Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Cálculo e Geometria Anaĺıtica II - 2020 Lista 2 - Derivadas Parciais Funções de várias variáveis Nos itens de 1 a 4 esboce o domı́nio de f . Utilize linhas sólidas para as porções da fronteira que estão inclúıdas no domı́nio e linhas tracejadas para porções que não estão inclúıdas. 1. f(x, y) = f(x, y) = √ x2 + y2 − 4 2. f(x, y) = 1x−y2 3. f(x, y) = lnxy 4. f(x, y) = lnx+ ln y Nos itens de 5 a 10 esboce a curva de ńıvel z = k com os valores especificados de k. 5. z = x+ y; k = −2,−1, 0, 1, 2 6. z = x2 + y2; k = 0, 1, 2, 3, 4 7. z = y/x; k = −2,−1, 0, 1, 2 8. z = x2 + y; k = −2,−1, 0, 1, 2 9. z = x2 + 9y2; k = 0, 1, 2, 3, 4 10. z = x2 − y2; k = −2,−1, 0, 1, 2 Derivadas parciais 11. Seja f(x, y) = 3x3y2. Determine (a) fx(x, y) (b) fy(x, y) (c) fx(1, y) (d) fx(x, 1) (e) fx(1, 2) (f) fy(1, 2) 12. Seja f(x, y, z) = yez sen(xz). Determine ∂f∂x , ∂f ∂y e ∂f ∂z . 13. Calcule as derivadas parciais indicadas: (a) f(x, y) = cos(xy2 − 3x3 − y), fx(x, y), fy(x, y) (b) f(x, y) = x−yx2−y , fx(x, y), fy(x, y) (c) f(x, y, z) = y ln(xz), fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z) (d) f(x, y, z) = √ x2 + 2y2 + 3z2, fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z) 14. Considere uma pirâmide de base retangular, sabendo que o volume da pirâmide é V = Ab×h3 , onde Ab é a área da base e h é a altura da pirâmide. Sejam a o comprimento e b a largura da base da pirâmide. (a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a a se a variar e b e h permanecerem constantes. (b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a h se h variar e a e b permanecerem constantes. (c) Suponha que b = 5 cm e h = 4 cm mas que a varie. Determine a taxa de variação de V em relação a a no ponto onde a = 6 cm. (d) Suponha que a = 6 cm e b = 7 cm mas que h varie. Determine a taxa de variação de V em relação a h no ponto onde h = 10 cm. 1 Derivadas direcionais, gradientes, regra da cadeia 15. Seja f(x, y) = x2 − y. (a) Esboce a curva de ńıvel de f que passa pelo ponto P = (1, 2). (b) Encontre o vetor unitário u = 〈u1, u2〉 na direção do qual a função f cresce mais rapidamente no ponto P . Esboce esse vetor, com extremidade inicial em P , no mesmo desenho do item (a). 16. Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = x2 + y2 + z em P = (2, 1, 0) no sentido e direção do vetor u = 〈 13 , 2 3 , 2 3 〉. 17. Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). Suponha que y = x2 é uma curva de ńıvel da função f(x, y), que possui derivadas parciais bem definidas em (0, 0). Então: ( ) ∂f∂x (0, 0) = 0 ( ) ∂f∂x (0, 0) = 1 ( ) ∂f∂x (0, 0) = −1 ( ) ∂f∂y (0, 0) = 0 ( ) ∂f∂y (0, 0) = 1 ( ) nada se pode concluir 18. Encontre a equação do plano tangente à superf́ıcie z2 = 3x2 + y3 no ponto P = (1, 1, 2). 19. Considere a superf́ıcie 2x2 +y2 +z2 = 9. Encontre uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto P = (2,−1, 0). 20. Seja a e b dois lados de um triângulo que formam um ângulo θ. Suponha que a e b e θ variem com o tempo de tal forma que a área do triângulo permaneça constante. Em um certo instante, temos a = 5 cm, b = 4 cm, e θ = π/6 radianos, e a e b aumentam a uma taxa de 3 cm/s. Calcule a taxa de variação de θ em relação ao tempo nesse instante. Máximos e mı́nimos de funções de várias variáveis 21. Encontre e classifique todos os pontos cŕıticos da função f(x, y) = xy − 13x 3 − 12y 2 + 3. 22. Encontre e classifique o(s) ponto(s) cŕıtico(s) da função f(x, y) = x2 + xy − 2x− 2y + 1. 23. Se uma função cont́ınua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exerćıcio mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis. (a) Mostre que f(x, y) = 3xey − x3 − e3y tem apenas um único ponto cŕıtico e que nele ocorre um máximo relativo. (b) Mostre que f não tem máximo absoluto. (c) Use um recurso computacional para esboçar o gráfico z = f(x, y). 24. Considere a função f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy no quadrado unitário 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (a) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f em cada aresta do quadrado (b) Encontre os valores máximo e mı́nimo de f no quadrado inteiro 2 Figura 1: Essa figura é relativa ao Exerćıcio ??. Retângulo inscrito em elipse. Clique aqui para ver uma figura dinâmica. Multiplicadores de Lagrange 25. Entre o ponto do plano x+ 2y + z = 1 que está mais próximo da origem. 26. Qual é o maior valor posśıvel para a soma das coordenadas de um ponto pertencente ao elipsoide de equação (x− 2)2 + 2(y − 1)2 + (z − 2)2 = 40. 27. Encontre as dimensões do retângulo de área máxima que pode se inscrito na elipse x 2 a2 + y2 b2 = 1. 28. Encontre o ponto da esfera (x−2)2 +(y−2)2 +(z−2)2 = 27 que está mais afastado da origem (0, 0, 0). 29. Encontre o maio valor posśıvel para a função f(x, y) = 4x3 + y2, quando restrita aos pontos (x, y) que satisfazem 2x2 + y2 = 1. 3 https://www.geogebra.org/m/qarshsdv Soluções 1. . 2. . 3. . 4. . 4 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . (a) fx(x, y) = 9x 2y2 (b) fy(x, y) = 6x 3y (c) fx(1, y) = 9y 2 (d) fx(x, 1) = 9x 2 (e) fx(1, 2) = 36 (f) fy(1, 2) = 12 12. f(x, y, z) = yez sen(xz) ∂f ∂x (x, y, z) = yzez cos(xz) ∂f ∂y (x, y, z) = ez sen(xz) ∂f ∂z (x, y, z) = yez sen(xz) + xyez cos(xz) 13. (a) fx(x, y) = −sen(xy2 − 3x3 − y)(y2 − 9x2), fy(x, y) = −sen(xy2 − 3x3 − y)(2xy − 1) (b) fx(x, y) = −x2+2xy−y (x2−y)2 , fy(x, y) = −x2+x (x2−y)2 5 (c) fx(x, y, z) = y x , fy(x, y, z) = ln(xz), fz(x, y, z) = y z (d) fx(x, y, z) = x√ x2+2y2+3z2 , fy(x, y, z) = 2y√ x2+2y2+3z2 , fz(x, y, z) = 3z√ x2+2y2+3z2 14. V (a, b, h) = abh3 (a) ∂V/∂a = bh 3 (b) ∂V/∂h = ab 3 (c) 20 3 (d) 14 15. (a) f(1, 2) = −1, portanto a curva de ńıvel pelo ponto P tem equação x2 − y = −1, que equivale a y = x2 + 1. (b) Sabemos que a função cresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor gradiente. ∇f(x, y) = 〈2x,−1〉, ∇f(1, 2) = 〈2,−1〉, ‖∇f(1, 2)‖ = √ 5. Portanto, u = 〈 2√ 5 , −1√ 5 〉. 16. ∇f(P ) · u = 103 17. O vetor ∇f(0, 0) = 〈∂f∂x (0, 0), ∂f ∂y (0, 0)〉 é ortogonal à curva y = x 2 no ponto (0, 0). Como essa curva é horizontal em (0, 0), o vetor ∇f(0, 0) deve ser vertical nesse ponto, e portanto ∂f∂x (0, 0) = 0. Nada se pode concluir sobre ∂f∂y (0, 0). Portanto, só a primeira opção está correta. 18. Seja f(x, y, z) = 3x2 + y3 − z2. Então ∇f(x, y, z) = 〈6x, 3y2,−2z〉. O vetor ∇f(1, 1, 2) = 〈6, 3,−4〉 é ortogonal à superf́ıcie de ńıvel de f que passa pelo ponto (1, 1, 2). Portanto, uma equação para o plano tangente é 6(x− 1) + 3(y − 1)− 4(z − 2) = 0. 19. 8(x− 2)− 2(y + 1) = 0 20. A área do triângulo é dada em função de a, b e θ pela fórmula A = 1 2 ab sen θ. Pela regra da cadeia temos que dA dt = ∂A ∂a da dt + ∂A ∂b db dt + ∂A ∂θ dθ dt . Como a área permanece contante temos que dAdt = 0, e então ∂A ∂a da dt + ∂A ∂b db dt + ∂A ∂θ dθ dt = 0. 6 Agora usando que ∂A ∂a = 1 2 b sen θ, ∂A ∂b = 1 2 a sen θ, ∂A ∂θ = 1 2 ab cos θ, obtemos 1 2 b sen θ da dt + 1 2 a sen θ db dt + 1 2 ab cos θ dθ dt = 0, donde segue que dθ dt = − ( b sen θ dadt + a sen θ db dt ) ab cos θ . Substituindo a = 5 cm, b = 4 cm, θ = π/6 rad, dadt = 3 cm/s e db dt = 3 cm/s, obtemos dθ dt = −27 √ 3 60 rad/s ≈ −0, 77942 rad/s. 21. Localização dos pontos cŕıticos: Temos que fx(x, y) = y−x2 e fy(x, y) = x−y. Portanto, os pontos cŕıticos (x, y) são as soluções do sistema{ y − x2 = 0 x− y = 0 . As soluções desse sistema são os pares (0, 0) e (1, 1). Classificação dos pontos cŕıticos: Para classificar esses pontos cŕıticos usaremos o teste da 2a derivada, que leva em conta a função D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y). Note que fxx(x, y) = −2x, fxy(x, y) = 1 e fyy(x, y) = −1. Portanto D(x, y) = 2x− 1. O teste da 2a derivada justifica as seguintes conclusões: D(0, 0) = −1 < 0, portanto (0, 0) éum ponto de sela. D(1, 1) = 1 > 0 e fxx(1, 1) = −2 < 0, portanto (1, 1) é um ponto de máximo local. Figura 2: Gráfico da função f(x, y) = xy − 13x 3 − 12y 2 + 3, produzido no GeoGebra 3D 22. O único ponto cŕıtico é o ponto (2,−2) que é sela. 7 https://www.geogebra.org/3d/cnbpxqnp 23. (a) f(x, y) = 3xey − x3 − e3y. Então fx = 3ey − 3x2 e fy = 3xey − 3e3y. Os pontos cŕıticos são soluções do sistema { 3ey − 3x2 = 0 3xey − 3e3y = 0 ⇐⇒ { ey − x2 = 0 x− e2y = 0 A última equação diz que x = e2y. Substituindo x por e2y na equação ey − x2 = 0 obtemos ey − e4y = 0⇒ ey = e4y. Como a função exponencial é injetiva, obtemos y = 4y, donde segue que y = 0, e consequentemente x = 1. Portanto, o único ponto cŕıtico é o ponto (1, 0). Para classificar esse ponto podemos usar o teste da segunda derivada, que leva em conta a função D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− f2xy(x, y). Note que fxx = −6x, fyy = 3xey − 9e3y e fxy = 3ey. Portanto, D(1, 0) = 27 > 0. Como fxx(1, 0) = −6 < 0, o teste da segunda derivada conclui que (1, 0) é um ponto de máximo local. (b) Para ver que f não tem máximo absoluto observe, por exemplo, que limx→−∞ f(x, 0) = limx→−∞(3x − x3 − 1) = +∞. Isso significa que f(x, y) toma valores arbitrariamente grandes e, portanto, a função não possui um máximo absoluto. (c) Figura 3: Gráfico da função f(x, y) = 3xey − x3 − e3y, produzido no GeoGebra 3D. Clique aqui para visualizar o gráfico no seu navegador. 24. . (a) f(x, y) = 4x2 − 3y2 + 2xy • No lado `1: 0 ≤ x ≤ 1, y = 0. f(x, 0) = 4x2 tem valor máximo quando x = 1 e valor mı́nimo quando x = 0. Temos que f(1, 0) = 4 e f(0, 0) = 0. • No lado `2: x = 1, 0 ≤ y ≤ 1. f(1, y) = 4−3y2+2y tem valor máximo quando y = 13 e valor mı́nimo quando y = 1. Temos que f(1, 13 ) = 13 3 e f(1, 1) = 3. • No lado `3: 0 ≤ x ≤ 1, y = 1. f(x, 1) = 4x2−3+2x tem valor máximo quando x = 1 e valor mı́nimo quando x = 0. Temos que f(1, 1) = 3 e f(0, 1) = −3. • No lado `4: x = 0, 0 ≤ y ≤ 1. f(0, y) = −3y2 tem valor máximo quando y = 0 e valor mı́nimo quando y = 1. 8 https://www.geogebra.org/m/mfnrwtnc (b) f não possui pontos cŕıticos no interior do quadrado. O único ponto cŕıtico de f é o ponto (0, 0), que é um ponto de sela que está no bordo do quadrado. Portanto, no quadrado inteiro o valor máximo é f(1, 13 ) = 13 3 ≈ 4, 333 e o valor mı́nimo é f(0, 1) = −3. 25. Vamos minimizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que g(x, y, z) = x+2y+z = 1. O método dos multiplicadores da Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 2x = λ 2y = 2λ 2z = λ x+ 2y + z = 1 Das três primeiras equações conclúımos que y = 2x e z = x. Substituindo isso na última equação obtemos x = 16 . Assim, o ponto procurado é o ponto ( 1 6 , 2 6 , 1 6 ). Outra maneira de resolver o problema é considerar a reta ` que passa pela origem e é ortogonal ao plano. Como n = 〈1, 2, 1〉 é vetor ortogonal ao plano, temos que a reta ` pode ser expressa parametricamente por ` : x = t y = 2t z = t ; t ∈ R. A interseção dessa reta com o plano ocorre no ponto correspondente ao valor de t para o qual t + 2(2t) + t = 1, donde obtemos t = 16 . Assim, de uma maneira alternativa, obtemos novamente o ponto ( 16 , 2 6 , 1 6 ). 26. A maior soma posśıvel é 15, a qual ocorre no ponto (6, 3, 6). 27. É posśıvel mostrar que os posśıveis retângulos inscritos na elipse devem ter os lados para- lelos aos eixos. Vamos assumir isso sem demonstrar rigorosamente. Vamos expressar a área do retângulo em termos das coordenadas do vértice (x, y) que está no primeiro quadrante. Nesse caso os comprimentos dos lados são 2x e 2y e portanto a área é A(x, y) = 4xy. Queremos maximizar a função A(x, y) = 4xy sob a restrição g(x, y) = x 2 a2 + y2 b2 = 1. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇A(x, y) = λ∇g(x, y) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 4y = 2xa2 λ 4x = 2yb2 λ x2 a2 + y2 b2 = 1 Isolando λ nas duas primeiras equações obtemos 4a 2y 2x = 4b2x 2y ⇔ a 2y2 = b2x2. Disso segue que x2 = a 2 b2 y 2. Substituindo isso na equação da elipse obtemos y 2 b2 + y2 b2 = 1. Donde segue que y2 = b2/2, e então x2 = a2/2. Portanto, o vértice no primeiro quadrante que gera o retângulo de maior área é o ponto ( a√ 2 , b√ 2 ) . Logo as dimensões do retângulo de maior área são a √ 2 e b √ 2 e a área máxima é 2ab. 28. Vamos maximizar a função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 com a restrição de que g(x, y, z) = (x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27. O método dos multiplicadores de Lagrange diz que os extremos ocorrem em pontos que satisfazem ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) para algum λ. Obtemos assim, o sistema 2x = λ2(x− 2) 2y = λ2(y − 2) 2z = λ2(z − 2) (x− 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27 9 Note que x 6= 2, pois x = 2 iria contradizer a primeira equação. Analogamente, y 6= 2 e z 6= 2. Portanto, isolando λ nas três primeiras equações obtemos λ = x x− 2 = y y − 2 = z z − 2 Dessas igualdades segue que x = y = z. Da última equação segue então que 3(x− 2)2 = 27. Logo (x − 2) = ±3 e portanto x = 5 ou x = −1. Obtemos assim os pontos (−1,−1,−1) e (5, 5, 5). O ponto (−1,−1,−1) é o ponto da esfera que está mais próximo da origem. O ponto (5, 5, 5) é o ponto da esfera que está mais distante da origem. Outra maneira de resolver o problema, sem usar cálculo, seria observar que os pontos mais próximos e mais distantes da origem se encontram na interseção entre a esfera e a reta que liga a origem ao centro da esfera. Figura 4: Visualização da esfera de equação (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 27 sendo perfurada pela reta que passa pela origem e pelo centro da esfera 29. O valor máximo é √ 2, e esse valor ocorre no ponto (1/ √ 2, 0). 10
Compartilhar