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Engenharia Elétrica Eletromagnetismo Aula 6 Professor Frank Coelho de Alcântara CONVERSA INICIAL Chegamos a última aula da disciplina Eletromagnetismo. Aqui, veremos campos criados por correntes que variam no tempo. Ao final, vamos poder entender e ser capaz de enunciar e representar as leis do eletromagnetismo. Para tanto, nesta aula, vamos: Enunciar a lei de Faraday e definir corrente de deslocamento Demonstrar as equações de Maxwell nas formas pontuais e integrais, associando as leis físicas Demonstrar matematicamente uma onda plana uniforme e a propagação de ondas eletromagnéticas em meios isotrópicos Definir vetor de Poynting e compreender o conceito de potência das ondas eletromagnéticas Compreender o efeito pelicular Cargas estáticas provocam campos elétricos. Cargas em movimento provocam campos magnéticos. Especificamente, veremos as Equações de Maxwell (nada novo, estamos trabalhando com estas equações desde a primeira aula, finalmente daremos nomes e contexto). Você verá equações conhecidas e definiremos as ondas eletromagnéticas usando estas equações. James Clerk Maxwell enunciou estas equações entre 1861 e 1862, colocando um ponto final no desenvolvimento do eletromagnetismo. Saiba mais sobre Maxwell: https://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell De fato, estas equações são tão simples, elegantes e singelas que muitos estudiosos dizem que é tudo que você precisa saber em eletromagnetismo. Maxwell tem o mérito da síntese e do estudo profundo. Gastou anos de pesquisa e raciocínio matemático no estudo do eletromagnetismo, e o ápice do seu trabalho aparece nestas equações. Não parou aí: calculou a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo e chegou a um valor surpreendente a mesma velocidade da luz no vácuo. Por fim, vamos estudar ondas eletromagnéticas – talvez, o tópico mais importante de toda a disciplina. Selecionamos o conhecimento de ondas eletromagnéticas que será mais relevante na sua carreira de engenheiro eletricista: definição, transmissão de potência e efeito pelicular – este último, fundamental quando trabalhamos com altas frequências. Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. CONTEXTUALIZANDO O campo elétrico e o campo magnético são, de alguma forma, inter-relacionados. Relembre três aspectos fundamentais do que aprendemos nesta disciplina: Um campo elétrico agindo sobre um condutor provoca o deslocamento de cargas entre o ponto de maior potencial e o ponto de menor potencial Este deslocamento de cargas em uma determinada unidade de tempo é chamado de corrente elétrica A corrente elétrica que transpassa um condutor produz, ao redor deste, um campo magnético Nesta aula, os campos magnéticos irão se mover, e este movimento provocará o surgimento de correntes. Este é o fenômeno que permitiu que Michael Faraday inventasse o gerador elétrico. O mesmo princípio que utilizamos até hoje: campos magnéticos em movimento gerando corrente elétrica. Conceitos básicos que suportam o funcionamento de qualquer gerador, esteja ele na sua casa ou em Itaipu. Veremos também as ondas eletromagnéticas (campos elétricos e magnéticos se propagando no espaço), capazes de transportar informação entre dois pontos distantes no espaço. Só por curiosidade: você sabia que as luzes que iluminam a estátua do Cristo Redentor, no Rio de Janeiro, foram acesas pela primeira vez por Marconi, via ondas de rádio? Depois disso, nunca mais paramos. Ondas eletromagnéticas são fundamentais em nosso mundo moderno. Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Tema 1: Correntes de deslocamento e a Lei de Faraday Vamos seguir uma intuição de Faraday. Lá na primeira metade do século XIX, Michael Faraday acreditou que, se uma corrente elétrica produzia um campo magnético, então, um campo magnético deveria produzir um campo elétrico. Na época de Faraday, ainda não tínhamos a noção de campos. Trazendo o trabalho de Faraday para os dias de hoje, dizemos que um campo magnético que varie no tempo e atue sobre uma espira ou laço condutor, estático, produz uma força eletromotriz e, consequentemente, uma corrente neste laço. Podemos interpretar esta equação dizendo que a força eletromotriz medida em volts, para qualquer circuito fechado, é igual à taxa de variação do fluxo magnético, no tempo. Se a força eletromotriz for medida em um circuito contendo espiras teremos: Onde é deve ser considerado como sendo o fluxo magnético que atravessa qualquer um dos percursos coincidentes (espiras). Uma força eletromotriz não nula pode ser obtida por meio de: Um fluxo que varie no tempo acoplado a um circuito fixo Um movimento relativo entre o fluxo estático e um circuito Uma combinação dos dois anteriores Considerando apenas uma espira fixa, sujeita a um campo magnético que varia no tempo. O sinal menos indica que a força eletromotriz é tal que se a corrente criada produzir um fluxo e este for somado ao fluxo anterior, reduzirá a intensidade da força eletromotriz. Esta é a Lei de Lenz. A Lei de Lenz, proposta pelo físico Heinrich Lenz obedece ao princípio da conservação da energia e diz que: se existe uma corrente induzida, sua direção será sempre oposta ao sentido da variação que a gera. Quando estudamos eletrostática definimos a força eletromotriz em termos de diferença de potencial em torno de um circuito fechado ou, matematicamente falando: Neste caso, ficou fácil perceber que esta força é, na verdade, um escalar cuja intensidade é medida em volts. Mas já vimos outra forma de definir a : Ou seja: Podemos agora substituir o fluxo por sua integral em função da densidade de fluxo magnético e da área e teremos: Onde, usando a regra da mão direita, sobre a espira estática, seus dedos indicam a direção do percurso fechado e o polegar indica a direção do vetor normal . Uma densidade de fluxo magnético na direção de aumentando com o passar do tempo, induz um valor médio de em oposição a direção positiva do percurso fechado. Por sua vez, este campo provoca a existência de uma corrente elétrica . Vamos considerar continuar considerando que nossa espira, o percurso que será percorrido pela correte está estático e que o campo magnético varia com o tempo. Neste caso: Podemos agora usar o Teorema de Stokes para nos livrarmos da integral de linha e temos: Se consideramos duas áreas iguais e resolvermos as integrais, teremos que: Ou, simplificando: Que é uma das equações de Maxwell em forma pontual, ou diferencial. Se o campo magnético não for uma função do tempo então, a derivada parcial de será zero e teremos: Que concorda com o que vimos em eletrostática. Vamos agora considerar que uma espira que se move em um campo magnético estático. Novamente, uma força eletromotriz é induzida nesta espira. Vamos recordar que força sobre uma carga movendo-se em velocidade constante u em um campo magnético é dada por: Como já vimos antes: Podemos então dizer que a o campo elétrico motriz é dado por: Resultado importante já que indica que o campo elétrico provocado na espira que se move em um campo magnético estático é o produto escalar entre o vetor velocidade desta espira e o vetor campo magnético. Agora, precisamos considerar que estaespira consiste, na verdade, de um grande número de cargas livres infinitesimais. Se a velocidade é constante, temos: Este é o tipo de força eletromotriz que é encontrada em motores, geradores, alternadores. Considere uma barra condutora de comprimento movendo-se através de um campo magnético uniforme de densidade , com velocidade constante , como mostrado na Figura 1. Observe que, neste caso, o campo magnético atravessa a barra perpendicular de dentro para fora da sua tela. Nesta barra, partículas com carga positiva, , sofrerão o efeito de uma força dada por: Esta força empurra estas partículas para cima, na barra, deixando as cargas negativas na parte de baixo. Esta separação de cargas dá origem a um campo elétrico no interior da barra, o qual produz uma força elétrica, para baixo, dada por: Figura 1. Campo magnético estático, barra móvel No equilíbrio, onde as duas forças se cancelam e temos: Neste caso, entre os terminais da barra condutora existirá uma diferença de potencial dada por: Agora vamos supor que a barra condutiva se move através de uma região com um campo magnético com densidade na mesma direção, mas em sentido oposto de tal forma que , apontando para o interior da tela, deslizando sobre duas trilhas condutoras, sem atrito, separadas pela distância e conectadas por um resistor com resistência como mostrado na Figura 2: Figura 2. Barra deslizando sobre condutores em campo magnético uniforme. Vamos aplicar uma força externa de tal forma que a barra se mova para a direita com velocidade constante . Em um dado instante, podemos escolher um elemento normal a superfície formada de tal forma que o fluxo magnético que atravessa o laço formado pela barra, as trilhas e o resistor será dado por: Esta barra está em movimento então, a cada instante a área muda logo: Como apenas o comprimento varia com tempo: Sendo assim, uma carga que esteja na barra em deslocamento sofrerá uma força dada por: Orientando o percurso fechado no sentido da rotação do relógio de forma que seu vetor normal , para manter a consistência com a integral de fluxo que calculamos anteriormente, teremos que a força eletromotriz será dada por: Onde a integral é calculada em um determinado instante e o vetor normal estará apontando para cima , dentro da barra, mesmo com a barra andando para a direita. Comparando a equação da força eletromotriz com a equação do fluxo variando no tempo, temos: De fato, o trabalho não está sendo realizado pelo campo magnético. A força que puxa a barra está realizando todo o trabalho. Para entender por que isso acontece precisamos, primeiro, observar que a força eletromotriz está forçando as cargas existentes na barra condutora a se moverem para cima , dentro da barra. Ou seja, as cargas em movimento, possuem um componente de velocidade adicional nesta direção. Logo: Consequentemente, a força magnética sobre as cargas no interior da barra condutora será dada por: Sendo assim, para que a barra possa se mover a força externa deve ter a mesma intensidade e sentido oposto ao componente do campo magnético. Logo: Se a carga se move da base da barra até o topo da barra em um tempo muito pequeno , então seu deslocamento será dado por . Contudo, a barra também está se movendo na direção dos positivos em um deslocamento dado por . Sendo assim, em termos vetoriais, o deslocamento de uma carga na barra condutora será dado por: Se fizermos o produto escalar entre este deslocamento e a força magnética veremos que o resultado será zero, ou seja, a força magnética não realiza trabalho sobre as cargas na barra condutora. O mais interessante é que se calcularmos o trabalho realizado pela força externa sobre as cargas da barra condutora chegamos descobrimos que este é igual a força eletromotriz gerada, e não poderia ser diferente. Ou seja, a força eletromotriz é o produto da velocidade no eixo de deslocamento , a distância e a magnitude da densidade de fluxo magnético . Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Tema 2: As equações de Maxwell James Clerk Maxwell viveu na Escócia no século XIX e teve o mérito de sintetizar todo o estudo do eletromagnetismo em quatro equações elegantes e simples. Já tivemos a oportunidade de trabalhar com estas equações ao longo desta disciplina. Contudo, vamos fazer um apanhado de todas elas na sua forma diferencial e integral. A lei de Gauss do campo elétrico Determina como o campo elétrico se comporta em torno de uma carga elétrica. Pode ser escrita em termos de uma relação entre a densidade de fluxo elétrico e a densidade de carga. Lê-se que a divergência do vetor densidade de fluxo elétrico é igual a densidade de carga. Esta equação é verdadeira em qualquer ponto do espaço e indica que se existir uma carga em algum ponto do espaço, a divergência do vetor densidade de carga será diferente de zero. Ou, se preferir, uma carga elétrica é uma fonte, ou um dreno, de fluxo elétrico. Isto fica mais fácil de entender quando vemos a forma integral da Lei de Gauss: Consequentemente: Ou, a integral de superfície da densidade de fluxo elétrico em uma superfície fechada é igual a carga por ela envolvida. A lei de Gauss do campo magnético A lei de Gauss do campo magnético indica a inexistência de monopolo magnético, ou seja, não é possível separar um polo norte do polo sul. Implicando que não existe uma superfície gaussiana que possa envolver apenas um dos polos. Em forma diferencial: Em forma diferencial: A lei de Faraday Indica que a variação de um campo magnético produz um campo elétrico. Na forma diferencial: Um campo magnético variando, em torno de um percurso fechado induz neste percurso um campo elétrico. Ou seja, na presença de um campo magnético variante no tempo, o campo elétrico deixa de conservativo e seu rotacional se torna não nulo. A variação pode ser provocada pela variação da intensidade do campo, pelo deslocamento da fonte do campo em relação ao percurso, pelo deslocamento do percurso em relação ao campo ou, qualquer forma que produza alguma relação de movimento entre o campo magnético e o percurso fechado. Na forma integral: A Lei Circuital de Ampére Demonstra que o campo magnético pode ser gerado por uma corrente elétrica e que um campo elétrico que varia no tempo também produz um campo magnético. Na sua forma diferencial: Na sua forma integral: Agora você deve ler o Capítulo 9.4 do livro do Hayt (HAYT e BUCK, 2012). Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Tema 3: Ondas planas e a propagação de ondas Ondas são perturbações em um meio e, em geral, são uma forma de transportar energia. Neste tema vamos voltar nossos olhos para as equações de Maxwell e estudar a propagação de ondas eletromagnéticas nos seguintes meios: Uma onda é uma função do espaço e do tempo. Um movimento ondulatório tem sua origem em uma perturbação em algum ponto do espaço. Esta perturbação altera o meio e esta alteração se propaga no espaço. Se a perturbação ocorre em um ponto no instante será sentida em um ponto dado em um instante mas, antes de entrar diretamente na onda, vamos consideraras equações de Maxwell. Maxwell sintetizou todo o estudo de eletromagnetismo em quatro equações, que tomam formas integrais e diferenciais. Que podem considerar a existência das características intrínsecas do meio, ou não. De uma forma ou de outra, podemos utilizar estas equações para explicar qualquer fenômeno eletromagnético. No caso de ondas, precisamos observar as equações que relacionam campos elétricos e magnéticos variando no tempo. Vemos que a variação do campo elétrico no tempo, produz um rotacional no campo magnético , ou seja, varia perpendicularmente a direção de . Observe também que um campo variando no tempo produz um campo também variando no tempo, não necessariamente da mesma forma. Figura 3. Campo elétrico variando no tempo produz um campo H. Da segunda equação, podemos inferir que um campo variando no tempo, produz um rotacional no campo , que varia espacialmente em uma direção normal a este rotacional. Desta vez, o campo será mínimo e afetará uma pequena área em torno da perturbação. Figura 4: Campo magnético variando no espaço produz um campo elétrico. Vamos postular a existência de uma onda plana, uniforme, composta destes dois campos (HAYT e BUCK, 2012). Imagine agora que exista um plano normal a direção de propagação desta onda. Neste caso, os campos existem, e variam, neste plano ortogonalmente entre si. Figura 5. Campos elétrico e magnético interagindo no espaço. De forma geral, e por definição, diremos que estes dois campos possuem a mesma amplitude, e se propagam de tal forma que a direção de propagação será na direção do eixo e no sentido dos números positivos. Se consideramos estas restrições o rotacional fica reduzido a um único termo: A direção do rotacional determina, inevitavelmente, a direção do campo no eixo confirmando nosso postulado anterior. Se usarmos o mesmo raciocínio para o campo , teremos: Mostrando que a direção do rotacional de H determina, inevitavelmente a direção do campo no eixo . Resumidamente: Com essas equações é possível provar que a velocidade de propagação é função das características do meio de tal forma que: Para o vácuo: E para todos os outros meios: “Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que, aparentemente, temos fortes razões para concluir que a própria luz é um distúrbio eletromagnético, na forma de ondas que se propagam através dos campos eletromagnéticos e de acordo com as leis do eletromagnetismo. ” (MAXWELL, 1862). Esta afirmação de Maxwell em um trabalho de 1862 só foi comprovada no começo do século XX, contrariando tudo o que se pensava sobre a matéria, quando a física quântica finalmente entendeu a dualidade da partícula. http://www.universitario.com.br/noticias/n.php?i=16947 Para que você não se perca, vamos resumir todos os conceitos importantes: 1. A origem das ondas eletromagnéticas é eletromagnética. Qualquer carga elétrica em movimento acelerado irradia (cria) ondas eletromagnéticas 2. Ondas eletromagnéticas são ondas transversais. O que oscila nelas não são partículas do meio, como no caso das ondas mecânicas, mas os campos e . Os últimos são perpendiculares mutuamente, e também em relação à direção de propagação. A onda se propaga na direção e sentido determinados pelo vetor . 3. A razão entre os módulos (magnitudes) dos campos e é constante: isso significa que esses campos sempre oscilam em fase: quando , necessariamente ; quando exibe valor máximo, o mesmo acontece com . 4. Ondas eletromagnéticas se deslocam no vácuo com velocidade constante, igual à velocidade da luz. 5. Não se precisa nenhum meio material para que as ondas eletromagnéticas se propagem. 6. Ondas eletromagnéticas obedecem ao princípio de superposição. Por fim, há um último conceito que você precisa aprender. A impedância intrínseca . Dizemos que impedância é uma resistência do meio à propagação da onda eletromagnética. É possível provar que esta impedância intrínseca é característica de cada meio. No caso do vácuo: Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Tema 4: Potência de Ondas Eletromagnéticas Como qualquer outra onda, a onda eletromagnética também transporta energia e momento. De fato, este estudo demanda o estudo do teorema da potência de campos eletromagnéticos, enunciado por John H. Poynting, em 1884, cuja demonstração pode ser vista no livro do Hayt (HAYT e BUCK, 2012) no capítulo 11.3. Mas, podemos entender esta transferência de uma forma mais simples. Observe que para que as ondas eletromagnéticas sejam capazes de transportar qualquer informação, elas devem obrigatoriamente transportar energia entre o ponto de origem, ou transmissor, e o ponto de destino, ou receptor. A taxa de transporte desta energia pode ser obtida das Equações de Maxwell: Aqui, em um formato que inclui as características físicas do meio, permissividade, permeabilidade e condutividade. Podemos trabalhar com a equação do campo magnético: Podemos, por exemplo, fazer o produto escalar do campo nos dois lados da igualdade e teremos: Que resultará em: Agora, precisamos recorrer as identidades da álgebra vetorial, para qualquer campo vetorial: Se fizermos teremos: Ou: Ou ainda: Guarde esta última equação, ela será importante em alguns minutos, mas, antes, vamos fazer algo parecido com a Equação de Maxwell do campo elétrico: Vamos fazer o produto escalar pelo campo magnético nos dois lados da igualdade: Voltando a equação que eu disse ser importante e substituindo teremos: Ou, substituindo, simplificando e usando as identidades vetoriais chegamos a: Ou, com os termos mais organizados e corrigindo o sinal de negativos Que é a equação de propagação da potência em forma diferencial. Precisamos, é claro, integrar. No caso uma integral volumétrica de ambos os lados e teremos: Como queremos encontrar a frente de onda, uma superfície que transporta a energia da onda. Podemos usar o Teorema da Divergência de Gauss e obter: Que pode ser lida como: Potência total deixando o volume Taxa de decaimento da energia armazenada nos campos elétrico e magnético Potência Ôhmica dissipada Esta última equação: É conhecida como Teorema de Poynting. O operando da integral de superfície que indica a potência total que deixa o volume que a onda engloba é conhecido como Vetor de Poynting e é dado por: Cuja unidade é watt por metro quadrado e representa o vetor densidade de potência instantânea associada a onda eletromagnética em um ponto específico do espaço. O Teorema de Poynting declara que a potência líquida total fluindo através de um volume qualquer é igual a taxa de redução da energia armazena em menos as perdas de condução (SADIKU, 2014). É importante observar que o Vetor de Poynting é perpendicular tanto ao campo quanto ao campo e, desta forma, aponta na direção de propagação da onda. Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Tema 5: Efeito Pelicular e polarização Até o momento estudamos as ondas eletromagnéticas se propagando no vácuo, espaço livre, sem perdas devido a condutividade do meiojá que no vácuo esta condutividade é zero. Entretanto, frequentemente temos que observar ondas eletromagnéticas se propagando em um dielétrico, o ar, ou em meios condutores como o cobre, o ouro e a prata. Sabemos que uma corrente que não varia no tempo em um condutor homogêneo, uniforme e cilíndrico está distribuída uniformemente por toda seção reta do cilindro. Se o condutor não for cilíndrico, a corrente não será distribuída uniformemente, mas estará presente em todo condutor (POPOVIC e POPOVIC, 2000). Veremos neste tema que uma corrente que varie no tempo tem a tendência de se concentrar próximo a superfície do condutor e daremos a este efeito o nome de efeito pelicular ou, em inglês skin effect. Considere o condutor mostrado na Figura 6 sobre o efeito de uma densidade de corrente , paralela a superfície, variante no tempo segundo uma senóide com frequência angular dada por . Considere ainda que este condutor tem condutividade e permeabilidade . Figura 6. Condutor sobre efeito de onda eletromagnética. Se, nesta condição, aplicarmos as Equações de Maxwell, veremos que a intensidade de corrente diminui de forma exponencial a medida que nos afastamos da superfície do condutor. Este efeito acontece devido à indutância eletromagnética. Um campo magnético variando no tempo é acompanhado por um campo elétrico induzido, também variando no tempo, que, por sua vez, cria correntes secundárias e campos magnéticos secundários, também variando no tempo. A Lei de Lentz garante que correntes induzidas produzem fluxo magnético que se opõe ao fluxo externo logo o fluxo total é reduzido. Quanto maior a condutividade do material, maiores são as correntes induzidas. Quanto maior a permeabilidade, maior a redução de fluxo. O resultado é que o campo magnético variando no tempo e as correntes induzidas serão menores que suas contrapartidas se a corrente for contínua. Tomemos as Equações de Maxwell adaptadas as nossas necessidades, considerando a frequência angular mas sem entrarmos nos conceitos de fasores. Sendo assim: Definimos fasor como sendo um vetor de fase. Trata-se da representação vetorial de um sinal senoidal com amplitude e frequência angular e fase constantes. O comprimento do fasor indica a amplitude do sinal enquanto a faz e é representada pelo ângulo que este vetor faz com uma referência. Se a grandeza representada pelo fasor varia no tempo, esta variação é expressa pela rotação do fasor. Assim representa o componente imaginário de um fasor senoidal escolhido para representar o campo magnético nesta demonstração. Por simplicidade, como e temos: Na descrição de nosso problema assumimos que nossa densidade de corrente teria apenas a componente , dependendo apenas de . Se tomarmos alguns cuidados com as condições de simetria e recorrermos a Lei de Biot-Savart perceberemos que, neste caso, existe apenas o componente do campo vetorial . Recorrendo a solução do rotacional em coordenadas cartesianas temos: Como dependem apenas de podemos nos dar ao luxo de usar derivadas ordinárias e: Podemos agora resolver este sistema, eliminado e obtemos: Cuja solução é direta: Que representa em forma exponencial a equação da densidade de corrente em função do componente , onde: Uma última consideração é muito importante. Vamos assumir que para , exatamente na fronteira, . Neste caso, para , densidade de corrente não pode crescer indefinidamente logo: e, finalmente temos: Ou, em muito bom português, a equação acima indica que a amplitude do vetor densidade de corrente decresce exponencialmente em função do crescimento do componente . Definimos profundidade de penetração o ponto onde a densidade original decresce para o valor de seu valor original. E calculamos este ponto por: A profundidade de penetração é função apenas da frequência angular, da permeabilidade e da condutividade. Agora você deveria ler o capítulo 11.4 do Hayt (2012), que contém uma demonstração um pouco diferente desta mas com o mesmo resultado. Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. NA PRÁTICA Uma das características mais interessantes das ondas eletromagnéticas é a polarização. Faça um estudo sobre polarização de ondas eletromagnéticas: O que é isso? Como funciona? Qual é a relação da polarização com os cristais líquidos? SÍNTESE Esta foi uma longa, ainda que excitante, jornada. Finalmente chegamos às ondas eletromagnéticas. Ondas que, de tão complexas e importantes, são consideradas, por muitos, tudo que há no universo. No nosso ponto de vista, são as ondas eletromagnéticas que usaremos para transmitir informação entre dois pontos quaisquer no espaço. Estejam estes pontos no vácuo, no ar ou dentro de um condutor. Vimos a transmissão de energia por estas ondas e, finalmente, percebemos que se não fosse esta transmissão de energia nosso mundo seria muito diferente do que é hoje. Vimos ainda o skin effect, um efeito importantíssimo não só pela economia de material, mas também pela flexibilidade que permite em transmissões de altíssima frequência. Imagine que você pode inverter a polaridade de uma onda com uma ação mecânica, tão simples quanto torcer um guia de onda. Mesmo sem ter que recorrer aos cálculos, os conceitos sobre eletromagnetismo ajudam muito a resolver problemas ao longo da carreira. Figura 7. Guia de Onda, para frequências na faixa das micro- ondas (CONTRIBUTORS, 2015). Acesse a versão online da aula e assista ao vídeo do professor Frank. Referências BAKSHI, U. A.; BAKSHI, A. V. Eletromagnetic Fields. Pune: Tchenical Publications Pune, 2000. CHISHOLM, H. Ohm, Georg Simon. In: ______ Encyclopædia Britannica Eleventh Edition. Cambridge: [s.n.], 1911. p. 34. EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo. [S.l.]: McGraw Hill, 1979. HAYT, W.; BUCK, J. A. Eletromagnetism. 8. ed. Nova Iorque: McGrawHill, 2012. JOHN D. KRAUS, K. R. C. Eletromagnetismo. 2. ed. Rio de Janeiro: Guanabara, 1990. OPENSTAX - RICE UNIVERSITY. College Physics. Houston: Rice University, 2013. SADIKU, M. Elements of Electromagnetics. London: Oxford University Press, 2014. TAFLOVE, A. Why Study Electromagnetics: The First Unit in an Undergraduate Electromagnetics Course. Evanston: 2002. WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. André-Marie Ampère. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2016. Disponível em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9- Marie_Amp%C3%A8re?oldformat=true>. Acesso em: 18 fev. 2016.
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