Apostila Pedrazzi cap.9 previsão de enchentes métodos estatísticos

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Previsão de Enchentes: Métodos Estatísticos
PREVISÃO DE ENCHENTES: MÉTODOS ESTATÍSTICOS
9.1 Introdução
As enchentes são aumentos anormais do escoamento superficial, decorrente do excesso de chuva, que pode resultar em inundação ou não.
A inundação é o extravasamento d’água do canal natural de um rio, que provoca possivelmente prejuízos.
O cálculo de enchente objetiva fornecer a máxima vazão de projeto e, se possível, o hidrograma de projeto, que mostra a variação das vazões no tempo. A vazão de projeto pode ser obtida através da extrapolação dos dados históricos para condições mais críticas com a aplicação de estatística aos dados de vazões máximas observadas.
A vazão de projeto está sempre associada ao período de retorno.
9.2 Conceito de período de retorno e risco permissível
O período de retorno ou tempo de recorrência (T) é o tempo médio em anos que um evento é igualado os superado pelo menos uma vez.
Existe a seguinte relação entre o período de retorno e probabilidade de ocorrência (P): T = 1/P.
Ex: Se uma cheia é igualada ou excedida em média a cada 20 anos terá um período de retorno T = 20 anos. Em outras palavras, diz-se que esta cheia tem 5% de probabilidade de ser igualada ou excedida em qualquer ano.
9.3 Fixação do período de retorno
A fixação do período de retorno para uma obra hidráulica depende de:
vida útil da obra;
tipo de estrutura;
facilidade de reparação e ampliação;
perigo de perda de vida.
Ex: - Barragem de terra ( T = 1000 anos;
 - Barragem de concreto ( T = 500 anos;
 - Galeria de águas pluviais ( T = 5 a 20 anos;
 - Pequena barragem de concreto para fins de abastecimento de água ( T = 5 a 100 
 anos;
Outro critério para a escolha de T é a fixação, a priori, do risco que se deseja correr, no caso de a obra falhar dentro do seu tempo de vida.
O risco de a obra falhar uma ou mais vezes ao longo da sua vida útil pode ser deduzido dos conceitos fundamentais da teoria da probabilidade e é igual a:
 (9.1)
onde T é o período de retorno em anos, n é a vida útil da obra em anos e R é o risco permissível.
Ex: o risco de que a canalização do rio Tamanduateí falhe uma ou mais vezes considerando que o projeto foi efetuado para T = 500 anos e sua vida útil é de 50 anos, será:
9.4 Estatística aplicada à Hidrologia
9.4.1 Considerações gerais:
As séries de variáveis hidrológicas como precipitações, vazões, etc. apresentam variações sazonais ao longo tempo (variações irregulares). Portanto, essas variáveis estarão sempre associadas a uma probabilidade de ocorrência. Em conseqüência disso, as obras hidráulicas devem ser dimensionadas para um determinado “risco” de falha.
9.4.2 Estatística
O objetivo da estatística é o de extrair informações significativas de uma dada massa de dados. As técnicas utilizadas em estatísticas aplicadas à Hidrologia permitem avaliar a probabilidade de ocorrência de um fenômeno hidrológico com determinada magnitude.
9.4.3 Sumário estatístico: média e desvio padrão
Média
É um valor típico ou representativo de um conjunto de dados. Estes valores típicos tendem a se localizar em um ponto central, dentro de um conjunto de dados ordenados. A média é definida por:
 (9.2)
onde Xi = valor do evento i ;
 n = número total de eventos.
Desvio padrão
É uma forma de medir o grau de dispersão em relação à média, para cada massa de dados. O desvio padrão é dado por:
 ou 
 (9.3)
Esses sumários estatísticos são utilizados na estimação dos parâmetros das Distribuições de Probabilidades, que são empregadas para o ajuste dos histogramas amostrais.
Em Hidrologia as Distribuições de Probabilidades são escolhidas em função do tipo de amostra que se dispõe, isto é, chuvas intensas, vazões máximas, vazões mínimas, etc.
Distribuições de probabilidades
Apresentam-se aqui, as distribuições de probabilidades mais utilizadas em Hidrologia:
Distribuição Normal - não é muito utilizada para o estudo de vazões (ou chuvas) máximas e mínimas. É mais empregada para o cálculo de vazões médias mensais e precipitação total anual.
Distribuição Log-normal - é bastante utilizada para o cálculo de vazões máximas e mínimas e chuvas máximas.
Distribuição Log-Pearson Tipo III - utilizada para o cálculo de vazões e chuvas máximas.
Distribuição de Gumbel - utilizada também para o cálculo de vazões e chuvas máximas.
9.5.1 Distribuição Normal
A distribuição Normal ou Curva de Gauss é uma das mais utilizadas pelos estatísticos, principalmente pela facilidade de seu emprego. A Função Densidade de Probabilidade (FDP) teórica é dada por:
 (9.4)
onde:
 - média; S = desvio padrão; ( = 3,14159...; e = 2,71828
Em problemas de estatística é usual o emprego da chamada Função Acumulada de Probabilidade (FAP) ou seja a integral da expressão f x(X).
 (9.5)
Definindo a variável reduzida 
, tem-se a distribuição normal padrão, denotado por N(0,1) e com Função Densidade de Probabilidade expressa por:
 (9.6)
sendo 
 e Sz = 1.
A Figura 9.1 mostra a Função densidade de Probabilidade f(X) e Função Acumulada de Probalidade F(X) da distribuição normal padrão. A Tabela 9.1 apresenta os valores de F(X) correspondentes a 
, 
 e 
.
Tabela 9.1 – Valores da distribuição normal.
	Z
	X
	FX(X)
	-3
-2
-1
0
1
2
3
	
	0,0013
0,0228
0,1587
0,5000
0,8413
0,9772
0,9987
 
 Figura 9.1 Distribuição normal padrão, N(0,1).
 O valor de F(X) corresponde à área total limitada pela curva f(X) e pelo eixo dos X, sendo a área total igual a 1. 
As seguintes propriedades são válidas para a distribuição normal:
F(X) ( 0 quando X ( ( (;
fx(X) é máximo quando X =
 e a área sob essa curva ou valor ou F(X) é igual a 0,5;
A distribuição é simétrica em relação à média (tem a forma de um sino);
O coeficiente de assimetria é igual a 0.
Fórmula geral de Ven Te Chow
Uma forma muito simples de aplicar a Distribuição Normal e outras Distrubuições é através da fórmula geral proposta por Ven Te Chow.
Nesta fórmula a variável de interesse (vazão, chuva, etc.) é expressa em função da média, do desvio padrão e do fator de freqüência KT, conforme mostrado abaixo:
 (9.7)
onde
XT - variável de interesse (vazão, chuva, etc.) para o período de retorno T;
 - média amostral;
 - desvio padrão amostral;
 - fator de freqüência, tabelado conforme a Distribuição de Probabilidades em função do período de retorno T. 
No caso da Distribuição Normal, o fator de freqüência KT é a própria variável reduzida z. Os valores de KT , que variam em função do período de retorno, estão apresentados na Tabela 9.2 da página seguinte.
Tabela 9.2 – Valores de KT para Distribuição Normal.
	Probabilidade de exceder
	TR (anos)
	KT
	Probabilidade de exceder
	TR (anos)
	KT
	0,0001
0,0005
0,001
0,002
0,005
0,010
0,020
0,025
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
	10000
2000
1000
500
200
100
50
40
20
10
6,667
5
4
3,333
2,857
2,5
2,222
2
	3,719
3,291
3,090
2,878
2,576
2,326
2,054
1,960
1,645
1,282
1,036
0,842
0,674
0,524
0,385
0,253
0,126
0,000
	0,500
0,550
0,600
0,650
0,700
0,750
0,800
0,850
0,9000,950
0,975
0,990
0,995
0,999
0,9995
0,9999
	2
1,818
1,667
1,538
1,428
1,333
1,25
1,176
1,111
1,052
1,025
1,01
1,005
1,001
1,0005
1,0001
	0,000
-0,126
-0,253
-0,385
-0,524
-0,674
-0,842
-1,036
-1,282
-1,645
-1,960
-2,326
-2,576
-3,090
-3,291
-3,719
Exemplo de aplicação
Conhecendo-se a série histórica da precipitação anual do posto pluviométrico Riolândia (prefixo C6-78), estimar, para definições de estudo de planejamento regional, os totais anuais de chuva máximos para os períodos de retorno de 50, 100, 200 e 1.000 anos.
Solução:
Média: 
Desvio padrão: 
Utilizando a equação de Ven Te Chow: 
 
A partir da Tabela 1 são extraídos os valores de KT para os quatro períodos de retorno:
K50 = 2,054 ;		K100 = 2,326 ;	K200 = 2,576 ;	K1000 = 3,090
Q50 = 1156,5 + 2,054 x 225,6 = 1619,9 mm
Q100 = 1156,5 + 2,326 x 225,6 = 1681,2 mm
Q200 = 1156,5 + 2,576 x 225,6 = 1737,6 mm
Q1000 = 1156,5 + 3,090 x 225,6 = 1853,6 mm
9.5.2 Distribuição Log-Normal
Nem todos os eventos hidrológicos obedecem à Distrubuição Normal. Alguns deles se ajustam segundo uma distribuição denominada Log-Normal. As vazões máximas e mínimas anuais de um curso de água natural atendem normalmente à esta distribuição.
Diz-se que uma amostra obedece à Distribuição Log-Normal quando os logaritmos de seus valores obedecem à Distribuição Normal.
( Procedimento de cálculo
Dada a série de valores (Xi), calcula-se os respectivos logaritmos. Desta forma, tem-se Yi = log Xi;
Determina-se a média(
) e desvio padrão (SY) e aplica-se a Distribuição Normal aos valores de Y;
Aplica-se a equação de Ven Te Chow e determina-se o valor de YT para o período de retorno desejado; Obtém-se o valor XT calculando o antilogaritmo de YT , ou seja, 
.
Exemplo de aplicação da Distribuição Log-Normal
Visando a canalização de um curso d’água, determine as vazões de projeto, para os períodos de retorno de 50 e 1000 anos, a partir da série de dados de vazões máximas anuais apresentada no quadro ao aldo (o ideal seria que a série histórica fosse superior a 25 anos de dados).
Solução:
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
SY = 0,0376
A partir da Tabela 1, podem-se extrair os valores de KT:
Para Tr = 50 ( KT = 2,054
Para Tr = 1000 anos KT = 3,090
Utilizando a fórmula geral de Vem Te Chow para Y, tem-se:
 
Substituindo os valores de 
, KT e SY, tem-se: 
Y50 = 2,4857 + 2,054 x 0,0376 = 2,5629
Y1000 = 2,4857 + 3,090 x 0,0376 = 2,6019
Finalmente, calculando o antilogaritmo de Y50 e Y1000 :
Para Tr = 50 anos ( Qmáx = 102,5629 ( 365,5 m3/s
Para Tr = 1000 anos ( Qmáx = 102,6019 ( 399,9 m3/s
9.5.3 Distribuição Log Pearson Tipo III
Nesta distribuição, a vazão (ou chuva) máxima é calculada da mesma forma que a distribuição Log-Normal. A única diferença está na determinação do fator de freqüência KT, pois na distribuição Log-Pearson III leva-se também em consideração o coeficiente de assimetria. Utilizando esta distribuição, a vazão máxima pode ser calculada da seguinte forma:
 (9.8)
Os seguintes símbolos são usados no método de log-Pearson Tipo III:
XT - vazão (ou chuva) calculada para um determinado período de retorno T;
Xi - valor numérico de vazão (ou chuva);
Yi - logaritmo de Xi;
n - número de eventos hidrológicos considerados;
 - média de Yi ;
SY - desvio padrão de Yi ;
di = Yi - 
 (desvio entre Yi e a média);
g - coeficiente de assimetria, dado por:
 (9.9)
Kp - fator de freqüência da distribuição Pearson Tipo III que depende de “g” e T; seus valores estão na Tabela 9.3.
A distribuição log-normal, anteriormente vista, é um caso particular da Log Pearson Tipo III quando g=0.
Roteiro de cálculo
Transformar n vazões máximas anuais X1, X2, X3,..., Xi, ..., Xn em correspondentes logaritmos Y1, Y2, Y3, ..., Yi, ..., Yn ;
Calcular a média dos logaritmos (
);
Calcular o desvio padrão dos logaritmos (SY);
Calcular o coeficiente de assimetria (g);
O fator Kp é extraído da Tabela 9.3 para o valor de g calculado e considerando-se o período de retorno (T) desejado;
Calcular os logaritmos dos valores correspondentes a determinados T, através da expressão 
 ;
Achar a vazão (chuva) para o período de retorno considerado através da expressão 
.
Tabela 9.3 – Valores de KP para coeficiente de assimetria e períodos de retorno.
Exemplo de aplicação da Distribuição Log-Pearson III
Tomando o mesmo exemplo utilizado na distribuição log-normal, calcular a vazão máxima para os períodos de retorno de 50 e 1.000 anos:
Solução:
Média dos logaritmos: 
Desvio padrão dos logaritmos: 
�� EMBED Equation.3 = 0,0376
Coeficiente de assimetria (g):
A partir da Tabela 9.3, pode-se determinar os valores de Kp:
Para Tr = 50 anos: g KP
 0,2 2,159
 0,247 x
 0,3 2,211
 ( 
 ( x = 2,183
Kp = 2,183
Y50 = 2,4857 + 2,183 x 0,0376 = 2,5678
Q50 = 102,5678 = 370 m3/s
Para T = 1000 anos: g KP
 0,2 3,380
 0,247 x
 0,3 3,525
 ( 
 ( x = 3,4482
Kp = 3,4482
Y1000 = 2,4857 + 3,4482 x 0,0376 = 2,6154
Q1000 = 102,6154 = 412 m3/s
9.5.4 Distribuição de Gumbel
Outra distribuição utilizada com bons resultados para análise de máximos é a chamada Distribuição de Gumbel, expressa pela seguinte fórmula:
 (9.10) 
onde:
P - probabilidade de um valor extremo X ser maior ou igual a um dado valor x;
T - período de retorno;
y - variável reduzida Gumbel;
Aplicando ln em ambos os termos:
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
como y depende de período de retorno T, pode-se escrever:
�� (9.11)
A relação entre yT e QT é dado por:
 (9.12)
onde:
XT - vazão (ou chuva) para um determinado período de retorno T;
 = média da amostra;
 = desvio padrão da amostra.
yT - variável reduzida Gumbel para período de retorno T.
Exemplo de aplicação de Distribuição de Gumbel
Tomando, ainda, o mesmo exemplo utilizado nas distribuições log-normal e log-Pearson III, foram calculadas as vazões para os períodos de retorno de 50 e 1.000 anos:
Solução:
 Média das vazões: 
Desvio padrão das vazões: 
�� EMBED Equation.3 = 28,6 m3/s
Para T = 50 anos:
 ( Q50 = 381,2 m3/s
Para T = 1.000 anos
 ( Q1000 = 448,3 m3/s 
Pode-se aplicar também a distribuição de Gumbel utilizando a fórmula geral de Ven Te Chow. Neste o fator de freqüência é calculado da seguinte forma:
 (9.13)
Resolução do mesmo exemplo:
Para T = 50 anos:
Q50 = 307,1 + 2,5924 x 28,6 = 381,2 m3/s
Para T = 1.000 anos:
Q1000 = 307,1 + 4,9357 x 28,6 = 448,3 m3/s
Tabela 9.4 - Comparação das vazões máximas obtidas (em m3/s):
	Distribuição
	Período de retorno (T)
	
	50
	1000
	Log-Normal
	365,5
	399,9
	Log- Pearson Tipo III
	370,0
	412,0
	Gumbel
	381,2
	448,3
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� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Equation.3 ���
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Plan1
		Ano						Ano
		
		1967		348.2				1975		314.7
		1968		295.4				1976		288.0
		1969		315.6				1977		260.5
		1970		278.8				1978		335.4
		1971		304.3				1979		310.0
		1972		290.5				1980		294.3
		1973		277.9				1981		331.5
		1974		362.1
Plan2
		
Plan3
		
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Plan1
		Ano		Precipitação				Ano		Precipitação
				anual (mm)						anual (mm)
		
		1945		929.3				1960		1222.0
		1946		1250.0				1961		1305.3
		1947		1121.3				1962		986.4
		1948		780.0				1963		1035.8
		1949		1141.0				1964		1567.3
		1950		949.3				1965		1115.8
		1951		739.1				1966		1291.8
		1952		1238.4				1967		1054.7
		1953		1268.8				1968		701.4
		1954		863.9				1969		1459.9
		1955		1297.6				1970		1201.4
		1956		1266.3				1971		1557.5
		1957		1231.5				1972		1243.9
		1958		1008.7				1973		1463.4
		1959		1246.5
Plan2
		
Plan3
		
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