
Prob. 
Condicional Conjunta Posteriori 
Prob. Prob. Prob. 
Total 1,00 
P(F1|C) = 0,04/0,065 
=0,615 
P(C) = 0,065 
P(F2|C) = 0,015/0,065 
=0,231 
P(F3|C) = 0,010/0,065 
=0,154 
1,00 
Tabela Resumo 
7 
37 
n i
FiPFiCP
FiPFiCP
CFiP
n
i
,...,1
)()|(
)()|(
)|(
1



pa ra 
Visão Clássica 
Dizemos que os eventos F1, F2, ..., Fn formam uma partição de 
Ω se: 
(i) Os eventos são disjuntos; 
(ii) União dos eventos é Ω. 
Teorema de Bayes: Suponha que os eventos F1, F2,..., Fn 
formem uma partição de Ω. Suponha ainda que para um 
evento C se conheçam as probabilidades P(C|Fi) para i = 1, ..., 
n. Então para qualquer i temos: