Lista_2

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Lista 2
Integral Dupla, Integral Tripla e
Integral de linha
Data de entrega: 30/07/2021
Grupos de máximo 6 alunos
Integrais Iteradas e Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
1. ([1]) Calcule a integral iterada.
(a)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy)dxdy
(b)
∫ 4
2
∫ 1
−1
(x2 + y2)dydy
(c)
∫ π/2
0
∫ π/2
0
senx cos ydydx
(d)
∫ 2
0
∫ 1
0
(2x+ y)8dxdy
2. ([1]) Calcule a integral dupla
(a)
∫∫
R
(6x2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}
(b)
∫∫
R
x sen(x+ y)dA, R = [0, π/6]× [0, π/3]
3. ([2]) Sejam f(x) e g(x) duas funções cont́ınuas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d]. Então∫∫
R
f(x)g(y)dxdy =
(∫ b
a
f(x)dx
)(∫ d
c
g(y)dy
)
onde R é o retângulo a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d.
Usando este fato, calcule
(a)
∫∫
R
xy2dxdy, onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3.
(a)
∫∫
R
x cos(2y)dxdy, onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, −π
4
≤ y ≤ π
4
.
4. ([2]) Calcule o volume do conjunto dado.
(a) {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x+ 2y}
(b) {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ √xy}
5. ([1]) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x+2y+z = 12 e acima do retângulo
R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 3}
6. ([3]) Esboce a região de integração e calcule a integral.
(a)
∫ 3
0
∫ 2
0
(4− y2)dydx (b)
∫ π
0
∫ x
0
x sen ydydx
7. ([4]) Expresse a integral dupla, sobre a região R indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
(a)
∫∫
R
(y + 2x)dA; R região retangular de vértices (−1, 1), (2,−1), (2, 4) e (−1, 4).
(b)
∫∫
R
(x− y)dA; R região triangular de vértices (2, 9), (2, 1) e (−2, 1).
8. ([1]) Calcule a integral dupla.
1
(a)
∫∫
D
x3y2, D = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
(b)
∫∫
D
x, D = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ senx}
9. ([3])Determine o volume do sólido.
(a) Abaixo do paraboloide z = x2 + y2 e acima da região delimitada por y = x2 e x = y2.
(b) Abaixo do paraboloide z = 3x2 + y2 e acima da região delimitada por y = x e x = y2 − y.
10. ([2]) Inverta a ordem de integração
(a)
∫ 1
0
[∫ x
0
f(x, y)dy
]
dx
(b)
∫ 1
0
[∫ x
x2
f(x, y)dy
]
dx
(c)
∫ 1
0
[∫ √y
−√y
f(x, y)dx
]
dy
(d)
∫ e
1
[∫ x
ln(x)
f(x, y)dy
]
dx
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
1. ([1]) Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares
e escreva
∫∫
R
f(x, y)dA como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer cont́ınua em R.
2. ([2]) Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
(a)
∫∫
R
(x2 + 2y)dxdy, onde R é o ćırculo x2 + y2 ≤ 4.
(b)
∫∫
R
(x2 + y2)dxdy, onde R = {(x, y) ∈ R2|1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
(c)
∫∫
R
ex
2+y2dxdy, onde R é o conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4,−x ≤ y ≤ x e
x ≥ 0.
(d)
∫∫
R
(x2 + y2)3/2dA, onde R é limitado pelo ćırculo x2 + y2 = 4.
3. ([2],[3]) Passe para coordenadas polares e calcule.
(a)
∫ 1
0
∫ √2−x2
x2
√
x2 + y2dydx.
(b)
∫ 1
0
∫ √x−x2
0
xdydx.
(c)
∫ 1
−1
∫ √1−x2
0
dydx.
(d)
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
(x2 + y2)dxdy.
2
4. ([1],[4]) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
(a) Abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4.
(b) Dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4.
Integrais Triplas e Integrais Triplas em Coordenadas Ciĺındricas
1. ([2]) Calcule a integral tripla.
(a)
∫∫∫
E
2xdV , onde E = {(x, y, z)|0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤ z ≤ y}.
(b)
∫∫∫
E
6xydV , onde E esta abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano xy limitada
pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1.
(c)
∫∫∫
E
x2eydV , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1− y2 e pelos planos z = 0, x = 1 e
x = −1.
(d)
∫∫∫
E
xdV , onde E é limitado pelo paraboloide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4.
2. ([3]) Calcule a integral mudando a ordem de integração de maneira apropriada.∫ 4
0
∫ 1
0
∫ 2
2y
4 cos(x2)
2
√
z
dxdydz
3. ([3]) Encontre a constante a tal que∫ 1
0
∫ 4−a−x2
0
∫ 4−x2−y
a
dzdydx =
4
15
.
4. ([1],[2]) Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
(a) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5− x2 − 3y2.
(b) x2 + y2 ≤ z ≤ 4.
(c) x2 + y2 ≤ 4 e x2 + y2 + z2 ≤ 9
5. ([1]) A figura mostra a região de integração da integral∫ 1
0
∫ 1
√
x
∫ 1−y
0
f(x, y, z)dzdydx.
Reescreva essa integral como uma integral iterada equivalente nas cinco outras ordens.
3
6. Considere a integral tripla iterada ∫ √2
−
√
2
∫ √2−x2
−
√
2−x2
∫ √4−x2−y2
√
x2+y2
dzdydx.
(a) Transforme a integral utilizando coordenadas ciĺındricas.
(b) Calcule a integral.
(c) Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
7. ([1]) Calcule as seguintes integrais triplas
(a)
∫∫∫
E
√
x2 + y2dV , em que E é a região que está dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos
z = −5 e z = 4.
(b)
∫∫∫
E
ydV , em que E é o sólido que está entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, acima do plano
xy e abaixo do plano z = x+ 2.
(c)
∫∫∫
E
xdV , em que E está delimitado pelos planos z = 0 e z = x+ y+ 5 e pelos cilindros x2 + y2 = 4
e x2 + y2 = 9.
Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis
1. ([1]) Mude o ponto (1,
√
3, 2
√
3) dado em coordenadas retangulares para esféricas.
2. ([1]) Escreva a equação z2 = x2 + y2 em coordenadas esféricas.
3. ([3]) Calcule as integrais em coordenadas esféricas.
(a)
∫ π
0
∫ π
0
∫ 2 senφ
0
ρ2 senφdρdφdθ.
(b)
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 2
0
(ρ cosφ)ρ2 senφdρdφdθ
4. ([1],[2]) Calcule utilizando coordenadas esféricas.
(a)
∫∫∫
B
(x2 + y2 + z2)2dV , onde B é a bola com centro na origem e raio 5.
(b)
∫∫∫
H
(9− x2 − y2)dV , onde H é o hemisférios sólido x2 + y2 + z2 ≤ 9 e z ≥ 0.
(c)
∫∫∫
E
zdV , onde E está entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4,no primeiro octante.
(d)
∫∫∫
E
xyzdV , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone φ = π/3.
5. ([1],[2],[3]) Usando coordenadas esféricas, determine:
(a) O volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones φ = π/6 e φ = π/3.
(b) O volume do elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1.
6. ([1]) Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
4
(a)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xydzdydx
(b)
∫ 2
0
∫ √4−y2
0
∫ √4−x2−y2
0
1
x2 + y2 + z2
dzdxdy
Integrais de Linha
1. ([1],[2]) Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(a)
∫
C
y3ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2.
(b)
∫
C
xy4ds, C é a metade direita do ćırculo x2 + y2 = 16.
(c)
∫
C
x sen yds, C é o segmento de reta que liga (0, 3) a (4, 6).
(d)
∫
C
xdx − ydy, C é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 3) percorrido no sentido de (1, 1) para
(2, 3).
5
Referências
[1] J. Stewart. Cálculo, Volume 2, 6a Edição, São Paulo, Pionera/Thomson Learning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5a Edição, 2002, Rio de Janeiro.
[3] G. B. Thomas. Cálculo, Volume 2, 10a Edição, São Paulo, Addison-Wesley/Pearson, 2002.
[4] E. W. Swokowski. Cálculo com Geometria Anaĺıtica, Volume 2, 2a Edição, Markron, 1995.
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