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Notas de Aula Inferencia Estatistica JCFogo
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Introdução à Inferência Estatística
1. Conceitos básicos em inferência
1.1. População: conjunto de indivduos, ou itens, com pelo menos uma
característica em comum.
Tambm ser denotada por população objetivo, que sobre a qual
desejamos obter informações e/ou fazer inferências.
Pode, ainda, ser chamada de Universo.
Ser denotada por: Nu,,u,u,uU 321
iu unidades elementares, i = 1, 2, . . . , N.
N = no de elementos, ou tamanho, da populao.
Exemplos:
a) Residentes da cidade de So Carlos;
b) Lote de peas produzido numa linha de produo de uma ind
stria;
c) Eleitores do municpio de So Paulo, aptos a votar na eleio;
d) Indivduos do sexo masculino que sofrem de diabetes;
etc, etc, etc ...
1.2. Amostra: subconjunto, necessariamente finito, de uma
populao.
selecionada de forma que todos os elementos da populao tenham
a mesma chance de serem escolhidos.
1.2.1. Planejamentos amostrais: so esquemas para coletas de dados
numa pesquisa amostral.
Existem vrios tipos de planejamentos dos quais destacaremos:
Amostra Aleatria Simples – AAS
Amostra Aleatria Estratificada – AAE
Amostra Aleatria por Conglomerados – AAC
1.3. Estudo experimental
Experimento no qual um tratamento é deliberadamente aplicado
aos indivíduos (ou itens) a fim de observar a sua resposta.
Exemplos:
a) ensaios para se verificar a dureza de materiais;
b) estudos caso-controle em epidemiologia;
c) pesos de cobaias submetidas à diferentes dietas;
“Requer um planejamento experimental.”
No estudo experimental é muito importante determinar o número de
elementos necessários, ou seja, o tamanho da amostra;
É importante, também, planejar adequadamente a amostra de maneira a
não interferir nos resultados.
1.4. Levantamentos de dados
A seguir, serão apresentadas algumas situações envolvendo
levantamentos de dados.
1.4.1. Uma amostra: sortear ao acaso n elementos de uma população
para participar da amostra.
Exemplos:
a) dentre os eleitores de um município, sortear uma amostra para
participar de uma pesquisa de intenção de votos;
b) produzir uma amostra de peças de espuma, segundo uma específica
formulação, para serem colocadas num teste de resistência à tração.
Normalmente compara-se a amostra com um padrão já conhecido;
Espera-se que a população seja homogênea (pouca variabilidade).
1
2 1
3 2
n
N
População Amostra
1.4.2. Duas amostras: amostras são retiradas de uma ou duas
populações.
quando dispomos de duas amostras, geralmente queremos realizar
uma comparação entre as mesmas.
i) Amostras independentes: nenhum elemento da primeira amostra
interfere nos da segunda.
a) Dois tratamentos: tomar n elementos de uma única população e dividí-
los em dois grupos, de preferência de mesmo tamanho.
(ou sortear, independentemente, duas amostras de uma mesma
população)
1
1 2
2
3 n1
n1 + n2 = n
1
2
N
n2
População Amostras
b) Duas populações: sortear n1 elementos da primeira população e n2 da
segunda e aplicar o mesmo tratamento em ambas.
1 1
2 2
3
n1
N1 n1 + n2 = n
1 1
2 2
3
n2
N2
Populações Amostras
ii) Amostras pareadas ou emparelhadas (dependentes): uma amostra
observada em dois instantes diferentes: (antes/depois), (tempo 1,
tempo 2).
1 1 Fazer as diferenças:
2 t 2
di = yi2 – yi1
n n
t1 t2
Amostras
1.4.3. k amostras: quando se tem k ≥ 3 amostras para comparar.
a) k grupos independentes: classificar, ao acaso, n elementos em k
grupos tal que n = n1 + n2 + . . . + nk.
O ideal é que todos os grupos sejam de mesmo tamanho:
n1 = n2 = . . . = nk
A1 : 1, 2, . . . , n1
k gruposindependentes
A2 : 1, 2, . . . , n2
Ak : 1, 2, . . . , nk
A variável A é chamada de fator e os grupos A1, A2, . . . , Ak são os
tratamentos ou níveis do fator A.
b) Medidas repetidas: o mesmo grupo, de tamanho n, é observado em k
instantes diferentes.
1 1 1 1
2 2 2 . . . 2
n n n n
t1 t2 t3 tk
c) k grupos independentes com duas classificações: classificação
de vários grupos quando se tem dois critérios (ou fatores) para a
divisão dos mesmos.
Considere, por exemplo, um fator com três níveis (A1, A2, A3) e um
segundo fator com dois níveis (B1, B2), terem-se k = 23 = 6
grupos para serem comparados.
A1
B1 A1 B1
B2 A1 B2
A2
B1 A2 B1
6 grupos
B2 A2 B2
A3
B1 A3 B1
B2 A3 B2
RESUMO
1 amostra 1 população
2 amostras
Independentes 2 tratamentos (1 pop)1 tratamento (2 pop)
Dependentes dados pareados
k amostras
( k ≥ 3 )
Independentes 1 fator2 fatores
Dependentes medidas repetidas
2. Estimação
2.1. Parâmetro populacional
Geralmente denotado por , é uma característica populacional
de interesse que pode ser expressa através de uma quantidade numérica.
É desconhecido e fixo.
Exemplos:
no de desempregados,
salário médio de uma categoria ou população,
opinião a respeito de uma dada atitude,
casos de dengue,
tempo gasto com filhotes,
tamanho da população
tempo de vida
no de votos para um determinado candidato,
produção agrícola, etc...
2.2. Espaço paramétrico
Denotado por , é o conjunto dos possíveis valores de .
Exemplos:
= { | –∞ < < ∞ };
= { | 0 < < ∞ };
= { | 0 ≤ ≤ 1 };
= { (1, 2 ) | –∞ < 1 < ∞ e 0 < 2 < ∞ }.
2.3. Amostra aleatória: representada pelas iniciais aa, é formada pela
observação de n variáveis aleatórias X1, X2, . . . , Xn, independentes
e identicamente distribuídas, iid.
nXXX ,,, 21 )(xF
2.4. Variável aleatória: uma variável aleatória ou va, é uma característica
desconhecida, que pode variar de um indivíduo para outro da
população e que, ao ser observada ou mensurada, deve gerar uma
única resposta.
Tipos de variáveis:
a) Variáveis qualitativas: variáveis cujos possíveis resultados são
atributos ou qualidades. São NÃO NUMÉRICAS.
Podem ser classificadas em:
ORDINAIS, quando obedecem a uma ordem natural ou
NOMINAIS, quando não seguem nenhuma ordem.
b) Variáveis quantitativas: variáveis cujos possíveis resultados são
valores NUMÉRICOS, resultantes de mensuração ou contagem.
Podem ser classificadas em:
DISCRETAS, quando assumem valores num espaço finito ou infinito
enumerável ou
CONTÍNUAS, quando assumem valores num conjunto não
enuméral (conjunto dos números reais).
iid
2.5. Estatística: uma medida numrica, S(X), que descreve uma
caracterstica da amostra e que no depende de parmetros
desconhecidos.
A estatstica uma funo da amostra: S(X) = f (X1, X2, . . . , Xn)
toda estatstica S(X) uma va
Exemplos:
n
X
X
n
i
i
1 – mdia amostral,
1
1
2
2
n
XX
s
n
i
i
– varincia amostral,
X(1) = mínimo 1 estatística de ordem,
X(n) = máximo n-ésima estatística de ordem.
PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS
Nome ESTATÍSTICAAmostra
PARÂMETRO
População
Média X
Variância s2 2
Correlação rX,Y X,Y
Proporção pˆ p
2.6. Estimador: uma quantidade, obtida a partir de uma amostra, que
“estima” o valor de um parmetro populacional.
Ser denotado por T(X).
{ T(X) } { S(X) }, ou seja, todo estimador uma funo da
amostra e, portanto, é uma estatística, porm, nem toda estatística é um
estimador.
todo estimador T(X) é uma va
Notação: Como T(X) estima o parmetro , uma notao simplificada
para o estimador dada por: ˆ)(XT
2.6.1. Estimativa: estimativa o valor de T(X) obtido de uma aa.
2.7. A inferência estatística:
“A Inferência Estatística busca obter informações de
parâmetros populacionais por intermédio das características
de uma amostra e de suas distribuições de probabilidade”.
Amostra aleatória
= parmetro ˆ = estimador
Inferência:
Intervalos de Confiança
Testes de Hipótese
ESQUEMATICAMENTE
2.7.1. Questões que surgem:
Quantos estimadores existem para um parâmetro populacional?
Quais as qualidades que se deseja de um estimador?
Como escolher o melhor estimador?
Resposta: Teoria da Otimalidade.
2.8. Estimador ótimo
A teoria da Otimalidade estuda as propriedades dos estimadores e
define critérios para a escolha do estimador ótimo.
Segundo essa teoria um estimador timo basicamente se for:
não viesado e de mínima variância.
2.8.1. Estimador não viesado (não viciado): o viés, do ingls bias,
definido pela diferena entre o valor esperado do estimador e
o parâmetro o qual este est estimando.
Seja ˆ , estimador de , ento o vis de ˆ definido por:
B( ˆ) = E( ˆ) –
em que o espaço paramétrico.
Se E( ˆ) = , ˆ dito não viesado (ou não viciado) e
B(ˆ) = 0
2.8.2. Precisão: uma propriedade importante para um estimador que
seja preciso, em outras palavras, que tenha baixa variabilidade
ˆ deve ser escolhido tal que sua variância seja a menor
possível
)ˆ(|ˆ Var seja mínima
2.8.3. Consistência: alm de ser no viesado e de varincia mnima
deseja-se que o estimador ˆ seja consistente.
Um estimador ˆ dito ser consistente para se
)ˆ(lim E
n
e
0)ˆ(lim
Var
n
Conforme aumenta o tamanho da amostra, mais ˆ se aproxima de .
2.8.4. Erro quadrático médio (EQM): o erro quadrático médio de
um estimador ˆ definido por
EQM( ˆ)= E[(ˆ– )2 ]
Prova-se facilmente que
EQM(ˆ) = Var(ˆ) + [B()]2
Logo, se o estimador ˆ no viesado, ento, seu EQM mnimo e
EQM( ˆ) = Var( ˆ)
Assim, a teoria da otimalidade procura, dentre os estimadores
não viesados, aquele de menor variância.
Exemplo: estimadores para a média populacional - .
1) Estimar a média das alturas dos alunos da turma B de Estatística 2.
Quais os estimadores possíveis?
Vamos propor 4 estimadores:
a) a média amostral:
n
XX iA
ˆ
b) o ponto médio entre os valores máximo e o mínimo da amostra:
2
ˆ )1()(
XX n
B
c) a mediana da amostra: XC
~ˆ
d) a 5ª observação: 5ˆ XD
3. Estimadores para a média
A maioria das aplicações em estatística envolvem a estimação da
média populacional .
Quais os possíveis estimadores e qual deles é o melhor
(estimador ótimo).
Média aritmética ou média amostral ( X );
Média geométrica;
Média harmônica;
Média aparada;
Média ponderada;
Mediana amostral ( X~ );
Extimadores do tipo Bˆ e Dˆ (ver exemplo).
Qual desses estimadores é o melhor para estimar ?
1º - escolher os não viesados;
2º - dentre os não viesados, encontrar o de menor variância.
A teoria estatística (otimalidade) resolve esse problema e mostra
qual o estimador ótimo para .
Segundo essa teoria, o estimador ótimo para é a média amostral
(aritmética) X .
Estudo das propriedades dos estimadores: média amostral, média
harmônica, média geométrica e média ponderada
( X1/3 + 2X2/3 ) para amostras de tamanho n = 2, com reposição.
População 2 3 5 6 8
Parâmetros
Populacionais
Média
= 4.8
Variância
2 = 4.56
Tamanho
N = 5 n
2
= 2.28
Amostras Estimadores
X1 X2 X M. Harm. M. Geom. M. Pond.
2 2 2 2.000 2.000 2.000
2 3 2.5 2.400 2.449 2.667
2 5 3.5 2.857 3.162 4.000
2 6 4 3.000 3.464 4.667
2 8 5 3.200 4.000 6.000
3 2 2.5 2.400 2.449 2.333
3 3 3 3.000 3.000 3.000
3 5 4 3.750 3.873 4.333
3 6 4.5 4.000 4.243 5.000
3 8 5.5 4.364 4.899 6.333
5 2 3.5 2.857 3.162 3.000
5 3 4 3.750 3.873 3.667
5 5 5 5.000 5.000 5.000
5 6 5.5 5.455 5.477 5.667
5 8 6.5 6.154 6.325 7.000
6 2 4 3.000 3.464 3.333
6 3 4.5 4.000 4.243 4.000
6 5 5.5 5.455 5.477 5.333
6 6 6 6.000 6.000 6.000
6 8 7 6.857 6.928 7.333
8 2 5 3.200 4.000 4.000
8 3 5.5 4.364 4.899 4.667
8 5 6.5 6.154 6.325 6.000
8 6 7 6.857 6.928 6.667
8 8 8 8.000 8.000 8.000
Médias 4.8 4.323 4.546 4.80
Variâncias 2.28 2.5852 2.3772 2.5333
Tabela resumo dos estimadores para a Média Populacional.
Estimadores
X M. Harm. M. Geom. M. Pond.
Média do Estimador 4.8 4.3229 4.5456 4.8
Vício 0 -0.4771 -0.2544 0
Vício ao quadrado 0 0.2277 0.0647 0
Variância do Estimador 2.28 2.5852 2.3772 2.5333
EQM 2.28 2.8129 2.4419 2.5333
Relação da variância de X com as demais 1 1.1339 1.0426 1.1111
Figura 1: Gráfico de pontos da média amostral X .
3.1. Métodos de estimação:
A teoria estatística define diversos métodos de estimação, dentre os
quais destacamos:
3.2. Método da máxima verossimilhança: o estimador de máxima
verossimilhança (emv) é dado pelo valor que maximiza a distribuição
conjunta da amostra, também chamada de função de verossimilhança.
n
i
ixfdadosL
1
)()|( )]([maxˆ
LMV
3.3. Métodos dos momentos: o estimador é obtido igualando os
momentos amostrais com os momentos populacionais.
Depende da distribuição de probabilidade da população
O momento de ordem k de uma va é definido como
)( kk XE , k ≥ 1. Se k = 1 )(1 XE
O momento amostral de ordem k de uma va é definido como
n
Xm
k
i
k
. Se k = 1 Xm 1
Para estimar a média populacional , faz-se:
11ˆˆ m
ou seja, Xˆ
Para um parâmetro qualquer, se
)()( fXE kk )ˆ(ˆ
1
kMM f
.
Se k = 1, 1)( f e o estimador dos momentos para é
)(ˆ 1 XfMM
3.4. Método mínimos quadrados: o estimador é aquele que minimiza
uma soma de quadrados de erros entre os valores da amostra e uma
função do parâmetro )(g .
Se queremos estimar a média , então )()( XEg .
Nesse caso, o erro e para cada observação é calculado por
)]([ iii gxe , i = 1, 2, . . . n, e
n
i
ii gxSQE
1
2)]([)( .
O estimador de mínimos quadrados é dado pelo valor de
que minimiza SQE():
)]([minˆ
SQEMQ
O estimador de mínimos quadrados é mais utilizado no ajuste de
modelos de regressão linear.
3.5. Estimador Bayesiano: o estimador Bayesiano é obtido a partir
da ponderação da função de verossimilhança por uma
distribuição de probabilidade para .
Seja uma distribuição de probabilidade (), denominada de
distribuição a priori de , então
(|dados) ()L(|dados),
(|dados) é a distribuição a posteriori de , dada a amostra.
Um estimador Bayesiano muito utilizado é dado pelo valor que
maximiza a posteriori, ou seja, pela moda de (|dados):
)]|([maxˆ dadosBay
4. Propriedades do estimador para a média .
4.1. Mostrar que a média amostral X atende às propriedades de
estimador ótimo para .
4.2. A distribuição da média amostral X .
4.2.1. O Teorema do Limite Central (TLC).
4.3. O estimador para a proporção p.
4.3.1. A distribuição da proporção amostral pˆ .
4.3.2. O Estimador conservador para a proporção amostral pˆ .
4.4. Determinação do tamanho da amostra na estimação da média
Exemplos:
1) Um elevador de capacidade 500kg serve um edifício. Se a distribuição
do peso dos usuários for N(70, 100), determine:
a) A probabilidade de que 7 passageiros ultrapassem esse limite.
b) E 6 passageiros?
2) Um produto da marca XIS é comercializado em pacotes de 1kg, sendo
que a distribuição do peso dos pacotes, em gramas, é N(1000, 51.2).
A fiscalização inspeciona o produto por amostras de 5 pacotes e aplica
uma multa se a média for menor do que 4g a menos do peso
especificado.
a) Qual a probabilidade de que o produto XIS seja multado?
Os produtores de XIS pretendem diminuir essa probabilidade. Para
isso o Estatístico da empresa deu duas sugestões: deslocar a média,
aumentando o peso dos pacotes ou aplicar ações visando reduzir a
variabilidade do processo de empacotamento.
b) Para quanto deve ser regulada a nova média de tal forma que a
probabilidade em (a) seja de no máximo 0.03?
c)
Caso se escolha a segunda opção, de quanto deve ser a nova
variância para se obter o mesmo resultado?
Considere, agora, que a produtora tenha um custo adicional de 25
centavos por cada pacote com peso acima de 1008g. Qual a alteração
no custo em cada um dos casos para um produção de 5 toneladas?
3) Para estimar o nível de dureza de peças de espuma injetada com boa
precisão o técnico responsável decide selecionar uma amostra da
produção para medição. Como os ensaios de medição são destrutivos,
o número de peças para análise deve ser bem determinado para evitar
gastos desnecessários. (dados históricos registram a variância do
processo de produção como 2 = 2.96).
Inicialmente fixou-se como precisão = 0.5ud.
a) Determinar o número de peças tal que a probabilidade de que a
precisão seja alcançada seja de 0.99.
b) A gerência achou esse número muito elevado e decidiu reduzir a
precisão para 0.75ud. Que o número de peças deve ser
inspecionado com esse novo valor?
4) Numa pesquisa eleitoral foi realizada uma pré-amostra de tamanho 40
obtendo-se 24.0ˆ p de eleitores que votam no candidato do partido
PX.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra para que, com probabilidade
0.95, a estimativa pˆ não se distancie de p mais do que 0.02?
b) Refazer o cálculo do tamanho da amostra pelo método conservativo.
5) Seja uma população com 20 e 567.22 .
a) Numa amostra de tamanho n = 9, qual a probabilidade de que a
variância amostral seja superior a 4.3?
b) Determine um limite inferior k para o qual a probabilidade de que 2s
ser menor do que k seja de 0.025.
Exercícios de revisão
6) Um produto pesa em mdia 10g com desvio-padro de 3g. Este
embalado em caixas de 150 unidades. A caixa vazia pesa, em mdia,
200g com desvio-padro de 9g. Admitindo que as variveis em questo
tenham distribuies normais e que as 150 unidades que so colocadas
em uma caixa so tomadas ao acaso, determine a probabilidade de
uma caixa cheia pesar mais de 1610g.
Resoluo: Sejam as va’s
XP : peso do produto N( 10 ; 9 )
XC : peso da caixa N( 200 ; 81 )
XT : peso total da caixa cheia ?
Resultados:
i) Se X1 N( 1 ; 12 ) e X2 N( 2 ; 22 ), independentes, então
X1 ± X2 N(1 ± 2 ; 12 + 22 )
ii) Se X1, X2, . . . , Xn N( ; 2 ), iid
X1 + X2 + . . . + Xn N(n ; n2 )
De (i) e (ii), temos que XT = XP1 + XP2 + . . . + XP150 + XC e,
XT N( T ; 2T ), em que:
T = 15010 + 200 = 1700g
2
T = 1509 + 81 = 1431g
2
ou seja, XT N( 1700 ; 1431 ).
9913.0)38.2()1610( ZPXP T .
7) Uma mquina automtica enche latas, baseada no peso bruto das
mesmas. O peso bruto tem distribuio normal com mdia 1.000g e
desvio padro 20g. As latas tm pesos distribudos normalmente com
mdia 90g e desvio padro 10g. Qual a probabilidade de que uma lata
escolhida ao acaso tenha de peso lquido:
a) menor do que 830g?
b) maior do que 870 g?
c) entre 860 e 930g?
Resoluo: Sejam as va’s
XB : peso do produto N( 1000 ; 400 )
XL : peso da caixa N( 90 ; 100 )
XQ : peso total da caixa cheia N( Q ; 2Q ),
De (i) temos que XQ = XB – XL e,
Q = 1000 – 90 = 910g
2
Q = 400 + 100 = 500g
2
ou seja, XQ N( 910 ; 500 ).
a) 0.0001718)58.3()830( ZPXP Q
b) 0.96330367.01)79.1()870( ZPXP Q
c) 0.01250.8133)89.024.2()930860( ZPXP Q
0.80)930860( QXP
8) Seja X uma única observação de uma va com distribuição Bernoulli().
Sejam 1ˆ = X e 2ˆ = 1/2, dois estimadores para :
a) verifique se os estimadores são não viesados para ;
b) compare os EQM´s construa um gráfico como função de .
X Bernoulli( ), 0 ≤ ≤ 1, tal que
)(XE e )1()( XVar
a) )()ˆ( 1 XEE 1ˆ não é viesado para
2
1)2/1()ˆ( 2 EE 2ˆ é viesado para , sendo
2
2 ]2/1[)ˆ( B
b) 22111 )]ˆ([)ˆ()ˆ( BVarEQM
22
22 25.0)]ˆ([)2/1()ˆ( BVarEQM
Os EQM’s podem ser comparados obtendo-se os valores de tal
que )ˆ()ˆ( 21 EQMEQM , ou seja,: 22 25.0
Desta forma, se :
melhor1b
ˆou
a0
1
melhor
ˆba 2
fazb
tantoou
a
9) Sejam X1, X2, . . . , Xn uma aa de tamanho n da distribuição uniforme no
intervalo (0, ).
Considere os estimadores Xc11ˆ e
2
ˆ 122 n
XXc .
a) Ache c1 e c2 tais que 1ˆ e 2ˆ sejam não viesados para ;
b) encontre os EQM´s dos dois estimadores
X U( 0, ),
2
)(XE e 2
2
12
)( XVar
a)
2
)()ˆ( 111
cXcEE
para 21 c , 1ˆ não é viesado para
22
)()(
2
)ˆ( 2212122
cXEXEcXXcEE n
para 22 c , 2ˆ não é viesado para
Logo, X2ˆ1 e
2
2ˆ 212
XX não são viesados para .
b) 2)]ˆ([)ˆ()ˆ( BVarEQM
12
)/(4)2()ˆ()ˆ(
2
11
nXVarVarEQM
n
EQM
3
)ˆ(
2
1
12
2)()(
2
4)ˆ(
2
21
1
2
XVarXVarXXVarEQM n
6
)ˆ(
2
2
EQM
5. O estimador da variância populacional 2.
5.1. A distribuição da variância amostral s2.
Resultados:
1) Função gama: ( ) ∫
( ) ( ) ( )
se a é inteiro, ( ) ( )
( ) √
2) Se ( ), então, tem distribuição quiquadrado
com 1 grau de liberdade, ou seja
3) Se são iid ( ), então:
(
)
Prova do item (2):
Sejam ( ) e , então:
( ) ( ) (
)
( ) (| | √ )
( ) ( √ √ )
( ) (√ ) ( √ )
Derivando ambos os lados da expressão (regra da cadeia):
( ) (√ ) (
√
) ( √ ) (
√
)
( ) (
√
) (√ )
( )
√
(√ )
Mas ( ) é a fdp normal padronizada, logo
( )
√
√
(√ )
( )
√
√
( )
( )
( )
, ,
que é a função densidade quiquadrado com 1 grau de liberdade.
5.1.1. Encontrando a distribuição associada a s2
Sejam X1, X2, . . . , Xn va’s normalmente distribuídas com média e
variância 2, então
( )
Do resultado (2), temos que
( )
Ainda, a variância amostral é dada por
∑
( ̅)
de onde se obtém
( ) ∑ ( ̅)
Desenvolvendo a soma de quadrados ∑ ( ̅)
,
∑ ( ̅)
∑ ( ̅)
∑ [( ) ( ̅ )]
∑ ( )
( ̅ )∑ ( )
∑ ( ̅ )
∑ ( )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
∑ ( )
( ̅ )
Ou seja: ( ) ∑ ( )
( ̅ )
,
Dividindo a soma de quadrados ∑ ( ̅)
por
2 temos
( )
∑
( )
( ̅ )
∑ (
)
(
̅
√
)
Reescrevendo a expressão temos que
∑ (
)
( )
(
̅
√
)
Do resultado (3), temos que o lado esquerdo da igualdade tem
distribuição
e (
̅
√
)
, portanto
( )
Exemplo:
1) Seja uma população normal com média e variância
.
a) Numa amostra de tamanho dessa população, qual a
probabilidade de que seja maior ou iguial a 4.3?
b) Determine um limite k para o qual, a probabilidade de que seja
inferior a k seja de 0.025.
a) [ ]
[
( )
( )
]
[
]
b) [ ]
[
]
[ ]
Distribuição 2 para diversos valores de graus de liberdade
Distribuição 2
1
Distribuição 2
2
(exponencial)
Distribuição 2
5
Distribuição 2
10
Distribuição 2
30
Distribuição 2
50
6. Intervalos de Confiança
6.1. A estimação por intervalo
Normalmente, no processo de investigação de um parâmetro ,
necessitamos ir além da sua estimativa pontual ˆ . O fato de não se
conhecer o valor de pode causar uma “insegurança” e levar a um
questionamento:
Quão próximo estamos do valor real de quando obtemos sua
estimativa?
A resposta depende da precisão (ou variância) do estimador e,
também, do valor real do parâmetro.
Uma maneira de contornar esse problema consiste em se encontrar
um intervalo em torno de ˆ que tenha alta probabilidade de englobar .
P( do intervalo
],[ ba
englobar ) =
O intervalo
],[ ba
, na prática, será construído com a amostra, ou seja,
a partir dos dados e da distribuição amostral associada a ˆ .
Logo, os valores a e b serão aleatórios, variando de uma amostra
para outra.
6.2. Intervalo de Confiança para a média
6.2.1. Intervalo de confiança para a média com variância conhecida
Seja uma aa X1, X2, . . . , Xn, com média e variância 2
conhecida. Para construir um intervalo de confiança para a média deve-se
considerar a distribuição da média amostral X ,
X
n
N
2
,
n
X
/
)1,0(N
Intervalo de confiança (1 – )100% para
Para construir um I.C. para a temos que obter constantes a e b tal
que
)1( baP
.
A probabilidade (1 – ) é chamada de nível de confiança do
intervalo e de nível de significância.
Então, da distribuição de
n
X
/
, temos:
)1(
/
2/12/
z
n
X
zP
)1(2/12/
n
zX
n
zP
)1(2/2/1
n
zX
n
zXP
Como
2/2/1 zz
, teremos:
)1(2/2/1
n
zX
n
zXP
a b
n
zXa
2/
e
n
zXb
2/
.
Nota: observe que, nessa notação,
02/ z
.
Portanto, um intervalo de confiança (1 – )100% para ,
com 2 conhecido, é dado por:
n
zX 2/
;
n
zX 2/
.
Se = 0.05,
025.02/ e 96.1025.0 z , logo, um I.C. 95%
para , com 2 conhecido, é dado por:
n
X 96.1 ;
n
X 96.1 .
Exemplo 1: Testes de compressão foram aplicados na marca A de
cimento para avaliar sua resistência em concretos. Foram produzidos 13
corpos de prova e os testes foram aplicados no Laboratório de testes do
Departamento de Engenharia Civil da UFSCar.
(O corpo de prova padrão brasileiro, normatizado pela ABNT, é o cilíndrico,
com 15 cm de diâmetro, 30 cm de altura e a idade de referência é 28 dias)
Foi registrada a resistência à compressão simples (fc), para cada
corpo de prova com o intuito de calcular a resistência característica do
concreto à compressão (fck).
Um concreto concreto classe C30, por exemplo, corresponde a um
concreto com fck = 30 Mpa (Mpa = 106Pa).
Pascal (unidade)
O Pascal (símbolo: Pa) é a unidade padrão de pressão e tensão no
SI. Equivale a força de 1N aplicada uniformemente sobre uma superfície
de 1m2 (fonte: Wikipédia).
Dados (MPa):
31.04 31.11 39.56 24.83 36.97 34.86 29.44
Ax
= 33.76
39.15 27.82 34.96 35.19 39.68 34.27 sA = 4.665
A empresa afirma que o processo tem variabilidade de 2 = 25MPa2,
construir um intervalo de confiança 95% (nível de significância = 0.05)
para a resistência à compressão média.
Estatística: 1;0~
/
N
n
X
A
AA
Encontrar a e b tais que:
95.0 baP A
95.096.1
/
96.1
A
AA
n
X
P
95.096.196.1
A
AA
A n
X
n
P
95.096.196.1
A
AA
A
A
n
X
n
XP
Substituindo os valores da média amostral e tamanho da amostra
95.0
13
5
96.176.33
13
5
96.176.33
AP
95.048.3604.31 AP
Ou seja:
04.31
13
5
96.176.33 a
MPa
48.36
13
5
96.176.33 b
MPa
Logo, ( 31.04, 36.48 ) é um I.C. 95% para A.
Interpretação: o intervalo (31.04 ; 36.48) tem probabilidade 0.95
(95%) de englobar o real valor da média A.
6.2.2. Intervalo de confiança para a média com variância
desconhecida
Seja uma aa X1, X2, . . . , Xn, com média e variância 2
desconhecida. No caso da variância ser desconhecida devemos utilizar sua
estimativa dada pela variância amostral s2, porém, nesse caso a
distribuição associada à média amostral X não será mais a normal.
Resultado: a estatística
ns
X
/
tem distribuição t – Student com
)1( n
graus de liberdade, ou seja
1~
/
nt
ns
X
Notas:
1) A razão
ns
X
/
pode ser escrita como:
sn
X
ns
X
//
1
)1,0(
1
/)1(
/
2
1
22
n
N
n
sn
n
X
n
Ou seja, a distribuição t-Student é dada pela razão de uma
)1,0(N
por 2 uma dividida pelos seus graus de liberdade.
2) Assim com a normal padronizada a distribuição t – Student tem
formato de sino, ou seja, é simétrica em torno do zero, porém, para graus
de liberdade pequenos a moderados suas caudas são mais “pesadas”.
3) Se uma va T tem distribuição t – Student com k graus de liberdade,
então:
0)( TE
e
2
)(
k
k
TVar
4) Quando os graus de liberdade crescem, a distribuição t – Student
se aproxima da
)1,0(N
.
5) A distribuição t – Student com 1 grau de liberdade é conhecida
como distribuição de Cauchy.
Para construir um I.C. para a quando é desconhecida, devemos
proceder como nos casos anteriores, porém substituindo a distribuição
normal padrão pela t-Student, ou seja:
)1(
/
2/1);1(2/);1(
nn t
ns
X
tP
)1(2/1);1(2/);1(
n
s
tX
n
s
tP nn
)1(2/);1(2/1);1(
n
s
tX
n
s
tXP nn
Como
2/);1(2/1);1( nn tt
, temos:
)1(2/);1(2/);1(
n
s
tX
n
s
tXP nn
Logo, um intervalo de confiança (1 – )100% para , com
2 desconhecido, é dado por
n
s
tX
n
s
tX nn 2/);1(2/);1( ;
Exemplo 2: No caso dos testes de compressão em amostras de concreto,
o gerente da companhia, desconfiando de que a informação a respeito da
variância não seja verdadeira, refez os cálculos estimando a variância do
processo
por s2.
Como o procedimento de cálculo é o mesmo, basta substituir o valor do
quantil da normal (Z0.025 = 1.96) pelo quantil das distribuição t – Student
com (n – 1) = 12 graus de liberdade.
Como
13An
, então
1788.2025.0;122/);1( tt n
Com
Ax
= 33.76 e sA = 4.665 refazendo os cálculos temos que
94.30
13
665.4
1788.276.33025.0);1(
A
A
AA n
s
tx n
MPa
58.36
13
665.4
1788.276.33025.0);1(
A
A
AA n
s
tx n
MPa
Portanto, ( 30.94 , 36.58 ) é um IC 95% para A para o caso em
que a variância é desconhecida
Interpretação: é mesma do caso anterior, porém, agora a variância é
desconhecida.
6.2.3. Intervalo de confiança (1 – )100% para a proporção
Como a proporção p é de fato a média amostral de uma aa cuja va
tem distribuição de Bernoulli(p), para se construir intervalos de confiança
para p devemos seguir os mesmos procedimentos anteriores.
Considerando que o estimador da proporção
pˆ
tem valor esperado
p e variância
n
pp )1( , dada a distribuição
n
pp
pp
)1(
ˆ
)1;0(N
,
um I.C. (1 – )100% para a proporção é dado por:
n
pp
zp
)1(
ˆ 2/
;
n
pp
zp
)1(
ˆ 2/
.
Exemplo 3: Nos testes de compressão em amostras de concreto, se
a empresa afirma que 90% da produção atende ao valor do fck = 30Mpa,
construir um I.C. de 95% ( = 0.05) para a proporção de corpos de provas
com fc abaixo de fck.
Dos 13 corpos de prova os valores 24.83, 29.44 e 27.82 são
menores do que o fck de 30Mpa. Então, 231.0
13
3
ˆ p
Considerando que p = 0.10:
0679.0
13
90.010.0
96.1231.0
)1(
ˆ 2/
n
pp
zp
3941.0
13
90.010.0
96.1231.0
)1(
ˆ 2/
n
pp
zp
Ou seja:
95.03941.00679.0 pP
Portanto, ( 0.0679 ; 0.3941 ) é um I.C. 95% para p.
Interpretação: o intervalo (0.0679 ; 0.3941) tem probabilidade 0.95
(95%) de englobar o real valor do parâmetro p.
Nota: Como normalmente não conhecemos p, podemos construir
intervalos de confiança para a proporção substituindo p e (1 – p) por
pˆ
e
)ˆ1( p
, respectivamente. Neste caso o intervalo fica:
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/
;
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/
.
Outra possibilidade seria considerar o fato de
4/1)1( pp
e
construir um intervalo conservador para p assumindo p = ½.
Neste caso:
nn
pp
4
1)1(
Logo, o intervalo de confiança conservador para p será
n
z
p
4
ˆ 2/ ;
n
z
p
4
ˆ 2/ .
Considerando = 0.05, então, I.C.’s 95% para p, nos casos acima
serão dados por:
i) utilizando
pˆ
:
n
pp
p
)ˆ1(ˆ
96.1ˆ ;
n
pp
p
)ˆ1(ˆ
96.1ˆ
ii) conservador
p
½:
n
p
4
96.1
ˆ ;
n
p
4
96.1
ˆ
O procedimento em (ii) fornece intervalos de confiança
excessivamente grandes quando p se distancia de ½ (
0p
ou
1p
)
(Bussab & Moretin, 2002). Para a utilização do intervalo conservador,
portanto, devemos ter algum conhecimento do valor p, garantindo que seu
valor esteja próximo de ½.
Exemplo: No exemplo do teste de compressão em concretos temos
231.0
13
3
ˆ p
, logo
i) utilizando
pˆ
:
0019.0
13
769.0231.0
96.1231.0
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/
n
pp
zp
4601.0
13
769.0231.0
96.1231.0
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/
n
pp
zp
Portanto, ( 0.0019 ; 0.4601 ) é um I.C. 95% para p.
ii) conservador
p
½:
0408.0
52
96.1
231.0
4
ˆ 2/
n
z
p
(< 0 !!)
5028.0
52
96.1
231.0
4
ˆ 2/
n
z
p
Portanto, ( – 0.0408 ; 0.5028 ) é um I.C. 95% conservador para p.
Note que no intervalo acima o limite inferior é negativo,
consequência da utilização da máxima variância de p e do fato de que a
proporção a ser estimada está longe do valor ½.
Nota: usualmente, nestes casos, arredondamos o limite inferior para 0
(zero), porém, o mais indicado é a utilização da estimativa
pˆ
.
Forma simplificada de representação:
i) Média com variância conhecida:
n
zX
2/
ii) Média com variância desconhecida:
n
s
tX n 2/);1(
iii) Proporção:
n
pp
zp
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/
Exemplos:
1) Um provedor de acesso à internet deseja implantar um plano sem limite
de horas. Para isso, verificou numa amostra de n = 25 usuários os tempos
de utilização mensal, obtendo: média amostral
826.x
horas. Sabendo
que
2
= 6.25 horas
2
:
a) Encontre um intervalo de confiança 90% para a média.
b) De quanto deve ser aumentado o tamanho da amostra para que, mantidas
as demais medidas, o comprimento do intervalo caia pela metade?
2) Observou-se a estatura de 20 recém-nascidos num hospital conforme
dados abaixo. Pesquisas anteriores indicam que a estatura média das
crianças nascidas neste hospital é de µ = 51 cm.
Dados: x = 987 e x
2
= 48845.25
a) Qual a probabilidade de que a estatura média da amostra não ultrapasse
50.20 cm?
b) Construa um I.C. 99% para a média.
3) 10 corpos de provas foram submetidos a um teste de corrosão onde foram
submersos em água salgada durante 60 segundos/dia. A corrosão foi
medida pela perda de peso em miligramas/decímetro quadrado/dia
(MDD). Os dados obtidos foram:
130.1 124.2 122.0 110.8 113.1 103.9 101.5 92.3 91.4 83.7
a) Encontre estimativas para a média e variância para a perda de peso em
MDD.
b) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média.
c) Supondo que a verdadeira média seja = 110, calcule a probabilidade de
que X seja superior ao máximo valor da amostra considerando:
i) desvio padrão conhecido = 16; ii) desvio padrão desconhecido.
6.3. Intervalo de Confiança para a diferença entre as médias de duas
populações independentes com variâncias desconhecidas
Sejam duas populações A e B cujas médias são
A
e
B
e
variâncias 2
A
e 2
B
, respectivamente.
Um estimador não viciado para
)( BA
é dado pela estatística
BA XX
e sua distribuição amostral é obtida conforme três diferentes
situações:
i) Populações independentes com variâncias conhecidas;
ii) Populações independentes com variâncias desconhecidas, porém,
iguais;
iii) Populações independentes com variâncias diferentes e desconhecidas.
Figura: Populações normais.
6.3.1. Intervalo de confiança para a diferença entre as médias de duas
populações independentes com variâncias iguais e conhecidas
Seja uma aa de tamanho
An
, retirada da população A e uma aa de
tamanho
Bn
retirada da população B, independentes. Considerando que
as variâncias 2
A
e 2
B
sejam ambas conhecidas, temos que:
AA
AA
n
X
/
e
BB
BB
n
X
/
são
)1,0(N
Da teoria da probabilidade temos que
BABA XXE
e
B
B
A
A
BA
nn
XXVar
22
Logo, para o caso em que as variâncias 2
A
e 2
B
são conhecidas, a
distribuição amostral associada à estatística
BA XX
é dada por:
B
B
A
A
BABA
nn
XX
22
)1,0(N
Observe que a variável padronizada tem expressão similar aos
casos anteriores, ou seja, a diferença entre a va e sua média,
dividida pelo seu desvio padrão.
Podemos, assim, construir um I.C. para
BA
a partir de
)1(2/1222/
z
nn
XX
zP
B
B
A
A
BABA
.
Ou seja, um I.C. (1 – )100% para
BA
considerando
amostras independentes e variâncias conhecidas é dado por:
B
B
A
A
BA
nn
zXX
22
2/
;
B
B
A
A
BA
nn
zXX
22
2/
.
Nota: para simplificar a notação pode-se escrever:
BAd
: diferença entre as médias das populações A e B;
BAd XXX
: diferença entre as médias amostrais de A e B;
B
B
A
A
d
nn
22
2
: variância da diferença entre AX e BX .
Desta forma:
d
dd
X
)1,0(N
.
E o I.C. fica:
dd 2/zX
.
Exemplo 4: Considere que no exemplo com os testes de compressão em
amostras de concretos, além da A uma segunda marca B tenha sido
avaliada com o intuito de que fossem comparadas.
Dados (MPa):
A
31.04 31.11 39.56 24.83 36.97 34.86 29.44 39.15
Ax
= 33.76
27.82 34.96 35.19 39.68 34.27
As
= 4.665
B
27.91 40.94 39.25 37.42 32.16 34.29 38.69 21.21
Bx
= 33.08
29.30 29.21 33.76 32.71 31.91 34.10 33.34
Bs
= 5.017
a) Sabendo que as empresas afirmam que ambos os processos têm
variabilidade 2 = 25MPa2, construir um I.C. para a diferença entre as
médias das duas marcas.
Solução:
a) Como 222 BA então:
BA
BABA
BA
BABA
nn
XX
nn
XX
11
Logo, um I.C. 95% para
BA
é dado por:
BA
BA
nn
zXX
11
2/
;
BA
BA
nn
zXX
11
2/
.
Ou seja:
BA
BA
nn
zXX
11
2/
15
1
13
1
596.108.3376.33
Portanto ( –3.034 , 4.394 ) é um I.C. 95% para
BA
.
6.4. Intervalo de Confiança para a diferença entre as médias
de duas populações independentes com variâncias iguais
e desconhecidas
Sejam duas populações A e B cujas médias são
A
e
B
e
variâncias desconhecidas, porém iguais, ou seja, 222 BA
Nesse caso, contudo, tanto 2
As
como 2
Bs
estimam 2 , logo,
podemos utilizar as informações de ambas as amostras para
estimar a variância populacional.
O que se faz, na prática, é combinar as somas de quadrados das
duas variâncias amostrais e dividir pelos graus de liberdade total, ou seja
22
1
)1()( AAAA
A
snxx
n
i
i
)1( An
= g.l. de 2
As
22
1
)1()( BBBB
B
snxx
n
i
i
)1( Bn
= g.l. de 2
Bs
que combinadas, resultam em
2
)1()1(
)1()1(
)()( 22
2
1
2
12
BA
BBAA
BA
BBAA
BA
nn
snsn
nn
xxxx
s
n
i
i
n
i
i
p
A variância combinada 2
ps
(ou pooled), nada mais é do que
uma variância ponderada pelos graus de liberdade das duas amostras:
2
)1()1( 222
BA
BBAA
nn
snsn
sp
.
Assim como 2
As
e 2
Bs
, 2
ps
é um estimador não viesado para 2 .
Prova:
2
)1()1( 222
BA
BBAA
nn
sEnsEn
sE p
2
)1()1( 22
BA
BA
nn
nn
2
2
)11(
BA
BA
nn
nn
2
Pelo fato de 2 ser desconhecida, temos que
AA
AA
ns
X
/
1An
t
e
BB
BB
ns
X
/
1Bn
t
.
Como temos um estimador comum para a variância populacional,
podemos derivar uma distribuição de probabilidade para
BA XX
.
Padronizando a diferença entre as médias amostrais teremos:
BA
BABA
BA
BABA
nn
s
XX
n
s
n
s
XX
p
pp
1122
Resultado:
BA
BABA
nn
s
XX
p
11
2 BA nn
t
Um I.C. (1 – )100% para
BA
, quando as variâncias
são iguais e desconhecidas, é dado por:
BA
BA BA nn
stXX pnn
11
2/);2(
Exemplo 5: Construir um I.C. 95% para a diferença entre as resistências
médias à compressão em concretos feitos com cimentos das marcas A e
B, considerando variâncias iguais e desconhecidas.
(você acha válida a suposição de variâncias iguais?)
Ax
= 33.76
Bx
= 33.08
As
= 4.665
Bs
= 5.017
An
= 13
Bn
= 15
597.26
26
5307.613
21513
)017.5(14)665.4(12 222
ps
8577.4ps
2.0555 025.0;262/);2( tt nn BA
Logo, um I.C. 95% para
BA
é dado por:
BA
BA
nn
stXX p
11
025.0;26
15
1
13
1
8577.40555.208.3376.33
Portanto ( –3.105 , 4.465 ) é um I.C. 95% para
BA
considerando variâncias iguais e desconhecidas.
6.5. Intervalo de Confiança para a diferença entre as médias de
duas populações independentes com variâncias diferentes
e desconhecidas
Sejam duas populações A e B cujas médias são
A
e
B
e
variâncias diferentes e desconhecidas, 2
A
e 2
B
.
Com 2
A
e 2
B
diferentes e desconhecidas, devemos utilizar suas
estimativas 2
As
e 2
Bs
individualmente e, nesse caso, a distribuição da
estatística utilizada, apesar de continuar sendo a t-Student, não tem mais
os graus de liberdade obtidos diretamente, como nos casos anteriores, isto
é
t
n
s
n
s
XX
~
22
B
B
A
A
BABA
,
em que os graus de liberdade são dados por:
1
/
1
/
2222
2
22
B
BB
A
AA
B
B
A
A
n
ns
n
ns
n
s
n
s
Logo, um I.C. (1 – )100% para
BA
, quando as
variâncias são diferentes e desconhecidas, é dado por:
B
B
A
A
BA
n
s
n
s
tXX
22
2/;
.
Exemplo 6: Com os dados de resistências à compressão em concretos
com cimentos das marcas A e B, considerando variâncias iguais e
desconhecidas.
Ax
= 33.76
Bx
= 33.08
As
= 4.665
2
As
= 21.759
Bs
= 5.017
2
Bs
= 25.174
An
= 13
Bn
= 15
43464.0
23614.11
115
15/174.25
113
13/759.21
15
174.25
13
759.21
22
2
2686.25
Nota: Os graus de liberdade não precisam ser valores inteiros. De fato,
2.056071 025.0;86.25 t
(pelo R).
Enfim, um I.C. 95% para
BA
é dado por:
B
B
A
A
BA
n
s
n
s
tXX
22
025.0;26
15
174.25
13
759.21
0555.208.3376.33
Portanto ( –3.084 , 4.444 ) é um I.C. 95% para
BA
considerando variâncias diferentes e desconhecidas.
Resumindo:
Variâncias Estatística
I.C. 95% p/
BA
Variâncias
conhecidas
B
B
A
A
BABA
nn
XX
22
)1,0(N
(–3.034 , 4.394)
Variâncias
desconhecidas
e iguais
BA
ABA B
nn
s
XX
p
11
2 BA nn
t
(–3.105 , 4.465)
Variâncias
desconhecidas
e diferentes
t
n
s
n
s
XX
~
22
B
B
A
A
BABA
(–3.084 , 4.444)
6.6. Intervalo de Confiança para a diferença entre duas proporções
em populações independentes
Considere que se queira estimar a diferença entre duas proporções
1p
e
2p
, associadas a duas populações independentes. Então, um
estimador não viesado para a diferença
)( 21 pp
é dado por
)ˆˆ( 21 pp
.
Sabendo que
1pˆ
1
11
1
)1(
,
n
pp
pN e 2pˆ
2
22
2
)1(
,
n
pp
pN
Então:
)ˆˆ( 21 pp
2
22
1
11
21
)1()1(
,)(
n
pp
n
pp
ppN
Desta forma, um I.C. (1 – )100% para
)( 21 pp
é dado por
2
22
1
11
2/21
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ
)ˆˆ(
n
pp
n
pp
zpp
Exemplo 7: Um grupo de biólogos interessados em estudar populações de
animais em regiões isoladas por longas distâncias estão avaliando o
desenvolvimento de peixes de uma determinada espécie em duas lagoas
separadas por uma grande distância geográfica. Numa amostra de 116
peixes da primeira lagoa, 84 são da espécie em questão, enquanto que, de
uma amostra de 80 peixes da outra lagoa, 45 são da espécie estudada.
Estimar a diferença entre as proporções de peixes das duas lagoas e
construir um I.C. 90% para a diferença.
As estimativas individuais para
1p
e
2p
são:
724.0
116
84
ˆ1 p
575.0
80
46
ˆ2 p
Então, uma estimativa para a diferença entre
1p
e
2p
é dada por
149.0575.0724.0ˆˆ 21 pp
e, a estimativa do desvio padrão da diferença
04777.0
80
425.0575.0
116
276.0724.0
.
Logo, um I.C. 90% para a diferença entre as proporções é dado por
04777.0645.1149.0 ,
ou seja, ( 0.0353 , 0.2627 ) é o I.C. 90% para
)( 21 pp
.
O que se pode concluir?
6.7. Intervalo de Confiança para a variância 2 de uma população
normal
Considere uma população normal com média e variância 2 ,
ambas desconhecidas. Em muitas aplicações práticas temos o interesse
em avaliar a variabilidade dos fenômenos em estudo. Nessa situação,
devemos estimar e, também, construir intervalos de confiança para a
variância populacional.
Considerando que a população seja normal, temos que
2
2)1(
sn 2
1n
Desta forma, a partir da distribuição 2
1n
podemos construir I.C.’s
para 2 a partir de seus quantis:
)1(
)1( 2
2/1);1(2
2
2
2/);1(
nn
sn
P
)1(
)1(
1
)1( 2
2
2/1);1(
22
2
2/);1(
snsn
P
nn
)1(
)1()1(
2
2/);1(
2
2
2
2/1);1(
2
nn
snsn
P
a b
2
2/1);1(
2)1(
n
sn
a e
2
2/);1(
2)1(
n
sn
b .
Desta forma, um I.C. (1 – )100% para 2 é dado por:
2
2/1);1(
2)1(
n
sn ;
2
2/);1(
2)1(
n
sn .
Exemplo 8: O peso de um componente mecânico é uma va com
distribuição normal com média e variância 2 , desconhecidos. Pretende-
se estudar a variabilidade do processo de produção e, para isso, uma
amostra com n = 11 componentes foi avaliada. Os pesos (g) são dados
98 97 102 100 98 101 102 105 95 102 100
1100 x
e
1100802 x
.
Portanto:
100
11
1100
x
g
8
10
)100(11110080 22
s g
2.
Construir um I.C. 95% para a variância populacional ( = 0.05).
25.32 025.0;10
e
48.202 975.0;10
906.3
48.20
810)1(
2
2/1);1(
2
n
sn
a
615.24
25.3
810)1(
2
2/);1(
2
n
sn
b
Um I.C. 95% para 2 é dado por ( 3.906 , 24.615 ).
6.8. Intervalo de Confiança para razão entre duas vriâncias de
populações normais
É muito comum, em aplicações estatísticas, precisarmos comparar
as variâncias de duas populações, como, por exemplo, quando
comparamos a média dessas populações.
A comparação de duas variâncias não é feita pela diferença entre
elas, mas sim pela razão das mesmas.
Resultado:
Seja
1W
2
1k
e
2W
2
2k
, prova-se facilmente que a razão
2
2
1
1
k
W
k
W
F
21;kk
F
A razão de duas va independentes, com distribuição quiquadrado,
divididas pelos seus respectivos graus de liberdade (k1 e k2), tem
distribuição F de Snedecor, em que k1 são os graus de liberdade do
numerados e k2 os graus de liberdade do denominador.
Notas:
i) Se X
kt
, então 2X
kF ,1
.
Prova: Sai direto do resultado (1) da distribuição t-Student.
ii) Existe uma relação entre os quantis das distribuições F, de forma
que
1;;
;;
12
21
1
kk
kk
F
F
Sejam duas populações normais com variâncias 2
1
e 2
2
e sejam 2
1s
e 2
2s
seus estimadores a partir de amostras de tamanho
1n
e
2n
, então
)1(
/)1(
)1(
/)1(
2
2
2
2
22
1
2
1
2
11
n
sn
n
sn
F
1;1 21 nn
F
Mas a razão F acima pode ser simplificada por:
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
s
s
s
s
F
1;1 21 nn
F
Logo, um I.C. para razão entre duas variâncias é construído a partir
de:
)1(22
2
2
1
2
1
2
2
1
f
s
s
fP
em que:
2/);1();1(1 21
nnFf
e
2/1);1();1(2 21
nnFf
.
)1(
2
1
2
2
22
1
2
2
2
1
2
2
1
s
s
f
s
s
fP
Portanto, escrevendo o resultado para
2
2
2
1
, um I.C. (1 – )100%
para a razão de variâncias é dado por:
)1(
2
21
2
1
2
2
2
1
2
22
2
1
sf
s
sf
s
P
Ou seja, o intervalo para a razão entre duas variâncias de
populações normais é definido por:
2/1);1();1(
2
2
2
1
21 nn
Fs
s ;
2/);1();1(
2
2
2
1
21 nn
Fs
s .
Nota: O intervalo é construído de forma que
2
2
2
1
s
s seja maior do que 1.
Exemplo 9: Construir um I.C. 95% para a razão entre as variâncias da
resistência à compressão em concretos dos
cimentos das marcas A e B.
2
As
= 21.759 2
Bs
= 25.174
An
= 13
Bn
= 15
Com 1
2
2
A
B
s
s ,
3279.0025.0;12;14 F
e
2062.3975.0;12;14 F
.
3608.0
2062.3759.21
174.25
975.0;12;14
2
2
Fs
s
A
B
5284.3
3279.0759.21
174.25
025.0;12;14
2
2
Fs
s
A
B
Assim, um I.C. 95% para
2
2
A
B
é dado por ( 0.3608 , 3.5284 ).
Estatística 2
Exercícios – Intervalos de Confiança
1. Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas
indústrias. Essa qualidade será definida pela uniformidade com que o
produto é produzido. Tomaram-se duas amostras, uma de cada indústria,
medindo-se o tamanho dos produtos (cm).
a) A qualidade das duas fábricas é a mesma? Caso a sua resposta seja
negativa, dê um intervalo de confiança para indicar a intensidade dessa
desigualdade.
b) Construir um I.C. 99% para a diferença entre as médias, (
BA
)
Estatísticas Indústria A Indústria B
Tamanho da Amostra 21 17
Médias 21.15 21.12
Variâncias 0.0412 0.1734
2. Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação dos empregados
de um grande complexo bancário, uma amostra aleatória, de 50 homens e
50 mulheres, produziu os seguintes resultados:
Estatísticas Homens Mulheres
Tamanho da Amostra 50 50
Médias 3.2 anos 3.7 anos
Desvios-padrões 0.8 anos 0.9 anos
Que conclusões você pode tirar para a população de homens e mulheres
desse banco? (Indique quais as suposições feitas)
3. Suponha que uma associação de defesa de consumidores deseja estimar o
consumo médio um novo modelo de automóvel que será lançado no
mercado. Para fazer esta verificação, a associação observa uma amostra de
10 veículos, conduzidos por motoristas treinados, num percurso de 100
milhas. O consumo, em galões, foi registrado com os seguintes resultados:
28.43 x
e
4886.1882 x
Assumindo que estes valores representam uma amostra aleatória de uma
variável normalmente distribuída com média e variância 2 .
a) Calcule estimativas pontuais para e 2 .
b) Calcule um intervalo de 75 % de confiança para 2 .
4. Os dados abaixo são uma amostra aleatória para estimar a proporção
estudantes de uma universidade que possuem automóvel.
Foi construído o intervalo conservador de 90% de confiança para
p
:
( 0.5555 ; 0.8845 )
Um segundo intervalo foi construído considerando a normalidade de
pˆ
:
( 0.4887 ; 0.9513 )
a) Qual é a estimativa pontual para
pˆ
?
b) Qual é o tamanho da amostra?
c) Qual o nível de confiança do segundo intervalo
5. Da população X Normal(50; 100) retirou-se uma aa de n = 10
elementos e da população Y Normal(60; 100) retirou-se uma aa de m = 6
elementos, independente da primeira, obtendo-se as variâncias amostrais 2
1s
e
2
2s
, respectivamente.
a) Encontre o valor de a, tal que 95.02221 assP
b) Encontre o valor de b, tal que 95.02221 bssP
6. Uma das maneiras de medir o grau de satisfação dos empregados de uma
mesma categoria quanto à política salarial é por meio do desvio padrão de
seus salários. A Fábrica A diz ser mais coerente na política salarial do que a
Fábrica B. Para verificar essa afirmação, sorteou-se uma amostra de 10
funcionários não especializados de A, e 15 de B, obtendo-se os desvios
padrões
1000As
reais e
1600Bs
reais. Qual seria a sua conclusão?
Resolução:
1. Deseja-se comparar a qualidade de um produto produzido por duas
indústrias. Essa qualidade será definida pela uniformidade com que o
produto é produzido. Tomaram-se duas amostras, uma de cada indústria,
medindo-se o tamanho dos produtos (cm).
a) A qualidade das duas fábricas é a mesma? Caso a sua resposta seja
negativa, dê um intervalo de confiança para indicar a intensidade dessa
desigualdade.
21An
17Bn
15.21Ax
12.21Bx
0412.02 As
1734.02 Bs
I.C. 95% para
2
2
A
B
:
Limite inferior:
652.1
547.20412.0
1734.0
0412.0
1734.0
975.0;20;16
F
Como 3731.0
68.2
11
975.0;16;20
025.0;20;16
F
F
Limite superior: 280.11
3731.00412.0
1734.0
0412.0
1734.0
025.0;20;16
F
O intervalo ( 1.652 ; 11.283 ) é um intervalo de confiança 95% para
2
2
A
B
.
Como o intervalo não engloba o valor 1, então, temos evidências
suficientes para afirmar que 22
BA
.
Logo, a qualidade das duas indústrias não é a mesma. A indústria A, com
menor variabilidade, tem melhor qualidade.
b) I.C. 99% para (
BA
) considerando variâncias diferentes.
1
/
1
/
2222
2
22
B
BB
A
AA
B
B
A
A
n
ns
n
ns
n
s
n
s
221.22
16
17/1734.0
20
21/0412.0
17
1734.0
21
0412.0
22
2
gl
005.02/
8188.2005.0;22 t
B
B
A
A
BA
n
s
n
s
txx
22
005.0;22)(
17
1734.0
21
0412.0
8188.203.0
( –0.281 ; 0.341 ) é o I.C. 99% para a diferença entre as médias de
tamanhos dos produtos das indústrias A e B.
2. Num estudo comparativo do tempo médio de adaptação dos empregados
de um grande complexo bancário, uma amostra aleatória, de 50 homens e
50 mulheres, produziu os seguintes resultados:
Que conclusões você pode tirar para a população de homens e mulheres
desse banco? (Indique quais as suposições feitas)
A qualidade das duas fábricas é a mesma? (comparar as variâncias)
50Hn
50Mn
anosxH 2.3
anosxM 7.3
anossH 8.0
anossM 9.0
I.C. 95% para
2
2
H
M
:
Limite inferior:
7182.0
7622.164.0
81.0
)8.0(
)9.0(
975.0;49;49
2
2
F
Limite superior:
2302.2
5675.064.0
81.0
)8.0(
)9.0(
025.0;49;49
2
2
F
O intervalo ( 0.7182 ; 2.2302 ) é um intervalo 95% para
2
2
H
M
.
Como o intervalo engloba o valor 1, então, não temos evidências
suficientes para afirmar que as variâncias são diferentes.
I.C. 90% para a diferença entre os tempos médios de adaptação entre
homens e mulheres, com variâncias iguais.
2
)1()1( 222
HM
HHMM
p
nn
snsn
s
725.0
98
81.04964.0492
ps
05.02/
6606.105.0;98 t
H
p
M
p
HM
n
s
n
s
txx
22
05.0;98)(
50
725.0
50
725.0
6606.1)2.37.3(
( 0.2172 ; 0.7828 ) é o I.C. 90% para a diferença entre os tempos médios
de adaptação de entre mulheres e homens.
O intervalo não engloba o zero, portanto, temos evidências suficientes
para afirmar que os homens têm um tempo de adaptação menor do que as
mulheres.
Suposições: Normalidade dos tempos de adaptação de homens e mulheres
3. Suponha que uma associação de defesa de consumidores deseja estimar o
consumo médio um novo modelo de automóvel que será lançado no
mercado. Para fazer esta verificação, a associação observa uma amostra de
10 veículos, conduzidos por motoristas treinados, num percurso de 100
milhas. O consumo, em galões, foi registrado com os seguintes resultados:
28.43 x
e
4886.1882 x
Assumindo que
estes valores representam uma amostra aleatória de uma
variável normalmente distribuída com média e variância 2 .
a) Calcule estimativas pontuais para e 2 .
328.4
10
28.43
ˆ x
13031.0
9
17276.1
)110(
)328.4(104886.188
ˆ
2
22
s
b) Calcule um intervalo de 75% de confiança para 2 .
)25.0(
507.4125.0;9
e
926.13875.0;9
Limite inferior:
0842.0
926.13
17276.1)1(
875.0;9
2
sn
Limite superior:
2602.0
507.4
17276.1)1(
125.0;9
2
sn
I.C. 75% para a variância 2 é dado por: ( 0.0842 ; 0.2602 )
4. Os dados abaixo são uma amostra aleatória para estimar a proporção
estudantes de uma universidade que possuem automóvel.
Intervalo conservador de 90% de confiança para
p
: ( 0.5555 ; 0.8845 )
Intervalo considerando a normalidade de
pˆ
: ( 0.4887 ; 0.9513 )
a) E pontual para
pˆ
? (ponto médio dos intervalos)
72.0
2
9513.04887.0
2
8845.05555.0
ˆ
p
b) Qual é o tamanho da amostra?
Sabe-se que o tamanho do I.C. 90% conservador é dado por:
72.05555.0
4
1
05.0
n
Z
1645.0
4
645.1
n
104 n
25n
c) Qual o nível de confiança do segundo intervalo
9513.0
25
)ˆ1(ˆ
72.0 2/
pp
Z
575.2
28.072.0
)72.09513.0(5
2/
Z
O nível de confiança do I.C. é
99.0)1(
ou 99%.
5. Da população X Normal(50;100) retirou-se uma aa de n = 10
elementos e da população Y Normal(60;100) retirou-se uma aa de m = 6
elementos, independente da primeira, obtendo-se as variâncias amostrais 2
1s
e
2
2s
, respectivamente.
a) Encontre o valor de a, tal que 95.02221 assP
Obs:
10022
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
s
s
1;1 mnF
2
2
2
1
s
s
5;9F
95.02221 assP 772.495.0;5;9 Fa
b) Encontre o valor de b, tal que 95.02221 bssP
Da relação entre as distribuições F’s
2872.0
482.3
11
95.0;9;5
05.0;5;9
F
F
95.02221 bssP 2872.005.0;5;9 Fb
6. Uma das maneiras de medir o grau de satisfação dos empregados de uma
mesma categoria quanto à política salarial é por meio do desvio padrão de
seus salários. A Fábrica A diz ser mais coerente na política salarial do que a
Fábrica B. Para verificar essa afirmação, sorteou-se uma amostra de 10
funcionários não especializados de A, e 15 de B, obtendo-se os desvios
padrões
1000As
reais e
1600Bs
reais. Qual seria a sua conclusão?
O grau de satisfação com o salário é o mesmo nas duas fábricas?
(comparar as variâncias)
10An
15Bn
1000As
1600Bs
62 101As
62 1056.2 Bs
Construir um I.C. 95% para
2
2
A
B
e verificar se engloba o valor 1:
Limite inferior:
6740.0
7980.3101
1056.2
6
6
975.0;9;14
2
2
Fs
s
A
B
Como
3116.0
209.3
11
975.0;14;9
025.0;9;14
F
F
Limite superior:
2157.8
3116.0101
1056.2
6
6
025.0;9;14
2
2
Fs
s
A
B
I.C. 95% para
2
2
A
B
: ( 0.6740 ; 8.2157 )
O I.C. engloba o valor 1, portanto, não há evidências para sustentar a
afirmação da Fábrica A.
7. Testes de Hipótese
Muitas vezes, em problemas práticos, o objetivo principal do
pesquisador não é a estimação em si, mas sim, fazer afirmações a respeito
do(s) parâmetro(s).
Exemplos:
a) Pesquisadores afirmam que a temperatura média do corpo é 98.6F
(37C). Uma amostra de n = 106 indivíduos foi escolhida aleatoriamente
e foram observadas 20.98x F e s = 0.62F.
Pergunta: A amostra constitui evidência suficiente para rejeitar a crença
de que = 98.6F ?
b) Um operador de uma máquina de empacotar cereais, monitora o peso
das caixas pesando um determinado número de caixas periodicamente. A
norma diz que a máquina deve continuar operando a menos que a
amostra indique que a máquina não esteja funcionando normalmente.
Neste caso, a máquina deve ser desligada e ajustada. A condição
requerida para a máquina continuar funcionando é que = 453 g.
Nota: O operador, neste caso, não está interessado em estimar , mas
sim determinar se há evidência suficiente na amostra para concluir
que 453 g.
c) Um grande pomar de maçãs deve ser pulverizado toda primavera contra
certa doença que ataca as folhas. No ano anterior, o administrador do
pomar pulverizou todas as árvores com o herbicida padrão utilizado na
indústria frutífera. O administrador irá utilizar o mesmo herbicida, a menos
que ele tenha evidência de que a proporção p de árvores infectadas seja
inferior a 10%. Se ele estiver convencido de que p < 0.10, então irá
utilizar um herbicida mais barato, mas que é sabido ser menos eficiente.
Para auxiliar na sua decisão, o administrador selecionou aleatoriamente
uma amostra de árvores do pomar. Se a amostra trouxer evidência
suficiente para o administrador de que p < 0.10, então ele irá utilizar o
herbicida mais barato, caso contrário, se não houver evidência suficiente
para concluir que p < 0.10, ele utilizará o herbicida padrão.
Nota: O administrador está basicamente interessado em determinar se a
proporção de árvores infectadas é menor do que 10% (p < 0.10).
Definição:
Um teste de hipótese (ou teste estatístico) é um procedimento
para se determinar se a evidência que uma amostra fornece é suficiente
para concluirmos se o parâmetro populacional está num intervalo específico
(GRAYBILL, IVER & BURDICK, 1998)1 (determinado pelo pesquisador).
7.1. Componentes de um Teste de Hipótese.
i) Hipótese Nula e Hipótese Alternativa: para conduzir um teste de
hipótese, vamos considerar duas afirmações a respeito do parâmetro as
quais chamaremos de hipótese nula e hipótese alternativa.
A hipótese nula, denotada por H0, é uma afirmação sobre o valor do
parâmetro (p.ex. a média), e que deve sempre conter a condição de
igualdade. Por exemplo, em testes de hipótese para a média tem-se:
H0: = 0 H0: 0 H0: 0
“Testamos a hipótese nula, no sentido em que, supondo-a
verdadeira, procuramos chegar a uma conclusão que nos leve à
sua rejeição.”
1
GRAYBILL, F.; IVER, H.K. & BURDICK, R.K. - Applied Statistics, a first course in Inference, Prentice Hall, 1998.
A hipótese alternativa, denotada por HA (ou H1), é a afirmação que
deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. Por exemplo:
HA: 0 HA: < 0 HA: > 0
No exemplo da temperatura corporal podemos ter as hipóteses:
Hipótese Nula:
Hipótese Aternativa:
H0: 6.98
HA: 6.98
teste unicaudal ou unilateral
ou
Hipótese Nula:
Hipótese Aternativa:
H0: 6.98
HA: 6.98
teste bicaudal ou bilateral
A questão agora consiste em: como definir H0 e HA?
Para se conduzir um teste de hipótese é importante que as hipóteses
nula e alternativa sejam escolhidas corretamente.
Esta escolha é de responsabilidade do pesquisador.
Para a correta escolha de H0 e HA, apresentaremos duas situações em
que testes de hipótese são realizados:
a) Suponha que o pesquisador deseja testar uma situação pré-
estabelecida ou uma afirmação
alheia, então, este
conhecimento (ou afirmação) deverá ser escolhido como a hipótese
nula.
Ex: temperatura corporal, controle do peso de caixas de cereais.
b) Se o pesquisador deseja obter evidência para dar suporte a uma
argumentação ou para apoiar uma afirmação sua, então,
essa afirmação deve ser formulada de modo que se torne a hipótese
alternativa.
Ex: aplicação do herbicida na plantação de maçãs.
ii) Erro Tipo I e Erro Tipo II: Ao testarmos uma hipótese chegamos a
uma decisão (de rejeitar ou não H0) que pode ser correta ou
incorreta.
Ao concluirmos a favor, ou contra H0, estamos sujeitos a dois tipos de
erros.
Situação real
H0 é verdadeira H0 é falsa
Nossa
Decisão
Rejeitar H0
Erro Tipo I
(Rejeitar H0, quando
H0 é verdadeira)
Decisão correta
Não Rejeitar
H0
Decisão correta
Erro Tipo II
(Não Rejeitar H0, quando
H0 é falsa)
Exemplo de erro do tipo I:
Baseado no resultado Fx 2.98 , rejeitar a hipótese de que a temperatura
média do corpo humano é = 98.6F, quando a média é de fato 98.6F.
iii) Nível de significância do teste: a probabilidade de se rejeitar H0,
quando H0 é verdadeira, é chamada de nível de significância
do teste e será denotada por .
verdadeiraéHHRejeitarPITipoErroP 00 |
Nota: A probabilidade do Erro Tipo II será denotada por , isto é
=
falsaéHHrejeitarNãoPIITipoErroP 00 |
iv) Estatística Teste: é a estatística amostral, cujo valor baseado nos
dados será utilizado para a tomada de decisão a respeito da hipótese
nula. Está associada à distribuição de probabilidade do
estimador do parâmetro que se deseja testar.
No teste para uma média utilizam-se as estatísticas Z ou t
n
X
Z
/
)(
, se a variância populacional é conhecida
ns
X
t
/
)(
, se a variância populacional não é conhecida
v) Região de Rejeição: ou região crítica, é formada pelo conjunto de
valores que levam à rejeição de H0.
É subconjunto do espaço paramétrico .
A região que não leva à rejeição de H0 será chamada de região de
não rejeição.
O valor que delimita a região de rejeição e a região de não rejeição será
chamado de valor crítico.
Região de rejeição para o teste unicaudal para a média (cauda inferior)
Região de rejeição para o teste unicaudal para a média (cauda superior)
Região de rejeição para o teste bicaudal para a média
Nota: O teste de hipótese consiste em encontrar a região de rejeição de
H0, o que equivale a construir intervalos de confiança.
Concluindo:
Um teste estatístico é conduzido para se determinar se a amostra traz
evidência suficiente para se rejeitar H0 e, assim, concluir que HA é
verdadeira. Ou seja, o teste estatístico é usado para se concluir a favor de
HA ao se concluir que H0 pode ser rejeitada.
Neste sentido, testar uma hipótese pode ser visto como “testar a
hipótese nula”.
Nós ilustraremos esse processo com o exemplo a seguir:
Exemplo: Suponha que temos 1000 caixotes idênticos e que cada caixote
tem 1000 bolas que são indistinguíveis exceto pela cor. O primeiro caixote
fica numa prateleira e tem 1 bola branca e 999 pretas. Os demais caixotes
ficam todos no chão e têm, respectivamente, 2 bolas brancas e 998 pretas;
3 brancas e 997 pretas, até o último que tem 1000 bolas brancas e nenhuma
preta (ver figura)
Um caixote foi danificado e levado a um inspetor, sendo informado que
era um caixote que estava no chão.
Decidindo investigar, o inspetor irá conduzir um teste estatístico para
determinar se há evidência suficiente para concluir que a informação é
verdadeira.
Hipóteses: H0: O caixote danificado veio da prateleira
HA: O caixote danificado veio do chão
A evidência amostral para o teste será dada pela cor de uma
bola selecionada aleatória do caixote danificado.
Há duas possibilidades: a bola selecionada é branca ou a bola
selecionada é preta
1ª. Possibilidade: a bola selecionada é branca
Se o caixote danificado for da prateleira, a probabilidade da bola ser
branca é de 1/1000 = 0.001.
Essa probabilidade é muito pequena, portanto, a bola sendo branca
indica que é improvável que o caixote danificado seja o da prateleira.
No entanto, não seria improvável que a bola branca tenha sido
selecionada de um dos caixotes do chão.
Logo, tendo sido observada uma bola branca:
“a evidência da amostra nos leva a rejeitar H0”
2ª. Possibilidade: A bola selecionada é preta:
Se o caixote danificado for o da prateleira, a probabilidade da bola
selecionada ser preta é 0.999.
Essa probabilidade não é suficientemente pequena a ponto de tornar
improvável que o caixote seja o da prateleira, não havendo razão para se
rejeitar H0.
No entanto, isso não significa que H0 seja verdadeira, uma vez que é
também provável que a bola preta tenha vindo de uma das caixas do chão.
Logo, tendo sido observada uma bola preta:
“não há evidência suficiente na amostra para se rejeitar H0”
Concluindo:
a) Em um teste de Hipótese, se a evidência contida na amostra é
suficiente para convencer o pesquisador de que a hipótese H0 é falsa,
então, a hipótese alternativa HA será considerada verdadeira.
Neste caso, o resultado do teste será “rejeita-se H0”.
b) Por outro lado, se a evidência da amostra não é suficiente para
convencer o pesquisador de que a hipótese H0 é falsa, o resultado do
teste será “não se rejeita H0”.
Importante: A decisão de “não se rejeitar H0” não significa que a
evidência da amostra seja suficiente para concluirmos que H0 seja
verdadeira.
7.2. Teste de Hipótese para uma média, com 2 conhecido
7.2.1. Teste unicaudal na cauda inferior:
Hipóteses:
0A
00
μ μ :H
μ μ :H
A região de rejeição para o teste é dada pelo intervalo
k;
,
ou seja, se o valor da média amostral X for inferior a constante k, então
rejeitamos H0.
Por outro lado, se o valor de X for superior a constante k, então não
rejeitamos H0.
Procedimento para o teste: fixa-se o nível de significância e
calcula-se
verdadeiraéHHRejeitarP 00 |
verdadeiraéHRRXP 0|..
0| kXP
n
k
ZP
n
k
n
X
P 000
A estatística teste será definida por:
n
X
Z
0 que, pelo
T.L.C., tem distribuição Normal com média 0 e variância 1. Desta forma,
aZ
n
k
0
n
Zk a
0
Assim sendo, se
0
0
H Rejeita seNãokX
H seRejeitakX
Uma forma mais apropriada para o teste de hipótese para a
média consiste em calcular o valor observado da estatística teste,
denotado por Z0, e compará-lo com o respectivo valor na escala
padronizada.
n
x
Z
/
)( 0
0
Desta forma, para o teste unilateral na cauda inferior, compara-se o
valor observado da estatística teste com o percentil Z da
distribuição normal padronizada.
Se
0
0
H Rejeita seNãoZZ
H seRejeitaZZ
0
0
Exemplo 1) Uma empresa imobiliária fez um levantamento do valor de
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