TC (EGP) Aula 3 Condução

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Introdução à condução 
Transferência de Calor
Engenharia de Produção
Prof. Me. Valter Luís Zuliani Stroppa
A equação da taxa da condução
• Bastão em regime estacionário com isolamento na lateral:
�� = �. �.
Δ�
Δ	
• k – condutividade térmica – propriedade do material
• Fluxo de calor:
��´´ =
��
�
= −�.
��
�	
• Lei de Fourier;
• Fluxo térmico é uma grandeza direcional – normal à seção transversal em uma 
superfície isotérmica.
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A equação da taxa da condução
• Fluxo térmico é uma grandeza vetorial:
�´´ = −�. 
� = −�. �⃗.
��
�	
+ �⃗.
��
��
+ �.
��
��
• 
 é operador “grad” e T=T(x,y,z) é o campo escalar de temperatura;
• Fluxo térmico é um vetor perpendicular à temperatura.
�´´ = −�.
��
�	
. �⃗ − �.
��
��
. � − �.
��
��
. �
• � – versor na direção de z; k – condutividade térmica.
�´´ = ��´´. �⃗ + ��´´. � + ��´´. �
16/06/2018 Concietos fundamentais em Transferência de Calor 3��´´ = −�.
��
�	
��´´ = −�.
��
��
��´´ = −�.
��
��
Essa relação é 
válida para 
materiais 
isotrópicos – k não 
depende da 
direção.
Propriedades térmicas da matéria –
condutividade térmica
�� = −
��´´
�� �	⁄
• Materiais isotrópicos: kx=ky=kz=k;
• Em geral: ksólido>klíquido>kgás:
• Diferença no espaçamento intermolecular.
• k Depende da temperatura
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Propriedades térmicas da matéria –
condutividade térmica
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A equação da difusão térmica
• TC – objetivos: determinar o campo 
de temperaturas e com isso 
determinar a taxa de transferência 
de calor;
• Considerando o volume de controle 
diferencial:
• Meio homogêneo;
• Sem movimento macroscópico 
(advecção);
• Coordenadas cartesianas T(x,y,z);
• Volume: dx.dy.dz
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A equação da difusão térmica
• Considerando que o elemento 
infinitesimal de volume tenha 
dimensões pequenas o suficiente 
para:
����� = �� +
���
�	
. �	
����� = �� +
���
��
. ��
����� = �� +
���
��
. ��
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A equação da difusão térmica
• Considerando um termo de geração 
de energia dentro desse volume 
infinitesimal:
��� = �� . �	. ��. ��
• �� taxa de geração de energia por 
unidade de volume.
• Termo de acúmulo de energia:
���� ! = ". #$.
��
�%
. �	. ��. ��
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A equação da difusão térmica
• Em suma:
����� = �� +
���
�	
. �	
����� = �� +
���
��
. ��
����� = �� +
���
��
. ��
��� = �� . �	. ��. ��
���� ! = ". #$.
��
�%
. �	. ��. ��
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COMO FICA UM BALANÇO DE ENERGIA?
��&'( − ��)�* + ��� = ���� !
COMO FICA UM BALANÇO DE ENERGIA?
��&'( − ��)�* + ��� = ���� !
A equação da difusão térmica
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• Assim:
−
���
�	
. �	 −
���
��
. �� −
���
��
. �� + �� . �	. ��. �� = ". #$.
��
�%
. �	. ��. ��
• Taxas de transferência de calor por condução em um material isotrópico:
�� = −�. ��. ��.
��
�	
→
���
�	
= −��. ��.
�
�	
�.
��
�	
�� = −�. �	. ��.
��
��
→
���
��
= −�	. ��.
�
��
�.
��
��
�� = −�. �	. ��.
��
��
→
���
��
= −�	. ��.
�
��
�.
��
��
SUBSTITUA!!!
A equação da difusão térmica
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• Assim:
−
���
�	
. �	 −
���
��
. �� −
���
��
. �� + �� . �	. ��. �� = ". #$.
��
�%
. �	. ��. ��
• Substituindo :
�
�	
�.
��
�	
+
�
��
�.
��
��
+
�
��
�.
��
��
+ �� = ". #$.
��
�%
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO TÉRMICA – EQUAÇÃO DO CALOR
A equação da difusão térmica
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�
�	
�.
��
�	
+
�
��
�.
��
��
+
�
��
�.
��
��
+ �� = ". #$.
��
�%
• Por meio da equação do calor – determinação da distribuição de temperaturas 
em função do tempo.
•
,
,�
�.
,-
,�
. �	 – fluxo líquido de calor para o interior do volume de controle: ��´´ − �����´´
• “em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução para o 
interior de um volume unitário somada a taxa volumétrica de geração de energia térmica 
tem que ser igual à taxa de à taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste 
volume.”
• Se a condutividade térmica k é constante:
�.�
�	.
+
�.�
��.
+
�.�
��.
+
��
�
=
1
0
.
��
�%
• 0 =
1
2.�3
– difusividade térmica
A equação da difusão térmica
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�.�
�	.
+
�.�
��.
+
�.�
��.
+
��
�
=
1
0
.
��
�%
• Como ficaria o perfil de temperaturas de uma parede plana que 
recebe calor distribuído em toda sua superfície (fluxo de calor 
unidimensional) em regime estacionário e sem geração de energia?
�.�
�	.
= 0 → � 	 = 56. 	 + 5.
• E se houvesse geração de calor no interior dessa parede em RP?
�.�
�	.
+
��
�
= 0 → � 	 =
��
�
. 	. + 56. 	 + 5.
A equação da difusão térmica
�.�
�	.
+
�.�
��.
+
�.�
��.
+
��
�
=
1
0
.
��
�%
• Exercício: a distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com 
espessura de 1 m, em determinado instante de tempo é dada por:
� 	 = 7 + 8. 	 + #. 	.
Na qual T está em °C e x em metros, enquanto a=900 °C, b=-300 °C/m e c=-50 °C/m². 
Uma geração de calor uniforme, ��=1000 W/m³, está presente na parede, cuja área é 
de 10 m². O material apresenta as seguintes propriedades: =1600 kg/m³; k=40 
W/(m.K) e cp=4 kJ/(kg.K).
• Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x=0) e que deixa a 
parede (x=1 m).
• Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede.
• Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x=0, 
x=0,25 e x=0,5 m.
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Condições de contorno e inicial
• Solução da equação do 
calor – necessário 
conhecer as condições de 
contorno e inicial.
• 2 de contorno (EDP de 
segunda ordem em relação 
a posição);
• 1 inicial (EDP de primeira 
ordem com relação ao 
tempo).
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�.�
�	.
+
�.�
��.
+
�.�
��.
+
��
�
=
1
0
.
��
�%
Dúvidas?
• Antes recado:
• Enviarei 1ª lista de exercícios nessa semana.
• Dúvidas? Não me mande e-mail. Escreva para agendar um horário.
valter.stroppa@unimep.br
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