prova calculo 1 terceiro estagio resolvida

Prévia do material em texto

Calcule o limite:
Esboce o Gráfico da função:	
Prove que na função , apenas uma única vez no intervalo de .
	
Qual o ponto mais distante do ponto (1,0) sob a curva 
Calcule as integrais:
Calcule a área delimitada pelas retas e a função 
Prova realizada no dia 04/09/14
Solução:
1)
Portanto, o limite é .
2)
Analisando a primeira derivada
Uma vez que e^u nunca é 0. A parte exponencial é sempre positiva, logo quem ditará o sinal de f’ é -2x.
F’ é negativa em e positiva em , logo, cresce no primeiro intervalo e decresce no segundo, fica evidente que o ponto (0,1) é ponto de máximo absoluto. 
Assíntotas
Portanto a reta y=0 é assíntota horizontal 
Analisando a segunda derivada
Concluímos que as retas interceptam a função em seus pontos de inflexão.
Analisando o sinal de , obtemos que a concavidade da função é voltada para baixo no intervalo e voltada para cima nos demais pontos da função.
Gráfico:
3) 
Na transição de um ponto positivo de y para um negativo, a função continua, necessariamente, passa pelo 0. Para que f(x) seja zero mais de uma vez no intervalo dado, é necessário que a f’(x) seja zero mais de uma vez também (para q a função oscile, ela para de decrescer – f’=0 – e começa a crescer). Como f’(x) é 0 somente em –a e a, essa função passa pelo 0 uma única vez no intervalo dado.
a
-a
4)
Graficamente, torna-se evidente que o ponto mais distante: Provaremos pela teoria do calculo:
Seja a função distância: , Sabemos que x0=1 e y0=0,
Logo , ora, restrito à temos que
Basta agora analisar que x maximizam a função s. O jeito mais fácil é analisar a parte dentro da raiz, o que acarreta em 
Substituindo x = 0 na curva dada, obtém , portanto os pontos mais distantes de (1,0) é o ponto (0,-2) e o ponto (0,2).
5)
No triângulo de referência coloque como hipotenusa e use a substituição trigonométrica: 
Calculada a integral em , volte para a variável x com a substituição: 
Vide tabela de Integrais do produto de potencia de senos e cosseno.
6) Calcule a área delimitada pelas retas e a função 
Como não existe área negativa temos que a área é: 
Sendo a primeira parte abaixo de y = 0 e a segunda parte acima. O resto é substituição besta.