Lista Funções - Pré Cálculo

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Cálculo em uma variável
Lista 1
1. Esboce um gráfico das seguintes funções abaixo
(a) f(x) = |x+ 1|
(b) f2(x) = |x|+ 1
(c) f(x) = |||x− 1| − 1| − 1|
(d) f4(x) = |(x− 1)2 − 4|+ 2
(e) f(x) =
{
2x− 1, se− 2 ≤ x < 0
1− x, se0 ≤ x ≤ 2
(f) g(x) =
√
x
(g) h(x) =
√−x
(h) f(t) = t|t|
2. Identifique o domínio das funções abaixo:
(a) f(x) =
√
x+1
x2−x +
1
x−2 ,
(b) f(t) =
√
t+1√
t2−t + 2
1
t−5
,
(c) f(s) =
√|s− 1| − 3.
3. Encontre o domínio da função f(x) =
√
x+ 1 − √x− 4 e depois encontre os valores de x no
domínio para os quais teremos f(x) < 2.
4. Encontre o domínio da função f(x) =
√
(x− 1)2 − |2x| − 10x e depois encontre os valores de x
no domínio para os quais teremos f(x) < −23.
5. Encontre o domínio da função f(x) =
√
x− 2 +√x− 7 −√x+ 5 −√x− 10 e depois encontre
os valores de x no domínio que satisfazem a equação
√
x− 2 +√x− 7−√x+ 5−√x− 10 = 0.
6. Encontre a lei da função cujo gráfico é uma reta que passa pelo ponto (1,−5) e que:
(a) Tem coeficiente angular igual a 5.
(b) É paralela ao eixo x.
(c) É paralela ao eixo y.
(d) É paralela a reta 6y − 3x = 12.
(e) É perpendicular a reta 6y − 3x = 12.
7. Dadas as funções f(x) =
√
x+ 4, g(x) =
1
x2 − 4 e h(x) = 3
x − 1, pede-se:
(a) D(g)
(b)
g(x+ h)− g(x)
h
1
(c) (g ◦ f)(x)
(d) (h ◦ g)(x)
(e) D(g ◦ f)) e D(h ◦ g)
(f) f−1(x)
(g) h−1(x)
8. Verifique que a Im(f) ⊂ Dg e determine a composta h(x) = f(g(x)) dado que
(a) g(x) =
√
x e f(x) = 2 + x2
(b) g(x) = x+1x−2 e f(x) =
2x+1
x−1
(c) g(x) = sen(2x) e f(x) = 2x + 1
(d) g(x) = x2 + lnx e f(x) = xx−1
9. Use os gráficos de cada uma das funções f e g, dados a seguir, para calcular os valores a seguir
ou explique porque eles não estão definidos. f(g(2)), g(f(0)), (f ◦ g)(0), (g ◦ f)(6), (g ◦ g)(−2) e
(f ◦ f)(4).
10. Expresse a área e o perímetro de um triângulo equilátero em função do comprimento x do
triângulo.
11. Expresse o comprimento da aresta de um cubo em função do comprimento da diagonal d. Depois,
expresse a área da superfície e o volume do cubo em função do comprimento da diagonal.
12. Para que uma curva seja simétrica em relação ao eixo x, o ponto (x, y) deverá estar na curva se,
e somente se, o ponto (x,−y) também estiver na curva. Explique por que uma curva simétrica
em relação ao eixo x não é o gráfico de um função a não ser que a função seja y = 0.
13. Seja d a distância de (0, 0) e (x, y); expresse d em função de x, sabendo que (x, y) é um ponto
do gráfico de y = 1x .
14. Uma função qualquer, não necessariamente par ou ímpar, sempre pode ser decomposta na soma
de uma função par com uma ímpar. De fato, observe:
f(x) =
f(x) + f(−x) + f(x)− f(−x)
2
=
(
f(x) + f(−x)
2
)
+
(
f(x)− f(−x)
2
)
.
(a) Sendo g(x) = f(x)+f(−x)2 e h(x) =
f(x)−f(−x)
2 , a primeira e a segunda parcelas, respectiva-
mente, mostre que a função g é par e que a função h é ímpar.
(b) Mostre também que se a função f dada inicialmente é par ou ímpar, então a função h ou g
é nula, respectivamente.
(c) Escreva f(x) = x2 − 4x+ 3 como soma de duas funções, uma par e outra ímpar. Esboce o
gráfico destas funções para visualizar a simetria de seus gráficos.
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