7ª Lista de exercícios - Integral Dupla Prof CARLOS ANTONIO SILVA VIEIRA

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UEMA/DEMATI CA´LCULO II - ENG MECAˆNICA Prof. Carlos Vieira
7ª Lista de exerc´ıcios - Integral Dupla
1. Seja R o retaˆngulo 1 6 x 6 2, 0 6 y 6 1. Calcule
∫∫
R
f(x, y) dA, sendo:
(a) f(x, y) = x cos(xy)
(b) f(x, y) = yexy
(c) f(x, y) =
√
x+ y
(d) f(x, y) = 1
(x+ y)2
2. Se f(x) e g(y) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d], enta˜o∫∫
R
f(x)g(y) dx dy =
∫ b
a
f(x) dx ·
∫ d
c
g(y) dy
onde R e´ o retaˆngulo a 6 x 6 b e c 6 y 6 d. Use esse resultado, para calcular:
(a)
∫∫
R
xyex
2−y2 dx dy, onde R = [−1, 1]× [0, 3]
(b)
∫∫
R
sin2(x)
1 + 4y2
dx dy, onde R = [0, pi
2
]× [0, 1
2
]
3. Calcule o volume do conjunto dado:
(a) {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 x+ 2y}
(b) {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, x2 + y2 6 z 6 2}
4. Determine a regia˜o de integrac¸a˜o D e troque a ordem de integrac¸a˜o das seguintes integrais.
(a)
∫ 1
0
∫ 1−y
−
√
1−y2
f(x, y) dx dy (b)
∫ pi
2
0
∫ 1
cosx
f(x, y) dy dx
5. Calcule as integrais duplas sobre a regia˜o dada:
(a)
∫∫
R
√
x sin(
√
xy) dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por y = 0, x = pi
2
e y =
√
x
(b)
∫∫
R
x2
y2
dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por y = x, x = 1
x
e x = 2
(c)
∫∫
R
(x+y) dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por y = x2+1, y = −1−x2, x = −1 e x = 1
(d)
∫∫
R
y dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por x = 0, x = y2 + 1, y = 2 e y = −2
(e)
∫∫
R
y2 · sin(x2) dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por y = x1/3, y = −x1/3 e x = 8
(f)
∫∫
R
cos(y3) dx dy, onde R e´ a regia˜o delimitada por y =
√
x, y = 2 e x = 0
6. Calcular
∫∫
R
(x+ y) dx dy, onde R e´ a regia˜o descrita na figura abaixo.
1
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7. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
∫ 1
0
∫ 1
y
ex
2
dx dy (b)
∫ 1
0
∫ 1
x
sin y
y
dx dy
8. Determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas:
(a) 2y = 16− x2 e x+ 2y + 4 = 0 (b) x = y3 x+ y = 2 e y = 0
Respostas
1) (a) (b) (c) 4
15
[9
√
3−8√2+
1]
(d) ln(4
3
)
2) (a) 0 (b) pi2
32
3) (a) 3
2
(b) 4
3
5) (a) pi
2
− 1 (b) 9
4
(c) 0 (d) 0 (e) 1−cos(64)
3
(f) sin 8
3
6) 2
7) (a) e−1
2
(b) 1− cos 1
8) (a) 243
4
(b) 5
4
2