Revisão de Hidrologia Aplicada

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Escola de Engenharia da UFMG
Departamento de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos
ENGENHARIA DE RECURSOS HÍDRICOS
AULA 6
Revisão de Hidrologia Aplicada 3/3
(Estudos Dirigidos)
Mauro Naghettini
mauro.naghettini@gmail.com
Estudo Dirigido 6 - Após um evento chuvoso de 3 horas de duração sobre uma bacia
de área de 2231 km2, foram observadas as descargas (em m3/s) listadas na tabela
abaixo, Calcule o hidrograma unitário, supondo que o escoamento base foi constante e
igual a 600 m3/s.
Elementos para revisão:
Hidrograma Unitário 1/2
- definição
- princípios de superposição e linearidade
- cálculo
- exemplo numérico
Hora Dia 1 Dia 2 Dia 3 Hora Dia 1 Dia 2 Dia 3 
3 600 4600 1700 15 8000 2700 900 
6 650 4000 1500 18 7000 2400 800 
9 6000 3500 1300 21 6100 2100 700 
12 9500 3100 1100 24 5300 1900 600 
 
Hidrograma Unitário (Sherman, 1932)
Princípio: A teoria baseia-se na premissa de que se as características físicas da bacia não se alteram,
precipitações semelhantes produzirão hidrogramas semelhantes. O hidrograma unitário (HU) é o 
hidrograma tipíco para a bacia, correspondente a um pulso unitário de chuva (1mm ou 1cm ou 1pol) 
durante uma duração Δt fixa. As ordenadas são m3/s/mm (ou /cm ou /pol de Pef ).
Cálculo do HU em Bacias Monitoradas
Exemplo numérico: Determinar o HU de 6 h para uma bacia de 2.236 km2 a partir dos dados observados.
Precipitação Observada
Hora P ( mm ) 
0 - 6 66,4 
6 - 12 12,1 
12 - 18 3,6 
18 - 24 0,0 
 Total = 82,1 mm 
 
Hora Q (m3/s ) Qbase ( m
3/s ) Q − Qbase (m
3
/s) ( Q − Qbase )  Pef 
0 120 120 0 0 
6 132 120 12 1,6 
12 141 121 20 2,5 
18 161 121 40 5,1 
24 162 122 40 5,1 
30 205 122 83 10,5 
36 204 123 81 10,3 
42 201 123 78 9,9 
48 214 124 90 11,4 
54 186 124 62 7,9 
60 173 125 48 6,1 
66 173 125 48 6,1 
72 163 125 38 4,8 
78 158 126 32 4,1 
84 158 126 32 4,1 
90 150 127 23 2,9 
96 142 127 15 1,9 
102 145 128 17 2,2 
108 144 128 16 2,0 
114 149 129 20 2,5 
120 142 129 13 1,6 
126 139 130 9 1,1 
132 130 130 0 0 
  = 817 103,55 
 
mm89,7m00789,0
100,236.2
106472,17
P
6
6
ef
==


=
Estudo Dirigido 7 - Suponha que o HU, para uma chuva de 2 horas, seja o da tabela. 
Calcule o hidrograma correspondente à chuva de projeto, tabelada a seguir, se o índice  médio é 
2,5 mm/h e se o escoamento base é constante e igual a 5 m3/s.
Chuva de Projeto: 
Elementos para revisão:
Hidrograma Unitário 2/2
- cálculo do hidrograma de projeto a partir do HU (convolução)
- exemplo numérico
- hidrograma unitário sintético de Snyder
- limitações do HU
t(h) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 
m
3
/s.mm 3 15 37 25 12 9 6 4 2 
 
Intervalo i Tempo (horas) P(mm) 
1 2 15 
2 4 25 
3 6 10 
4 8 5 
 
Cálculo do Hidrograma de Projeto a partir do HU (Convolução)
Depois de obtidas as ordenadas de HU para uma dada duração, 
• Determina-se a chuva de projeto (duração total=  10d ) pela curva IDF 
• Distribui-se a chuva de projeto em períodos unitários (d), utilizando-se para isso, por exemplo, os eventos 
observados típicos ou os hietogramas de projeto
• Calcula-se a chuva efetiva através do índice  médio.
• Faz-se a convolução do HU (produto das ordenadas pelos pulsos de chuva efetiva defasados de d). Esse será o 
hidrograma de projeto.
Exemplo: Dado o HU de 2 h para uma dada bacia, calcule o hidrograma correspondente à chuva de projeto 
tabelada, se o índice  médio é 2,5 mm/h e se o escoamento de base é 5 m3/s e constante.
Chuva de Projeto 
Hidrograma 
de Projeto
Intervalo i Tempo (horas) P(mm) Pef (mm) 
1 2 10 5 
2 4 20 15 
3 6 15 10 
4 8 5 0 
 
t HU HUPef (i=1) HUPef (i=2) HUPef (i=3) Qbase Q (m
3
/s) 
2 1 51 -- -- 5 10 
4 5 55 151 -- 5 45 
6 27 527 155 101 5 225 
8 20 520 1527 105 5 560 
10 15 515 1520 1027 5 650 
12 9 59 1515 1020 5 475 
14 3 53 159 1015 5 305 
16 2 52 153 109 5 150 
18 1 51 152 103 5 70 
20 -- -- 151 102 5 40 
22 -- -- -- 101 5 15 
 
Hidrograma Unitário Sintético (HUS) de Snyder (bacias não monitoradas)
• tp=tempo de resposta em horas
• Ct=coeficiente entre 0,8 e 2,2 (bacias montanhosas 1,20, sopé de montanhas 0,74, vales 0,35)
• L=comprimento do curso principal em km
• La=distância do ponto do rio principal mais próximo ao centro geométrico da bacia até a sua saída em km
• tr=duração da precipitação efetiva em horas,
• qp=vazão de pico do HUS em (m
3/s)/cm de chuva efetiva,
• Cp=coeficiente entre 0,56 e 0,69 (diminui com a densidade de vegetação)
• A=área de drenagem em km2 ,
• t=tempo base em dias.
( ) 3,0a
t
p LL
33,1
C
t =
5,5
t
t
p
r =
p
p
r
t
AC76,2
q

=
8
t
3t
p
+=
Limitações do HU
as precipitações devem ser homogêneas
a área da bacia deve estar toda coberta pela precipitação
as características físicas do ponto de vista do escoamento devem ser as mesmas 
Recomenda-se o método do HU para bacias de até cerca de 5000 km2 .
Exercício proposto: Suponha que o HU para uma chuva de 2 horas seja o da tabela 
abaixo. Calcule a área de drenagem da bacia.
Solução:
 y'i = 83 m
3/s  Ves = 8323600 = 597600 m
3
Para o H.U.  Pef = 1mm
t(h) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 
m
3
/s.mm 1 5 27 20 15 9 3 2 1 
 
233 6,59710
1
10 kmA
V
A
A
V
P esesef ===
−−
Estudo Dirigido 8
Na tabela que se segue estão listadas as descargas médias diárias máximas anuais observadas em um posto 
fluviométrico.
a) Ajuste uma distribuição de probabilidades Gumbel à amostra pelo método dos fatores de frequência, plote os 
pontos e a reta de ajuste em papel de probabilidades de Gumbel (anexo) e determine as vazões que serão 
igualadas ou excedidas em um ano qualquer, em média uma vez a cada 10, 50, 100 e 500 anos.
b) Suponha que se tenha que construir uma ponte no local, cujo tabuleiro deve ter cota mínima suficiente para 
permitir a passagem da cheia centenária. A equação da curva chave desse posto é Q=10+40h+15h2, onde Q 
representa a vazão em m3/s e h é a leitura da régua linimétrica em m. Determine a cota altimétrica mínima do 
tabuleiro da ponte. Dados adicionais: (a) cota do RN em relação às réguas: 6,321 m; (b) cota altimétrica do RN: 
725,329 m; e (c) fatores de frequência da distribuição de Gumbel: ver apostila.
Elementos de Revisão:
(i) fundamentos de 
hidrologia estatística
(ii) análise de frequência
(iii) curvas IDF
Ano Q (m
3
/s) Ano Q (m
3
/s) 
45 810 57 933 
46 724 58 355 
47 288 59 339 
48 462 60 660 
49 919 61 511 
50 810 62 349 
51 469 63 501 
52 390 64 630 
53 588 65 442 
54 271 66 328 
55 500 67 568 
56 460 68 730 
 
(i) Fundamentos de Hidrologia Estatística – Conceitos e Definições. 
Variáveis Aleatórias: não podem ser previstas com precisão. Entretanto, seu padrão de 
variabilidade pode ser sintetizado por funções de distribuição de probabilidades.
VAs Discretas: os valores numéricos decorrentes de suas ‘realizações’ são números 
inteiros. Exemplo 1: número anual de dias chuvosos em Belo Horizonte. Exemplo 2: 
número de anos em que a cheia anual de um rio igualou ou ultrapassou 50 m3/s. As 
principais distribuições de VAs discretas são a Geométrica e a Binomial. 
Particularidade: é possível calcular P(X=x0)
VAs Contínuas: os valores numéricos decorrentes de suas ‘realizações’ são números 
reais. Exemplo 1: a vazão máxima anual em determinada seção fluvial igualar ou 
ultrapassar 50 m3/s. Exemplo 2: a intensidade da chuva, de 30 minutos de duração, 
máxima anual em Belo Horizonte, igualar ou ultrapassar 20 mm/h. As principais 
distribuições de VAs contínuas, usuais em hidrologia, a Exponencial, a Log-Normal, a 
Gumbel, a Log-Pearson III e a de Weibull. 
Particularidade: a P(X=x0) é sempre nula. Calcula-se P(Xx0) ou P(X<x0). 
Distribuição Geométrica: Em cada ‘experimento’ pode ocorrer ou um ‘sucesso’, com 
probablidade p, ou um ‘insucesso’ (‘falha’), com (1-p). Em uma série de experimentos 
deste tipo, eles são independentes um do outro. A variável geométrica Y está associada 
ao número de experimentos(ou tentativas ou anos) necessários para que um único
‘sucesso’ ocorra. 
FMP: P(Y=y)
FAP: P(Yy)
Valor Esperado: E(Y)
VAD τ=tempo de recorrência: τ1=3 anos, τ2=2 anos .... até τk=5 anos Se, por exemplo,
N=50 anos e 5 ‘sucessos’ ocorreram, ҧ𝜏 =10 anos, ou que, em média, a vazão Q0 é
superada uma vez a cada 10 anos. A VAD τ é uma VA geométrica e, portanto,
E()=1/p=1/P(Q>Q0). Este fato remete ao conceito de TEMPO DE RETORNO (T).
( ) ( )
)1p(0
 ...,3,2,1y,p1pyp 1yY

=−= −
( ) ( ) ...,3,2,1y,p1pyP
y
0i
1i
Y 
=
−
=−=
  ( ) ( )
p
1
p1ypp1pyYE
1y
1y
1y
1y
→−=−= 

=
−

=
−
Tempo de Retorno (T) é uma medida de tendência central (valor médio) dos 
‘tempos cronológicos’ τ (recorrências) e define-se como o tempo médio (em 
anos) para que o evento recorra, em um ano qualquer, e é igual ao inverso 
da probabilidade anual de que tal evento de referência ocorra.
Exemplo 3: Considere a FDP abaixo. Determine
(a) o tempo de retorno da vazão X=300 m3/s e 
(b) a vazão de tempo de retorno T=50 anos.
Solução:
(a) A variável X, nesse caso, refere-se a vazões máximas anuais e, portanto, o tempo de retorno é igual ao 
inverso da probabilidade de superação. Exemplo anterior: P(X>300)=0,083. Logo, o tempo de retorno de 
X=300 m3/s é T=1/0,083=12,05 anos. 
b) A vazão de tempo de retorno T=50 anos está entre 300 e 400 m3/s, com ordenada na FDP igual a w. A 
primeira equação a ser escrita é (400-X50).w/2=1/50. A segunda equação decorre da semelhança entre 
triângulos, ou seja, [(400-300)/z]=[(400-X50)/w]. Sabendo-se que z=1/600 e combinando as duas equações, 
resulta: X50
2-800X50+157000=0. Uma das raízes dessa equação é maior do que 400 m3/s e, portanto, está 
fora do domínio de definição de X. A outra, resposta do problema, é X50=351 m3/s. 
Distribuição Binomial: Em cada ‘experimento’ pode ocorrer ou um ‘sucesso’, com probablidade 
p, ou um ‘insucesso’ (‘falha’), com (1-p). Em uma série de experimentos deste tipo, eles são 
independentes um do outro. A variável binomial Y está associada ao número de ‘sucesso’ em N 
experimentos (ou tentativas ou anos). 
FMP: P(Y=y) 
Exemplo - Na representação de cheias anuais (figura anterior), suponha que N=10 anos e que a probabilidade da 
vazão Q0 ser superada em um ano qualquer é p=0,25. Pergunta-se (a) qual é a probabilidade de que a vazão Q0 
tenha sido superada exatamente 2 vezes em 10 anos? e (b) qual é a probabilidade de que a vazão Q0 tenha sido 
superada pelo menos 2 vezes em 10 anos?
Solução: É fácil verificar que a variável ‘número de sucessos em N anos’ a uma variável binomial Y. Logo,
(a) 0,2816
(b) A probabilidade de que a vazão Q0 tenha sido superada pelo menos 2 vezes em 10 anos é igual à 
probabilidade de que o evento tenha ocorrido 2, 3, 4, ... , 10 vezes, em 10 anos, ou seja, a soma dos resultados 
da função massa para todos esses argumentos. Ou ainda,
( )
( )
( ) ( ) 1p0 e N,...,1,0y ,p1p 
y
N
p1p
!yN!y
!N
yp
yNyyNy
Y =−





=−
−
=
−−
( ) ( ) 1p0 e N,...,1,0y ,p1p 
y
N
yP
N
1i
yNy
Y =−





=
=
−
( ) ( ) =−= 82Y 25,0125,0
!8!2
!10
2p
( ) ( ) ( ) ( ) 7560,01p0p12YΡ12YΡ YY =−−=−=
Risco Hidrológico: Dado um quantil de referência XT, de tempo de retorno T, o risco 
hidrológico é definido como a probabilidade de que XT seja igualado ou superado pelo 
menos uma vez, em um período de N anos. Em geral, o quantil de referência XT é a 
cheia de projeto da estrutura hidráulica e N (anos) corresponde à sua vida útil. 
N
T
1
11R 





−−=
Aplicação: Se R é previamente fixado,
em função da importância e das
dimensões da estrutura hidráulica, e/ou
das conseqüências de seu eventual
colapso para as populações ribeirinhas,
pode-se empregar a equação para
determinar para qual tempo de retorno
deve ser calculada a cheia de projeto de
uma estrutura cuja vida útil é de é de N
anos.
Distribuição Normal (ou de Gauss, ou de De Moivre-Gauss)
Usada para descrever o comportamento de uma VAC que flutua
simetricamente em torno de um valor central. É apropriada à modelação de 
uma VA contínua que resulta da soma de um grande número de outras VAs 
independentes; exemplos: vazões médias anuais ou alturas totais anuais de 
chuva. Presente na formulação teórica da construção de IC’s, testes de 
hipóteses e na teoria de regressão e correlação. 
( ) −















 −
−= x para 
θ
θx
2
1
exp
πθ2
1
xf
2
2
1
2
2
X
( ) 
−















 −
−=
x 2
2
1
2
2
X dx 
θ
θx
2
1
exp
πθ2
1
xF
Porque θ1=μ e θ2=σ, pode-se expressar a FDP Normal como 
X~N(,)
Distribuição Normal - θ1=8 e θ2=1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
4 6 8 10 12
x
F
(x
) 
e
 f
(x
)
  1θμXE ==
  22
2 θσXVar ==
0=
κ=3
( ) −













 −
−= x para 
σ
μx
2
1
exp
σπ2
1
xf
2
X
Função Densidade Normal - Efeito do Parâmetro 
de Posição
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -2 0 2 4 6
x
f(
x
)
μ=0, σ=1 μ=1, σ=1 μ=2, σ=1 
Função Densidade Normal - Efeito do Parâmetro de Escala
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -2 0 2 4 6
x
f(
x
)
μ=0, σ=1 μ=0, σ=1,5 μ=0, σ=2 
Distribuição Normal Padrão
• Para calcular P(X≤x), para X~N(μX,σX), calcula-se z=(x-μX)/σX e P(X≤x)= . 
• Para calcular x(P), veja na tabela o valor de z para P= e x=μX+zσX.
Fatos: 68,26% da área entre μ±1σ. 95,44% entre μ±2σ. 99,74% entre μ±3σ.
Conclusão: se μX>3σX, a Normal pode ser usada para modelar VA’s hidrológicas não-negativas 
porque a chance de se obter um valor de X negativo é quase desprezível. 
( ) ( ) zde
π2
1
zΦzF
z
2
z
Z
2

−
−
==
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5606 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8585 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
 
Exemplo: Suponha que as vazões naturais médias anuais Q de um afluente do rio 
Amazonas sejam normalmente distribuídas com média de 10.000 m3/s e desvio padrão 
de 5000 m3/s. Calcule (a) P(Q<5000) e (b) a vazão média anual de tempo de retorno 
T=50 anos.
Solução:
(a) A probabilidade P(Q<5000) pode ser igualada a P{z<[(5000-10000)/5000]}, ou 
seja a . Como a tabela da distribuição normal padrão fornece probabilidades 
apenas para valores positivos de z, deve-se usar a seguinte propriedade de simetria da 
distribuição Normal: =1- =1-0,8413=0,1587
(b) A definição de tempo de retorno pode ser aqui empregada, de modo idêntico ao 
usado para valores máximos anuais, ou seja, T=1/P(Q>q). Como T=50 anos, 
P(Q>q)=1/50=0,02 e, portanto, P(Q<q)=1-0,02=0,98. Na tabela da distribuição normal 
padrão, esse valor corresponde a z=2,054. Logo, a vazão q de T=50 anos corresponde 
ao quantil q=10000+2,054×5000=20269 m3/s. 
( )1−
( )1− ( )1Φ +
(ii) Análise de Frequência de Variáveis Aleatórias Hidrológicas
Análise de frequência de VA’s hidrológicas: relacionar a magnitude dos eventos 
(QT) à freqüência com que eles são igualados ou superados [P(Q>QT) ou T], por 
meio de uma distribuiçãode probabilidades empírica ou paramétrica (teórica). 
Requisito fundamental da amostra:
A amostra deve ter elementos independentes entre si (valores máximos e 
médios→ano hidrológico; valores mínimos→ano civil), consistentes (isentos de 
erros de observação), representativos, homogêneos e estacionários. 
Análise de Frequência com Gráficos de Probabilidade (valores anuais)
(i) com a hipótese de que a amostra seja oriunda de uma certa distribuição de 
probabilidades (analítica), ou (ii) sem essa hipótese. Nesse caso, a AF se restringe a 
grafar, ou plotar, os pares constituídos pelas freqüências empíricas (PPi ou qi) e pelas 
observações ordenadas (Xi).
Algumas dessas incertezas podem ser parcialmente reduzidas
• pela construção e uso dos papéis de probabilidade que linearizam as FAPs 2 p.
• pela definição de critérios apropriados para associar posições de plotagem a Xi. 
Construção de papéis de probabilidade
São gráficos para plotagem de observações amostrais e suas respectivas probabilidades 
empíricas, cujas escalas são previamente transformadas de modo a linearizar a 
relação entre (ou ) ou ainda T e X. Exemplo: papel Normal
A escala apropriada para a linearização de uma certa função acumulada de
probabilidades, de não mais de dois parâmetros, é geralmente construída por meio da
variável padrão ou variável reduzida da distribuição. A verificação de linearidade de
um conjunto de dados amostrais, plotados em um papel de probabilidades, pode ser
empregada para aceitar ou rejeitar a hipótese de aderência a um certo modelo de
distribuição de probabilidades.
Papéis de probabilidade usuais: Normal, Log-Normal, Exponencial (lnT), Gumbel e Log-Gumbel.
( )xFX ( ) xF1 X−
μX
μX +σ
μX -σ
σ
Exemplo: Papel de Probabilidade de Gumbel
Posição de Plotagem – Critérios de Gumbel (1958):
•Deve ser tal que todas as observações possam ser plotadas, evitando os valores 0 e 1;
•A posição de plotagem deve estar compreendida entre e , onde i denota a 
ordem de classificação (max→decrescente; min→crescente) de uma amostra de 
tamanho n;
•Para as séries anuais, o tempo de retorno de um valor maior ou igual à maior 
observação (ou menor ou igual à menor observação) deve convergir para n.
•As observações devem ser igualmente espaçadas na escala de freqüências;
•A posição de plotagem deve ser intuitiva, analiticamente simples e fácil de usar.
• Fórmula geral 
• de Cunnane
( ) ni 1− ni
a.21n
ai
q i
−+
−
=
Análise de Freqüência com o Fator de Freqüência
Para qualquer distribuição: (populacional)
kT =fator de frequência. Depende da distribuição de X, de T e de N (Chow, 1964). 
Com as estimativas amostrais, tem-se a fórmula geral .
Distribuição Normal: kT =Z(1-1/T) onde Z é a variável Normal padrão 
Distribuição Log-Normal: com kT =Z(1-1/T)
Distribuição Log-Pearson III: 
kT dado pela eq. de Wilson-Hilferty:
onde γY representa o coeficiente de assimetria de Y=ln(X) e Z é a VA Normal padrão. 
XTX σkμX +=
XTT skxx +=
( )TxlnxlnT k.Sxexpx +=
( ) ( ) ( )
5
Y
4
Y
3
Y2
2
Y3Y2
T
6
γ
3
1
6
γ
.Z
6
γ
.1Z
6
γ
.Z.6Z
3
1
6
γ
.1ZZk 





+





+





−−





−+−+
( )TxlnxlnT k.Sxexpx +=
Distribuição Gumbel (Max):
kT varia com o tempo de retorno T e o tamanho da amostra n.
XTT skxx +=
n T=5 T=10 T=15 T=20 T=25 T=50 T=75 T=100 T=1000 
15 0,967 1,703 2,117 2,410 2,632 3,321 3,721 4,005 6,265 
20 0,919 1,625 2,023 2,302 2,517 3,179 3,563 3,836 6,006 
25 0,888 1,575 1,963 2,235 2,444 3,088 3,463 3,729 5,842 
30 0,866 1,541 1,922 2,188 2,393 3,026 3,393 3,653 5,727 
35 0,851 1,516 1,891 2,152 2,354 2,979 3,341 3,598 
40 0,838 1,495 1,866 2,126 2,326 2,943 3,301 3,554 5,576 
45 0,829 1,478 1,847 2,104 2,303 2,913 3,268 3,520 
50 0,820 1,466 1,831 2,086 2,283 2,889 3,241 3,491 5,478 
55 0,813 1,455 1,818 2,071 2,267 2,869 3,219 3,467 
60 0,807 1,446 1,806 2,059 2,253 2,852 3,200 3,446 
65 0,801 1,437 1,796 2,048 2,241 2,837 3,183 3,429 
70 0,797 1,430 1,788 2,038 2,230 2,824 3,169 3,413 5,359 
75 0,792 1,423 1,780 2,029 2,220 2,812 3,155 3,400 
80 0,788 1,417 1,773 2,020 2,212 2,802 3,145 3,387 
85 0,785 1,413 1,767 2,013 2,205 2,793 3,135 3,376 
90 0,782 1,409 1,762 2,007 2,198 2,785 3,125 3,367 
95 0,780 1,405 1,757 2,002 2,193 2,777 3,116 3,357 
100 0,779 1,401 1,752 1,998 2,187 2,770 3,109 3,349 5,261 
 0,719 1,305 1,635 1,866 2,044 2,592 2,911 3,137 4,936 
 
Exercício - Na tabela, estão listadas as descargas médias diárias máximas anuais de um posto fluviométrico.
a) Ajuste uma distribuição de probabilidades log-normal à amostra pelo método dos fatores de freqüência, plote 
os pontos e a reta de ajuste em papel apropriado e determine as vazões que serão igualadas ou excedidas em 
um ano qualquer, em média uma vez a cada 10, 50, 100 e 500 anos.
b) Suponha que se tenha que construir uma ponte no local, cujo tabuleiro deve ter cota mínima suficiente para 
permitir a passagem da cheia centenária. A equação da curva chave desse posto é Q=10+40.h+15.h2, onde 
Q representa a vazão em m3/s e h é a leitura da régua linimétrica em m. Determine a cota altimétrica 
mínima do tabuleiro da ponte. 
Dados adicionais : Fatores de Freqüência (Dist. Normal)
cota do RN em relação às réguas : 6,321 m
cota altimétrica do RN : 725,329 m
Ano Q (m
3
/s) Ano Q (m
3
/s) 
45 810 57 933 
46 724 58 355 
47 288 59 339 
48 462 60 660 
49 919 61 511 
50 810 62 349 
51 469 63 501 
52 390 64 630 
53 588 65 442 
54 271 66 328 
55 500 67 568 
56 460 68 730 
 
T (anos) 2 10 50 100 500 
k 0 1,282 2,054 2,326 2,879 
 
Solução:
Ano Vazão (m3/s) Vazão Ordenada Ordem m Pos. Plotagem % <= Log10 (Vazões)
45 810 933 1 96,00 2,969881644
46 724 919 2 92,00 2,963315511
47 288 810 3 88,00 2,908485019
48 462 810 4 84,00 2,908485019
49 919 730 5 80,00 2,86332286
50 810 724 6 76,00 2,859738566
51 469 660 7 72,00 2,819543936
52 390 630 8 68,00 2,799340549
53 588 588 9 64,00 2,769377326
54 271 568 10 60,00 2,754348336
55 500 511 11 56,00 2,7084209
56 460 501 12 52,00 2,699837726
57 933 500 13 48,00 2,698970004
58 355 469 14 44,00 2,671172843
59 339 462 15 40,00 2,664641976
60 660 460 16 36,00 2,662757832
61 511 442 17 32,00 2,645422269
62 349 390 18 28,00 2,591064607
63 501 355 19 24,00 2,550228353
64 630 349 20 20,00 2,542825427
65 442 339 21 16,00 2,530199698
66 328 328 22 12,00 2,515873844
67 568 288 23 8,00 2,459392488
68 730 271 24 4,00 2,432969291
Média (Log Q) DP (Log Q)
2,707900668 0,157311
T. Retorno (anos) Fator de Freqüência Log Q(T) Q(T)
2 0 2,707900668 510,3883
10 1,282 2,90957337 812,0324
50 2,054 3,031017462 1074,033
100 2,326 3,073806054 1185,239
500 2,879 3,160799037 1448,102
Curva-Chave Cota para Q(100)=1185,239 Cota Altimétrica (m)
a=15 7,61803776 726,6260378
b=40 Cota Altimétrica do ZERO
c=-1175,239 719,008
(iii) Curvas Intensidade-Duração-Frequência
Estudo da variação conjunta da intensidade, da duração e da frequência
(ou tempo de retorno) de eventos chuvosos intensos de duração igual ou 
inferior a 24 horas, geralmente relacionados a precipitações convectivas de 
grande intensidade. 
a) intensidades (mm/h) e as durações (minutos ou horas) de precipitações 
intensas, registradas por pluviógrafos, revela que quanto mais intensa é a 
chuva, menor é a sua duração. 
b) maior é a intensidade da chuva, maior é o período de retorno. 
Relação IDF → família de curvas estimada com dados pluviográficos locais. s. 
São requisitos básicos para projetos de pequenas obras hidráulicas como 
sistemas de drenagem, galerias pluviais e bueiros, entre outras.
Variação da Intensidade com a Duração
Análise de Pluviograma: 
Variação da Intensidade com a Freqüência (ou Tempode Retorno)
Análise de freqüência das intensidades máximas anuais:
• Fixa-se uma duração (ex. t=10 minutos)
• Em 1 ano de pluviogramas diários, toma-se a máxima intensidade para t=10 min
• Para os N anos, tem-se N valores máximos anuais [Y1 , Y2 , ... , YN ]
• Calcula-se e faz-se o ajuste de uma distribuição pelo método dos fatores de freqüência 
(a distribuição de Gumbel é muito usada)
• Fixa-se outra duração (ex. t=15 min) e reinicia-se o processo
• Para todas as durações: família de curvas
YS e Y
( ) ( )d
b
d
ct
Ta
ct
A
i
+
=
+
=
RELAÇÃO IDF
Tabela de coeficientes para algumas cidades brasileiras
Outras cidades: “Manual de Drenagem Urbana” (CETESB) e
“Chuvas Intensas no Brasil” (Otto Pfaffstetter)
Região Metropolitana de Belo Horizonte (RMBH com 5852 km2)
(Pinheiro, 1987)
= intensidade (mm/h) de tempo de retorno T(anos), duração t(h), em local j 
Panual =precipitação anual (mm) na localidade j dentro da RMBH (mapa)
T,t = quantis adimensionais de freqüência, t e T, conforme tabela.
Localidade a b c d Autor 
Curitiba 5950 0,217 26 1,15 Parigot de Souza, P. V. 
São Paulo 3462,7 0,172 22 1,025 Wilken, P. S. 
Rio de Janeiro 1239 0,150 20 0,74 Alcântara, U. 
 
h 24tmin 10;anos200T;μPt76542,0i t,T
5360,0
anual
7059,0
j,t,T =
−
j,t,Ti
Mapa Isoietal da RMBH
Tabela - Quantis adimensionais de freqüência para diversas durações de precipitação e 
tempos de retorno, válidos para a Região Metropolitana de Belo Horizonte 
T (anos) 
 
t 
1,05 1,25 2 10 20 50 100 200 500 1000 
10 min 0,691 0,828 1,013 1,428 1,586 1,791 1,945 2,098 2,300 2,452 
15 min 0,695 0,830 1,013 1,422 1,578 1,780 1,932 2,083 2,282 2,432 
30 min 0,707 0,836 1,013 1,406 1,557 1,751 1,897 2,043 2,235 2,380 
45 min 0,690 0,827 1,013 1,430 1,589 1,795 1,949 2,103 2,305 2,459 
1 h 0,679 0,821 1,014 1,445 1,610 1,823 1,983 2,143 2,353 2,512 
2 h 0,683 0,823 1,014 1,439 1,602 1,813 1,970 2,128 2,335 2,492 
3 h 0,679 0,821 1,014 1,445 1,610 1,823 1,983 2,143 2,353 2,512 
4 h 0,688 0,826 1,013 1,432 1,591 1,798 1,953 2,108 2,311 2,465 
8 h 0,674 0,818 1,014 1,451 1,618 1,834 1,996 2,157 2,370 2,531 
14 h 0,636 0,797 1,016 1,503 1,690 1,931 2,112 2,292 2,530 2,710 
24 h 0,603 0,779 1,017 1,550 1,754 2,017 2,215 2,412 2,672 2,868