Estatistica - Probabilidade e Estatistica Descritiva e Inferencial

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Universidade Estadual da Paraíba 
Disciplina: Estatística 
Profª: Giselly Oliveira 
 
Modulo I 
 
1 A NATUREZA DA ESTATÍSTICA 
 
Introdução 
 
ANTIGUIDADE - Os povos já registravam o número de habitantes, os nascimentos, óbitos 
e faziam “estatísticas”. 
 
IDADE MÉDIA - As informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas. 
 
SÉCULO VI - Surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os 
números relativos. 
 
SÉCULO VII - A Estatística, já com feição científica, é batizada por Godofredo Achenwall. 
As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os 
cálculos com probabilidades. A Estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados 
numéricos para se tornar “O estudo de como se chegar a conclusões sobre uma 
população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)”. 
 
1.1 Estatística 
 
Parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização descrição, 
análise e interpretação de dados, bem como na utilização dos mesmos para tomada de 
decisão. 
 
A coleta, organização, descrição ficam a cargo da chamada Estatística Descritiva, 
enquanto que a análise e interpretação dos dados, associado a uma margem de 
incerteza, dizem respeito à Estatística Indutiva ou Inferencial que se fundamenta na teoria 
e cálculo das probabilidades. 
 
1.2 O Método Estatístico 
 
Método: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta. 
 
1.2.1 Método Científico  Método Experimental 
  Método Estatístico 
 
1.2.1.1 Método Experimental 
 
 Consiste em manter constante todas as variáveis, menos uma que aquela que 
justamente sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex. Estudos de 
Química, Física,etc. 
 
1.2.1.2 Método Estatístico 
 
 É aquele que diante da impossibilidade de manter as causas constantes admitem 
todas essas causas presentes, variando-as e registrando essas variações procurando 
 2 
determinar no resultado final que influências cabem a cada uma delas. Ex. Quais as 
causas que definem o preço de uma mercadoria quando sua oferta diminui. 
 
1.3 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
1º - Definição do Problema: Consiste em saber exatamente aquilo que se pretende 
pesquisar. È o mesmo que definir corretamente o problema; 
 
2º - Planejamento: Consiste em responder às questões do tipo: 
 
como levantar informações? Que dados deverão ser coletados? Que tipo de levantamento 
deverá ser utilizado? censitário ou por amostragem? Qual é o cronograma de atividades? 
Quais os custos envolvidos? etc. 
 
3º - Coleta de Dados: 
 
 É o registro sistemático de dados com um objetivo determinado. 
 
Quanto à origem dos dados, os mesmos podem ser: 
 
 Dados Primários 
 
 São aqueles que são publicados pela própria pessoa ou organização que os 
coletou. Ex: Tabelas do censo demográfico do IBGE. 
 
 Dados Secundários 
 
 Quando são utilizados ou publicados por outra organização. 
 
Ex: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico do 
IBGE. 
 
OBS – É sempre mais seguro trabalhar com dados de fontes primárias. O uso de fontes 
secundárias traz o risco de erros de transcrição. 
 
 Coleta Direta 
 
 Quando é obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza uma pesquisa para 
saber a preferência dos consumidores pela sua marca. 
 
A coleta de dados, quanto ao espaço temporal pode ser : 
 
 Contínua – registro de nascimentos, óbitos, casamentos, etc. 
 
 Periódica – recenseamento demográfico, censo industrial, PNAD e, 
 
 Ocasional – registro de casos de dengue e outros 
 
 Coleta Indireta 
 
 É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por 
analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização. 
 
4º Apuração dos Dados 
 
 Consiste em resumir os dados através de sua contagem e agrupamento. É a 
tabulação dos dados, propriamente dita. 
 
5º Apresentação dos Dados 
 
 3 
 Quanto à apresentação dos dados, existem duas formas que não são excludentes. A 
apresentação tabular e a apresentação gráfica 
 
6º Análise e Interpretação dos Dados 
 
 Esta é a última fase do trabalho estatístico e é também a mais importante e delicada. 
Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal 
é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Enquanto que a estatística indutiva cuida 
da interpretação dos dados e se fundamenta na teoria da probabilidade. 
Praticando o que aprendeu 
 
1. Defina o que é a ciência Estatística 
 
 
 
 
 
2. O que você entende por um método? 
 
 
 
 
3. Qual a diferença entre o método experimental e o método estatístico? 
 
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4. Cite 3 exemplos do método experimental e 3 do método estatístico 
 
1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
1.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
5. quantas e quais são as fases do método estatístico? 
 
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6. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª 
 
 1. Contempla o tipo de levantamento, ( ) Apresentação 
 cronograma, custos envolvidos etc 
 2. Definir o que se deseja pesquisar ( ) Definição 
 3. Estão associadas ao cálculo de medidas 
 e coeficientes ( ) Tabulação 
 4 
 4. Estão dispostos em forma de gráficos e 
 tabelas( ) Planejamento 
 5. Registro sistemático de dados com um 
 fim específico ( ) Coleta dos dados 
 
7. Qual o objetivo da análise e interpretação dos dados no método estatístico? 
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1.4 DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA 
 
Fenômeno Estatístico 
 
 É qualquer evento que se pretende analisar, cujo estudo seja possível da aplicação 
do método estatístico e são divididos em três grupos: 
 
Fenômenos de massa ou coletivo – São aqueles que não podem ser definidos por uma 
simples observação. Ex: A natalidade numa metrópole, o IPCA no Vale do São Francisco 
 
Fenômenos Individuais – são aqueles que irão compor os fenômenos coletivos. 
 
Ex: cada nascimento numa metrópole, preços individuais dos produtos que compõem a 
cesta para o cálculo de IPCA . 
 
Dado Estatístico - É um dado numérico e é considerado a matéria prima sobre a qual 
iremos aplicar os métodos estatísticos. 
 
População - É o conjunto total de elementos portadores, de pelo menos, uma 
característica comum. 
 
Amostra - É uma parcela representativa da população que será examinada com o 
propósito de tirarmos conclusões sobre essa população. 
 
Parâmetro - São valores singulares que existem na população e que servem para 
caracterizá-la. 
 
Estimativa - É um valor do parâmetro e é calculado a partir da amostra 
 
Atributo - São qualidades apresentadas nos dados estatísticos. 
 
Exemplos da classificação dicotômica do atributo: Classificação dos alunos da FACAPE 
quanto ao sexo. 
 
Atributo: sexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . classe :alunos da FACAPE 
Dicotomia: duas subclasses (masculino e feminino) 
 
Variável 
 
 Uma variável, é convencionalmente, o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um fenômeno 
 
Variável Qualitativa – Quando seus valores são expressos por atributos, tipo, sexo, 
estado civil, cor da pele, etc 
 
Variável Quantitativa – Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativos, e o 
conjunto de resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de 
variável e se divide em: 
 5 
 
Variável Discreta ou Descontínua – Quando seus valores são expressos geralmente 
por valores inteiros não negativos e resulta geralmente de contagens. Ex: Nº de alunos da 
rede pública municipal, Nº de nascidos vivos, etc 
 
Variável Contínua 
 
 Resulta normalmente de uma mensuração e a escala numérica de seus valores 
corresponde ao conjunto R , ou seja podem assumir, teoricamente qualquer valor num 
intervalo. 
ExercÍcios para fixação do conteúdo 
 
1. Responda o que se pede 
 
a) Qualquer fato econômico ou social que se pretende analisar, cujo estudo se possa 
aplicar o método estatístico. 
 
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b) Fenômenos que não podem ser definidos por uma simples observação. 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
c) Fenômenos que fazem parte dos fenômenos coletivos. 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
d) valor numérico, considerado a matéria prima sobre a qual iremos aplicar os métodos 
estatísticos. 
 
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e) Conjunto de seres, elementos ou indivíduos que possuem pelo menos uma 
característica em comum. 
 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
2. Enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª 
 
 1. Valores singulares que existem na população ( ) Atributos 
 e que servem para caracterizá-la. 
 
 2. Valor do parâmetro e calculado a partir da amostra ( ) Variável 
 
 3. São qualidades apresentadas nos dados estatísticos. ( ) Parâmetro 
 
 4. Conjunto de todos os resultados possíveis de um ( ) Estimativa 
 fenômeno estatístico. 
 
 5. Parcela representativa da população ( ) Amostra 
 
 
3 Coloque V ou F. Em caso de F, justifique sua resposta. 
 
a) Uma variável é qualitativa, quando seus valores forem expressos por números. ( ) 
 
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b) Quando os valores de uma variável são expressos por números, dizemos que essa 
variável é qualitativa ( ) 
 6 
 
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 c) A idade, a renda familiar, a temperatura, volume de uva , etc. são exemplos de 
variáveis qualitativas. ( ) 
 
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d) Cor dos olhos e dos cabelos dos alunos dessa turma representam variáveis qualitativas 
( ) 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
e) Uma variável discreta é sinônimo de variável descontínua. e seus valores resultam, via 
de regra, de contagens. ( ) 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
f) Diz-se que variável contínua quando seus valores resultam normalmente de medidas 
ou mensurações. ( ) 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 4. Classifique as variáveis dos fenômenos abaixo em “D” (discreta) e “C” (contínua) 
 
a) Número de propagandas no horário nobre num canal de TV ( ) 
 
b) Peso dos candidatos inscritos num vestibular ( ) 
 
c) Temperatura média diária numa cidade litorânea ( ) 
 
d) Número de candidatos a deputado estadual numa eleição estadual ( ) 
 
e) Renda familiar média dos universitários inscritos no FIES ( ) 
 
f) Numero de alunos matriculados na rede pública municipal ( ) 
 
g) Volume de manga exportada para Europa no último trimestre ( ) 
 
5. Em cada caso: a) Estabeleça a variável 
 b) Classifique a variável em qualitativa ou quantitativa 
 c) Das variáveis quantitativas, diga quais são contínuas ou discretas 
Siga o exemplo: 
 
1. Cor dos olhos das modelos, numa final de concurso de beleza 
 
 a) cor dos olhos b) qualitativa c) discreta 
 
2. Os salários dos funcionários de uma empresa de Web Design 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
3. Volume de dinheiro gasto por estudantes num congresso de Comunicação Social 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b)- - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
4. O número de filmes disponíveis num hotel , por dia , para seus hóspedes 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
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5. A quantidade de alimento, em gramas, ingerida por pessoa num restaurante X 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
6. O número de pessoas da terceira idade que estudam na FASJ 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
7. O número de filhos dos estudantes de Publicidade e Propaganda 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
8. O número de casamentos ocorridos entre pessoas que se conheceram em Woodstock 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
9. Produção de carne bovina no Brasil 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
10. Produção de DVD’s piratas no Brasil 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
11. A idade média dos alunos da melhor idade da USP 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
12. Volume de recursos investido por uma empresa de publicidade 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
13. Número de vinhetas exibidas no programa do Jô 
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
Dúvidas E Anotações 
 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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2 TÉCNICAS de AMOSTRAGEM 
 
 Amostragem é o processo pelo qual se faz seleção de amostras e deve garantir tanto 
quanto possível o acaso na escolha. 
 
2.1 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 
 
 São métodos que exigem que cada elemento da população possua a mesma 
probabilidade de ser selecionado. Assim, se N for o tamanho da população, a 
probabilidade de cada elemento ser sorteado será 1/N. Portanto trata-se do método que 
garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências e somente 
com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou 
induções sobre a população a partir da análise da amostra. 
 
2.1.1 Tipos de Amostragens 
 
2.1.1.1 Amostragem Aleatória Simples 
 
 É o processo mais elementar e mais freqüentemente utilizado. È equivalente a um 
sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a N e sorteando-se a 
seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os 
quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. 
 
Exemplo: Vamos obter uma amostra de 10% representativa para uma pesquisa da 
estatura de 80 alunos de uma escola qualquer. 
 
1º - numeramos os alunos de 01 a 90 
2º - escrevemos os números dos alunos de 01 a 80 em pedaços iguais de papel, 
colocamos numa urna e após misturar, retiramos, um a um oito números que irão compor 
a amostra. 
 
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio 
torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma tabela de números pseudo-
aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas 
linhas e colunas. 
 
2.1.1.2 Amostragem Proporcional Estratificada 
 
 Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio 
dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtermos os elementos 
da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos. 
 
Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10% do exemplo 
anterior, supondo que dos 80 alunos, 54 seja meninos e 26 sejam meninas. São portanto 
dois estratos (sexomasculino e feminino). Logo, temos: 
 
 
 9 
 
SEXO POPUILAÇÃO 10% AMOSTRA 
MASCULINO 54 5,4 5 
FEMININO 26 2,6 3 
TOTAL 80 8,0 8 
 
Numeramos, então os alunos de 01 a 80, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 80 meninas e 
procedemos o sorteio casual com uma urna ou a tabela de números aleatórios. 
 
2.1.1.3 Amostragem Aleatória Sistemática 
 Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há 
necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos , os prontuários de 
hospitais, os prédios de uma rua, uma lista telefônica, etc. Nesses casos, a seleção dos 
elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo 
pesquisador, da seguinte maneira: 
 
Exemplo – Suponha uma rua com 300 casas, das quis desejamos obter uma amostra 
formada por 30 casas para uma pesquisa de opinião 
 
1º - Divide-se o tamanho da população pelo tamanho da amostra, ou seja, 300/30 =10 
 
2º - Escolhe-se por sorteio casual, um número entre 01 e 10. Supondo que esse número 
fosse 3, a amostra seria: 3ª casa, 13ª casa, 23ª casa, 33ª 43ª e assim por diante, até 
completar a amostra de 30 residências. 
 
2.1.1.4 Amostragem por conglomerados ou Agrupamentos 
 
 Algumas populações não permitem ou se tornam difícil que se identifique seus 
elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da 
população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses grupos (conglomerados) 
pode ser escolhida e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado 
sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias organizações, agências, 
edifícios, etc. 
 
Exemplo: Num levantamento da população de uma cidade, podemos dispor do mapa 
indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. 
Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de 
todos os que residem naqueles quarteirões sorteados. 
 
2.2 Métodos Não Probabilísticos 
 
 São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos amostrais. 
Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as 
amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população. 
 
2.2.1 Amostragem Acidental 
 
 Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo e 
que são possíveis de se obter até completar o tamanho da amostra. Geralmente este tipo 
de amostragem é utilizado em pesquisa de opinião, em que os entrevistados são 
acidentalmente escolhidos. 
 
Exemplo: pesquisas de opinião em praças públicas, ruas movimentadas de grandes 
cidades, etc. 
 
2.2.2 Amostragem Intencional 
 10 
 
 São amostragens realizadas de acordo com determinado critério. Éscolhe-se 
intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra e intencionalmente o 
investigador coleta a opinião desses elementos. 
Exemplo: Numa pesquisa sobre a preferência por determinado cosmético, o pesquisador 
se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali s encontram. 
 
2.2.3 Amostragem por Quotas 
Este é o método de amostragem mais comumente utilizado em pesquisas de 
mercado e em prévias eleitorais. Ela abrange três fases: 
 
1ª - Classificação da população em termos de propriedades que se sabe ou presume 
serem relevantes para a característica a ser estudada; 
 
2ª - Determinação da proporção da população para cada característica, com base na 
constituição conhecida, presumida ou estimada da população; 
 
3ª - Fixação de quotas para cada entrevistador, a quem caberá a responsabilidade de 
selecionar os entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada 
contenha a proporção de cada classe, tal como determinada na 2ª fase. 
 
Exemplo: Numa pesquisa sobre o “trabalho da mulher na atualidade”. Provavelmente se 
terá interesse em considerar: a divisão, cidade e campo, a habitação, moradia, idade dos 
filhos, renda média, as faixas etárias, etc. 
 
A primeira tarefa é descobrir as proporções dessas características na população. Imagina-
se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo uma amostra de 50 
pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma quota 
para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma 
composição amostral que atenda ao n determinado e às proporções populacionais 
estipuladas. 
 
Exercícios 
 
1. Uma escola de primeiro grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa 
correspondente a 15% da população, utilizando como ponto de inicio da linha da tabela 
de números aleatórios. 
 
2. Tenho 80 lâmpadas numeradas, dentro de uma caixa. Como obtemos uma amostra de 
12 lâmpadas? 
 
3. Uma população encontra-se dividida em 3 estratos, com n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. 
Sabendo-se que ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, 9 elementos 
foram retirados do 3º estrato, determine o número de elementos da amostra. 
 
 3. Sugira um método de amostragem adequado que poderia ser utilizado para obter 
informações sobre: 
(a) a atitude dos passageiros em relação a fumar em serviços de ônibus locais. 
 
(b) A porcentagem de componentes defeituosos produzidos a cada semana em uma linha 
de produção 
 
© as atitudes dos funcionários em relação à existência de um berçário no local de trabalho 
em uma grande empresa. 
 
d) A opinião dos motoristas de carros em relação às medidas de diminuição do tráfego em 
uma rua residencial 
 11 
 
(e) Os prováveis números de vendas de um novo tipo de saquinho de chá 
 
4. O quadro abaixo é uma lista de um grupo de seminário de alunos no 3º ano de um 
curso de Comunicação Social. Com o auxílio da tabela de números aleatórios a seguir 
você é solicitado a selecionar uma amostra de quatro pessoas utilizando. 
 
a) amostragem aleatória simples 
b) Amostragem aleatória baseada no sexo 
c) Amostragem aleatória sistemática 
Nome Nome 
Ana Crisóstomo 
João Secundino 
Helena Onomatopéia 
Pedro Trainee 
Bruno Twist 
Ângela Risoleta 
Sara Gram Bell 
Joana Hobin Hood 
Davi CrosBol 
Eulâmpio Adrenalina 
 
Número aleatórios 
 
12 15 06 15 17 13 17 20 14 02 23 
18 14 10 02 09 13 07 12 16 12 12 
15 16 10 07 13 16 01 14 19 18 29 
01 27 32 14 19 09 15 18 03 41 20 
 
5. A gerente representante de uma loja de departamentos local pediu a seu assistente de 
marketing para conduzir uma pesquisa sobre a possibilidade de abrir até tarde nas noites 
de terças e quintas. A gerente não possui uma lista dos clientes da loja, mas estima que 
deve haver mais de 10.000 deles, com 90% sendo moradores locais. Ela possui, 
entretanto, uma análise de portadores de cartão da loja baseada em idade e gênero, 
como exibido na tabela abaixo: 
 
 
 Gênero 
 
Idade 
 
Masculino 
 
 
Feminino 
Abaixo de 20 anos 3 6 
20 a 29 6 14 
30 – 34 9 21 
45 – 59 7 20 
60 anos ou mais 4 10 
 
Dado que o assistente de marketing possui um pequeno orçamento para impressão e 
produtos de papelaria, e que os resultados da pesquisa foram solicitados para daqui a 
duas semanas, sugira um tamanho de amostra adequado e um método de amostragem. 
Dê motivos para sua escolha 
 
 12 
6. Você foi encarregado, por um jornal diário nacional independente e de grande 
circulação para empreender uma pesquisa nacional sobre a reação das pessoas em 
relação a vários assuntos, incluindo o tratamento da economia por parte do governo. Você 
foi instruído que para a pesquisa tenha alguma credibilidade, será necessário pesquisar 
uma amostra representativa de pelo menos 5.000 pessoas. Considere, detalhadamente,os métodos da amostragem e de coleta de dados que você utilizaria para executar essa 
pesquisa, prestando uma atenção especial ás exigências de um grupo de participantes 
grande e representativo 
 
 
Solução 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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 13 
3 SÉRIES ESTATÍSTICAS – REPRESENTAÇÃO TABULAR 
 
 Uma série estatística é qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto 
de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 
 
Definição 
 
Tabela - Uma tabela é um quadro que resume um conjunto de dados dispostos em linhas 
e colunas de maneira sistemática. 
 
De acordo com a resolução 886 do IBGE, nas casa ou células da tabela devemos colocar: 
 
 (traço horizontal)  quando o valor é zero 
 (três pontos)  quando não dispomos dos dados 
0 ( zero)  quando o valor é muito pequeno 
? (ponto de interrogação)  quando temos dúvida, quanto à exatidão de determinado 
valor 
 
OBS: Tanto o lado esquerdo quanto direito de uma tabela devem ser abertos. 
 
3.1 TIPOS DE SÉRIES 
 
3.1.1 Séries homógradas 
 
São aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. 
Podem ser do tipo: 
 
3.1.1.1 Série Temporal 
 
 Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Portanto o local e fenômeno são 
elementos fixos. É também chamada de histórica ou evolutiva 
 
ABC VEÍCULOS LTDA 
Vendas no 1º trimestre de 2005 
Período Unidades vendidas (1.000 
unid.) 
Jan/96 20 
Fev/96 10 
Mar 15 
Total 45 
 
3.1.1.2 Série Geográfica 
 
Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato são elementos 
fixos. 
 ABC VEÍCULOS LTDA 
Vendas no 1º trimestre de 2005 
 Período Unidades vendidas (1.000 unid.) 
São Paulo 20 
Rio de Janeiro 10 
Recife 15 
Total 45 
 
3.1.1.3 Séries Especificadas 
 
 O que varia é apenas o fato ou o fenômeno, permanecendo fixos o tempo e o local. 
Também é chamada de série categórica. Veja o exemplo: 
 14 
 
 ABC VEÍCULOS LTDA 
Vendas no 1º trimestre de 2005 
 período unidades vendidas (1.000 unid.) 
Fiat 20 
Gm 10 
Chevrolet 15TOTAL 45 
 
3.1.2 Séries Conjugadas 
 
Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de 
duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma 
horizontal e outra vertical. Veja o exemplo: 
 
 Filiais 
Janeiro 
 Fevereiro 
Março 
 São Paulo 10 7 8 
 Rio de Janeiro 12 5 6 
 Recife 15 3 5 
 Total 37 25 19 
 
3.1.3 Séries Heterógradas 
 
São séries tabeladas em forma de distribuição de freqüências. 
 
3.2 DEFINIÇÕES 
 
3.2.1 Dados Brutos - São dados que ainda não foram numericamente organizados. 
Portanto é difícil termos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo. 
 
Ex: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 
 
3.2.2 Rol - Um rol é a tabela obtida após a ordenação dos dados. 
 
Ex: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 
 
3.2.3 Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe: É a simples condensação 
dos dados conforme a repetição de seus valores. 
 
Ex: 
Dados 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 Total 
 f 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 
 
3.2.4 Distribuição de Freqüência com Intervalo de Classe 
 
 Quando o tamanho da amostra é mais elevado, é mais racional efetuar o 
agrupamento dos valores em intervalos de classe. , conforme abaixo: 
 
 i Classe Freqüência ( f ) 
 1 41 45 7 
 2 45 49 3 
 3 49 53 4 
 4 53 57 1 
 5 57 61 5 
  Total 20 
 
3.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalo de classe) 
 
 15 
3.3.1 Classe – É o intervalo de variação da variável e é simbolizado por “i” e o número 
total de classe é simbolizado por “k” 
 
Ex: na tabela anterior k = 5 e i = 1, 2, ... , 5 
 
3.3.2 Limites de Classe – São os extremos de cada classe. O menor número é o limite 
inferior de classe (li) e o maior número é limite superior de classe (ls). 
 
Ex: na classe 49 53 , li = 49 e ls = 53 . O símbolo representa um intervalo 
fechado à esquerda e aberto à direita. O valor 53 pertence a 4ª classe e não a 3ª. 
 
3.3.3 Amplitude do Intervalo de Classe – É obtida por meio da diferença entre o limite 
superior e inferior da classe e é simbolizada por 
isi llh 
. No exemplo anterior 
44953 ih
 
 
3.3.4 Ponto Médio da Classe – É o ponto que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais. Ex. na classe de 49 a 53, o ponto médio é 
512/)4953( 
 
 
3.3.5 Amplitude Total da Distribuição – É a diferença entre o ponto médio da última 
classe e o ponto médio da primeira classe. No exemplo anterior, 
164359 TA
 
 
3.3.6 Amplitude Total da Amostra (Rol) – É a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo do rol. Em nosso exemplo: 
204161 TA
 
 
3.4 MÉTODO PRATICO PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO 
DE FREQÜÊNCIAS COM INTERVALOS DE CLASSE 
 
1º) Organizar os dados brutos em um rol; 
2º) Calcular a amplitude total da amostra; 
3º) Calcular o nº de classes, utilizando a “fórmula de Sturges” k = 1+ 3,22 + log n, onde n 
 é o número de dados ou de observações; 
4º) Determinar a amplitude do intervalo de classe, dividindo a amplitude total AT da 
 amostra pelo número de classes k, ou seja , faça h = AT / k. 
 
Aplicação: Os dados a seguir representam o tempo ( em segundos) para carga de um 
aplicativo, num sistema compartilhado 
 
5,2 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9,1 5,5 6,2 
4,9 5,7 6,3 5,1 8,4 6,2 8,9 7,3 5,4 4,8 
5,6 6,8 5,0 6,7 8,2 7,1 4,9 5,0 8,2 9,9 
5,4 5,6 5,7 6,2 4,9 5,1 6,0 4,7 14,1 5,3 
4,9 5,0 5,7 6,3 6,0 6,8 7,3 6,9 6,5 5,9 
 
Com base nesses dados, determine: 
a) o rol 
b) a amplitude total (amostral) 
c) o número de classes 
d) a amplitude das classes 
e) os limites de classe 
f) os pontos médios das classes 
g) as freqüências absolutas das classes 
h) as freqüências relativas 
i) as freqüências absolutas acumuladas 
j) as freqüências relativas acumuladas 
 16 
Solução e anotações 
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 17 
4 SÉRIES ESTATÍSTICAS – REPRESENTAÇÃO GRAFICA 
 
DEFINIÇÕES 
 
4.1 Histograma 
 
É um gráfico formado por retângulos justapostos, cujas bases se localizam no eixo 
horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidem com o ponto médio do intervalo 
de classe e suas alturas são proporcionais às suas respectivas freqüências absolutas. 
 
4.2 Freqüência Simples ou Absoluta: São os valores que realmente representam o 
número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total 
dos dados da distribuição. 
 
4.3 Freqüência Simples Acumulada de uma classe: É o total das freqüências de todos 
os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe. 
 
4.4 Freqüências Relativas: São os valores obtidos através do quociente entre as 
freqüências simples de cada classe e o total das freqüências da distribuição. A soma das 
freqüências relativas é 1 ou 100%. 
 
4.5 Freqüência Relativa Acumulada de uma classe: É a freqüência acumulada da 
classe dividida pela freqüência total da distribuição. 
 
4.6 Polígono de Freqüências Simples: É um gráfico formado por uma linha poligonal 
fechada, traçada a partir dos pontos médios da base superior de cada retângulo dos 
intervalos de classe. Para realmente obtermos a linha fechada temos que ligar os 
extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à 
última, da distribuição. 
 
4.7 Polígono de freqüência Acumulada 
 
É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas nos pontos médios correspondentes aos limites superiores dos 
intervalos de classe. 
 
 
Aplicação 
 
 
CLASSE fi 
50 54 3 
54 58 7 
58 62 10 
62 66 15 
66 70 4 
70 74 1 
 
 
 
Com base na tabela acima, pede-se: 
a) os pontos médios da distribuição 
b) as freqüências absolutas acumuladas 
c) as freqüências relativas 
d) as freqüências relativas acumuladas 
e) construir o histograma 
f) construir o polígono de freqüências 
g) construir o polígono de freqüências acumuladas 
 18 
Cálculos e Anotações 
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 19 
5 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 São medidas que fornecem o valor do ponto em torno do qual se distribuem os 
dados. 
 
5.1 A MÉDIA ARITMÉTICA média aritmética é uma medida estatística que é calculada 
-se 
todos os possíveis valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de itens 
desse mesmo conjunto. Vamos considerar dois casos: 
 
1º) Para dados não-agrupados ou dados brutos 
Utilizamos a expressão  
n
x
X
i

 
Ex. 1 – Calcular a média de peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com 30 
dias de idade, segundo os dados abaixo: 
 
50 62 70 86 60 64 66 77 58 55 82 74 
 
 
6767
12
804
12
74.....6250


 XX
 gramas 
 
2º) Para dados agrupados: Dados agrupados são aqueles que estão dispostos em 
uma tabela de distribuição de freqüências. Utilizamos a expressão: 
 
.
.
n
fx
X
ii

 ; onde 
 ifn
 
 
Ex. 2 – Encontrar a média dos dados a seguir, que considera o número de aulas perdidas 
por uma turma de alunos em determinada semana. 
 
 Nº de aulas perdidas (x) Número de alunos (f) 
0 8 
1 10 
2 12 
3 6 

 36 
 
Logo 
44,136/52 X
 aulas perdidas nessa semana 
 
Ex. 3 – Calcular a média dos nascidos vivos ao nascer segundo o peso, em kg dos 
dados que se encontram dispostos na tabela abaixo 
 
Classe (i) 
 
Ponto Médio (Xi) Freqüência (fi) 
 
 
1,5 2,0 3 
2,0 2,5 16 
2,5 3,0 31 
3,0 3,5 34 
3,5 4,0 11 
4,0 4,5 4 
4,5 5,0 1 
 
 
 Logo a média aritmética será: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 20 
5.2 A MEDIANA 
 
 A mediana é o valor que ocupa a posição central de uma distribuição de dados 
ordenados em um rol. Consideremos também dois casos: 
 
1º) PARA DADOS NAO AGRUPADOS 
 
5.2.1 Amostras de tamanho impar - Ex: 1, 4, 6, 9 e 11 

 M d = 6 
 
5.2.2 Amostras de tamanho par - Ex: 1, 5, 7, 10, e 11

 M d = (7 + 8) /2 = 7,5 
 
2º) PARA DADOS AGRUPADOS. Utilizamos a expressão: 
 
 
h
f
f
n
lM
md
i
mdd .
2








 , Onde: 
 
 l m d = Limite Inferior da classe que contém a M d 
 h = Amplitude da classe M d 
 n = Tamanho da amostra 
 f = Somatório das freqüência anteriores à M d 
 f m d = Freqüência absoluta da classe M d 
 
 
Exemplo 2: Calcular a mediana dos dados da tabela abaixo 
 
Classes fi Fi 
 35 45 5 
 45 55 12 
 55 65 18 
 65 75 14 
 75 85 6 
 85 95 3 
 
 
1º Passo: Calcula-se n / 2. Como n = 58,  58 / 2 = 29ª posição 
2º Passo: Identifica-se a classe mediana pela Fi. 
3º Passo : Aplica-se a fórmula. 
Nesse caso, temos: 
l m d = 55; n = 58; f i = 17; h = 10; f m d = 18. 
Daí, Vamos calcular: 
 
 
 
M d = 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 5.3 A MODA 
 
 É o valor que ocorre com mais ou maior freqüência em uma distribuição de dados 
Aqui, também temos que considerar dois casos:1º) 5.3.1 DADOS NÃO AGRUPADOS 
 
Exemplo 1: 
 Indivíduos, segundo o tipo de sangue 
 
Tipo de sangue O A B AB 
Moda = - - - - - Freqüência 547 441 123 25 
 
 2º) 5.3.2 DADOS AGRUPADOS 
 
1º Passo : Identifica-se a classe modal. A classe modal é aquela que possui maior 
 freqüência. 
2º Passo : Aplica-se a fórmula: 
hlM io .
21
1



 
 
Onde: 
 
il
 = Limite inferior da classe modal; 
 1 = Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe anterior ; 
 2 = Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe posterior; 
h = Amplitude da classe. 
 
Exemplo 1: Considere os dados da tabela abaixo para calcular a moda 
 
Classes fi Fi 
 35 45 5 
 45 55 12 
 55 65 18 
 65 75 14 
 75 85 6 
 85 95 3 
 58 
 
Neste caso, a classe de maior freqüência é a - - - - - classe, então: 
 
 l i = 55;  1 = 18  12 = 6;  2 = 18  14 = 4 e h = 10 
 
Logo, qual seria a moda? 
 
 
 
M o = 
 
 
 
 
QUESTÕES PARA AVALIAÇÃO de APRENDIZAGEM 
 
1. A média aritmética é a razão entre 
 
 22 
(a) o número de valores e o somatório deles 
(b) os dois valores centrais 
(c) o somatório dos valores e o número deles 
(d) os valores extremos 
 
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda é: 
 (a) 50 (b) 60 (c) 80 ( d) 90 (e) 85 
 
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela: 
(a) a moda (b) a mediana (c) a média (d) o lugar mediano 
 
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é: 
 (a) positiva (b) diferente de zero (c) negativa (d) zero (e) Não sei dizer 
 
5. Na série 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será: 
 (a) a média e a moda (c) a mediana e a moda (b) a média e a mediana 
 
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou 
 maior número de erros, utilizamos: 
 (a) moda (b) mediana (c) média (d) amplitude total (e) freqüência acumulada 
 
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as 
freqüências absolutas, então a mediana é : 
 
 
 30 
 
 25 20 
 
 10 15 
 2 4 6 8 10 12 
 (a) 6,5 (c) 7,5 (b) 8,0 (d) 7,0 (e) 30 
 
8. Na série 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana: 
(a) 3 valores (b) 3,5 valores (c) 2 valores (d) 4 valores (e) nenhum valor 
 
9. O cálculo da mediana pressupõe o conhecimento da (o): 
 (a) média (b) desvio padrão (c) moda (d) ponto médio (e) pessoa que sabe 
 
10. Analisando os dados de uma folha de pagamentos, que medidas se utilizaria para: 
 
a) descobrir o salário mais freqüente - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
b) o salário que divide os pagamentos em partes iguais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) descobrir o salário médio dos funcionários - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
11. Dados os salários anuais, em reais, de cinco jornalistas autônomos, calcule a média, a 
mediana e a moda. Que medida de tendência central fornece a medida resumo mais 
adequada? 
 
 17.000 18.000 20.000 23.000 65.000 
12. Considere a seguinte série: 4, 5, 6, 6, 6. 7, 8, 
 
a) Calcule a média, a moda e a mediana 
b) Substitua o valor 8 pelo valor 18 e faça novamente os cálculos. 
c) que aconteceu com a média? E com a moda? E a mediana? 
d) Que conclusões você pode tirar a respeito desse fato? 
 
 23 
 
13. Suponha que você não se encontrando em sua profissão, resolveu entrar no ramo de 
Delivery de alimentos e após 40 semanas de vendas, resolveu fazer um levantamento 
geral das atividades. O quadro abaixo mostra os valores das vendas em milhares de R$: 
 
 16 29 16 19 24 17 18 20 19 22 17 24 23 
 34 20 19 22 11 14 13 19 20 26 19 21 22 
 21 27 24 20 17 18 23 18 20 24 17 22 20 
 
Com base nas suas vendas, determinar: 
 
a) O rol; b) a amplitude máxima; 
c) amplitude de classes de freqüências; d) distribuição em classes de freqüências; 
 
14. Elaborar: 15. Calcular: 
a) histograma; a) a média; 
b) histograma de freqüência acumulada; b) a mediana; 
c) polígono de freqüência acumulada; c) a moda; 
 
16. Num restaurante foi observado o consumo mensal de energia elétrica 
 
 290 321 308 213 318 302 358 286 393 398 
 352 235 329 333 409 351 325 458 314 181 
 396 340 356 369 281 386 334 331 348 339 
 321 415 327 377 344 209 327 245 297 355 
 
a) Organize os dados em ordem crescente (Rol) 
b) qual é o menor consumo? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - 
c) qual é o maior consumo? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
d) qual é a amplitude total da distribuição? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
e) qual sua sugestão para o número de classes? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
f) qual é a amplitude do intervalo de classe? - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
g) construa a distribuição de freqüências 
 
Nº da classe (classes) (fi) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Qual o limite inferior da segunda classe? 
i) Qual o limite superior da quarta classe? 
j) Qual a freqüência absoluta da quarta classe? 
k) Qual a freqüência relativa da quinta classe? 
l) Calcule a média aritmética 
m) Calcule a mediana 
n) Calcule a Moda 
o) Qual dessas medidas representa melhor esse consumo de energia? 
 
17. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que: 
 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) A moda é maior do que a mediana e menor de que a média 
(b) A moda é menor do que a mediana e maior do que a média 
(c) A moda é menor do que a mediana e esta maior do que a média 
(d) A mediana é maior do que a média e menor do que a moda 
(e) A média é igual a mediana e esta igual a moda 
 
18. Utilizando a série de dados: 2, 5, 7, 8, comprove as seguintes propriedades da 
 média aritmética. 
a) A soma dos desviosem torno da média é igual a zero, isto é  (X i  X) = 0. 
b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, 
c) a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade. 
d) multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média 
 ficará multiplicada ou divida pela constante. 
e) a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou 
 seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a 
 outro valor qualquer, isto é,  (X i  X)
2 = 0. 
 
Anotações e Cálculos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
6 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 As medidas de posição são medidas ou separatrizes que dividem a área de uma 
distribuição de freqüências em regiões de áreas iguais e. 
 
6.1 QUARTIS 
 
 São Separatrizes que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais 
 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
6.1.1 Primeiro Quartil - Q1 
 
 Separatriz que divide a distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam 
menores que ele e 75% maiores que ele. 
 
6.1.2 Segundo Quartil - Q2 
 
 O segundo quartil coincide exatamente com a mediana. É o valor que divide a 
distribuição em exatamente metade dos elementos. 
 
6.1.3 Terceiro Quartil - Q3 
 Valor que deixa 75% dos valores à sua esquerda e os 25% restante à sua direita 
 
- Fórmula para o Cálculo dos Quartis. 
 
É a mesma utilizada para o cálculo da mediana, com pequenas adaptações. 
 
 
h
f
f
n
lQ
Q
ant
Q .
4
1
11








 
Determinação de Q 1 
 
1º Passo : Calcula-se n/4; 
2º Passo : Identifica-se a classe Q1, através da Fi ; 
3º Passo : Aplica-se a fórmula. 
 
- Determinação de Q3 
 
1º Passo : Calcula-se 3n/4; 
2º Passo : Identifica-se a classe Q3 pela Fi; 
3º Passo : Aplica-se a fórmula : 
Aplicação: Dada a distribuição abaixo, determinar Q1, Q2 e Q3. 
 
Classes 7 17 17 27 27 37 37 47 47 57  
 
 fi 6 15 20 10 5 56 
 
 Fi 6 21 41 51 56 -- 
 
 Q1 Q3 
 Q 2 = M d 
1º Passo : n = 56 
 
Q1 = ? Q2 = Md Q3 = ? 
n ÷ 4 = 14º n ÷ 2 = 28º 3n ÷4 = 42º 
 26 
2º Passo : Através da F i, identifica-se a classe Q1, M d e a Q 3 
3º Passo : Uso das fórmulas: 
 
 Q1  l Q1 = 17 n = 56  f ant = 6 h = 10 f Q1 = 15 
Para M d  l m d = 27 n = 56  f ant = 21 h = 10 f md = 20 
 Q3  l Q 3 = n =  f ant = h = fQ3 = 
 
Aplicando esses resultados em suas respectivas fórmulas , obtemos: 
 
Q1 = 22,33 Q2 = M d = 30,5 Q 3 = 38 
 
O que isso significa? 
 
 25% 25% 25% 25% 
 
 
 7 22,23 30,5 38 57 
 
- O valor 22,33 deixa dos elementos 
- O valor 30,5 deixa 50% 
 38 deixa dos elementos 
 
6.2 DECIS - Di 
 
 São separatrizes que dividem uma série ou uma seqüência de dados ou de 
observações em 10 partes iguais. 
 
 0% 10 % 20% 30% 40% 50% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90% 100% 
 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 
 
- Fórmula 
 
A fórmula, neste caso, também é idêntica às separatrizes anteriores. 
 
- Procedimento 
 
1º passo : Calcula-se (i . n) / 10, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
2º passo: Identifica-se a classe D i pela F ac. 
3º passo : Aplica-se a fórmula: 
 
 
h
f
f
in
lD
Di
ac
Dii .
10








 Onde : 
 
l D i = limite inferior da classe D i , i = 1, 2, 3, …..9 
n = tamanho da amostra 
h = amplitude de classe 
f D i = freqüência da classe D i 
 f ant = soma das freqüências anteriores à classe D i 
_ 
 
6.3 PERCENTIS - Pi 
 
 São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. 
 
 27 
0% 1% 2% 3% 4% ......…. 50% ....……… 97% 98% 99% 100% 
 
 
 P1 P2 P3 P4 …….. P50 .....….......P70 P97 P98 P99 P100 
 
- Procedimento: 
 
1º Passo: Calcula-se in / 100 , com i = 1, 2, 3, ......, 98, 99. 
2º Passo: Identifica-se a classe Pi pela F ac 
3º Passo: Usa-se a mesma fórmula dos Decis, trocando-se l di por l Pi e f Di por f Pi 
 
- Exemplo: 
 
Determinar o D4 e o P72 da seguinte distribuição: 
 
 Classe 4 9 9 14 14 19 19 24 Fórmula 
 
 f i 8 12 17 3 
 
 f ac 8 20 37 40 
 
 classe D4 classe P72 
 
 Cálculo de D4 Cálculo de P72 
 
1º Passo: in /10 = 4. 40 / 10 = 16º in / 100 = 72 .40 /100 = 28,8º 
 
2º Passo: Identifica-se a classe D4 e P72 pela F ac 
 
3º Passo: Utilização das fórmulas 
 
Para D 4  l D4 = ;  f = ; h = ; f D4 = ; n = 
 
 P 72  l P72 = ;  f = ; h = ; f P72 = ; n = 
 
Substituindo nas fórmulas ,  D4 = 12, 33 e P72 = 16,89 
 
- Análise e Conclusão 
 
O valor 12,33 divide a amostra em duas partes, sendo uma contendo dos dados e 
outra contendo 
 
Enquanto que o valor 16,89 indica que da distribuição estão abaixo dele e 
acima. 
 
Anotações 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - -