Dimensionamento de Pilares

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CON2 – Concreto Armado II
Aula 12: Dimensionamento e detalhamento das 
armaduras longitudinais e transversais de pilares
Profª. Ellen Martins Xavier
ellen.xavier@uemg.br
Pilares
 Comportamento global;
 Índice de esbeltez;
 Dimensionamento;
 Detalhamento.
Comportamento global
01
Comportamento global
Ações:
Os pilares possuem uma função básica de receber as ações das vigas e
sistemas de vedação (paredes) e transmiti-las para fundação.
Estas cargas possuem naturezas diversas, como:
• Cargas concentradas
• Cargas distribuídas
• Ações do vento
Os pilares são os elementos destinados à estabilidade
vertical, porém, é necessário projetar outros elementos mais
rígidos que, além de também transmitirem as ações
verticais, deverão garantir a estabilidade horizontal do
edifício à ação do vento e de sismos, onde existirem.
Comportamento global
• São esses elementos mais rígidos que garantirão a indeslocabilidade dos nós
dos pilares menos rígidos.
• O sistema de contraventamento é o “conjunto de elementos que
proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou
quase-insdeslocabilidade dos pilares contraventados”, que são aqueles que
não fazem parte do sistema de contraventamento.
São elementos de contraventamento:
- Pilares de grandes dimensões (pilares parede ou
simplesmente paredes estruturais);
- Treliças ou pórticos de grande rigidez;
- Núcleos de rigidez.
Comportamento global
A partir do tipo de ligações entre vigas e pilares, o comportamento
global da estrutura irá mudar, influenciando diretamente nos esforços
absorvidos pelo pilar.
Existem 3 tipos básicos de ligações entre pilares e vigas:
• Ligações rotuladas
• Ligações Engastadas
• Ligações semirrígidas.
Comportamento global
o Estruturas muito flexíveis induzem esforços adicionais ao pilares
(efeito de segunda ordem).
Comportamento global
o Por outro lado, estruturas mais rígidas redistribuem melhor os
esforços, diminuindo sua deformação e por consequência possuem
menores esforços adicionais.
Comportamento global
As estruturas de nós móveis sofrem grande influência das
deformações globais.
Momentos adicionais surgem na estrutura e necessariamente eles
devem ser levados em consideração no cálculo dos pilares.
Para poder classificar as estruturas quanto ao seu deslocamento são
utilizadas 3 métodos de acordo com a NBR 6118:2023:
• Parâmetro α
• Parâmetro
• Processo P∆
Índice de esbeltez ( )
02
Índice de esbeltez (λ)
o Como observado, os pilares
sofrem grandes influências das
deformações.
o De acordo com a Euler (1757),
elementos esbeltos possuem
maiores probabilidades de
ocorrência de flambagem.
Índice de esbeltez (λ)
o O índice de esbeltez (λ) pode ser definido como:
Onde: 𝜆 é o índice de esbeltez, 𝑙 é o comprimento equivalente do pilar e 𝑖 é o menor raio de
giração da seção geométrica do pilar.
o O raio de giração ( ) como o raio de giração da seção:
Onde: I é a inércia da seção e A é a área da seção.
Índice de esbeltez (λ)
o Para estruturas retangulares, o raio de giração (i) pode ser
simplificado para:
o Assim o índice de esbeltez para seções retangulares, poderá ser
escrito como:
Índice de esbeltez (λ)
o Através do índice de esbeltez, a NBR 6118:2023 determina os
seguintes limites:
– Pilar curto ou pouco esbelto
– Pilar medianamente esbelto
– Pilar esbelto ou muito esbelto
– Pilar excessivamente esbelto
– Impossível de dimensionar
Efeito de 2ª ordem desprezado
Método
simplificado
Método geral
Índice de esbeltez (λ)
Comprimento equivalente ( 𝒆):
Para determinar o índice de esbeltez e a classificada a estrutura em nós
fixos ou nós móveis, é necessário determinar o comprimento
equivalente do pilar.
O comprimento equivalente irá depender da classificação dos nós,
sendo:
• Para nós fixos;
• Para nós móveis.
Índice de esbeltez (λ)
Comprimento equivalente ( 𝒆):
o Segundo a NBR 6118:2023, o comprimento
equivalente ( 𝒆) do pilar, suposto vinculado
em ambas extremidades (nós fixos) é:
Onde:
𝑙 - distância entre faces internas dos elementos estruturais,
supostos horizontais, que vinculam o pilar;
𝑙 - distância entre eixos dos elementos estruturais aos quais
o pilar está vinculado;
ℎ - altura da seção transversal do pilar, medida no plano da
estrutura em estudo (x ou y).
Índice de esbeltez (λ)
Comprimento equivalente ( 𝒆):
o Para nós moveis ou elementos isolados, 𝒆 será o comprimento
teórico de Euler:
Índice de esbeltez (λ)
Comprimento equivalente ( 𝒆):
o Em edifícios, a linha deformada dos pilares contraventados, apresenta-
se como mostrado na figura abaixo.
Dimensionamento
03
Dimensionamento
O dimensionamento dos Pilares segue diversas metodologias, porém
dentro da graduação será abordado os seguintes métodos:
• Método pilar padrão com curvatura aproximada;
• Método pilar padrão com “k” (kapa) aproximado.
As metodologias simplificadas fornecerão o momento fletor máximo de
cálculo.
Para o cálculo da taxa de aço da seção, serão utilizados métodos
tabelados, nos quais a referência serão os momentos fletores máximos
solicitantes determinados.
ª ª 
Momento fletor mínimo (momento de 1ª ordem):
Segundo a NBR 6118:2023, o efeito das imperfeições locais nos pilares
pode ser substituído pela consideração do momento fletor mínimo de 1ª
ordem.
O momento mínimo de 1ª ordem é dado por:
Onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em metros (m).
𝑁 é a força normal solicitante de cálculo.
Dimensionamento
M1d,mín (0,015 + 0,03h) (unidade de força.metro)
Momento fletor mínimo (momento de 1ª ordem):
o Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma envoltória de 1ª
ordem, tomando a favor da segurança, de acordo com a figura abaixo:
Dimensionamento
Momento de engastamento viga-pilar (momento de 1ª ordem):
Dimensionamento
Momento de engastamento viga-pilar (momento de 1ª ordem):
Dimensionamento
Momento de engastamento viga-pilar (momento de 1ª ordem):
De maneira aproximada, segundo o item 14.6.6.1 da NBR 6118, pode-se
considerar a influência dos pilares nas vigas admitido o esquema estático:
Dimensionamento
Exemplo 1: Determinar os momentos fletores que a viga VX transmite ao
pilar PY. A viga é solicitada por uma carga uniformemente distribuída
igual a 8 kN/m.
Dimensionamento
Dimensionamento
Índice de Esbeltez Limite ( 𝟏):
o O conceito de esbeltez limite surgiu a partir de análises teóricas de
pilares, considerando material elástico-linear.
o O índice de esbeltez limite é um parâmetro que informa quando será
necessário calcular o efeito de segunda ordem local ou não.
o O valor da esbeltez limite ( 𝟏) depende da excentricidade relativa de
1ª ordem ( ), das vinculações do pilar e da forma do diagrama de
momento de 1ª ordem.
,
,
,
,
Onde:
• 𝟏 é a excentricidade de 1ª ordem e
é obtido conforme apresentado na
Figura. Perceba que a
excentricidade de 1ª ordem depende
da existência e da forma que ocorre
o momento fletor no pilar a ser
calculado.
• 𝒃 é o parâmetro de instabilidade.
O valor da esbeltez limite λ1 deve 
estar compreendido dentro do 
intervalo 35 ≤ λ𝟏≤ 90 
Dimensionamento
Índice de Esbeltez Limite ( 𝟏):
Índice de Esbeltez Limite ( 𝟏):
O valor de αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:
a) para pilares biapoiados sem cargas transversais:
sendo:
𝒃
Dimensionamento
Onde: MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1ª
ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem global)
no caso de estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao
longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e
negativo, em caso contrário.
Índice de Esbeltez Limite ( 𝟏):
Possibilidades mais comuns de ocorrência dos momentos de 1ª ordem MA
e MB nos pilares.
Dimensionamento
Índice de Esbeltez Limite ( 𝟏):
O valor de αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:
b) para pilares biapoiados comcargas transversais significativas
ao longo da altura:
c) para pilares em balanço:
d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos
menores que o momento mínimo:
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o De acordo com a NBR 6118:2023, o método
do pilar-padrão com curvatura aproximada
pode ser empregado apenas para pilares
com , seção constante e armadura
simétrica e constante ao longo do seu eixo.
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o Considerando os momentos fletores de 2ª ordem, o momento máximo
no pilar deve ser calculado pela expressão:
Onde: 𝑀 , é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento 𝑀 , 𝑁 é a força normal solicitante
de cálculo, 𝑙 é o comprimento equivalente.
o Bastos (2017) indica que tanto , como , devem ser adotados
como maior ou igual a , í .
, , ,
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o De acordo com a NBR 6118:2023 a curvatura padrão da seção crítica
(1/r) pode ser definida por:
Onde: 1/r é a curvatura na seção crítica, h é a altura do pilar retangular na direção considerada
e 𝑣 é a força normal adimensional, calculado por:
Onde: 𝐴 é a área de concreto da seção transversal do pilar e 𝑓 é a resistência de cálculo do
concreto à compressão.
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o Com posso dos valores do momento fletor total em cada direção e
das propriedades da seção transversal, pode-se utilizar os ábacos de
flexão para dimensionamento da armadura dos pilares.
o Para usar os ábacos, primeiramente determina os seguintes valores:
onde:
Dimensionamento
. , . ,
𝑡
Método da curvatura aproximada:
o Após o cálculo dos valores de
entrada, define-se a distribuição
uniforme da armadura, para
escolher o ábaco a ser utilizado:
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o Para flexão composta normal (reta),
basta selecionar o ábaco a partir do
arranjo escolhido para a armadura e o
valor de calculado:
Por exemplo, para um arranjo do tipo 3 onde
o Ábaco de flexão normal (Venturi)
será o Ábaco A-6.
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o Para a flexão oblíqua, com posse
do arranjo das armaduras e dos
coeficientes d’y/hy e d’x/hy, pode-
se determinar o ábaco a ser
utilizado pela tabela ao lado:
Dimensionamento
Método da curvatura aproximada:
o Com posse dos parâmetros Mx, My e , pode-se determinar o valor de
e calcular a taxa de aço ( 𝒔) de acordo da seguinte expressão:
Dimensionamento
Armaduras máximas e mínimas:
o Taxa mínima de armadura ( 𝒔,𝒎𝒊𝒏 ):
o Taxa máxima de armadura ( 𝒔,𝒎á𝒙 ):
Obs: A taxa máxima absoluta permitida pela norma NBR 6118:2023 é
de 8% da área da seção do pilar. Deve-se considerar inclusive esse
valor para a sobreposição de armadura na região de emendas por
traspasse das armaduras, considerando nessa região à taxa no valor de
4% do lance inferior e mais 4% do lance superior, totalizando a taxa
máxima absoluta de 8%.
Dimensionamento
,
, á
Dimensionamento
Exemplo 2: A Figura ao lado mostra uma
planta de fôrma do pavimento tipo de
uma edificação de pequeno porte, com
três pavimentos. Devido à baixa altura da
edificação, os efeitos do vento não serão
considerados.
Dimensionamento (15 x 40)
(15 x 40)
(15 x 40)
(15 x 40)
(1
5
 x
 4
0)
(1
5
 x
 4
0)
(1
5
 x
 4
0)
Exemplo 2:
Atenção: A planta de fôrma foi concebida considerando que existem
paredes de alvenaria de vedação ao longo de toda a edificação, com
espessura de “meio tijolo”, confeccionadas com blocos cerâmicos de
dimensão 15 cm. A fim de ficarem embutidos nas paredes. As vigas e
pilares devem largura de 15 cm.
Dimensionamento
Dimensionamento
Exemplo 2: Dimensionar o pilar P1.
Dados do projeto:
• Classe de Agressividade Ambiental II;
• Execução com controle de qualidade adequado;
• Comprimento dos pilares = 290 cm;
• Aço CA-50;
• Concreto com agregado graúdo: Brita 1 ( á );
• Será dimensionado o lance compreendido entre o 1º pavimento e o 2º
pavimento;
• Considerar uma carga uniformemente distribuída igual a 13 kN/m sobre todas
as vigas do pavimento;
• Adotar e .
Resolução do Exemplo 2
a) Definir a classe e o cobrimento do concreto:
𝒄 ≥
𝒄
(𝒅𝒎á𝒙 𝟏, 𝟐⁄ ) + ∆𝒄
𝝓𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝒐𝒖 𝝓𝒇𝒆𝒊𝒙𝒆
• Fazer lançamento;
• Fazer pré-dimensionamento.
Resolução do Exemplo 2
b) Pré-dimensionamento:
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
0,5 6 𝑚 = 3 𝑚
0
,4
5
5
 𝑚
=
2
,2
5
 𝑚
A
Resolução do Exemplo 2
b) Pré-dimensionamento:
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
• Vamos adotar um valor maior que a área mínima definida 
por norma. Por isso adotaremos a seção: 
Vamos chamar hx a 
largura da menor 
dimensão
hy a largura da menor 
dimensão
Resolução do Exemplo 2
c) Comprimento equivalente (𝒍𝒆):
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
𝑙 ≤
𝑙 + ℎ
𝑙
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
d) Índice de esbeltez (λ):
λ =
3,46 𝑙
ℎ
λ =
3,46 𝑙
ℎ
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
Resolução do Exemplo 2
e) Reações das vigas sobre o pilar P1:
• Carga de compressão no pilar:
6 m
13 𝑘𝑁/𝑚
- A carga de compressão que chega no pilar no pavimento é a soma
das cargas das vigas que descarregam nesse pilar:
𝑃, = 𝑅 + 𝑅
𝑞. 𝐿
2
= 39 𝑘𝑁
5 m
𝐏𝟒
𝑉5
13 𝑘𝑁/𝑚
𝑞. 𝐿
2
= 39 𝑘𝑁
𝑞. 𝐿
2
= 32,5 𝑘𝑁
𝑞. 𝐿
2
= 32,5 𝑘𝑁
2,90 m 
2º
1º
Terreo
𝑁 = 2 𝑃, + 𝑃, ó
- A carga total de compressão característica que chega no pilar P1 no
1º Pavimento será:
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
e) Reações das vigas sobre o pilar P1:
• Carga de compressão no pilar:
- Transformando para carga de compressão de cálculo:
𝑁 = 𝛾 𝛾 𝑁
𝛾 = 1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜 𝐸𝐿𝑈
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
Pilar de canto = flexão composta oblíqua É necessário calcular os momentos gerados 
pelas excentricidades na direção x e y
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção x:
 Rigidez:
- Viga V5: 𝐼 =
𝑏 ℎ³
12
=
15 𝑐𝑚 (40 𝑐𝑚)³
12
= 80000 𝑐𝑚
𝑟 =
𝐼
𝑙
=
80000 𝑐𝑚
500 𝑐𝑚
= 160 𝑐𝑚
- Pilar P1: (seção constante para todos os pilares do pavimento)
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
𝐼 , = 𝐼 , = 𝐼 , =
𝑏 ℎ³
12
=
30 𝑐𝑚 (15 𝑐𝑚)³
12
= 8437,5 𝑐𝑚
𝑟 , = 𝑟 , = 𝑟 , =
2 𝐼 ,
𝑙
=
2 8437,5 𝑐𝑚
265 𝑐𝑚
= 63,68 𝑐𝑚
V5
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção x:
 Rigidez:
- Viga V5:
5 m
𝐏𝟒
𝑉5
13 𝑘𝑁/𝑚
𝑟 =
𝐼
𝑙
=
80000 𝑐𝑚
500 𝑐𝑚
= 160 𝑐𝑚
- Pilar P1: (seção constante para todos os pilares do pavimento)
,
 O momento de engastamento perfeito da viga V5 será:
𝑀 , =
𝑞 𝑙²
12
=
13 𝑘𝑁/𝑚 5𝑚²
12
= 27,08 𝑘𝑁. 𝑚
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
𝐼 =
𝑏 ℎ³
12
=
15 𝑐𝑚 (40 𝑐𝑚)³
12
= 80000 𝑐𝑚
𝐼 , = 𝐼 , = 𝐼 , =
𝑏 ℎ³
12
=
30 𝑐𝑚 (15 𝑐𝑚)³
12
= 8437,5 𝑐𝑚
𝑟 , = 𝑟 , = 𝑟 , =
2 𝐼 ,
𝑙
=
2 8437,5 𝑐𝑚
265 𝑐𝑚
= 63,68 𝑐𝑚
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção x:
 Momento no pilar:
- Como estamos no 1º Pavimento, os momentos na base e no topo do
lance do pilar resultam:
𝑀 , , = 𝑀 , , = 6,00 𝑘𝑁. 𝑚
Momento em 
cada andar
𝑙
=
2
6
5
cm
𝑙
=
2
6
5
cm
𝑙 = 500 𝑐𝑚
 13 𝑘𝑁/𝑚
𝒚
𝑷𝟏
𝑷𝟒
𝑀 , ,
6,00 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 , ,
6,00 𝑘𝑁. 𝑚
1
2
𝑀 , ,
1
2
𝑀 , ,
𝑀 , , = 𝑀 , , = 𝑀 ,
𝑟 ,
𝑟 + 𝑟 , + 𝑟 ,
= 27,08𝑘𝑁. 𝑚
63,68 𝑐𝑚
160 𝑐𝑚 + 63,68 𝑐𝑚 + 63,68 𝑐𝑚
- Considerando a propagação dos momentos
fletores no pilar, os momentos fletores totais na
base e no topo do pilar P1 na direção x será:
𝑀 , , = −𝑀 , , = 𝑀 , , +
𝑀 , ,
2
𝑀 , , = −𝑀 , , = 6,00 +
6,00
2
= 9,00 𝑘𝑁. 𝑚
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção x:
 Momento no pilar:
- Transformando para momentos fletores de cálculo:
𝑀 , ,
15,12 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 , ,
15,12 𝑘𝑁. 𝑚𝑀 , , = −𝑀 , , = 15,12 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 , , = −𝑀 , , = 𝛾 𝛾 𝑀 , , = 1,4 1,2 9,00 𝑘𝑁. 𝑚 = 15,12 𝑘𝑁. 𝑚
𝛾 = 1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜 𝐸𝐿𝑈
𝑙
=
2
6
5
cm
𝑙
=
2
6
5
cm
𝑙 = 500 𝑐𝑚
13 𝑘𝑁/𝑚
𝒚
𝑷𝟏
𝑷𝟒
- Podemos dizer que esses são os momentos fletores devido a
excentricidade de 1ª ordem na direção x:
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção y:
 Rigidez:
- Viga V1: 𝐼 = 𝐼 = 80000 𝑐𝑚
𝑟 =
𝐼
𝑙
=
80000 𝑐𝑚
600 𝑐𝑚
= 133,33 𝑐𝑚
- Pilar P1: (seção constante para todos os pilares do pavimento)
𝐼 , = 𝐼 , = 𝐼 , =
𝑏 ℎ³
12
=
15 𝑐𝑚 (30 𝑐𝑚)³
12
= 33750 𝑐𝑚
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
𝑟 , = 𝑟 , = 𝑟 , =
2 𝐼 ,
𝑙
=
2 33750 𝑐𝑚
280 𝑐𝑚
= 241,07 𝑐𝑚 V1
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção y:
 Rigidez:
- Viga V1:
6 m
13 𝑘𝑁/𝑚
- Pilar P1: (seção constante para todos os pilares do pavimento)
,
 O momento de engastamento perfeito da viga V1 será:
𝑀 , =
𝑞 𝑙²
12
=
13 𝑘𝑁/𝑚 6𝑚²
12
= 39 𝑘𝑁. 𝑚
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
𝐼 = 𝐼 = 80000 𝑐𝑚
𝑟 =
𝐼
𝑙
=
80000 𝑐𝑚
600 𝑐𝑚
= 133,33 𝑐𝑚
𝐼 , = 𝐼 , = 𝐼 , =
𝑏 ℎ³
12
=
15 𝑐𝑚 (30 𝑐𝑚)³
12
= 33750 𝑐𝑚
𝑟 , = 𝑟 , = 𝑟 , =
2 𝐼 ,
𝑙
=
2 33750 𝑐𝑚
280 𝑐𝑚
= 241,07 𝑐𝑚
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção y:
 Momento no pilar:
- Como estamos no 1º Pavimento, os momentos na base e no topo do
lance do pilar resultam:
𝑀 , , = 𝑀 , , = 15,28 𝑘𝑁. 𝑚
Momento em 
cada andar
𝑙
=
2
8
0
cm
𝑙
=
2
8
0
cm
𝑙 = 600 𝑐𝑚
13 𝑘𝑁/𝑚
𝒚
𝑷𝟏
𝑷𝟐
1
5
30
𝑀 , ,
15,28 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 ,
15,28 𝑘𝑁. 𝑚
1
2
𝑀 , ,
1
2
𝑀 , ,
𝑀 , , = 𝑀 , , = 𝑀 ,
𝑟 ,
𝑟 + 𝑟 , + 𝑟 ,
= 39 𝑘𝑁. 𝑚
241,07𝑐𝑚
133,33 𝑐𝑚 + 241,07 𝑐𝑚 + 241,07 𝑐𝑚
- Considerando a propagação dos momentos
fletores no pilar, os momentos fletores totais na
base e no topo do pilar P1 na direção y será:
𝑀 , , = −𝑀 , , = 𝑀 , , +
𝑀 , ,
2
𝑀 , , = −𝑀 , , = 15,28 +
15,28
2
= 22,91 𝑘𝑁. 𝑚
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Na direção y:
 Momento no pilar:
- Transformando para momentos fletores de cálculo:
𝑀 , ,
38,5 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 , ,
38,5 𝑘𝑁. 𝑚
𝑀 , , = −𝑀 , , = 𝛾 𝛾 𝑀 , , = 1,4 1,2 22,91 𝑘𝑁. 𝑚 = 38,5 𝑘𝑁. 𝑚
𝛾 = 1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜 𝐸𝐿𝑈
𝑙
=
2
8
0
 c
m
𝑙
=
2
8
0
 c
m
𝑙 = 600 𝑐𝑚
13 𝑘𝑁/𝑚
𝒚
𝑷𝟏
𝑷𝟐
1
5
30
𝑀 , , = −𝑀 , , = 38,5 𝑘𝑁. 𝑚
- Podemos dizer que esses são os momentos fletores devido a
excentricidade de 1ª ordem na direção y:
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
Resolução do Exemplo 2
f) Momentos das vigas sobre o pilar P1:
• Os momentos fletores de 1ª ordem, nas direções x e y, estão
mostrados na figura a seguir:
𝑀 , ,
38,5 𝑘𝑁. 𝑚
(15 x 40)
V
5
(1
5
 x
 4
0)
𝑦
𝑥
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
Resolução do Exemplo 2
g) Momento fletor mínimo (M1d,mín 
):
Onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, expressa em metros (m).
𝑁 é a força normal solicitante de cálculo.
M1d,mín,x = 𝑁 (0,015 + 0,03 ℎ ) (unidade de força.metro)
• Na direção x:
M1d,mín,𝑦 = 𝑁 (0,015 + 0,03 ℎ ) (unidade de força.metro)
• Na direção y:
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
Resolução do Exemplo 2
h) Esbeltez Limite (𝝀𝟏): O valor da esbeltez limite λ1 deve estar compreendido dentro do intervalo 35 ≤ λ𝟏≤ 90
• Na direção x:
• Na direção y:
𝜆 , =
25 + 12,5
𝑒 ,
ℎ
𝛼
𝜆 , =
25 + 12,5
𝑒 ,
ℎ
𝛼
𝑒 , =
𝑀 , ,
𝑁
- A excentricidade de 1ª ordem pode ser calculada por:
𝑒 , =
𝑀 , ,
𝑁
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
Resolução do Exemplo 2
i) Momentos fletores totais (𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕):
• Na direção x:
• Na direção y:
- Como λ ≤ λ nas duas direções (x e y) os momentos fletores de 2ª ordem são de baixa intensidade e podem ser
desprezados. Portanto, nesse caso, os momentos fletores totais são iguais aos momentos fletores de 1ª ordem:
Onde: 𝑀 , é o valor de cálculo de 1ª ordem do momento 𝑀 , 𝑁 é a
força normal solicitante de cálculo, 𝑙 é o comprimento equivalente.
Tanto 𝑀 , como 𝑀 , devem ser adotados como maior ou
igual a 𝑀 , í .
𝑀 , = 𝛼 𝑀 , + 𝑁
𝑙
10
1
𝑟
≥ 𝑀 ,
momento de 
2ª ordem
momento de 
1ª ordem
𝑀 , , = 𝑀 , , ≥ 𝑀 , í ,
𝑀 , , = 𝑀 , , ≥ 𝑀 , í ,
Observa-se que neste pilar (P1) a armadura resulta das 
seções de extremidade (topo = base), onde ocorrem os 
momentos fletores máximos. 
Resolução do Exemplo 2
j) Dimensionamento da armadura P1:
• Força normal adimensional (𝑣):
𝑣 =
𝑁
𝐴 . 𝑓
Onde: 𝐴 é a área de concreto da seção transversal do pilar e
𝑓 é a resistência de cálculo do concreto à compressão.
• Coeficientes adimensionais (𝝁) da flexão composta oblíqua:
𝑑′
ℎ
𝑑′
ℎ
μ =
𝑀 . ,
ℎ 𝐴 𝑓
μ =
𝑀 . ,
ℎ 𝐴 𝑓
Onde: 𝑑 = 𝑐 + ø𝑡 +
ø
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
𝐴 = 15 𝑐𝑚 30 𝑐𝑚
𝐴 = 450 𝑐𝑚²
Resolução do Exemplo 2
j) Dimensionamento da armadura P1:
• Escolher arranjo de distribuição da armadura:
Resolução do Exemplo 2
j) Dimensionamento da armadura P1:
• Com posse do arranjo das armaduras e dos
coeficientes d’y/hy e d’x/hx, pode-se
determinar o ábaco a ser utilizado pela
tabela ao lado:
A favor da segurança, vamos adotar:
𝑑′
ℎ
= 0,25
𝑑′
ℎ
= 0,15
ℎ
=
1
5
 c
m
ℎ = 30 cm
Resolução do Exemplo 2
j) Dimensionamento da armadura P1:
• Determinar o valor da taxa de armadura 𝜔 no ábaco
determinado descrito na tabela anterior.
 𝑣 = 0,26, então podemos interpolar o valor de 𝑣 = 0,2 e 𝑣 =
0,4 para encontrar o valor da taxa de armadura 𝜔 :
- Para 𝑣 = 0,26 
, 𝜇 = 0,10 e 𝜇 = 0,13 Á𝑏𝑎𝑐𝑜 9
𝐴 =
𝜔. 𝐴 . 𝑓
𝑓
• Calcular a taxa de aço (𝑨𝒔):
• Comparar valor de 𝑨𝒔 com 𝑨𝒔,𝒎𝒊𝒏 e 𝑨𝒔,𝒎á𝒙 :
𝐴 , =
0,15. 𝑁
𝑓
≥ 0,004. 𝐴 𝐴 , á = 0,08. 𝐴
→ 𝜔 = 0,5
Resolução do Exemplo 2
k) Detalhamento da armadura P1:
• Diâmetro da armadura longitudinal (𝝋𝒍 ):
10 𝑚𝑚 ≤ 𝜑 ≤
ℎ í
8
Peso
(kg/m)
Área Aø
(cm²)
Barras ø 
(mm)
Fios ø 
(mm)
0,0710,091-3,4
0,1090,166-4,2
0,1540,1965,05,0
0,2450,3126,3-
0,3950,5038,08,0
‘0,6170,78510,010,0
0,9631,22712,5-
1,5782,01116,0-
2,4663,14220,0-
2,9843,80122,0-
3,8534,90925,0-
6,3138,04232,0-
• Espaçamento máximo e mínimo entre as barras
longitudinais (𝑺𝒍 ):
Resolução do Exemplo 2
k) Detalhamento da armadura P1:
• Diâmetro e espaçamento da armadura transversal:
• Estribo suplementar (gancho):
Estribo suplementar: colocadas à distância máxima de 
20 ∅ do canto, quando houver mais de 2 barras nesse 
trecho ou fora dele, não contando a barra do canto.
Devem atender aos critérios de diâmetro mínimo e 
espaçamento máximo do slide anterior, podendo ter 
diâmetro e espaçamento diferentes do estribo poligonal.
Detalhamento
04
Armadura longitudinal:
o O diâmetro da armadura longitudinal deve ser maior ou igual a 10 mm
e menor ou igual que 1/8 da menor dimensão da seção transversal do
pilar.
Onde: 𝜑 é o diâmetro da barra longitudinal e ℎ í é o menor lado da seção transversal dos
pilares em concreto armado.
Detalhamento
í
Armadura longitudinal:
o Devem ser alojadas uma barra em cada vértice de pilares com seções
poligonais e pelo menos 6 barras ao longo do perímetro em pilares
circulares.
Detalhamento
Armadura longitudinal:
• Diâmetro e área das barras:
Detalhamento
Definição da bitola de aço a ser
utilizada e sua quantidade:
Peso
(kg/m)
Área Aø
(cm²)
Barras ø 
(mm)
Fios ø 
(mm)
0,0710,091-3,4
0,1090,166-4,2
0,1540,1965,05,0
0,2450,3126,3-
0,3950,5038,08,0
‘0,6170,78510,010,0
0,9631,22712,5-
1,5782,01116,0-
2,4663,14220,0-
2,9843,80122,0-
3,8534,90925,0-
6,3138,04232,0-
Armadura longitudinal:
o O espaçamento mínimo livre entre as faces das armaduras
longitudinais deve ser igual a:
o O espaçamento máximo entre o eixo das barras também deve ser
observado:
Detalhamento
Armadura transversal (estribo):
o As armadurastransversais não são calculadas, mas sim adotadas, não
sendo permitido o uso de diâmetro para as barras transversais
menores que 5 mm ou 1/4 do diâmetro da barra longitudinal.
o O espaçamento longitudinal máximo entre estribos, medido na
direção do eixo do pilar deve ser definido conforme:
Detalhamento
Quando houver necessidade de armaduras transversais 
para forças cortantes e torção, esses valores devem ser 
comparados com os mínimos especificados para vigas 
(item 18.3 da NBR 6118:2023), adotando-se o menor dos 
limites especificados.
Estribo suplementar: colocadas à distância máxima de 
20 ∅ do canto, quando houver mais de 2 barras nesse 
trecho ou fora dele, não contando a barra do canto.
Devem atender aos critérios de diâmetro mínimo e 
espaçamento máximo do slide anterior, podendo ter 
diâmetro e espaçamento diferentes do estribo poligonal.
Flambagem nas barras dos pilares:
o Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da
armaduras, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem
ser tomadas precauções para evita-la.
o Estribos suplementares (ganchos): barras terminadas em ganchos
que protegem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por
eles abrangidas.
Detalhamento
Detalhamento