Aula 02 Bases de dimensionamento

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Pilares em Concreto Armado 
– Bases de dimensionamento
PROFº. M.SC. JULIO CESAR TAVARES DE LUCENA
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II I
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O R I O G R A N D E D O N O R T E
D E PA R TA M E N T O D E E N G E N H A R I A C I V I L
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2ª ORDEM
MÉTODO GERAL 
◦ Obrigatório para elementos com λ ≥ 140.
MÉTODOS APROXIMADOS:
◦ Método do pilar padrão com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.3);
◦ Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada (item 15.8.3.3.3);
◦ Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N e 1/r (item 15.8.3.3.4);
◦ Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua (item 
15.8.3.3.5).
TABELA RESUMO
λ 𝜸𝒇
Consideração 
dos efeitos de 
2º ordem
Processo de cálculo
Consideração 
da fluência
Exato
Aproximado 
(diagramas 
M, N, 1/r)
Simplificado
≤ λ1
1,4
Dispensável - - - -
≤ 90
Obrigatório
Dispensável Permitido
Permitido Dispensável
≤ 140
Não 
permitido
Obrigatório
≤ 200 1,4+0,01(λ-140) Obrigatório
Não 
permitido
MÉTODO GERAL
• O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o
aumento do carregamento ou de sua excentricidade.
• Aplicável a qualquer tipo de pilar, inclusive nos casos em que as dimensões da peça, a
armadura ou a força aplicada são variáveis ao longo do seu comprimento.
• A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus resultados, que retratam com
maior precisão o comportamento real da estrutura.
MÉTODO GERAL
• Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera nas
seções um momento incremental, provocando novas deformações e novos momentos (Processo
Interativo).
MÉTODO GERAL
• O método consiste na análise não-linear de 2º ordem efetuada com:
o Discretização adequada da barra;
o Consideração da relação momento-curvatura real em cada seção;
o Consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada.
• O método geral é obrigatório para λ > 140.
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM
CURVATURA APROXIMADA
• Este método aplica-se somente ao caso de flexão composta normal;
• É permitido para pilares de seção constante e de armadura simétrica e
constante ao longo de seu eixo;
• O método pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90;
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
CURVATURA APROXIMADA
• A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se
que a configuração deformada da barra seja senoidal;
• A não linearidade física é levada em conta através de uma expressão
aproximada da curvatura na seção crítica.
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
CURVATURA APROXIMADA
• A equação senoidal para a linha elástica, que define os valores para a deformação de 2ª ordem
(𝑒2) ao longo da altura do pilar é dada por:
𝑒2 =
𝑙𝑒
2
10
1
𝑟
• 1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão:
1
𝑟
=
0,005
ℎ(𝑣+0,5)
≤
0,005
ℎ
𝑣 é a força adimensional:
𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
CURVATURA APROXIMADA
• O momento total máximo no pilar (soma do momento de 1º ordem com o
momento de 2º ordem) é dado por:
Sendo:
• 𝑀1𝑑,𝐴 ≥ 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛
• 𝑀1𝑑,𝐴 é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento 𝑀𝐴
• 𝑀𝐴 é o maior valor absoluto entre os dois momentos de extremidade
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
RIGIDEZ κ APROXIMADA
• O método pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90;
• Seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo;
• A não linearidade física é considerada de maneira aproximada;
• A não linearidade geométrica é considerada de maneira aproximada;
• Este método pode ser aplicado em pilares submetidos a flexão composta
normal e flexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direções
principais, simultaneamente.
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
RIGIDEZ κ APROXIMADA
• O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª
ordem pela expressão:
• Para o valor da rigidez adimensional κ pode ser utilizada a expressão aproximada:
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
RIGIDEZ κ APROXIMADA
• Em um processo de dimensionamento, toma-se 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡;
• Em um processo de verificação, onde a armadura é conhecida, 𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡 é
o momento resistente calculado com essa armadura e com 𝑁𝑑 = 𝑁𝑆𝑑 = 𝑁𝑅𝑑.
• As variáveis h, ν, 𝑀1𝑑,𝐴 e 𝛼𝑏 são as mesmas definidas na subseção
anterior. Usualmente, duas ou três iterações são suficientes quando se
optar por um cálculo iterativo.
MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM 
RIGIDEZ κ APROXIMADA
• O processo aproximado, em um caso de dimensionamento, recai na formulação direta dada
abaixo:
ENVOLTÓRIA DE MOMENTOS
SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO
Para efeito de projeto, os pilares 
dos edifícios podem ser 
classificados nos seguintes tipos: 
•Pilares Intermediários;
•Pilares de Extremidade;
•Pilares de Canto;
HIPÓTESE CONSIDERADA
PILAR INTERMEDIÁRIO
Nos pilares intermediários considera-se a compressão centrada na situação de projeto, pois
como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos fletores
transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis. Não existem, portanto, os momentos
fletores MA e MB de 1ª ordem nas extremidades do pilar.
PILAR DE EXTREMIDADE
Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas das edificações,
sendo também chamados pilares laterais ou de borda. O termo “pilar de extremidade” advém do
fato do pilar ser extremo para uma viga, aquela que não tem continuidade sobre o pilar.
Na situação de projeto ocorre a flexão composta normal, decorrente da não continuidade da viga.
Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1ª ordem em uma direção do pilar.
PILARES DE CANTO
De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifícios, vindo daí
o nome. Na situação de projeto ocorre a flexão composta oblíqua, decorrente da não
continuidade das vigas apoiadas no pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1ª
ordem, nas suas duas direções do pilar, ou seja, e1x e e1y . Esses momentos podem ser calculados
da mesma forma como apresentado nos pilares de extremidade.
DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB
MOMENTO FLETOR MÁXIMO
DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB
MOMENTO FLETOR MÁXIMO
RESUMO DAS EXCENTRICIDADES
PILAR INTERMEDIÁRIO
PILAR DE EXTREMIDADE
PILAR DE CANTO
RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E 
O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COM AUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL:
A Figura ao lado mostra a notação aplicada na
utilização dos ábacos de VENTURINI (1987)
para a Flexão Composta Normal (ou Reta). A
distância d’ é paralela à excentricidade (e),
entre a face da seção e o centro da barra do
canto. De modo geral tem-se d’ = c + ϕt + ϕL/2,
com c = cobrimento de concreto, ϕt =
diâmetro do estribo e ϕL= diâmetro da barra
longitudinal.
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COM AUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL:
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COM AUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL:
Parâmetros de entrada do ábaco:
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COM AUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA:
A Figura ao lado mostra a notação
aplicada na utilização dos ábacos de
PINHEIRO et al. (1994) para a Flexão
Composta Oblíqua. As distâncias d’x e
d’y têm o mesmo significado de d’,
porém, cada uma em uma direção do
pilar.
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COM AUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA:
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL 
COMAUXÍLIO DE ÁBACOS
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA:
Parâmetros de entrada do ábaco:
ROTEIRO DE CÁLCULO
ROTEIRO DE CÁLCULO
ROTEIRO DE CÁLCULO
EXERCÍCIO