Teoria da firma - maximização de lucro e minimização de custo

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Teoria da Firma: maximização
do lucro e minimização do custo
Profª. Francieli Tonet
Bibliografia:
VARIAN, H.R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2012. (Capítulo 19 e 20)
Introdução
Para analisar como as firmas tomam suas decisões de produção, pode-se utilizar duas 
abordagens distintas:
Modelo de maximização do lucro;
Modelo de minimização de custos.
Hipóteses: 
As firmas operam em um mercado competitivo;
Logo, são tomadoras de preço.
Lucros
Suponha uma empresa que produza n produtos (y1,...,yn) e utilize m insumos (x1,...,xn);
Sejam os preços dos bens produzidos (p1,...,pn) e os preços dos insumos (w1,...,wn);
O lucro da empresa, π, pode ser expresso por:



m
i
n
i
xwyp
1
11
1
11
Receita Total CustoTotal
Custos de Produção
O que são considerados custos de produção?
Em economia os custos de produção incluem custos explícitos e custos de
oportunidade:
Custos Explícitos: custos associados à utilização dos fatores de produção – salários, 
aluguéis, despesas com materiais, etc.
Custos de oportunidade: custos associados às oportunidades perdidas em decorrência 
da escolha de uma alternativa de produção em lugar de outra também possível, refere-se 
à renúncia de benefícios ao se empregar um fator de uma foram em detrimento de outra. 
Lucro econômico versus Lucro Contábil 
Lucro 
Econômico
Custos de 
oportunidade
Custos 
Explícitos
Custos 
Explícitos
Lucro 
Contábil
Receita Receita
Custo 
Econômico 
Como os economistas 
veem as empresas
Como os contadores veem 
as empresas
Maximização dos lucros no curto prazo
Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2 a função de produção de uma empresa, p o preço do produto e w1 e 
w2 os preços dos insumos, sendo o insumo 2 fixo no CP; 
Então o problema de maximização que a empresa se depara é:
max
𝑥1
𝑝𝑓 𝑥1, 𝑥2 −𝑤1𝑥1 − 𝑤2𝑥2
Pelas condições de primeira ordem, têm-se que:
𝜕𝜋
𝜕𝑥1
= 0
𝜕𝑝𝑓 𝑥1,𝑥2
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑤1𝑥1
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑤2𝑥2
𝜕𝑥1
= 0
𝑝
𝜕𝑓 𝑥1,𝑥2
𝜕𝑥1
−𝑤1 = 0
Logo, 
𝑝𝑃𝑀𝑔1 𝑥1
∗, 𝑥2 = 𝑤1
Na escolha ótima, o valor do PMg de 
um fator de produção deve ser igual a 
seu preço. Isso porque se pPMg > w, os
lucros poderão ser aumentados com o 
aumento do fator, e vice-versa.
Maximização dos lucros no curto prazo
Representando a função de produção por y, os lucros são dados por:
𝜋 = 𝑝𝑦 − 𝑤1𝑥1 −𝑤2𝑥2
Solucionando para y, para expressar a produção como função de 𝑥1, temos:
𝑦 =
𝜋
𝑝
+
𝑤2
𝑝
𝑥2 +
𝑤1
𝑝
𝑥1
Essa equação descreve as retas isolucro, que são combinações de insumos e de
produtos que fornecem um nível constante de lucros.
O intercepto vertical mede o nível de lucros, enquanto a inclinação é medida por
𝑤1/𝑝.
Maximização dos lucros no curto prazo
O problema da maximização do lucro é, então, achar o ponto da função de produção que 
esteja associado com a reta isolucro mais alta:
y*
𝑥1
∗ 𝑥1
Produção
𝜋
𝑝
+
𝑤2
𝑝
𝑥2
Retas isolucro
Inclinação = 𝑤1/𝑝
𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2
Função de produção
O ponto de escolha ótima se 
caracteriza por uma condição 
de tangência: a inclinação da 
função de produção deve 
igualar a inclinação da reta 
isolucro, isto é:
𝑷𝑴𝒈𝟏 =
𝒘𝟏
𝒑
Estática Comparativa
Como a escolha ótima de insumos e produtos de uma empresa varia à medida que variam
os preços dos insumos e dos produtos?
Por exemplo, como a escolha ótima do fator 1 varia quando seu preço varia?
𝑥1
∗𝑥1
∗′
𝒘𝟏 baixo
𝒘𝟏 alto
𝑥1
Produção Pela equação da reta isolucro:
𝑦 =
𝜋
𝑝
+
𝑤2
𝑝
𝑥2 +
𝑤1
𝑝
𝑥1
 Se 𝒘𝟏 aumenta, a isolucro se 
tornará mais inclinada;
 Portanto, o nível ótimo do fator
1 tem de diminuir;
 Isso apenas significa, que
quando o preço do fator
aumenta, sua demanda diminui. 
Estática Comparativa
E como a escolha ótima varia se o preço do produto variar?
𝑥1
∗𝑥1
∗′
p alto
p baixo
𝑥1
Produção
Pela equação da reta isolucro:
𝑦 =
𝜋
𝑝
+
𝑤2
𝑝
𝑥2 +
𝑤1
𝑝
𝑥1
 Se p diminuir, a isolucro se 
tornará mais inclinada;
 Portanto, o nível ótimo do fator 
1 tem de diminuir;
 Isso significa que a redução de p
fará com que a oferta diminua, 
ou seja, a empresa ajustará seu 
nível de produção reduzindo a 
demanda pelo fator 1.
Maximização do lucro no longo prazo
No LP, a empresa é livre para escolher o nível de todos os insumos;
Assim, o problema de maximização pode ser escrito como:
max
𝑥1,𝑥2
𝑝𝑓 𝑥1, 𝑥2 −𝑤1𝑥1 −𝑤2𝑥2
Pelas condições de primeira ordem, temos:
𝜕𝜋
𝜕𝑥1
= 0
𝜕𝑝𝑓 𝑥1,𝑥2
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑤1𝑥1
𝜕𝑥1
−
𝜕𝑤2𝑥2
𝜕𝑥1
= 0
𝑝
𝜕𝑓 𝑥1, 𝑥2
𝜕𝑥1
− 𝑤1 = 0
𝜕𝜋
𝜕𝑥2
= 0
𝜕𝑝𝑓 𝑥1,𝑥2
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑤1𝑥1
𝜕𝑥2
−
𝜕𝑤2𝑥2
𝜕𝑥2
= 0
𝑝
𝜕𝑓 𝑥1,𝑥2
𝜕𝑥2
−𝑤2 = 0
Maximização do lucro no longo prazo
Portanto, a condição que descreve as escolhas ótimas de cada fator é:
𝑝𝑃𝑀𝑔1 𝑥1
∗, 𝑥2
∗ = 𝑤1
𝑝𝑃𝑀𝑔2 𝑥1
∗, 𝑥2
∗ = 𝑤2
Se a empresa efetuou a escolha ótima dos fatores 1 e 2, o valor do produto marginal 
de cada fator deve ser igual a seu preço;
O argumento é o mesmo utilizado para as decisões de maximização de CP:
Se o valor do produto marginal do fator 1, 𝑝𝑃𝑀𝑔1, exceder o custo de utilizá-lo, 𝑤1,
valerá a pena expandir o uso desse fator, e vice-versa;
O mesmo é verdadeiro para o fator 2. 
Minimização do Custo
Se uma empresa maximiza lucros e escolhe ofertar uma quantidade de produto, então 
ela tem de minimizar o custo de produção;
Caso contrário, existira um meio mais barato de produzir essa quantidade de produto;
O que significaria que a empresa não estaria maximizando lucros;
Assim, convém dividir o problema de maximização de lucros em duas etapas:
Primeiro, verifica-se como minimizar os custos de produzir qualquer nível desejado de 
produto;
E, então, verifica-se que nível de produção, de fato, maximiza os lucros.
Minimização do Custo
O problema de minimização consiste de encontrar o custo mínimo para alcançar um 
determinado nível desejado de produção;
Assim, supondo que se tenha dois fatores de produção com preços w1 e w2, o problema 
pode ser escrito como:
min
𝑥1,𝑥2
𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2
de modo que 𝑝𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑦
A solução desse problema dependerá de w1, w2 e y, de modo que a função custo pode 
ser representada por: c(w1, w2 , y)
Essa função mede o custo mínimo de produzir y unidades de um bem quando os 
preços são (w1, w2).
Minimização do Custo
A solução desse problema pode ser entendida pela representação dos custos e das 
restrições tecnológicas em um mesmo diagrama;
Traçando todas as combinações de insumos que tenham um dado nível de custo:
𝐶 = 𝑤1𝑥1 +𝑤2𝑥2
E rearranjando, obtêm-se
𝑥2 =
𝐶
𝑤2
−
𝑤1
𝑤2
𝑥1
Uma reta isocusto, com intercepto vertical c/𝑤2 e inclinação −𝑤1/𝑤2.
Todo ponto numa reta isocusto tem o mesmo custo, C, e as retas mais elevadas estão
associadas a custos mais altos.
Minimização do Custo
As isoquantas nos fornecem as restrições tecnológicas – todas as combinações de 𝑥1
e 𝑥2 que podem produzir y;
Portanto, o problema de minimização consiste de encontrar o ponto na isoquanta que 
esteja associado à reta isocusto mais baixa possível;
Logo, o ponto de escolha ótima de cada insumo será dado pela condição de tangência: 
a inclinação da isoquanta será igual à inclinação da isocusto;
Ou seja, a TTS tem de ser igual à razão de preço dos fatores:
𝑇𝑇𝑆 𝑥1
∗, 𝑥2
∗ =
∆𝑥2
∆𝑥1
= −
𝑃𝑀𝑔1
𝑃𝑀𝑔2
= −
𝑤1
𝑤2
Minimização do Custo
A escolha dosfatores que minimizam os custos de produção é representada pelo ponto na 
isoquanta associado à reta isocusto mais baixa possível:
𝑥1
∗
𝑥2
∗
𝑥1
𝑥2
Escolha ótima
Retas isocuto
Inclinação = −𝑤1/𝑤2
Isoquanta
𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑦
Assim como na TTS, qualquer 
mudança nos insumos deve manter 
a produção constante, no ponto de 
custo mínimo, essa mudança não 
poderá diminuir os custos, ou seja:
𝑤1∆𝑥1 + 𝑤2∆𝑥2 = 0
Resolvendo para ∆𝑥2/∆𝑥1, chega-se 
a:
∆𝑥2
∆𝑥1
= −
𝑤1
𝑤2
= −
𝑃𝑀𝑔1
𝑃𝑀𝑔2
Minimização do Custo
As escolhas de insumos que geram custos mínimos dependerão, em geral, dos preços 
dos insumos e do nível de produção que a empresa deseja ter;
Desse modo, essas escolhas podem ser escritas como:
𝑥1 𝑤1, 𝑤2, 𝑦
𝑥2(𝑤1, 𝑤2, 𝑦)
Essa expressões são chamadas funções demanda de fatores condicionadas;
Elas medem a relação entre os preços e a produção e a escolha ótima de fatores, 
condicionando que a empresa tenha um dado nível de produção y.
Custos de curto prazo
A função de custo de CP é definida como o custo mínimo para alcançar um dado 
nível de produção, mediante o ajuste apenas dos fatores variáveis:
𝑐𝑠(𝑦, 𝑥2) = min
𝑥1
𝑤1𝑥1 +𝑤2𝑥2
de modo que 𝑝𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑦
Logo, no CP o custo mínimo de produzir y unidades de produto dependerá da 
quantidade e do custo do fator fixo disponível;
A função demanda de fatores de CP é a quantidade de fator 1 que minimiza os custos:
𝑥1 = 𝑥1
𝑠 𝑤1, 𝑤2, 𝑥2, 𝑦
𝑥2 = 𝑥2
Exercício em sala
1) A função de produção Cobb-Douglas é dada por 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏. Que valores de 
a e b estão associados aos diferentes tipos de rendimento de escala?
2) A taxa técnica de substituição entre 𝑥2 e 𝑥1 é -4. Se você quiser produzir a mesma 
quantidade de produto, mas diminuindo em três unidades o uso de 𝑥1, de quantas 
unidade adicionais de 𝑥2 você necessitará?
3) No curto prazo, se o preço do fator fixo aumentar, o que ocorre com os lucros?
4) Se uma empresa apresentasse rendimentos crescentes de escala, o que aconteceria 
com os lucros se os preços permanecessem fixos e a escala de produção dobrasse?
5) Suponha que uma empresa esteja maximizando lucros no curto prazo. Se o preço do 
fator variável, 𝑥2, diminuir, o que acontecerá com a utilização do fator fixo, 𝑥1? E 
com o nível de lucros?