Topografia II

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TTOOPPOOGGRRAAFFIIAA IIII 
AALLTTIIMMEETTRRIIAA EE GGPPSS 
 
 
AAggoossttoo//22000077 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCEEFFEETT--RRJJ 
CCOOOORRDD.. CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO CCIIVVIILL 
CCUURRSSOO DDEE EESSTTRRAADDAASS//EEDDIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS 
PPRROOFF.. MMAADDUURREEIIRRAA 
INDICE 
 
 
 
PARTE I - ALTIMETRIA 
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................1 
2. MEDIÇÃO DO RELEVO..........................................................................2 
3. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO........................................................12 
4. CÁLCULO DE VOLUME.......................................................................25 
 
PARTE II - GPS 
1. APRESENTAÇÀO DO SISTEMA........................................................27 
2. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO SISTEMA.............................31 
3. TÉCNICAS DE POSICIONAMENTO...................................................36 
4. EQUIPAMENTOS................................................................................42 
5. REDE BRASILEIRA DE MONITORAMENTO CONTÍNUO-RBMC.....43 
6. FATORES QUE INFLUENCIAM NA PRECISÃO DO 
POSICIONAMENTO............................................................................44 
7. ALGUMAS CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES NA ESCOLHA DO 
EQUIPAMENTO...................................................................................46 
 
ANEXO 
PARTE I - ALTIMETRIA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
Altimetria é o segmento da Topografia que estuda os processos de 
medição, bem como, de representação do relevo. 
 Iniciaremos com alguns conceitos básicos: 
 
- Altitude - H: é a distância vertical de um ponto em relação ao nível 
médio dos mares - NMM; 
- Cota (Altura) - h: é a distância vertical de um ponto em relação a um 
plano de referência arbitrário; 
 
 
 
 
 
 
H 
NMM 
PR h 
 
 
- Datum Vertical: plano de referência para contagem das altitudes. No 
caso do Brasil, o nível médio dos mares é obtido pelo marégrafo 
oficial implantado na cidade de Imbituba, em Santa Catarina. Logo, o 
datum é Imbituba; 
- Referência de Nível – RN: marcos topográficos com altitude 
conhecida. As RRNN são implantadas por todo território nacional 
pelo IBGE; as prefeituras municipais são responsáveis, através das 
Secretarias de Obra, Planejamento ou Urbanismo densificar as 
RRNN dentro da sua área de atuação. 
 
 
 1
2. MEDIÇÃO DO RELEVO 
 
 
 
 
 Todos os métodos de medição do relevo efetuam a determinação do 
desnível ou diferença de nível entre 2 pontos na superfície terrestre. Daí a 
necessidade de uma RN para o cálculo da altitude de um ponto. 
 
P 
HP HRN 
∆H
NMM
RN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 HP = HRN + ∆H 
 
 
 Onde: 
 HP => altitude do ponto P que se deseja medir 
HRN => altitude da RN (valor conhecido) 
∆H => desnível ou diferença de nível (medido em campo) 
 
 
2.1 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 Nesse método são utilizados o nível e a mira topográficos. 
 2
 
 No nivelamento geométrico é efetuada a leitura do fio médio (FM) com a 
mira na RN e no ponto P e o desnível é calculado pela diferença entre as 
leituras. 
 ∆H = LRN - LP 
 
LP LRN 
∆H 
P
RN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando que o sentido do transporte de altitude é da RN para o 
ponto P, podemos generalizar a expressão, que assume a seguinte forma: 
 
 ∆H = Lre – Lvante 
 
 
 Observando a figura verificamos que a mira topográfica é posicionada na 
RN e no(s) ponto(s) de interesse(s) e o nível pode ser instalado em qualquer 
local do terreno; não precisa estar alinhado ou mesmo posicionado entre os 2 
pontos. Entretanto, em medidas de maior rigor, deve-se buscar posicioná-lo de 
maneira eqüidistante em relação às duas miras, a fim de se eliminar um 
possível erro instrumental de horizontalidade. 
 
Nota: Em alguns casos pode ser necessário medir a distância entre a RN e o 
ponto medido Utiliza-se a fórmula da distância horizontal da taqueometria. O 
nível deve estar alinhado com os dois pontos e o valor é obtido pela soma das 
distâncias entre as visada à ré e à vante. 
 3
 
Dtotal 
Dvante 
Dré 
P
RN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DH = 100 x (FS – FI) x sen2z 
 
 Sendo que no uso do nível o valor de z é sempre 90º e, 
consequentemente, o seno é igual a unidade. Assim, a expressão assume a 
seguinte forma: 
 
 DH = 100 x (FS – FI) 
 
 
 
Mais alguns conceitos: 
 
Linha de nivelamento: a linha de nivelamento é composta de vários lances de 
nivelamento e é utilizada na impossibilidade de se 
medir o desnível de uma única vez ou quando se 
deseja conhecer a altitude de vários pontos ao longo de 
um alinhamento (ruas, estradas, dutos etc.). 
 
 4
 
P4 
P3 
P2 
∆H4 
∆H3
P1 
RN ∆H1 
∆H2
 
 
 
 
 
 
 
 
 O cálculo da linha de nivelamento é feito da seguinte forma: 
 
 HP1 = HRN + ∆H1 
 HP2 = HP1 + ∆H2 
 HP3 = HP2 + ∆H3 
 HP4 = HP3 + ∆H4 
 
 
Contra nivelamento: é o nivelamento da mesma linha só que em sentido 
contrário. O contra nivelamento é, na realidade, um 
controle das medidas efetuadas, uma vez que, o 
processo de medição é muito rápido e o operador está 
sujeito a cometer erros de leitura na mira. 
Notas: 
1. A execução do contra nivelamento não descarta a necessidade de uma 
linha ter como ponto de chegada uma RN (pode ser a mesma da partida ou 
uma distinta); 
2. O uso de níveis digitais com leitura eletrônica da mira dispensa a realização 
do contra nivelamento. 
 5
Cálculo de uma Linha de Nivelamento:çk 
 
 
Trecho 
∆H 
(niv) 
∆H 
(contra) 
∆H 
(médio)
H prelim. 
(I) 
Corr. 
(II) 
H final 
(I) + (II)
RNA – P1 ∆H1 ∆H1’ ∆H1 m HP1 = HRNA + ∆H1 m 1 x corr 
P1 – P2 ∆H2 ∆H2’ ∆H2 m HP2 = HP1 + ∆H2 m 2 x corr 
P2 – P3 ∆H3 ∆H3’ ∆H3 m HP3 = HP2 + ∆H3 m 3 x corr 
P3 – RNB ∆H4 ∆H4’ ∆H4 m HRNB = HP3 + ∆H4 m 4 x corr 
 Erro HRNB(T) - HRNB(real) 
 Corr - (Erro/n) 
HRNB(T) = altitude da RN transportada pela linha de nivelamento 
HRNB(real) = altitude real da RN 
n = número de desníveis medidos 
 
 
Nota: no cálculo da média aritimétrica dos desníveis deve-se utilizar a 
expressão abaixo com a diferença algébrica em vez da soma, já que o ∆H’ (do 
contra nivelamento) apresenta sinal contrário ao do nivelamento por ser 
executado no sentido de volta. 
 
 ∆H m = (∆H - ∆H’) / 2 
 
 
 
Tolerância altimétrica (Th): é o erro máximo que se pode cometer numa linha 
e é expresso da forma: 
Th = A mm x √ k , onde k é a extensão da linha em km. 
 
O valor de A varia de acordo com a precisão exigida para o trabalho. Quanto 
menor for A maior a precisão exigida (por exemplo: Th = 50mm x √ k ). 
 
 6
Vantagens do nivelamento geométrico: 
 
 
- O método é mais preciso, pois o equipamento, por construção, garante o 
plano horizontal, dispensando a medida de inclinação da luneta (no caso do 
teodolito); 
- Cálculo simples; 
- Apresenta rapidez de execução no campo; 
- Equipamento significativamente mais barato 
- Sendo rápido, simples e com equipamento barato, consequentemente, o 
método é barato. 
 
 Na próxima página está apresentado um exemplo do cálculo de uma 
linha. 
 7
EXEMPLO DE UMA CADERNETA E CÁLCULO DE UMA LINHA 
 
 
NIVELAMENTO CONTRA-NIVELAMENTO 
Ponto L Ré L Vte dH H Ponto L Ré L Vte dH 
RN 1 1,254 50,000 RN 2 2,631 
P1 0,985 0,269 50,269 P8 0,340 2,291 
P1 1,002 P8 2,887 
P2 0,558 0,444 50,713 P7 1,306 1,581 
P2 3,221 P7 3,654 
P3 1,0022,219 52,932 P6 0,324 3,330 
P3 2,568 P6 1,569 
P4 2,358 0,210 53,142 P5 1,490 0,079 
P4 2,698 P5 0,339 
P5 0,257 2,441 55,583 P4 2,784 -2,445 
P5 1,258 P4 2,008 
P6 1,339 -0,081 55,502 P3 2,212 -0,204 
P6 0,258 P3 1,006 
P7 3,584 -3,326 52,176 P2 3,221 -2,215 
P7 1,569 P2 0,774 
P8 3,147 -1,578 50,598 P1 1,216 -0,442 
P8 0,265 P1 1,025 
RN 2 2,558 -2,293 48,305 RN 1 1,292 -0,267 
 
H (RN 1) = 50,000m 
H (RN 2) = 48,316m 
 
CÁLCULO 
Trecho dH (niv) dH (cn) dH (médio) H pre corr H H Final 
 
RN-P1 0,269 -0,267 0,268 50,268 0,0019 50,270 
P1-P2 0,444 -0,442 0,443 50,711 0,0039 50,715 
P2-P3 2,219 -2,215 2,217 52,928 0,0058 52,934 
P3-P4 0,210 -0,204 0,207 53,135 0,0078 53,143 
P4-P5 2,441 -2,445 2,443 55,578 0,0097 55,588 
P5-P6 -0,081 0,079 -0,080 55,498 0,0117 55,510 
P6-P7 -3,326 3,330 -3,328 52,170 0,0136 52,184 
P7-P8 -1,578 1,581 -1,580 50,591 0,0156 50,606 
P8-RN2 -2,293 2,291 -2,292 48,299 0,0175 48,316 
 Erro: -0,018 
 corr: 0,002 
 
Perímetro = 500 m 
Th: 50mm x √ k = 35,4 mm 
 
 8
2.2 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
Nesse método é utilizada a Estação-Total. 
 
 
 
Prisma 
 
DH
AP
AI 
z 
∆H 
P
 
 
 
 
 
 
RN 
 
 Dh 
tg (z) = => Cat. oposto = Dh x cotg(z) 
 Cat. oposto 
 
 ∆H = Cat. oposto + AI – AP 
 
 ∆H = Dh x cotg(z) + AI – AP 
 
 
Obs 1.: O conceito de linha também serve para o nivelamento trigonométrico. 
Obs 2.: O contra nivelamento pode ser efetuado junto com o nivelamento. Ao 
se efetuar a leitura a ré do ângulo horizontal da poligonal, aproveita-se 
para medir a distância e o desnível novamente. 
 
 
 9
 
 
 
Vantagens do nivelamento trigonométrico: 
 
- É mais eficiente em terrenos com relevo ondulado, pois, o equipamento 
permite o movimento vertical da luneta; 
- É executado simultaneamente ao levantamento planimétrico. 
- É mais preciso que o método taqueométrico. 
 
 
 2.3 NIVELAMENTO TAQUEOMÉTRICO 
 Esse processo é uma variante do nivelamento trigonométrico que, no 
entanto, utiliza medições por taqueometria, ou seja, teodolito com mira 
topográfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A expressão assume a seguinte forma: 
 
 ∆H = Dh x cotg(z) + AI – FM 
 10
P
DH
FM
AI 
Mira 
z 
∆H 
RN 
 
Vantagens do nivelamento taqueométrico: 
 
 
- O equipamento utilizado é mais barato do que a estação-total utilizada no 
trigonométrico. 
 
Nota: Esse é o método menos preciso de todos. 
 11
3. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
 
 
 
 Existem diversas formas para representar o relevo, das quais serão 
vistas algumas. As duas primeiras permitem uma visão generalizada. As 
demais são utilizadas nas áreas de planejamento e projeto por permitirem aferir 
com precisão os valores de altitude. 
 
1. HIPSOMETRIA 
 Esse processo utiliza cores para representar faixas de altitude. 
 
 
 
2. SOMBREADO 
 São utilizadas sombras sobre as vertentes, de modo a ressaltar o relevo. 
O processo supõe uma fonte luminosa no canto superior esquerdo da carta. 
Quanto maior a declividade mais escuro será o tom. 
 12
3. PONTO COTADO 
 
 É uma representação pontual da altitude do terreno, sendo muito 
utilizada em levantamentos batimétricos e áreas de porto. O uso do ponto 
cotado é comum, também, como informação complementar aos demais 
métodos de representação. 
 
 
 75 
x 
 
Ponto Cotado 
 
 
 
 Levantamento de um Canal 
 
 
4. CURVA DE NÍVEL 
 A curva de nível pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos 
que possuem a mesma altitude, sendo utilizado para representação do relevo 
de áreas. 
 As curvas são geradas por planos horizontais que interceptam o terreno 
em distâncias verticais iguais (eqüidistância). 
 
 
 
Observe o uso do ponto cotado 
na indicação das altitudes em 
pontos que a curva de nível 
não é representativa: picos e 
vales. 
 
 13
Características: 
 
 
14
- as curvas de nível nunca se interceptam; 
- nas elevações, as curvas internas representam maior altitude; 
- nas depressões, as curvas internas representam menor altitude; 
- quanto menor a eqüidistância entre as curvas maior será o detalhamento 
do relevo; 
- curvas próximas indicam relevo acentuado, enquanto que curvas 
afastadas indicam pouca ondulação; 
 
 
70
80
90
100
70
80
90
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- os valores da altitude são escritos sobre a curva interrompendo-a; 
- somente as curvas mestras levam o valor da altitude. 
 
Curvas Mestras: são curvas destacadas que auxiliam a interpretação do 
relevo, apresentando um traço mais forte. 
50
100
 
 
15
Normalmente, são definidas como mestras as curvas contadas de 5 em 5 
curvas. Por exemplo: 
 
Eqüidistância Curvas mestras 
1 metro 0, 5, 10, 15, ... 
2 metros 0, 10, 20, 30, ... 
5 metros 0, 25, 50, 75, ... 
2,5 metros* 0, 10, 20, 30, ... 
 
* Para eqüidistância de 2,5 (e suas potências de 10: 25, 250 e outras) é mais 
conveniente que as mestras sejam de 4 em 4 curvas. 
 
 
 
 
Casos especiais: 
 
 
 
 
 
 
 Edificação 
Riacho 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 8 9 10
18
12
13
19
20
Barranco 
 Rua
Área Íngreme 
 
COMO TRAÇAR AS CURVAS DE NÍVEL! 
 
 
16
 
• No Campo 
 Deverá ser gerada uma malha de pontos com coordenadas 
planialtimétricas. Pode-se seguir, inicialmente, uma regra geral de pontos 
espaçados de 1 cm na escala da planta (por exemplo: escala 1/2.000, pontos a 
cada 20 metros). 
 
1. Implantar um eixo, de preferência dividindo o terreno em duas áreas iguais; 
2. Estaquear o eixo; 
3. Medir pontos ao longo de seções transversais, em cada estaca, à direita e à 
esquerda do eixo. 
 É importante que, além dos pontos com o espaçamento planejado, 
sejam levantados todos aqueles que caracterizam a área, tais como, pé e crista 
de barranco, pontos altos e baixos, mudança na inclinação do relevo etc. 
 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
 
 
 
 
 
 
 
Seções Transversais 
 
 A malha de pontos pode ser levantada, também, pelo processo de 
irradiação; no entanto, não é garantida uma distribuição regular dos pontos. 
x x x x x x 
 x x x x x x 
x x x x x x 
 
Irradiação 
• No gabinete 
1. Plotar o eixo e os pontos levantados em campo; 
 
2. Anotar ao lado de cada ponto o valor da altitude; 
3. Interpolar os valores correspondentes às curvas de nível entre cada par de 
pontos contíguos. A interpolação pode ser visual na qual o desenhista 
estima a posição da curva em função dos valores das altitudes mais 
próximos ou numérica na qual o desenhista ou o sistema automatizado 
interpola, através de uma regra de 3, o valor da altitude da curva. 
4. Editar a forma final, traçando as curvas mestras e “pentear” as curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha triangular 
gerada por software 
para interpolação 
das curvas de nível. 
 
 
 
 
2 
x 
x 
x4.7 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 5.7 6.0 x x x 6.1 x 
6 
5 4.8 x 4.5 x x x 5.3 x 
5 
4.2 x 3.9 x x x x 
4 
3.73.2 x 2.1 x x x x 
3 
2.92.6 x 1.6 x x x x 
Curvas Editadas 
 
 17
 
5. PERFIL TOPOGRÁFICO 
 
 
 É utilizado para representação do relevo ao longo de um alinhamento 
(ruas,estradas, dutos). O perfil, na realidade, pode ser traduzido por um gráfico 
da variação de altitudes ao de uma linha. 
 
 
 
 
 
 
A
lti
tu
de
 (m
) 
 
 
 
 Distância (m) 
 
 
Características: 
- o eixo vertical representa os valores das altitudes e o horizontal das 
distâncias do alinhamento. Pode ser em kilometragem corrida ou em 
estacas; 
- o eixo das altitudes, em geral, possui a escala ampliada em relação ao 
das distâncias. Isso se dá sempre que o comprimento do alinhamento for 
bem maior do que a variação de altitude do terreno. Não há uma regra 
para escolha da ampliação a ser aplicada; deve prevalecer o bom senso 
na representação. 
 
 18
COMO ELABORAR UM PERFIL TOPOGRÁFICO! 
 
 
1. Através de um mapa 
 
• Coleta de dados 
1. Traçar sobre o mapa o alinhamento de interesse; 
2. Elaborar uma tabela com os dados para construção do perfil, que podem 
ser: 
- n.º do ponto (numeração seqüencial) 
- descrição (topo, vale, rio, estrada). Sugere-se anotar apenas os pontos 
específicos 
- distância acumulada em relação à origem do alinhamento 
- altitude 
Exemplo: 
N.º do 
ponto Descrição Distância (m) Altitude (m) 
1 0 153,5 
2 125,3 187,9 
3 Topo 265,1 199,2 
4 350,0 175,5 
5 Rio 410,5 156,5 
... ... ... ... 
 
 
Obs.: deverão ser levantados todos os pontos que possuam informação de 
relevo (curva de nível, ponto cotado) e pontos característicos (rios, ruas etc.) 
 
Nota: quando a escala 
horizontal do perfil for a mesma 
que a do mapa, pode-se usar o 
artifício de assinalar sobre uma 
borda do papel a distância entre 
os pontos que comporão o perfil, 
dispensando a elaboração da 
tabela. 
 19
• Traçado do perfil 
1. Traçar os eixos horizontais e verticais 
 
2. Graduar os eixos segundo as respectivas escalas 
 
Perfil Topográfico 
Trecho: Alinhamento 1 
 
 
Esc. Horizontal: 1/ 1.000 
Esc. Vertical: 1/ 100 
A
lti
tu
de
 (m
) 
 275 
 
 
 
272 
 500 
Distância (m) 
 
3. Plotar os pontos em função da distância e da respectiva altitude 
4. Traçar o perfil 
 
Perfil Topográfico 
Trecho: Alinhamento 1 
 
Esc. Horizontal: 1/ 1.000 
Esc. Vertical: 1/ 100 
A
lti
tu
de
 (m
) 
 275 
 
 
 272 
 500 
Distância (m)
 
 
2. Com medidas de campo 
 Nesse caso, a fase de coleta de dados é distinta, no qual são efetuadas 
as medidas de distância e altitudes diretamente no campo através dos 
processos topográficos. 
 O traçado do perfil segue a mesma orientação que o anterior. 
 20
 
 
 
21
Esquemas de representações em curva de nível e perfil topográfico 
 
 
 
Vista Oblíqua 
 
 
 
 Vista de Mapa
 
 
 
 
Vista de Perfil
 
 
 
 
 
 
 
Vista Oblíqua 
 
 
 
 
Vista de Mapa
 
 
 
 
 
 
Vista de Perfil 
 
 
 
 
 Vista Obliqua 
 
 
 
 
 
Vista de 
Mapa 
 
 
 
 
 
 
6. MODELO DIGITAL DE TERRENO - MDT 
 
 O MDT é um arquivo digital de pontos com coordenadas tridimensionais 
que permite que sistemas especializados tracem curvas de nível, perfis 
topográficos, efetuem cálculos de área e volume e ainda permite uma 
visualização em 3D. 
 
 
 
 22
 Aplicando sombreado ao MDT: 
 
 
 
7. DECLIVIDADE 
 
 Representa a inclinação de uma rampa. 
- aclive: rampa em subida 
- declive: rampa em descida 
 
A declividade pode ser: 
- positiva (+): rampa em subida 
- negativa (-): rampa em descida 
 
 A declividade é calculada pela tangente do ângulo de inclinação da 
rampa e é expressa em porcentagem (%). 
 
Medida em Perfil: 
 
B 
 
100
 
90 ∆H 80 α 
 70 d A 
 23
Medida em Planta 
 
 
 
 A B 
 
100 
90
 
80
 70
 
 
 
 ∆H HB - HA 
Decliv (AB) = x 100 = x 100 
 d d 
 
 
 
onde: 
∆H = desnível ou diferença de nível entre os pontos A e B 
HB = altitude do ponto B 
HA = altitude do ponto A 
d = distância horizontal (plana) entre os pontos A e B 
 
 
 
Exemplo: 
HB = 105 m 
HA = 70 m 
d = 500 m 
 
 HB - HA 105 - 70 
Decliv (AB) = x 100 = x 100 = 0,07 = 7% 
 d 500 
 
 
 24
4. CÁLCULO DE VOLUME 
 
 
 
 
O cálculo de volume também denominado de “cubagem” é importante em 
obras que envolvem movimentação de material da superfície terrestre (terra, 
pedra etc.): 
- projeto de vias 
- construção em encostas 
- quantificação de jazidas 
- terraplenagem 
 
A cubagem pode ser efetuada de duas formas: sobre um mapa ou através 
de levantamento de campo. 
 
1. Cubagem sobre um mapa 
 
 A cubagem é realizada sobre as curvas de nível que representam as 
elevações do local. 
 
25
 O volume é calculado através 
da soma das parciais entre cada par 
de curva de nível e o valor é obtido 
pela analogia com a formulação do 
cone e do tronco de cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V1 
V2 
V3 
VT = V1 + V2 + V3 
 
 
 
 
 
 
 
AB 
h V = AB x (h/3) V = (AB + Ab) x (h/2) 
Ab
h
AB
 
 
 
 
 
 Deverão ser efetuadas as medições das áreas definidas por cada curva 
de nível, onde se utilizará um dos métodos vistos anteriormente; a altura do 
cone ou do tronco de cone será a eqüidistância das curvas. 
 
 
2. Cubagem através de um levantamento de campo 
 
 Deverão ser levantadas em campo seções transversais ao longo da 
elevação. 
 
 
d 
 
 
S4 S1 S3 S2 
 
V1 
 V4 V2 V5 V3 
 
 Em cada seção transversal são levantados pontos que caracterizem o 
relevo. Cada seção é, posteriormente, desenhada em perfil através do qual são 
medidas as áreas referentes a cada uma delas. 
 O volume é obtido, a partir daí, de forma similar ao anterior, ou seja, são 
calculados os volumes parciais entre cada seção e o volume total é a soma 
aritimética das parciais. No caso, a distância entre seções corresponde a altura 
do cone ou do tronco de cone. 
 
 
 
 26
PARTE II - GPS: GLOBAL POSITION SYSTEM 
 
 O GPS é um sistema de navegação por satélites e é o mais conhecido pela 
comunidade civil. Outros sistemas são: 
 - Glonass: desenvolvido pela antiga União Soviética, encontra-se com 
seu programa em fase de revitalização após quase abandono total. 
- Galileo: desenvolvido pela comunidade européia, encontra-se em 
fase de implantação. 
 
1. APRESENTAÇÃO DO SISTEMA GPS 
 
O sistema foi criado pelo departamento de defesa americano (DOD) e pode 
ser caracterizado por 3 segmentos básicos: 
 
1º. Espacial: composto pelos satélites em órbita, 
 
2º. Estações de Controle: responsáveis pela manutenção e operação do 
sistema, 
 
3º. Usuário: os receptores dos sinais transmitidos pelos satélites. 
 
 27
 
 
 
28
 
Fig 1 – Segmentos do Sistema GPS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Informações Gerais 
 
¾ possui uma constelação básica de 24 satélites em 6 planos orbitais. 
Na prática: 
• Bloco I: 11 satélites lançados entre 1978 e 1985 (já desativados). 
• Bloco II (II e IIA): 28 satélites lançados entre 1985 e 1995 (sistema 
completo). 
• Bloco III (IIR e IIF): satélites a partir de 1996 (substitutos dos demais 
visando modernização do sistema). 
¾ órbita de aproximadamente 20.000 km; 
¾ criado para substituir limitações do sistema Transit, principalmente com 
relação à necessidade de navegação em tempo real; 
¾ concebido de forma a se ter sobre o horizonte, no mínimo 4 satélites em 
qualquer lugar da superfície terrestre; 
 
1.2 Estrutura Dos SinaisA função do segmento espacial é gerar e transmitir sinais GPS através 
de ondas portadoras denominadas L1 e L2, destinados a informar ao 
usuário a saúde (condições operacionais), efemérides (parâmetros de órbita) 
dos satélites, dados para correção dos relógios etc. 
Frequências ♦ 
- L1: 1575,42MHz (154 x 10,23 MHz) e λ = 19 cm; 
- L2: 1227,60 MHz (120 x 10,23 MHz) e λ = 24 cm. 
 
♦ Código C/A ( Course Aquisicion) 
- Transmitido na L1; 
- Cada satélite possui um código para a sua identificação. 
 
♦ Código P (Precise) – denominado Y quando criptografado 
- Transmitido na L1 e L2; 
- Cada satélite transmite um segmento do código; 
- Utilizado para fins militares. 
 
♦ Código D 
- Transmite o almanaque (informações dos satélites e efemérides). 
 
 
1.3 Sistema Geodésico de Referência 
 
- Planimetria 
 
Os dados obtidos no rastreamento e os cálculos realizados para o 
posicionamento são referenciados ao WGS-84 (World Geodesic System). Nos 
receptores de navegação pode-se escolher o sistema geodésico que se deseja 
que as coordenadas sejam apresentadas, sendo a transformação efetuada 
automaticamente; já nos receptores topográficos e geodésicos, geralmente, 
essa definição é estabelecida no software de pós-processamento. 
 29
 
 
 
O Brasil adota-se, atualmente, o SIRGAS para o mapeamento 
sistemático do país. Este sistema ainda está em fase de implantação. O SAD-
69 foi o sistema de referência oficial até 2005 mas, ainda pode ser adotado por 
um período de transição até 2015. 
 
¾ Parâmetros do elipsóide do WGS-84 : 
 O elipsóide inicialmente utilizado foi o GRS-80 que posteriormente sofreu 
refinamentos gerando novos parâmetros sendo denominados G730 (em 1994) 
G873 (em 1997). 
 
Tabela 1: Parâmetros dos elipsóides do WGS-84 
Parâmetros GRS-80 G873 
Semi-eixo maior (a) 6.378.137 m 6.378.137 m 
Achatamento (f) 1/ 298,257223563 1/ 298,2572221 
 
¾ Parâmetros do elipsóide do SAD-69 : 
 
Tabela 2: Parâmetros do elipsóide do SAD-69 
Semi-eixo maior (a) 6.378.160 m 
Achatamento (f) 1/ 298,25 
 
 
- Altimetria 
 
 30
As altitudes determinadas pelo GPS, assim como as coordenadas 
planimétricas, são referenciadas ao elipsóide. Para que as altitudes sejam 
ortométricas, ou seja, referenciadas ao nível médio dos mares (geóide), torna-
se necessário o conhecimento das alturas geoidais (afastamento entre o 
elipsóide e o geóide). O IBGE desenvolveu o software Mapgeo para 
interpolação das alturas geoidais referenciadas ao SAD-69 com erro médio 
absoluto de 3 metros e relativo de 1cm/km. 
 
 
Fig. 3 - Altura geoidal (IBGE) 
 
Para regiões de trabalho com um raio em
GPS para o transporte de altitudes com a de
elipsoidal em uma Referência de Nível - RN. 
(elipsóide e geóide) fornece a altura geoid
assumida como constante na região. 
A precisão do GPS na determinação altim
precisão planimétrica. 
 
2. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO SI
A idéia básica do funcionamento do GPS é
empregue equipamentos da mais alta tecnolog
1. Se soubermos que distamos de um s
que estamos em algum ponto no univ
de 20.000 km. 
 
Posicionamento com 1 satél
20.000 km 
 
 
 
 
 
31
 
 torno de 1 km pode-se utilizar o 
terminação em campo da altitude 
A comparação das duas altitudes 
al naquele ponto que pode ser 
étrica é da ordem de 1,5 vez a 
STEMA 
 bem simples, embora o sistema 
ia. Vamos entendê-lo: 
atélite 20.000 km, podemos dizer 
erso sobre uma esfera com raio 
Esfera de 
Localização
ite 
 
 
32
2. Se soubermos agora que distamos 21.000 km de um segundo satélite, 
o único lugar que poderemos estar situa-se no círculo onde as duas 
esferas se interceptam. 
 
Localização
 
 
 
 
 
 
 Posicionamento com 2 satélites 
 
3. Se, finalmente, medirmos ao mesmo tempo a distância para um terceiro 
satélite - 22.000 km - haverá apenas dois pontos em que essa nova 
esfera interceptará o círculo de interseção das outras duas. 
 
Posicionamento com 3 satélites 
Localização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os sistemas computacionais dos receptores GPS possuem várias 
técnicas seguras de distinguir a localização correta da incorreta. 
Assim sendo, podemos concluir que para nos localizarmos por um 
sistema GPS, necessitamos das medidas simultâneas para 3 satélites. 
Entretanto, veremos mais adiante, que por razões técnicas, necessitaremos de 
um 40 satélite. 
 
 
 
33
• Medindo as Distâncias 
 
A medição da distância entre um ponto na superfície terrestre e um satélite 
pode ser efetuada de duas maneiras: através da observação do código C/A e P 
ou observação da fase da onda portadora. 
 
¾ Observação dos códigos C/A e P 
 
A observação dos códigos propicia a medida do tempo de propagação 
do sinal entre um determinado satélite e o receptor. Esse valor será 
multiplicado pela velocidade de propagação da onda resultando na distância 
percorrida pelo sinal. 
Uma vez que os receptores não possuem osciladores (relógios) tão 
estáveis quanto os dos satélites (estes custam em torno de U$100,000 cada), 
inclui-se na modelagem matemática para solução do problema a medição para 
um 4o satélite que propiciará a correção do relógio do receptor. 
A distância medida entre o satélite e o receptor é comumente 
denominada de pseudo-distância por incorporar uma incerteza no seu valor. 
 
Fig. 7 – Transmissão do sinal 
INSTANTE (T+∆T) 
INSTANTE (T) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ρ = c x ∆T 
 
sendo: 
∆T = TR - TS 
e: 
- ρ a pseudo-distância 
- TR a hora do sinal chegando no receptor 
- TS a hora do sinal deixando o satélite 
- c a velocidade de propagação do sinal 
 
¾ Observação da fase da onda portadora 
 
A observação da fase da portadora, analogamente àquelas efetuadas 
nos códigos, também fornece indiretamente a medida da distância entre o 
receptor e o satélite (pseudo-distância). 
Esse tipo de observação apresenta maior resolução, uma vez que o 
comprimento de onda das portadoras é bem menor que o dos códigos. 
 
λ = c / f 
sendo: 
λ = comprimento da onda 
c = velocidade de propagação da onda (≈ 300.000 km/s) 
 f = freqüência da onda 
 
temos: 
 
 - Código C/A: λ = 300.000 / 1.023 = 293 m 
 - Código P: λ = 300.000 / 10.230 = 29,3 m 
 - L1: λ = 300.000 / 1.575.000 = 19 cm 
 
 34
A medição se dá pela “pura diferença de fase”: 
 
 
35
 
 
λ 
Fig. 8 – Propagação da portadora 
fração λ 
N x λ 
 
 
 
 
 
 
 
 
A pseudo-distância é obtida pelo produto do número inteiro de ciclos de 
onda N (conhecido como ambigüidade) pelo seu comprimento λ acrescido de 
uma fração de ciclo. 
 
Matematicamente falando: 
 
λ
Fig. 9 – Fase da portadora 
φRφS
fração λ N x λ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ρ (s-r) = N x λ + fração λ , sendo a fração (conhecida como diferença de fase) 
e: 
ρ (s-r) = pseudo distância entre satélite e receptor 
N = número inteiro de ciclos (ambigüidade) 
λ = comprimento da onda 
3. TÉCNICAS DE POSICIONAMENTO 
 
 
36
 Na literatura existente sobre o tema podemos encontrar diversas 
maneiras de classificar as técnicas de posicionamento: observação por 
código ou portadora, resultado em tempo real ou a posteriori, pontos isolados 
ou posicionamento relativo, cada uma com as suas variações possíveis. Nesse 
texto abordaremos as técnicas mais usuais. 
 
3.1 Ponto Isolado 
O ponto isolado se caracteriza pelo uso de apenas 1 receptor. A solução da 
distância tanto pode ser obtida com observação do código ou da portadora. 
Neste caso a precisão doresultado não se altera em função da solução 
observada. Uma vez que os equipamentos que observam as portadoras são 
significativamente mais caros são utilizados, em geral, receptores que 
observam somente os códigos, denominados de receptores de navegação por 
serem amplamente utilizados para essa finalidade. 
Os parâmetros das órbitas dos satélites são determinados pelas estações 
de controle do sistema GPS e enviados para os satélites que passam a 
transmiti-los até que recebam novos parâmetros atualizados. Nesse processo 
são utilizados os parâmetros transmitidos pelos satélites, o que possibilita a 
obtenção das coordenadas em tempo real (praticamente). 
 Além dos erros existentes no posicionamento por satélites (ver capítulo III) 
este processo sofre forte influência da configuração da constelação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10 – Configuração dos Satélites 
CONFIGURAÇÃO FRACACONFIGURAÇÃO BOA
 
 
 
 
37
 O resultado obtido para as coordenadas pode apresentar um erro de 
até 15 metros. 
 
 Equipamentos: 
 
• Navegação: Equipamento portátil trabalha com determinação da pseu-
distância (código), armazena somente as coordenadas dos pontos. 
Diferencia-se na capacidade de memória, possibilidade de visualização de 
mapas, tela com zoom ou colorida e número de canais de recepção. O 
preço varia em torno de US$400 incluindo antena externa e cabos. 
 
 
Fig 11 – Receptor de navegação (Menezes, 1998) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para GIS/Cadastro: similar ao anterior com coleta de dados associada a 
uma biblioteca de feições e atributos (ponto, linha e área). Custam cerca de 
US$1,000 
 
3.2 Posicionamento Relativo 
 
 
38
 
No posicionamento relativo são necessários 2 receptores rastreando 
sinais GPS dos mesmos 4 satélites (no mínimo), simultaneamente. 
 
Estação Remote Estação Master 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 12 – Posicionamento Relativo 
 
Veremos a seguir algumas dessas técnicas. 
 
 a) Posicionamento Estático 
 
Esse tipo de solução fornece a diferença de coordenadas entre os 
receptores, motivo pelo qual um deles deverá ser instalado em um vértice de 
coordenadas conhecidas (master) e o outro no ponto em que se deseja obter 
as coordenadas (remote). 
São utilizados equipamentos com L1 ou L1 e L2, os resultados são obtidos 
com pós-processamento e a precisão degrada proporcionalmente ao 
afastamento entre os receptores (base ou baseline). 
As precisões alcançadas podem ser de ordem topográfica ou geodésica 
dependendo do tipo de antena utilizada e de solução adotada pelo software. 
Experiências práticas definem a seguinte relação para o tempo de 
rastreamento: 
 
 Tabela 3: relação entre a base e o tempo de rastreio 
Distância entre receptores Duração da sessão* 
< 10 km 0:30 à 1 hora 
10 km < d < 50 km 1:30 a 2 horas 
 * A duração da sessão é função do intervalo entre as épocas (taxa de gravação). 
 
Para distâncias superiores a 50 km recomenda-se equipamento de dupla 
freqüência (L1 e L2) para correção dos principais efeitos de refração da 
ionosfera. 
A qualidade das observações é, portanto, função principalmente da 
freqüência utilizada (L1 ou L1 e L2), da extensão da base e do tempo de 
rastreio. 
 As precisões divulgadas na literatura para o uso dessa técnica variam de 
uma publicação para outra, possivelmente, em função dos diversos fatores 
envolvidos no rastreio (extensão da base, duração da sessão, configuração da 
constelação, taxa de gravação, comportamento da ionosfera etc.). Podemos 
mesmo assim, apresentar alguns valores em torno dos quais as precisões 
devem ser obtidas. Esses valores referem-se a um rastreio com taxa de 
gravação de 5 segundos, bases menores que 10 km e uso de efemérides 
transmitidas. 
 
Tabela 4: Precisão do posicionamento estático 
Equipamento Frequência Precisão 
L1 e L2 1 ppm* 
Geodésico 
L1 2 ppm 
Topográfico L1 10 a 30 cm 
* Parte por milhão = 1mm a cada km de extensão da base. 
 
 As precisões do quadro anterior podem ser melhoradas com o uso de 
efemérides precisas, correção dos relógios dos satélites e modelos 
troposféricos. 
 39
 
 
 
40
b)Semi-cinemático ou STOP & GO 
O procedimento é semelhante ao anterior. É necessário inicialmente 
determinar a ambigüidade (no de ciclos) em um ponto remote com uma 
duração de sessão de aproximadamente 30 minutos (com taxa de gravação de 
5 seg.). Sendo cumprida esta etapa desloca-se para os demais pontos remotes 
com uma ocupação em torno de 20 s (4 ou 5 épocas) em cada ponto. 
 Nesse método não pode haver perda de sinal com os satélites nem durante 
o deslocamento. Caso ocorra a perda de sinal, deve-se retornar ao último 
ponto levantado e redefinir a ambigüidade. 
 A precisão desse método varia em torno de 10 a 30 cm com qualquer uma 
das alternativas para se determinar a ambigüidade. 
 
 c) DGPS 
 O posicionamento relativo também pode ser chamado de diferencial. 
Entretanto, para não causar confusão com a técnica DGPS – GPS Diferencial – 
é que se adota essa denominação. 
 Esse método baseia-se na comparação da pseudo-distância calculada com 
as coordenadas conhecidas e a pseudo-distância determinada no momento do 
rastreio. Esse erro é utilizado para a correção da pseudo-distância do ponto 
remote. Assumem-se assim, condições homogêneas entre as estações sendo 
que essa relação se deteriora à medida que as estações se distanciam. 
 É um método muito utilizado em navegação, necessitando para tal de um 
link de rádio para transmissão para o ponto remote da correção que é 
determinada na estação máster. Desta forma,é possível se obter as 
coordenadas corrigidas em tempo real. 
 
 
O método proporciona 
uma precisão de 1 a 5 
metros 
 
 
 
 
Fig 12 – DGPS
 
¾ WADGPS (Wide Area DGPS) 
 
 
Consiste numa rede de estações master espalhada pela área do 
levantamento. A correção é monitorada em todas as estações e transmitidas 
para o usuário do sistema através de um link de comunicação (rádio ou 
satélite), que em geral, paga uma taxa anual pelo serviço prestado. 
A técnica possui uma precisão de 1 a 3 metros e possibilita o uso da 
técnica por toda uma região com apenas receptores remote. 
 
e) Cinemático 
 
Esse processo é diferenciado do STOP & GO apenas pelo receptor remote 
estar em deslocamento permanente e se utilizar soluções por pseudo-distância. 
Com o uso de receptor L1, recomenda-se periodicamente determinar um 
ponto fixo. No caso da perda da sintonia, deve-se retornar a este para se 
determinar novamente a ambigüidade. 
Com o uso de receptor L1 e L2 a ambigüidade pode ser fixada entre 2 e 3 
minutos, inclusive estando em movimento. 
Para uso em tempo real há necessidade de um sistema de comunicação 
para transmissão das correções. 
A precisão do método atinge valores em torno de 30 cm. 
 
f) RTK (Real Time Kinematic) 
 
É a técnica do cinemático só que com a utilização da fase da onda 
portadora visando melhorar a precisão. 
A transmissão da correção exige uso de VHF ou UHF o que limita o seu 
uso a distâncias até 4 km. 
 
A precisão alcançada é de poucos centímetros. 
 
 41
 
 
 
42
• 
4. EQUIPAMENTOS 
 
Topográfico/Geodésico (L1): efetua observação do código e da portadora 
e armazena os dados que serão pós-processados. Cada marca de rastreador 
possui o seu software específico para descarregar e processar os dados. 
Diferencia-se na capacidade de memória, tempo de bateria, número de canais, 
possibilidade de aquisição de atributos e algoritmos para as soluções a serem 
adotadas. 
Custa cercade US$10,000 o par, não incluindo antena, software e bastão. Em 
2000 foi lançado o primeiro e único, até o momento, receptor nacional que 
custa a metade do preço dos importados. 
Para trabalhos próximos a uma estação de monitoramento contínuo pode ser 
adquirido apenas 1 receptor reduzindo assim o investimento inicial. 
 
• Geodésico (L1/L2): idem ao anterior com a possibilidade de observar 
também a frequência L2 para correção dos efeitos da ionosfera. Custam cerca 
de US$20,000. 
 
Receptor Topográfico e Geodésico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REDE BRASILEIRA DE MONITORAMENTO CONTÍNUO – RBMC 
 
 
É um conjunto de estações com rastreamento contínuo de dados e tem 
como objetivo eliminar a necessidade do uso do receptor master. O IBGE, 
conjuntamente com outras instituições, vem implantando estações geodésicas 
de maneira a cobrir todo o território nacional num raio de 500 km (cobertura 
total para equipamentos L1 / L2). Os dados referentes ao rastreio de um dia 
são armazenados em arquivos individuais e são cedidos gratuitamente pela 
internet. 
Algumas empresas privadas também executam rastreio contínuo, 
geralmente em uma estação implantada na sua sede. 
 
 
 43
6. FATORES QUE INFLUENCIAM NA PRECISÃO DO POSICIONAMENTO 
 
 
 
Metodologia • 
• 
• 
• 
• 
• 
Refere-se a observação do código ou da portadora e a técnica adotada. 
 
Duração da Sessão 
Número de épocas adquiridas. Depende da taxa de gravação e tempo de 
rastreio. 
 
Extensão da Base 
Considerado apenas para o posicionamento relativo. 
 
Erros Orbitais 
As órbitas são previstas e transmitidas pelos satélites, não representando a 
posição exata dos satélites no momento do rastreio. 
As efemérides precisas são calculadas a posteriori. 
 
Erros de Propagação do Sinal 
São atrasos e encurvamentos dos sinais GPS causados pela ionosfera e 
troposfera. A limitação da linha base em uma determinação relativa visa 
manter as mesmas condições ionosféricas nas estações. 
 
Perda de Sinal (Cycle Slip) 
É a perda da contagem no número inteiro de ciclos feita pelo receptor. Essa 
perda é ocasionada pelo bloqueio temporário do sinal: obstrução, baixa 
elevação do satélite, força do sinal. 
Deve-se, portanto, ter cuidado na instalação da antena evitando obstáculos 
e reflexão do sinal em objetos (efeito multi path ou multicaminhamento). 
 
 
 
 44
 
 
45
• Diluição de Precisão - DOP 
O DOP auxilia na indicação da precisão dos resultados que serão 
alcançados. Os fatores podem ser calculados à priori, a partir do 
conhecimento das coordenadas aproximadas da estação e dos satélites, 
para serem utilizados no planejamento da missão. São definidos os 
seguintes fatores: 
 
- HDOP = fator para posicionamento planimétrico; 
- VDOP = fator para posicionamento altimétrico; 
- PDOP = fator para posicionamento planialtimétrico (tridimensional); 
- TDOP = fator para o tempo; 
- GDOP = fator combinado do PDOP e do TDOP. 
 
Quanto maior o valor dos fatores pior a qualidade da determinação das 
coordenadas. 
O PDOP pode ser interpretado como o inverso do volume de um 
tetraedro formado pela posição do receptor e dos 4 satélites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos mais ou menos por aqui! 
Estamos por aqui! 
Fig. 12 – PDOP (Hurn,1993) 
PDOP 
Al
PDOP 
B i
 
Atenção: É importante ressaltar que no posicionamento relativo a precisão do 
ponto depende fundamentalmente da precisão das coordenadas da estação 
master. 
 
 7. ALGUMAS CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES NA ESCOLHA DO 
EQUIPAMENTO 
 
9 Possibilidade de pós-processamento 
9 Tempo de bateria em uso contínuo 
9 Capacidade de memória para armazenar os dados coletados, 
principalmente, em intervalos pequenos de gravação 
9 Número de canais, o que possibilita rastrear simultaneamente um maior 
número de satélites. Atualmente, a maioria dos receptores possui 12 canais 
9 Possibilidade de uso de bateria externa 
9 Possibilidade de uso de antena externa 
9 Existência de programa para descarregamento de dados 
9 Suporte técnico 
 46
 
 
47
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO