Eq diferenciais ordinarias

E QUAÇÕES D IFERENCIAIS O RDINÁRIA S E APLICAÇ ÕES Aluno: Marcelo Luiz Freitas Fogal Orient ador: Ernandes Rocha de Oliveira Ilha Solteira, 1999 UNIVERSID ADE EST ADUAL P AULIST A \u201cJÚLIO DE MESQUIT A FILHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departame nto de Matemátic a UNESP - FEIS Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 1 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS Introdução Este trabalho consiste de um estudo de equ ações diferenciais ordinárias e de seus métodos de determinação de suas soluções. É bem conhecido que muitos f enômenos que inter essam às Engenharias e outras ciências p odem ser estudadas através de modelos matemáti cos nos quais apare cem d e modo importante equações ordinárias. Processos contínuos que envol vam a análise d e taxa de variação, são geralmente descritos p or meio da noção da derivada. Entende- se também que o est udo de modelos mat emáticos sim ples, por ém significativos, permite ao iniciante n a matéria com preender melhor o po der e o lim ite dos métodos matemáticos utilizados, além disso tais modelos podem servir como um primeiro passo na busca d e f ormação m atemática necessária p ara que s e possa d esenvolver uma confiança na formulação e exploração de novos modelos. Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 2 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS Objetivos O o bj etivo principal deste trabalho é o de estudar , tanto do ponto de vista qualit ativo, quanto do pon to de vista quantitativo, as pr incipais classes de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e as de segunda or dem l ineares, além de alguns problemas significativos modelados por tais equações. A execução deste trab alho deverá proporcionar uma experiência inicial com a t eoria de equações dif erenciais ordinárias, m odelagem matemática e o uso de um software p ara realizar simulações e visualização de soluções. Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 3 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS Observações Históricas O desenvolvimento d as equações di ferenciais está d iretamente l igado com o desenvolvimento da matemática. A f im de se ter uma certa perspectiva histórica, vam os traçar algumas tendências princip ais na história do problema e identificar as personalidades contribuidoras mais eminentes. O estudo das EDO's inaugurou-se no início do cálculo, com Isaac Newton (1642-1727) e Leibniz ( 1646-1716), no séc ulo XVII. E mbora Newton te nha trabalhado relativamente pouco no campo das equações diferenciais, o desenvolvimento que proporcionou ao cálculo e à elucidação dos princípios básicos da mec ânica construíram a base para as aplicações que se fizeram no s éculo XVIII, por Euler . Ne wton clas sificou as equaçõ es dif erenciais de primeira ordem de ac ordo como as formas dy/dx = f(x), d y /dx = f(y) e dy/dx = f(x,y). Leibniz chegou aos r esultados funda mentai s do cálculo por via independente, embora um pouco posterior a Newton, m as foi o p rimeiro a publicá- los, em 1684. Leibniz tinha pl ena consciência do poder de um a boa nota ç ão matemática e a notação que us amos para a derivada (d y/dx), e para a i ntegração, foram introduzidas por ele. Descobriu o mé todo de s ep aração das v ariáveis em 1691, a redução de equações homogêneas e equações separá veis, e o procedimento de resolução de equações lineares de primeira orde m em 1694. Os ir mãos Jako b (1654-1705) e Johann ( 1667-1748) Bernoulli, contribuíram muito para o desenvolvimento de métod os de resolução de equações diferenciais e para ampliar o campo de aplic ação destas equações. Com o a uxílio do cálculo formularam como equações diferenciais muitos p roblemas de m ecânica e os resolveram. Por exemplo, Jak ob Bernoulli resolveu a equação d iferencial y\u2019 = [a³/(b²y - a³)] ½ em 1690 e, n o mesm o artigo usou pela primeira vez o te rmo "integral" no sentido m oderno. Em 1 694, Johann Bernoulli res olveu a eq uação dy /dx = y / ax, embora não se soubesse na época, que d(ln x) = dx/x. Euler teve es pecial interesse na formulação de problemas de mecânica em linguagem m atemática e o desenvolvimento de méto dos d e resolução destes problemas m atemáticos, i dentificou a co ndição d e ex atidão das equações diferenciais de primeira ordem em 1734-1735, desenvolveu a t eoria dos fatores de Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 4 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS integração e apresentou a solução geral das e quações line ares c om os c oeficientes constantes em 1743. No que se ref ere às e quações diferenciais elementares, J oseph-Louis Lagrange (1736-1813) mostrou em 1762-1765 que a solução de uma equação diferencial homogênea de ordem n é uma combi nação linear de n s oluções independentes. De pois, em 1774-1775, p ublicou o desenvolvimento completo d o método da variação de parâmetros. Lagrange também é conhecido pelo seu tratamento fundamental nas equações diferenciais parciais e no cálculo d as variações. A eq uação de La place é f undament al em muitos ramos da físic a matemática, e Pi erre-Simon de Laplace estudou-a profundamente em su as investigações da atração gravita cional. A transformada de L aplace também recebeu o n ome em sua homenagem, embora sua utilidade para a s olução de equações diferenciais só tenha sido reconhecida muito mais tarde. As diversas eq uações diferenciais que resistiram à resolução por meios analíticos levaram à investigação de métodos numéricos de ap roximação. Na altura de 1900, métodos de integração numérica, muito eficientes, já tinham sido elaborados, m as a im plementação destes métodos estava sever amente restringida pela necessidade d e exe cução de cálcu los manuais o u com equipa mento d e computação muito primitivo. Nos últimos cinqüenta anos, o desenvolvimento de computadores ca da vez mais poderosos e versáteis ampliou a gama de problemas que podem ser investigados com eficiência por meio de métodos numéricos. Durante o mesmo período, desenvolveram-se integradores numéricos muito refinados e robustos, que se encontram em todos os centros de computação científica. Uma outra c aracterística das equações diferenciais no século XX foi a criação de m étodos geométricos ou topológicos, especialmente par a as equações não-lineares. Assim, embora a s equações diferenciais sejam um tema antigo, a respeito do q ual seja gr ande o conheciment o, tornou-se no f inal do século XX uma fonte de problemas fascinantes e importan tes, ainda não resolvidos. Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 5 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS Classificação das EDO's Muitos problemas significativos da e ngenharia, das ci ências físicas e das ci ências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma f unção que obedece a uma equação que c ontém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais. T emos as e quações dif erenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Um a das classif icações s e baseia em a função desconhecida depender de uma só variável o u de diversas variáveis. No primeiro caso, na e quação diferencial só apa recem der ivadas ordinári as e a equação é uma equação diferencial ordinária. No s egundo c aso, as derivadas são derivadas parciais, e a e quação é um a equação diferencial parcial. Como um exemplo pa ra equações diferenciais ordinárias, temos: ) ( ) ( t KR dt t dR \u2212 = , onde K é uma cons tan te con hecida. Um exemplos típico de equação diferencial parcial é a equação do potencial: 0 ) , ( ) , ( 2 2 2 2 = + dy y x u d dx y x u d A equação d o pot encial aparece em muitos problemas de eletricidade e magnetismo. Sistemas de equações diferenciais é uma outra classificação qu e depende do número de funções desconhecidas que estão envolvidas. Quando f orem duas ou mais as funções desconhecidas, é necessário ter um sistema de equações. A ordem de uma equação difer encial é a ordem de derivada de maior ordem que aparece na e quação. De uma forma m ais geral, a equação F[t, u(t), u\u2019(t),\u2026, u (n) (t )] = 0 é um a equação d iferencial de ordem n. Esta equação pode ser escrita como F(t, y , y\u2019,\u2026, y (n) ) = 0. Por exemplo, y\u2019 \u2019\u2019 + 2e t y\u2019 \u2019 + yy\u2019 = t 4 é uma e quação dif erencial de ter ceira ordem em y = u(t). Admitindo-se que é sempre possível resolver um a dada equação diferencial ordinária n a derivada de ord em mais elevada e ter y (n) = f (t, y , y\u2019, y\u2019 \u2019,\u2026, y (n-1) ). Uma solução desta equação n o intervalo \u03b1 \u03b2 , é uma f unção \u03c6 tal que \u03c6 \u2019, \u03c6 \u2019\u2019,\u2026, \u03c6 (n) existem e satisfazem a : Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 6 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS \u03c6 (n) (t) = f[t, \u03c6 (t), \u03c6 \u2019(t),\u2026, \u03c6 (n-1) (t)], p ara todo t em \u03b1 \u03b2 . Uma classificação im porta nte das equações diferenciais é a q ue as divide em lineares e não-lineares. A equação dif erencial or dinária F(t, y , y\u2019,\u2026, y (n) ) = 0 é linear se F f or uma função linear das variáveis y , y\u2019,\u2026,y (n) . Definição semelhante aplica-se às e quações diferenciais parciais. Assim, a equação dif erencial ordinária linear , de ordem n, é: a 0 (t)y (n) + a 1 (t)y (n -1) +\u2026+ a n (t)y = g(t). Uma equação q ue n ão tenha ess a forma é uma equação não-linear . Um problema simples que leva a uma equação não-linear é o do pêndulo. O ângulo \u03b8 que um pêndulo de comprimento L faz c om a direção ve rtical obedece à equação não-linear: 0 sen 2 2 = + \u03b8 \u03b8 L g dt d . A teoria mat emática e as t écnicas correspondentes para a resolução das e quações line ares estão m uito d esenvolvidas, mas em contraposição, para as equações não-lineares a situ ação não é tão satisf atória. Em boa parte f altam técnicas gerais para a resolução d e e quações não-lineares, e a teoria associa da a estas equações também é m ais complicada do q ue a te oria d as equações line ares. Por isso, é bom que m uitos problemas importantes levem a equações diferenciais ordinárias lineares ou, pelo menos em primeira aproximação, a equações lineares. Campos de Direções Uma interpretação geométrica das equa ções diferenciais e das respectivas so luções são os cam pos de direções. O ponto d e vista geométrico é especialmente útil no caso de equações de p rimeira ordem, isto é, de equações c om a forma: ) , ( y t f dt dy = (a1) A solução d a equ ação (a 1) é um a função y = \u03c6 (t), a solução geométrica de uma solução é o gráfico d e um a f unção. Geometricamente a equação ( a1) afirma que, em qualquer ponto (t, y ), o coef iciente angular dy/dt da solução neste p onto é dado por f (t,y). Podemos r epresenta r graf icamente esta sit uação t raçando um pequeno segmento de reta, no ponto (t,y), com o c oeficiente angular f(t,y). O Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 7 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS conjunto de segmentos de reta é o cam po d e dir eções da equaçã o diferencial (a1). O cam po de direções pode s er visu alizado pelo d esenho d e pequenos segmentos de reta num conjun to representativo de pont os do plano t y . Embora este t raçado seja tedioso de se r f eito manualmente, é tarefa sim ples para um comp uta dor , pois exige somente o cálculo repetido de f(t ,y) para dif erentes valores de t e de y . Com o desenho d e cam po d e direçõ es, pode-se pe rceber muitas vezes, o comp orta mento qualitativo das soluções ou ob servar regiões no plano que tenha interesse especial. Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 8 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS Equações Diferenciais de Primeira Ordem Equações Lineares Se a função d a equação dy/dt = f(t ,y ) depende linearmente da variável dependente y , então a equação pode ser escrita na forma: ) ( ) ( t g y t p dt dy = + , e é chamada de equação difer encial linear de primeira ord em. V am os admitir que p e g s ão funções c onhecidas e contínuas n o intervalo \u03b1 \u03b2 . Por exemplo, a equação diferencial: 2 3 2 1 = + y dt dy , é uma equa ção linear partic ularmente sim ples, com as funções p(x) = 2 1 e g(x) = 2 3 , ambas constantes. T emos como exemplo a resolução da eq uação 2 3 2 1 = + y dt dy e determinar como as soluções se comportam p ara gr andes valores de x. Par a resolver esta equ ação, observamos q ue se y \u2260 3 p odemos rescrever a equação na forma 2 3 \u2212 \u2212 = y dt dy , daí então 2 1 3 \u2212 = \u2212 y dt dy . Uma vez que o primeiro membro da equação 2 1 3 \u2212 = \u2212 y dt dy , é a derivada de 3 ln \u2212 y , temos 2 1 3 ln \u2212 = \u2212 y dt d . Segue-se então que se: c t y + \u2212 = \u2212 2 3 ln , on de c é u ma constante de integração ar bitrária. Portanto, com a forma exponencial de ambos os membros, obtemos: ) 2 exp( ) exp( 3 t c y \u2212 ± = \u2212 , onde ) exp( c c ± = também é u ma const ante arbitrária não nula. Fator integrante Inicialmente, escrevemos ) exp( rt r K y + \u2212 = (I) na f orma Estudo de Equaç ões Diferenciais Or dinárias 9 UNIVERSIDADE EST ADUAL PAU LISTA \u201cJÚLIO DE MES QUITA FI LHO\u201d Campus de Ilha Solteira Departamento de Matemática UNESP - FEIS c rt r K ye rt + \u2212 \u2212 = \u2212 ) exp( (II), e depois derivando os d ois membros em relação a t, vem: ) exp( ) exp( ) ' ( rt K rt ry y \u2212 = \u2212 \u2212 (III), q ue é equivalente a equação K ry dt dy + = (IV). Observe que agora p odemos resolver a equação (IV) i nvertendo os passos precedentes. T ra nspondo o termo ry para o lado esquerdo da equação e multiplicando por e -rt , obtemos a equação (III). Note qu e o lado esquerdo de (III) é a derivada de ye -rt , de modo que a equação se torna: ) exp( ))' exp( ( rt K rt y \u2212 = \u2212 (V) Finalmente integrando os dois mem bros da equação (V), obtemos a equação (II) e portanto a solução (I) . Lidando a gora com a questão da equação ) ( ) ( t g y t p dt dy = + (VI). Nosso objetivo é multi plicar a e quação diferencial (VI ) por um fator integrante apropriado e assim coloc á-la em u ma f orma integrável. Para determinar esse fator i ntegrante primeiro multi plicamos a Eq.(VI) por uma f unção µ (t), ainda indeterminada. T emos agora: µ (t)y\u2019 + µ (t)p(t)y = µ (t)g(t) (VII) Devemos agora rec onhecer o lado esquerdo da Eq.(VII) como a derivada de alguma função. O fato é que existem dois termos e um dos termos é µ (t)y\u2019 sugere que o lado esquerdo da equação (VII) p ode ser a d erivada do produto µ (t)y . Para que ist o s eja ve rdade, o seg undo termo do lad o esquerdo da Eq.(VII), µ (t)p(t)y , dev e ser i gual a µ \u2019(t)y . Isto significa que µ (t) d eve satisfazer a equação diferencial: µ \u2019(t) = p(t) µ (t) (VIII) Se admitirmos que µ (t) é positiva, p odemos escrever a equação (V III) como: ) ( ) ( ) ( ' t p t t = µ µ , ou ) ( ) ( ln t p t dt d = µ , então integrando ambos os termos, \u222b + = K dt t p t ) ( ) ( ln µ .

Eq diferenciais ordinarias

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Cálculo I

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